Краевая задача с нелокальным по времени условием для одномерного уравнения с кратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПО ВРЕМЕНИ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

А. И, Кожанов

Пусть Q — прямоугольник

{(х, г):х е О = (ОД), г е (О, Т), о <Т < + ж},

а(х,Ь), /(ж,£), щ(х) — заданные при !£(!,(£ [О,Г] функции. В прямоугольнике Q рассмотрим уравнение

Это уравнение представляет собой линеаризованное уравнение Корте-вега — де Фриза; Т. Д. Джураев в своей монографии [1] называет подобные уравнения уравнениями с кратными характеристиками. Разрешимость тех или иных начально-краевых задач для подобных уравнений как в пространствах гладких функций, так и в пространствах суммируемых функций хорошо изучена [1,2], разрешимость же нелокальных задач (т. е. таких задач, в которых задается связь значений решений в различных точках некоторых внутренних или граничных многообразий, см. [3]) изучалась лишь в одном специальном случае условия

автором в работе [4]. В настоящей работе будет изучаться разрешимость нелокальной задачи с существенно более общим условием, нежели указанное выше — условием, предложенным Л. СЬаЬготевИ (см.

© 2008 Кожанов А. И.

Ьп = щ + пххх + а(х,г)п = /(х,г).

(1)

т

[5,6]) в нелокальных задачах для параболических уравнений второго порядка. Отметим, что исследование разрешимости тех или иных нелокальных задач представляется важным и с точки зрения построения общей теории разрешимости краевых задач для уравнений с частными производными, и с точки зрения приложений — как в математической теории (например, при исследовании разрешимости обратных задач), так и в математическом моделировании.

Перейдем непосредственно к сути работы.

Пусть В — линейный оператор, переводящий пространство Ьж(0,Т; Ш23(П)) в пространство Ь2(П).

Краевая задача. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в прямоугольнике О решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия

и(х, 0) = Ви + щ(х), х еП, (2)

и(о,г) = и(м) = иж(м) = о, о<г<т. (з)

Краевая задача (1)-(3) включает в себя обычную начально-краевую задачу для уравнения (1). Конкретные же примеры собственно нелокальных задач мы приведем ниже.

о о

Пусть , V и Ух суть следующие пространства:

Ш230(П) = {и(х) е Ш3 (П), «(0) = «(1) = «'(1) = 0},

Ут= {у(х,г) :у(х,г) е Ш23Д(П)п Ьж(о,Т;Ш3(П)),

= «(м) = «х( м) = о, 0<*<т}, = {«(х,г) ■. «(х,г) е Ш26ДО п Ьж(о,Т;Ш!(П)),

«(о,*) = «{\,г) = ух( м) = уххх(о ,г)

= уххх{ 1,¿) = «хххх{о= о, о <г <т}.

Прежде чем приступить к исследованию разрешимости краевой зада-

о

чи (1)-(3), приведем неравенства для функций из пространства VI, которые нам понадобятся ниже.

Во многих работах, посвященных тем или иным аспектам теории уравнений с частными производными, используются неравенства, позволяющие оценить ¿2-нормы промежуточных производных через сумму Ьг-норм старшей производной и самой функции с множителями а(5) и ß(5) соответственно. При этом множители а(5) и ß{S) суть величины, определяющиеся произвольным положительным числом 5, и для этих множителей выполняются соотношения

lim a(5) = 0, lim ß(5) = Нам также понадобятся подобные неравенства, а именно неравенства

Ii 1

v

J уХ (х,Ь) ¿х ^ «1 (5) J уХхх( х,Ь) ¿х^(5) J у2(х,1)ё,х, £ ^ Т, 0 0 о

(4)

111 J уХХ(х,Ь) ¿х ^ «(5) J уХХХ(x,t)dx + ^5J у2{х,1)ё,х, £ ^ Т.

ООО

(5)

Доказательство справедливости неравенств (4) и (5) для функций из

о

пространства У\ можно провести разными способами, один из которых приведен в работе автора [7].

Вернемся к нашей нелокальной задаче.

Теорема 1. Пусть выполняется условие

о(х,г)еС3(д), а(х,г)^а0> о, (ж,г)е<?. (6)

Далее, пусть оператор В имеет вид

ВУ = В±у + ВУ,

В и В — линейные операторы, действующие из Ьж(0,Т; в

причем для этих операторов выполняются условия

З{гк}1=1: о <Ь < ... <гр < т, \\вМх,г)||МП)

< ^ Ых,гк)\\Ь2{Пь ь(х,г) е ьто(о0(П)); (7)

\\B2v(x,t) \\МП) < Ъ2\\v{x,t)\\ыя), v{x,t) е LTO(0 ,T; W30(n)); (8) д3

= Bivxxx(x,t) + B10v(x,t),

-^j[B2v(x,t)] = B2vxxx(x,t) + B20v(x,t), (9)

\\Bwvix,t)+ \\B20v{x,t)< \\v(x,t)(0T.W2(Q)y

3<5o >0: (l + <5g)bf < 1, ^l + ^6|<2a0. (10)

Тогда для любой функции f(x, t) из пространства LTO(01)) такой, что f(0,t) = f(l,t) = fx(x,t) = 0, 0 < t < T, п для любой функции u0(x) из пространства W30(П) краевая задача (1)-(3) имеет

о

решение u(x,t), принадлежащее пространству V±, п это решение единственно.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Для положительного числа е рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

Leu = Lu - euxxxxxx = f{x,t) (1е)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3), а также условия

uxxx(0 ,t) = uxxx( l,t)=uxxxx(0 ,t)=0, 0<t<T. (3e)

е

при выполнении условий (6)-(10) краевая задача (le), (2), (3), (Зе) раз-

о

решима в пространстве Vi для функций u0(x) го пространства ,0(П) f x,t L Q

Воспользуемся теперь методом продолжения по параметру. Для чисел А из отрезка [0,1] рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уровнения (1е) и такую, что для нее выполняются условия (3) и (Зе), а также условие

u(x, 0) = ABu + uo(x), x Gil. (2д).

Как обычно делается при осуществлении схемы метода продолжения по параметру, обозначим через Л множество тех чисел Л из отрезка [0,1], для которых краевая задача (1е), (2), (3), (Зе) разрешима в про-

о

странстве для всех функций щ(х) го пространства ^^(П) и для всех функций /(х, го пространства ЬъО). Если это множество окажется непустым, одновременно открытым и замкнутым, то оно, как известно, будет совпадать со всем отрезком [0,1]. Но тогда краевая задача (1е), (2), (3), (Зе) и будет иметь решение, принадлежащее тому

о

же пространству Ух.

Непустота множества Л следует из того, что число 0 принадлежит ему (см. [8]).

Открытость и замкнутость множества Л, как правило, следуют из «хороших» априорных оценок решений краевой задачи (1е), (2д), (3), (Зе). Установим их наличие. Рассмотрим равенство

г 1 г 1

ЬЕп • и ¿хс1т = J J /и ЗхЗт, оо оо

где £ — произвольное число из отрезка [0,Т]. Интегрируя по частям и используя условия (2д), (3) и (Зе), приходим к равенству

1 г 1 г 1 г

'........иххх (1х(1т +11 аи" йхйт + — I и"

■ J и2(х, £) <],х + е J ! у2ххх(1х(1т + J ! аи2 (1хс1т + — J и2(0,т)с1т

О 0 0 0 0 о

1

= \ /{Л2[ВМх^)}2 + Л2{Б2и{х,-Ь)}2 + 2Л2Б1и(х,г) • В2и(х,г) о

г 1

+ 2ЛБ1и(х,1) • щ(х) + 2ЛБ2и(х,1) • щ(х) + и$(х) }3,х + J J /иЗ,хЗ,т.

о о

Применяя неравенство Юнга и используя условия (6)—(9), мы можем

от данного равенства переити к неравенству

г г 1 г 1 1

■ J и2(х, д,х + е J ! и2ххх (1хс1т + ао J J и2 <1х(1т + — J и2 (0, т) д,т о оо оо о

(1 + ^ + )Ъ2 , _

^ V-—\\и(Х>^\\ьх(0,Т;Ь2(П) + 2 + ¿2 + Ь2\\и(ХМ\12(а)

+ К1 + + ¿И/МИмч)

и затем к неравенству

\\и{х^),т-,ь2(П)) + 2е|Кхх(х,г)\Ц2+ 2а0\\и(х,г)

< (1 + б2 + з2)ъ1\\и(х,г)\\1х{0Т.Ь2т) + + + ъ2^ ъ1\\и(х,г)\\12{я]

1 + 12 ) 1Мж)Нь2(П) + 4||/0М)|Ц2(д)-

(1 + 62 + 62)Ъ2<1,

62 | Ъ, < 2ап.

^ 1 «2

Из условия (10) вытекает существование числа 6* такого, что при 6 € (0,«*) будут выполняться неравенства

1

I 6

орную оценку для решений краевой задачи (1е), (2а), (3), (Зе): \\и(х,т;ь2(П)) + .\\иххх( М)\\ь2^) + \\и{х,1)\\\ь2(д)

< МИЫх)ЦМП) + \\1(х,г), (11)

в которой постоянная М± определяется лишь числами ^ и Ъз. На следующем шаге рассмотрим равенство г 1 г 1

ЬЕи ' ихххххх — ^ ^ / • ихххххх dxdт, 0 ^ ^ ^ Т. (12)

0 0 0 0 Интегрируя слева по частям и используя условия (2д), (3) и (Зе), получаем

г 1 г 1

.Ц ихххххх ~ + Ц Ыххх хт

0 0 0 0

г

о о

1 1 ЛЛ = "2" / ¿ж + — / ¿ж

о о

1 1

■*!Ви™{ м) •Бзиххх( хл**+Л1ви***(х^ • ^^

о о

1

+ ЛВ2ои(х,г) + и0 ххх( в2иххх( х,г)[ЛБ10и(х,г)

о

1 г 1

•АДгомОМ) + Щххх] ¿х + - J ь^ххх(х) ¿х - ?> J ^ ахиххиххх <1хс1т

о оо

г 1 г 1 г 1

йхйт —

&хххииххх

йхйт — / /ихххххх ¿хЗт.

0 0 0 0 0 0 V10/

Оценим правую часть неравенства (13) сверху. Именно, первое и

второе слагаемые оценим сверху с помощью условий (7) и (8). Далее,

третье слагаемое оценим вначале с помощью неравенства Юнга с мно-1

жителями и ^, потом получившиеся слагаемые оценим с помощью условий (7) и (8). Для оценки четвертого и пятого слагаемых воспользуемся неравенством Юнга и условиями (7)—(9). Седьмое, восьмое и девятое слагаемые оценим с помощью неравенства Юнга с множителями § и т^г. Появившиеся после оценки четвертого, пятого, седьмого, восьмого и девятого слагаемых интегралы с младшими производными оценим, используя условие (9), неравенства (4) и (5), а также оценку (11). Учитывая еще условие (6), в результате получим неравенство

£Цихххххх(х,^) 11^2(4) + \\иххх(х,^) 11^2(4) + \\иххх(х,^) ,Т-Ь2(Щ)

< [1 + ¿0 +71(<0]&1 Циххх(х,£) Цьте(0 ,Т;Ь2(П)) 1 1

1+д +72(<5)

ь\ Циххх(М) ЦЬъ(д)

C{S)

\\uoxxx(x)\\l2(Q) + \\щ(х)\\Ь2(й) + ^\\f(x,t)\\l2(Q)

в котором S — произвольное положительное число, функции 71 (S) и 72 (£) обладают свойством

lim 7^) = lim 72(S) = О,

5^+0 5^+0

число C(S) определяется числом S, а также функцией a(x, t) и числами Mi и Ь0.

S

последующей фиксацией его) дают нам вторую априорную оценку для решений краевой задачи (1е), (2а), (3), (Зе):

(14)

||иххх (х,г) ||

< м2 \\Щххх(х)\\ь2(П) + ||мо(ж)||ь2(П) + 4=||/(ж^)||ь2(д)

Vе

с постоянной М2, определяющейся лишь числами 61, Ь2, Ьд и функцией а(х, Ь).

Суммируя оценки (11) и (14), а также используя неравенства (4) и (5) для функций и(х, Ь) и иххх(х, Ь), получаем, что для решений краевой задачи (1е), (2а), (3), (Зе) будет выполняться оценка

Ъхххххх^^) уь2(д) + 11иххх(х,Ь) уь2(д) + 11иххх(х,Ь) ^(о ,Т;Ь2(П))

+ 11и(х,1) ,Т;Ь2(П)) < М3 [||и0(х) У^|(П) + уНх,Ь) УЬ2^)] (15)

с постоянной М3, зависящей лишь от чисел 61, Ь2, функции а{х,£), а также от числа е.

Наконец, из равенства

г 1 4 1

ЬЕи • ит ¿х^ = J ! ит ¿хё,т (16)

оо оо

и оценок (11) и (15) очевидным образом вытекает оценка (мы считаем, что имеет место неравенство е ^1)

КСМ)уь2^) < мА0Ых)У^кп) + У^Лыд)] (17)

с постоянной М4, зависящей от чисел Ь\, Ь2, функции а(х,Ь) и числа е.

Из оценок (11), (15) и (17) получаем результирующую априорную оценку

Ци(х,Ц^ < Щ[Ци0(х)Ц^з(П) + Ц/{х,Щь2(Я)\ (18)

для решений краевой задачи (1е), (2а), (3), (Зе).

С помощью оценки (18) мы и докажем открытость и замкнутость множества Л.

Л

если числа Л = Ло + Л при малой вели чипе |Л| также будут ему принадлежать. Пусть ю(х,Ь) есть произвольная функция из пространства

о

У\. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,1), являющуюся в цилиндре О решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (3), (Зе), а также условие

и(х,0) = ЛдБи + ЛБу + щ(х, х бП. (2^,^)

Из условий теоремы следует, что функция Бу будет принадлежать пространству ^|0(П). Значит, краевая задача (1е), (2Ао,.у), (3), (Зе) будет

о

У

данная краевая задача порождает оператор О, переводящий прострап-

о

ство в Ух себя: О(у) = и. Оценка (15) и условия (7) и (8) означают, что имеет место неравенство

№) — О(у2)Цо < ЩМдЬ — у2ц„ ,

V 1 V 1

где щ (х, £) и у2 (х, £) есть две произвольные функции из пространства

о

У\, число Мд определяется лишь числами Ь±, Ь2, Ь$ и Если теперь Л

Л1мд < 1, то оператор О будет сжимающим и, значит, будет иметь в

о

У

о

О даст функцию и(х, ¿), являющуюся решением из пространства У1 краевой задачи (1е), (2а), Л = Ло + Л, (3), (Зе). А это и означает, что

ЛЛ

жать множеству Л и, далее, что множество Л открыто. Докажем теперь, что множество Л замкнуто.

Пусть {Лт} — последовательность чисел из множества Л, сходящаяся к числу Ло, {ит(х, г)} — последовательность решений задач (1е), (2Ат), (3), (Зе). Положим ттк( х,г) — ит{, x, г) — ик(х,Ь). Для функции итк(х,г) имеют место равенства

Ъе'Штк= 0, (х,г) € О, 'Штк (х, 0) = ЛтБ»тк + (Лт — Лк)Бик, х е О,

»т^О ,г) = ^тк{ М) = »ткх( М) = »ткхххФ = ™ткххх( М)

= ыткхххх(о,г) = о, о <г <т.

Оценка (18) дает для функций ттк(х,г) неравенство

Ц»ткЦ о < М 1Лт — Лк ЩБикЦ^п). (19)

Условия (7)-(9) и вновь оценка (18) влекут равномерную ограниченность последовательности {ЦБидЦ^з^)}• Сходимость последовательности {Лт} и неравенство (16) означают тогда, что последователь-

о

ность {ит(х,г)} фундаментальна в прострапстве У1. Следователь-

о

но, существует функция и(х,г), принадлежащая пространству У1 и

о

такая, что ит(х,Ь) ^ и(х,£) при т ^ ж в пространстве У1. Очевидно, что для предельной функции и{х,£) будут выполняться уравнение (1е) и условия (3) и (Зе). Далее, равенство ЛтБит — ЛдБи = (Лт —Ло)Бит+ЛоБ(ит—и), условия (7)-(9), сходимость последователь-{Л } {ит (х,г)} и оценка (18), но для функции тт — ит и; дают сходимость ЛтБит ^ Л0Би при т ^<х> в пространстве (О). Но тогда для предельной функции и{х,£) будет выполняться условие

о

(2Ао). Принадлежность функции и(х, г) пространству У1, выполнение для нее уравнения (1е) и условий (2Ао), (3), (Зе) означают, что число Ло будет принадлежать множеству Л. Принадлежность предельной точки множества ему же и означает его замкнутость.

Итак, множество Л непусто, открыто и замкнуто. Следовательно, оно совпадает со всем отрезком [0,1]. Но тогда краевая задача (1), (2),

о

(3), Зе) будет иметь решение, принадлежащее пространству Vi.

Перейдем теперь собственно к доказательству разрешимости краевой задачи (1)-(3).

Семейство краевых задач (1е), (2), (3), (Зе) порождает семейство

о

их решений {ue(x,t)}, принадлежащих пространству Vi. Покажем, что для этого семейства при выполнении всех условий теоремы будет иметь место априорная оценка

| ^ хххххх

(x,t) IL2(Q) + \\u£{x,t) ^ K (20)

с постоянной K, зависящей лишь от функций a(x,t), f(x,t) и щ(х) и от чисел Ь\, Ь2 и Прежде всего, для семейства {ue(x,t)} будет иметь место равномерная по е оценка (11). Далее, повторяя выкладки, которые от равенства (13) привели нас к оценке (14), но при этом в последнем слагаемом правой части равенства (13) выполняя троекратное интегрирование по частям и лишь затем применяя неравенство Юнга с множителями и тщ, нетрудно получить неравенство

V£\\u%xxxxx{x,t)\\LAQ) + \\u£xxx{x,t)\\LAQ) + \\U%xx{X^)\\L<x^T.ws(Q)^ < K[\\uo(x)w|(fi) + \\f(x,t)^(0jT;W|(fi))] (21)

с постоянной K\, зависящей лишь от чисел Ь\, Ь2, Ьд и от функции a(x, t).

Вновь на последнем шаге анализируя равенство (16), но при этом

е

производной uKx,t). Суммируя оценки (11), (21) и оценку производной uf (x,t), а также используя неравенства (4) и (5), мы и придем к требуемой оценке (20).

Покажем теперь, что из семейства функций {uf(x,t)} можно извлечь последовательность, сходящуюся к решению краевой задачи (1)-(3).

Используя свойство слабой компактности ограниченного в пространстве Ь2 множества и последовательно переходя к подпоследовательности, получаем, что существуют последовательность {ет}, функции и(х,~Ь), <1(х) и <2(х) такие, что при т — ж имеют место сходимости

£т — + О,

иЕт — и слабо в (Ф) и сильно в Ь2^), иЕт(ж, 0) — и(х, 0) слабо в Ш23(П) и сильно в Ь2(П), иЕт(х,Ьк) — и(х, Ьк) слабо в Ш|(П) и сильно в Ь2(0), В1и£т — <(х) слабо в ^(П), В2иЕт — <2(х) слабо вШ|(П), £тиХтхххх — 0 слабо в Ь2(ф).

Из сходимости в пространстве (ф) и из последней сходимости следует, что предельная функция и(х,~Ь) является решением уравнения (1) и что для нее будет выполняться условие (3). Далее, условия

В и В и

ректно определены как элементы пространства (О). Пусть ^(х) — бесконечно дифференцируемая финитная на отрезке [0,1] функция. Вследствие сильной сходимости последовательностей {иЕт(х,1к)}, к = !,... ,р,ш {иЕт(х,Ь)} в пространствах Ь2(П) и Ь2($) соответственно имеют место цепочки соотношений

1 ^ 1 J -^-!-[В1иЕт - В1и]г](х) ¿х = (-1 )1 J Вг (иЕт - и)г]^ (х) д,х

< С тах \\иЕт(х,гк) - и(х,гк)\\ь2(П)

,

1 ^ 1 J -—¡[В-т.и'™ - В2и]г](х) <1х = (-1 )1 ! В2(иЕт - и)г](1)(х) <1х

< С\\иЕт - и\\Ыд)

0, / = 0,1,2,3.

т—>-оо

т—юо

С другой стороны, для левых частей данных цепочек имеют место сходимости

1 1 Г dl Г dl

/ -г—T\Biu£m — Biu]ri(x) dx —> / —j\wi(x) — B\u[n{x) dx, J dxl m—x J dxl

о 0

1 1 Г dl Г dl

/ ——j\B2ue"b — B2u\ti(x) dx —> / -г—j\w-}(x) — B2u\n(x) dx. J dxl m—J dxl

о о

В силу единственности предела из всего сказанного выше следуют равенства (x) = B\u, 2 (x) = B2u. В свою очередь, из данных равенств вытекает, что для функции u(x,t) будет выполняться условие (2).

Выполнение для функции u(x,t) уравнения (1) и условий (2), (3), а также ее принадлежность пространству д (Q) П LTO (О, T; Wf (0)) и означают, что эта функция является решением задачи (1)-(3) из требуемого класса.

Единственность решений очевидна. Теорема полностью доказана. Сделаем несколько замечаний.

1. Очевидно, что уравнение (1) можно заменить более общим уравнением

ut + ^{x,t)uxxx + ai(x,t)uxx + a2(x,t)ux + a(x,t)u = f(x,t). (1')

Условия на коэффициенты a$(x,t), ai(x,t), a2(x,t) и a(x,t), необходи-

'

(3), легко указать; метод же доказательства в целом останется прежним.

2. По ходу доказательства теоремы 1 фактически получен результат, являющийся новым и имеющий самостоятельное значение: результат о существовании регулярного решения нелокальной краевой задачи для параболического уравнения высокого порядка (уравнения (1е)). Как уже говорилось в начале статьи, нелокальные задачи с условием типа условия (2) для параболических уравнений второго порядка изучались в работах [5,6] (см. также [9]), именно, в указанных работах

исследовалась разрешимость нелокальной краевой задачи в классах гладких функций. В работах [10,11] изучалась разрешимость нелокальной по времени задачи для параболических уравнений в классах суммируемых функций, но в несколько иной постановке, нежели в работах [6,9] и в настоящей работе. Автором отдельно рассматривался случай нелокальной по времени краевой задачи для параболических уравнений второго порядка, при этом нелокальное условие представляло собой условие вида (2) и имело несколько иной характер, нежели условия работ [6-9]; разрешимость же доказывалась в классах суммируемых функций. В настоящей работе мы не будем подробно останавливаться на исследовании нелокальных краевых задач для параболических уравнений, ограничившись лишь изложением теоремы существования решения нелокальной краевой задачи для модельного уравнения порядка 2п.

Введем обозначение Бх = (к — натуральное число).

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х, ¿), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

щ + (-1) пБ2хпи + а(х,г)и = /(х,г) (22)

и такую, что для нее выполняются условие (2) и условия

Пки!х=о = Вкхи\х=!= 0, к = 0,1,...,и - 1. (23)

Теорема 2. Пусть выполняется условие

а(х,Ь) € С(<5), а(х,Ь) ^ ао > 0. В

БУ = В±у + Б2У,

ВВ

(Q) П Ьто(0,Т;Щ(П)) в пространство Щ(П), причем для этих операторов выполняются условия

\\ВМх,г)\\Ь2{П) < &1 Мх,г)\\ь^0,т;ь2(п)ь

\\в2у(х,г)\\ЫП) < ь2\\у(х,г),у(х,г) е ьх(о,ТЖШУ, БП = ВгВП

Б™[В2у(х,$] = В2Б"у(х, Ь) + В2оУ(Х, Ь), \\вюу(х,г)\\Ь2{П) + \\В20у(х,г)\\Ь2{П) < ь0Мх,г)\\Ь2(0т-^ггту 3<5о >0: (1 + <5§)Ь? < 1, ^1 + ^Ь|<2а0. Тогда для любой функции /(х,Ь) из пространства Ьъ(0) н для лю-

о

бой фупкцнп щ(х) из пространства ЖП(О) краевая задача (22), (2), (23) имеет решение и(х,Ь), принадлежащее пространству П'1 (ф) П

о

Ьж(0, Т Ж2(О)), п это решение единственно.

Доказательство теоремы 2 проводится тем же методом, каким проводилось доказательство существования регулярного решения краевой задачи (1е), (2), (3).

Как и уравнение (1), уравнение (22) можно заменить более общим уравнением как одномерным, так и многомерным; краевые условия (23) при этом можно заменить иными (естественно, порождающими корректную начально-краевую задачу) условиями.

Отметим, что первое условие на оператор в теореме 2 имеет более общий вид, нежели соответствующее условие в теореме 1.

3. Примерами нелокальных краевых задач, к которым применимы

ВВ

р р

Вгу = '^2ьк(х)у(х,гк), = / ьк(х,у)у(у,гк) ду; 1—1 1—1 "

р к=1

т т

В2у = J Ь2{х,Ь)у{х,Ь) дЬ, В2у = J Ь2{х,у,Ь)у{у,Ь)йу^в>Ь о о п

и т. д. Здесь

0 <Ь < ... <Ьр < Т,

в краевой задаче для параболического уравнения число p может быть и бесконечным. Необходимые для выполнения условий теорем 1 или 2 условия на функции

bk (x), bk(x,y), b2(x,t), b2(x,y,t) легко указываются.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.

2. Хаблов В. В. О краевой задаче для уравнения Кортевега — де Фриза в ограниченной области. Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск: Институт математики СО РАН СССР, 1979. С. 137-141.

3. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. школа, 1995.

4. Кожанов А. И. О разрешимости нелокальной по времени задачи для одного уравнения с кратными характеристиками // Мат. заметки ЯГУ. 2001. Т. 8, N 5. С. 27-40.

5. C'babrowski J. On nonlocal problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. 1984. V. 93. P. 109-131.

6. Cbabrowski J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation // Funkc. Ekvacioj. Ser. Int. 1984. V. 27. P. 101-123.

7. Кожанов А. If. О разрешимости некоторых нелинейных обратных задач для одномерного уравнения с кратными характеристиками // Вестн. НГУ. Математика, механика, информатика. 2003. Т. 3. С. 34-51.

8. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1986.

9. Либерман Г. М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений. Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы. (В честь академика О. А. Ладыженской. Междунар. математическая серия). Новосибирск: Тамара Рожковская, 2002. Т. 1. С. 233-254.

10. Шелухин В. В. Задача со средними по времени данными для нелинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журн., 1991. Т. 32, N 2. С. 154-165.

11. Шелухин В. В. Нелокальные по времени задачи для уравнений гидродинамики и вариационные принципы: Дисс. ... д.ф.-м.н. Новосибирск, 1992.

г. Новосибирск

15 октября 2004 г■