Кратномасштабный анализ пространства l2(r) в случае двух масштабирующих функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 81-91 = Математика

УДК 517.5

Кратномасштабный анализ пространства Ь2(Ш) в случае двух масштабирующих функций *

Е.А. Плещева

Аннотация. Построены расширение понятия всплеска для двух масштабирующих функций и аналог кратномасштабного анализа в этом случае.

Ключевые слова: кратномасштабный анализ, преобразование Фурье, всплеск, ортонормированный базис.

Понятие «всплеск» (wavelet) с 80-х годов широко используется в теоретических и прикладных исследованиях. Большой вклад в развитие теории всплесков внесли И. Добеши, К. Чуй, A. Cohen, W.M. Lowton, И.Я. Новиков, М.А. Скопина, В.Ю. Протасов и другие.

Введем следующие обозначения:

Ь2[0,1) — пространство 1-периодичееких интегрируемых с квадратом на [0,1) функций;

uj,k(%) = ^^2и(2^х

/(ш) = (F/)(w) = /(ж)е_27гг хш dx — преобразование Фурье функ-

ЦИИ /;

(F_1/)(®) = IZ/(ш)е27гг хш doj — обратное преобразование Фурье;

(g,h) = g(x)h(x)dx — скалярное произведение в L2(R) функций gmh;

В выражениях вида шs, ipPe, ibs-Vf, Vf" числа s, ps согласованы

j,k J,K j J

по правилу ps = 2, s = 1; ps = 1, s = 2.

Ортонормированным всплеском обычно называется функция ф(ж), такая, что множество {ipj,k{x) '■ к Е Z2} образуют ортонормированный базис (ОНБ) пространства L2(R).

Строить базисы ортогональных всплесков часто начинают с построения кратномасштабного анализа (КМА), как его определили Y. Meyer [1] и S. Mal-lat [2].

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект JV» 09-01-00014) и Программы государственной поддержки «Ведущие научные школы» (проект НШ-1071.2008.1).

Определение 1. Последовательность {УуУуеж, вложенных замкнутых подпространств пространства Ь2(М)

... С. Vj С. У]+\ с ... (1)

называется его КМА, если удовлетворяет условиям:

а) \J7Vj = Ь2(М);

б) Пі У* = {0};

в) /(ж) Є V} ^ /(ж - 1/2?) Є V} (І Є Ъ)\

г) /(ж) Є V- ^ /(2ж) Є Уі+1(і Є X);

д) найдется такая функция <р(х), которую называют масштаби-рующей, что множество {<р{х — п)}п^х — ОНБ пространства VQ.

Известно, что для выполнения (1) необходимо и достаточно, чтобы

^(ж) = ^1К<РіАх)і = <¥’.¥’1,«'). (2)

что равносильно тому, что

ф(ш) = т(ш/2)ф(ш/2), т(ш) = ^ кре2жгрш, т(ш) Є Ь2[0,1). (3)

Функцию т(ш) называют маской функции (р.

Необходимое условие ортогональности дает

Теорема А [2]. Пусть {^(ж + — ортонормированная система и

т(ш) определена в (3). Тогда

|т(ш)|2 + \т(ш + 1/2)|2 = 1. (4)

По схеме Малла [2] пространства всплесков \¥^ строятся как ортогональ-

ные дополнения V] до Vj+l, а ортогональный всплеск ф(ж) определяется так, чтобы система {ф^,к{х)}кеъ была ортонормированным базисом И^.

Конструкцию ф для заданного КМА можно определить следующим образом:

Теорема Б [2]. Пусть ф(х) = Ег,ег(-1)г'-1/г1-*'¥,1,*'(ж)> где ^ — коэффициенты из (2). Тогда система {ф],к{х)}],кеъ является ортонормированным базисом пространства Ь2(М).

Позже понятие всплеска обобщалось в разных направлениях, например, за счет замены условия ортогональности {<р(х — к)} системы на ее биортогональность некоторой системе {£>(ж — к)}.

Другой путь расширения понятия всплеска ([3]—[6]) состоит в том, что условие д) в определении КМА заменяется на следующее:

д’) найдется система функций ірг(ж), <р2(ж),... , <рп(ж), такая, что система {</?1(ж — к), (р2(х — к),... , <рп(х — образует ортонормирован-

ный базис пространства Уц.

Для выполнения (1) необходимо, чтобы 1р8 = БГ=1 Щ 1^1 к- Да_

же в случае двух функций представление всплесков через масштабирующие функции довольно громоздко.

В данной работе рассмотрен еще один вариант расширения понятия КМА и соответствующих всплесков. Для двух функций </51(ж), <р2(ж) 6 1/2(М) строятся два отдельных подпространства У^, У^ пространства Ь2(М) и считается, что вместо (2) выполняются соотношения:

<р'(х) = £л^р*<2ж - 12(Г). (5)

Далее с помощью (рг(ж), <р2(ж) строятся две различные отличные от КМА Малла возрастающие последовательности подпространств, названные 2-раздельным КМА, приводятся необходимые и достаточные условия ортогональности системы сдвигов функций <р1(ж), <р2(ж). Построены две системы ортогональных функций типа всплесков, соответствующих двум последовательностям подпространств, получена формула, выражающая такие всплески через сдвиги масштабирующих функций. Кроме того, выведены формулы для прямых и обратных дискретных всплеск-преобразований, соответствующих построенным системам.

1. Обобщение КМА

Определение 2. Рассмотрим две последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств пространства Ь2(М)

... С У^ С У1 С У^ С У% С ... , (6)

... С У® С V]1 с У% с У3г с ... (7)

Назовем эту конструкцию 2-раздельным кратномасштабным анализом (КМА) пространства Ь2(М), если она удовлетворяет следующим условиям:

а)07^ = 1М^=Ь2(Е);

б) а-Ч+1 = ПЧ-+1 = {0};

в) /(ж) е V? & /(ж + 1/2?) е V? V?, 1€Ъ,8 = 1,2;

г) /(ж) € У03 О- /(2%) € V/ ^ е2,8 = 1,2;

д) найдутся такие функции 1р8(х) 6 Ь2(М), з = 1,2, что множества сдвигов {¥>*(ж + к)}к^ъ образуют ортонормированный базис пространства У$ .

Видно, что наша конструкция в (6), (7) отличается от получаемой при построении биортогональных и соответствующих д’) всплесков.

Если (р1 = (р2, то 2-раздельный КМА превращается в классический. Ясно,что из а), б) следует: Ц,- Уу = Ц[ = ^2(к)> ГГ/ = ГГ/ = {°}-

Замечание 1. Условие д) можно заменить условием

д") найдутся такие функции g8(x),s = 1,2, что множества их сдвигов {¿^(ж + k)}kez образуют базис Рисса пространства Vq .

Действительно, аналогично случаю одной масштабирующей функции ([7], с.199) ортонормированный базис получим по формуле

■ГО')- , ...--У-

A/Efe6zl?s(w + n)l2

Как и в классическом случае, условия а)-д) не являются независимыми:

Теорема 1. Пусть выполняются условия г), д) в определении 2-раздельных КМА. Пусть, кроме того, функции (ps(x),s = 1,2, таковы, что ф8(ьо) непрерывны в нуле, ограничены и £>s(0) ф 0. Тогда выполняется условие а).

Доказательство подобно доказательству предложения 5.3.2 из [7], хотя и не является его следствием. Предположим, что условие а) не выполняется, т. е. в L2(R) существует собственное подпространство, не содержащееся в [J^ V^+1. Тогда существует функция /(ж) 6 L2(R) \

(Uj^j+i)’ ll/WIU^R) # 0 и такая, что /(ж)±<^.+м(ж) е Z-

Аналогично лемме 11.1 из [8] можно показать, что при условиях в), г) подпространство [J^ y2j+l будет инвариантно относительно любых сдвигов, следовательно, f{x)Lip\-+1 к(х — t) и, значит, /(ж — t)Lip\-+1 к(х) Vj, к Е Z2.

Полагая /(ж) = /(—ж), получаем

{f*f,<P2j+i,k)=f I hk{x)dx =

•J R J R

= / /(*) / f{x-t)<plj+1}k{x)dxdt = 0.

<J R <JR Так как F(/* Z)(w) = |/(ш)|2, то

0 = 2^{/*/,^i+1;fe) = =

= f |/(o;)|2^1(a;/22i+1)e27rito/22j+1da; = 0 Vj, к E Z2.

J R

Так как фг(ш) — ограниченная функция, подынтегральные функции не превосходят ¡/(kOpH^H^oojR) 6 L(R). По теореме Лебега о мажорантной сходимости получим при j —>• оо

[ \f(L0)t2фЦ0)(1ы = ФЩ [ \f(Lu)\2dLO

RR

0,

что в силу ^(0) ф 0 противоречит условию на /. Поэтому и • Уу+1 = Ь2(М). Аналогично доказывается, что и • У22+1 = !/2(М).

Теорема 2. Пусть выполняются условия в), г), д) в определении 2-раздельного КМ А. Тогда выполняется условие б) этого определения.

Теорема следует из доказательства предложения 5.3.1, [7], с.203.

2. Необходимые и достаточные условия ортогональности

Известно (см., например, [3], с.21), что системы функций {сps(x —

*)k iez, s = 1,2 — ортонормированы в L2(R) тогда и только тогда, когда

выполняются условия

£|0> + *)|2П=1. (8)

ке Z

Ясно, что для выполнения вложений (6), (7) должны выполняться масштабирующие соотношения (5).

Применяя преобразование Фурье, из (5) получим соотношение

<ps(u>) = ms,Pe(u}/2)фРв(ш/2), (9)

и, как следствие, í?s(w) = ms,Pe (ш/2)тРв,s (ш/4)cps(ш/4), где ms,Pe (ш) — 1-пе-риодическая функция из L2[0,1),

т3'р‘{ш) = J2hSk,Pee2vikui. (10)

ке Z

Если ¥?s(0) = 1 и ms,Pe(Lü) = ms,Pe(0) + 0(|ш|а), то из (9) получаем

ОО

$*{ш) = \\т3^{ш/2^-1)тр^{ш/22^), (11)

з=i

или, обозначив

т8(ш) = ms,Pa (2ш)тРе,8(ш) Е L[0,1], s = 1,2, (12)

ОО

£8(ш) = Пт8( и/4>). (13)

з=i

Приведем необходимые условия ортогональности систем {<pS{x + k)}keZ-

Теорема 3. Пусть {ips{x + k)}kez ^ ортонормированные системы, s =

1,2. Тогда

\т8(ш)\2 + | т8(ш + 1/4) |2 + | т8(ш + 1/2)|2 + \т8(ш + 3/4)|2"= 1. (14)

Доказательство. В силу (8) и 1-периодичноети т8(ш)

1 = ^2\ФЧ4ш + v)\2 = + ^/4)тЧш + v!4)? =

= ^2 I+ v)ms{uj + v)\2 + ^2 Iv + l/4)ms(a; + v + 1/4)|2 +

^eZ í/eZ

-4” ^ ^ "Н и ”4" 1//2^?п8^си р 1/2)|2 ”4"

г^бЪ

+ ^2 1^(ш + и + 3/4)т8(ш + ” + 3/4) |2,

то есть выполняется (14).

Условия для т8,Ре(ш) аналогичны (4):

Теорема 4. Пусть {^{х + к)}^ъ — ортонормированные системы, в =

1,2. Тогда

\т8’р°{ш)\2 + \т8’р°{ш + 1/2)\2П= 1. (15)

Теорема доказывается аналогично теореме Малла, но не является ее следствием, так как каждая функция т8,Ре(ш) не является маской для (р8, как в теореме А Малла.

Доказательство. В силу (8) и 1-периодичности т8,Ре(и>)

1 = £ |£8(2ш + у)\2 = 22 1^Рв(ш + ^/2)т8’Ре(ш + и/2)|2 =

= ^|фРа{ш + и)т3’Ра (си + г/)|2 + У^\(рРа{ш + и + 1/2)т3’Ра{ш + и + 1/2)\2 = 1.

Условие (14) можно также вывести как следствие условия (15).

Следствие 1. Пусть для т8,Ре(ш), з = 1,2 справедливы условия (15). Тогда для т8(и>), я = 1,2 выполняются условия (14).

Доказательство.Подставим выражения (12) для т8(ш) в левую часть (14). Используя (15) и 1-периодичность т8,Ре(ш), получим

\т3{ш)\2 + | т8(ш + 1 /4) |2 + | т8(ш + 1/2)|2 + | т8(ш + 3/4)|2 =

= \т8,Ре (2ш)тРе’8 (ш)\2 + \т8’Ре(2(ш + 1/4 ))тРв’3{ш + 1 /4)|2 +

+ \т3’р*{2{ш + 1/2 ))тр*’3{ш + 1/2)|2 + \т3’р*{2{ш + 3/4 ))тр°’8(ш + 3/4)|2 =

= \т8’р°{2ш)\2{\тр°’8{ш)\2 + \тр°’8{ш + 1/2)|2) +

+ \т8’Ре(2(ш + 1/4))|2(|тРв’8(ш + 1 /4)|2 + \тРе’8(ш + 3/4)|2) =

= \т8,Ре(2ш)\2 + \т8,Ре(2ш + 1 /2)|2 = 1.

Достаточным условием ортогональности сдвигов масштабирующих функций, преобразование Фурье которых представлено бесконечным произведением сжатий одной функции, является следующий аналог, но, к сожалению, не следствие теоремы Малла.

Теорема 5. Пусть т(ш) — 1-периодическая функция такая, что для нее выполнено условие вида (14), т. е.

|т(ш)|2 + | т(ш + 1 /4) |2 + \т(ш + 1 /2) |2 + \т(ш + 3/4)|2"=' 1. (16)

Пусть, далее, т(ш) непрерывна в окрестности точки ш = 0, т(О) = 1, а кроме того, \т(ш)\ ^ Cq > О при |ш| ^ | и справедливо неравенство

|т(ш) — т(0)| ^ ^(М) (17)

для неубывающей функции П(ш), для которой сходится. Тогда

ф(ш) := n^Li т (fj) ^ L2(M), а функция ср(х) с преобразованием Фурье ф(ш) порождает ортонормированную в L2(R) систему {(р(х — k)}kez-

Доказательство использует идеи Малла.

1) Пусть т(ш), удовлетворяет условиям теоремы. Докажем, что если n^i^(lj) сходится почти всюду, то Ф{ш) := ГТ^=1т(|?) е L2(R) и

IMU2(r) ^ 1-

Для этого введем последовательность функций

k+1

:=П-Шхмд](^)-

3 =1

(18)

Ясно, что фк(и) ->■ ф(и) поточечно, /к \фк{ш)\2(1ш = /224# П^!1 |т (I?) |2 ¿ш. Докажем, что € 2 {^(ж п)}п€2 — ортонормированная система. Имеем

(рк(х)(рк(х - п)(1х = <рк(ш)Фк(ш)е27ГгПШ=

•/к ./к

'•4*! &+1

ПКт-)

).4*г ,1 V 4^ /

/.2-4* ,

J-2-4k

i=i

2тг inuj

dw.

В силу 1-периодичности т(ш), е2жгш разобьем последний интеграл на сумму четырех:

лк+1 к+1

ПК2)

3=1

f

J о

e2~du:

„4*! fc + 1

I nhG)

-3.4* *+1

L 0

2 -2-4* . , . , .

e2™dcu+ / n|m(^i)

i=i

„3.4*: fe+1

+ ' nh(S

J=1

/»2-4'v

/- я

4*г+1 k-1--1

L 0

„27Г inu)

duj -j"

~2™du+ I П1 rn(^)

e

27Г inoj

dui.

Заменим w на ы’ +4fc, w' + 2 • 4fe, w' + 3 • 4k. Тогда последнее выражение будет равно

'ш + 4к'

Г

J о

.4* / fc+1 0 fe+1

1 '

■ i=l

+п

i=i

т

43

+

k+1 + П

3=i

m

ш + 2 • 4fc 43

2 k+1 + П

3=i

m

cu + 3 • 4fc 4i

I e2™du

l nK£)f(Kira)

3=1

+

Ш 1

m| P+T + I

+

/ ш 1\ 2 ( ы 3\

+ mU‘+i + iJ + mU‘+i + ij

e2™duo

>

/»4^ 12 /*

J nh(ij) &2™d^ = J №k-i{u)\2e2™dLü.

Отсюда, условия (16) и того, что ¿2-'Ж1ПШ полная ортонормированная система на [0,1], получаем

[ \ipk(üü)\2e2™düü= f |<рк_г( Jr Jr

... = f \cp0(üü)\2e2™düü= f2 m(j)

JR J —2

_i (ш)\2е2ж'1пш du

e2™düü= I eÄ™du = öo!n. Io

f

Jo

Следовательно, V& 6 Z — n)}neZ — ортонормированная система. В

частности, при п = О

/ |i?fe(o;)|2da; = / |^fe_i(o;)|2da; = ... = / |^0(o;)|2da; = 1,

</ R </ R J R

и по теореме Фату <р(ш) Е L2(R) и ||£(w)||L2(r < )||L2(r) = 1-

2) Если докажем, что

\$к{ш)\2 ^ Сг\ф{ш)\2, (19)

то по теореме Лебега о мажорантной сходимости будет выполняться

[ |£(cu)|2e2~da; = lim [ \(рп{ш)\2е2жЫшdu = Snfi,

RR

а это и значит, что {(р(х — п)}п — ортонормированная система.

Представим \фк(ш)\2 в виде

fc+i

I <Рк{и

ПК£)1 Wr*) =

3=1

/У ОО

п KS)

■j=k+2

При |ш| ^ 2 • 4к неравенство (19), очевидно, выполняется. Пусть теперь |ш| ^ 2 • 4к. Оценим снизу П^=^+2 |т (|г) |2 •

В силу (17) 1 — |т(ш)| ^ |т(ш) — т(0)| ^ П(|ш|), т. е. |то(ш)| ^ 1 — 0(|ш|). А так как для |ж| < 5 при некотором 0 < 5 < 1 имеем 1 — ж ^ е~2х, то при N =

N(5) таком, что П(4-Дд,) < 5, произведение П^=лг+2+л |т (|?) |2 оценивается снизу выражением

^ е-4П(Н) = еЕГ=„+2+,(-4П(^))_

3=№+2+к

В силу монотонности О последняя величина не меньше, чем

еЕГ=™*(-4пф) = (хт=*+2+к{-тфЕ)) ^ е-4Е£*+а(п(£)) ^ с2(п,г).

Далее по определению Со при \ш\ <2 - 4к : П^^+г1 \т (|г)|2 ^ СЦМ^. В итоге получим, что У& ^ 1 Уш |£>*.(о;)|2 ^ Са(П, ¿) \ф{ш)\2 6 Ь2(М), а значит, можно применить теорему Лебега о мажорантной сходимости.

При построении 2-раздельного КМА можно в качестве т8,Ре, з = 1,2 использовать классические маски.

3. Пространства всплесков и их базисы

Построенный 2-раздельный КМА (6), (7) используется для построения двух последовательностей пространств всплесков таких, что \¥? С

^+1> ^ = 1,2. Для функций, образующих базис пространства

справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Пусть ф8(х) = ^У~1^1-1(Р1>ЛХ)’ г^е ^’Ре ^ коэф-

фициен-ты из (5). Тогда система функций {ф^ к{х)}кег ^ ОНБ пространства .

Доказательство. Ортогональность вытекает из ортогональности (р1(ж), I = 1,2 и определения ф8{ж), 8 = 1,2. Осталось проверить, что {Фо — базис И^о . При я = 1 из определения ф\х) и (10)

ф1{ш) = е“7Г^т1-2(( ш + 1)/2)ф2(ш/2). (20)

Если / 6 то / 6 V2 и /ХУд1. Поэтому по аналогии с [7], с. 190,

f(ш) = т^(ш/2)у?2(ц;/2) = е~тш af(ш/2)т1’2((ш + 1)/2)ф2(ш/2),

где af(ш) — 1/2-периодическая функция из Ь2[0,1). Отсюда и из (20) получим /(ш) = af(ш/2)ф1(ш), т. е. /(ш) = ^кет.Аке~2жгкшф1{ш), откуда

/(ж) = ^2 ЛкФ(х - к)- (21)

к&

Здесь {Аь} Е l2(Z), поэтому ряд (21) сходится в L2(R). Итак, любую / 6 Wq можно разложить в ряд (21).

Теорема 7. Системы функций {фу k(x)^y+i fe(*)}j,feez2i s = 1,2 являются ортонормирванными базисами пространства L2(R).

Доказательство. Ортономированность этих систем вытекает из теоремы 6 и того, что Базисность следует из условия а) в определении

2-раздельного КМ А.

4. Прямое и обратное дискретное всплеск-преобразование

Как и в случае одной масштабирующей функции, зная проекцию функции /(ж) на пространство V?, s = 1 или s = 2, для некоторого j, можно найти ее проекции на пространства Vjli и Wp^_1. Действительно, так как

wj-i 0 vf-i = Vf,s = l, 2, то

Pry,/(ж) = J2ck3(Pj,k(x) = J2(cPk’3~1(PPj-i,k(x) + dfc','7_1^ji-1>fc(®))> fee Z fee Z

w =;■' = =;■'(/) = = (/,<!>.

Учитывая ортогональность базисов пространств V?,Wj,s = l,2;j 6 Z равенство (5) и теорему 6, получаем отсюда, что для всех j,l Е Z при s = 1 или s = 2

rPs,j-1 _ s,j .s,ps .

Cl — fe "i-2fc>

Z

\fe-l As>Ps

¿+2fe—1'

Z

Если этот процесс начать с = 1,2, то его схематично для каждой

цепочки подпространств (6), (7) 2-раздельного КМ А можно изобразить в виде двух каскадных схем (я = 1,2):

~8>3 V „Ре,3-1 ___, 8,3-2 ___ 8,30

ск * cfe * ск * ск \ \ ... \ ,

^ Лк*“2 Лк*°

соответствующих последовательности (6) при 8 и ; разной четности и последовательности (7) при в и ] одинаковой четности. Зная же коэффициенты {<1Рка’1 : к Е Z, I = jo,jo + 1,jo + 2,... ,у — 1} проекции функции на пространства всплесков и коэффициенты {с^0 : к Е Z}, можно вос-

становить коэффициенты разложения проекции этой функции на все пространства кратномасштабного анализа с номерами I, ^'о < I ^ 3 по формуле

с*13 = Efc6z(cfc'’'7 1Ь?-2к + (1Рк’3 1(-1)к 1кШк-1)^ или схематично

8,зо ____. л>в,3 о+1 ____. 8,зо+2 ___ ___ 8,з

('к * ('к * ('к * * ('к ■

^ ^

Л8,30 ^Рв,30+1 ^Рв,30+2

к к к

Эти схемы можно использовать обычным образом для обработки сигналов и сжатия изображений.

Список литературы

1. Meyer Y. Wavelets and operators. Cambridge University Press, 1992.

2. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2(R) // Ttans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 315. P. 69-87.

3. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. 132 с.

4. Strela V. Multiwavelets: regularity, orthogonality and symmetry via two-scale similarity transform // Preprint. 1995. 15 p.

5. The application of multiwavelet filter banks to image processing / V. Strela [et al.]. Preprint. 1995. 29 p.

6. Strang G., Strela V. Short wavelets and matrix dilation equations // Preprint. 1995. 16 p.

7. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М. - Ижевск: Динамика, 2001. 464 с.

8. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи матем. наук. 1998. Т.53. Вып.6(324). С. 53-128.

Поступило 06.10.2009

Плещева Екатерина Александровна ([email protected]), аспирант, Уральский государственный университет.

Multiresolution analysis of L2(R) for two scaling functions

E.A. Plescheva

Abstract. Multiresolution analysis for two scaling functions and extension of wavelets in this case are constructed.

Keywords: multiresolution analysis, Fourier transform, wavelet, orthonormal basis.

Plescheva Ekaterina ([email protected]), postgraduate student, Ural State University.