Краевая задача для обобщенного уравнения Коши--Римана в пространствах, описываемых модулем непрерывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОШИ-РИМАНА В ПРОСТРАНСТВАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ

А.Ю. ТИМОФЕЕВ

Аннотация. Работа посвящена задаче Дирихле в единичном круге С для д¿-ш + Ъ(г)7Ш = 0, = д на дС, Qw = Н в точке = 1, где д— заданная непрерыв-

ная по Липшицу функция. Коэффициент Ь принадлежит подпространству из Ь2(С), которое в общем случае не содержится в Ьд(О), д > 2. Теория И.Н. Векуа в этом случае, вообще говоря, неприменима. Показывается, что, как и в случае задачи Дирихле для голоморфных функций, возникает «логарифмический эффект». Решение w = w(z) вне точки г = 0 удовлетворяет условию Липшица с логарифмическими множителями. Доказывается существование непрерывного в С решения задачи.

Ключевые слова: обобщенные уравнения Коши-Римана; задача Дирихле; модуль непрерывности; теорема Тихонова о неподвижной точке.

1. Введение

Теория обобщённых аналитических функций есть теория комплекснозначных функций т = 'ш(г), являющихся решением уравнения

дцт(г) + А(г)т(г) + В (г )т(г) = 0, г Е С, (1.1)

где д? := 2 + г ■ , а А(г), В(г) — заданные в ограниченной области С комплексной

плоскости функции. В случае, когда А(г) = В (г) = 0, (1.1) переходит в условие аналитичности функции IV(г).

Теория таких функций построена Векуа в предположении, что А(г), В (г) принадлежат пространству ЬР(С), где р > 2 ([1]). В этом случае (1.1) называется регулярной обобщенной системой Коши-Римана, а его решение — обобщенными аналитическими функциями. Коэффициенты таких систем могут допускать «слабые» особенности, лимитируемые требованием ^интегрируемости. В частности, если А(г), В (г) обращаются в бесконечность в некоторой изолированной особой точке, то порядок этой особенности должен быть строго меньше единицы. Исследованию задач для обобщенных уравнений с коэффициентами, имеющими особенности в изолированной точке, посвящены работы Л.Г. Михайлова, З.Д. Усманова, А. Тунгатарова, Н. Блиева, М. Отелбаева, М. Райссига и А.Ю. Тимофеева, Р. Сакса, Г.Т. Макацария и других (например, [2]—[7]). При этом особое внимание уделяется исследованиям существования непрерывных решений для краевых задач уравнения (1.1).

В работе [7] исследуется задача Дирихле для обобщённого уравнения Коши-Римана

(1.1), где С = [г Е С : |г| < 1} , А(г) = 0.

A.Y. Timofeev, Boundary problem for the generalized Cauchy-Riemann equation in spaces,

DESCRIBED BY THE MODULUS OF CONTINUITY.

© Тимофеев А.Ю. 2011.

Поступила 30 июня 2011 г.

При этом новизна исследований состоит в том, что допускающие особенности в точке г = 0 коэффициенты В (г) принадлежат весовому проетранетву функций БР(С), которое является объединением пространств

sp(G) = j B{z) : sup (]В(z)! ■ p(]z])) < +œ 1

[ G\{0} J

Множество функций p(t), обладающих достаточно общими свойствами, обозначается через Р (см. раздел 2). Пространство Sp(G) состоит го тех и только тех заданных в G функций f (z), для каждой го которых существует такая функция p(t) G Р, что f (z) G sp(G).

В [7] доказана следующая

Теорема 1. Рассматривается следующая зада,ча Дирихле:

dzW + B(z)w = 0, z G G = {z G C : |z| < 1}, (1.2)

Rw = g(z), z G dG, Qw lZ0=1 = h, (1.3)

где В G Sp(G), g G Gx°(dG)(0 < Ao < 1), h G R. Тогда, существует и притом единственное

решение задачи, (1.2) —(1.3) w = w(z ), причём w G С (G) Р| Cx° (G \ {0}).

Граничная функция g(z) в условии (1.3) принадлежит пространству Гёльдера, которое описывается модулем непрерывности ^(t) = tx°. Известно, что в общем случае модуль непрерывности удовлетворяет неравенству

Мt) > с • t

с некоторой постоянной с.

В связи с этим представляет интерес исследование задачи (1.2)—(1.3) для случая, когда g(z) принадлежит другому пространству функций, описываемому модулем непрерывности ^ (t). Какому условию вне точки z = 0 будут удовлетворять непрерывные решения w(z) системы (1.2)—(1.3)?

В данной работе изучен случай «минимального» пространства, описываемого модулем непрерывности пространства Липшица. В этом случае ^(t) = t. Введём обозначения: ^1,0(t) := t; ^1,k(t) := t • (ln 1 )к, к > 1(0 < t < 1 ). Справедлива

Теорема 2. Пусть B(z) G Sp(G), g(z) G G^lfi(dG), h G R. Тогда, существует и притом, единственное решение задачи, (1.2) —(1.3) w = w(z) G G (G) P| Gw,6 (G \ {0}).

В разделе 2 приведены сведения о весовых функциях, модулях непрерывности и соответствующих функциональных пространствах. В разделе 3 сформулированы вспомогательные утверждения. В заключительной части приводится схема доказательства теоремы 2.

2. Весовые функции, модули непрерывности. Основные пространства

функций

В [7] введены весовые функции p(t), как функции, удовлетворяющие следующим условиям.

1. Заданы и положительны па некотором промежутке (0,tp], где число tp зависит от функции p(t), tp < 1.

2. Не убывают на (0,tp].

3. lim p(t) = 0. i^+0 v

( ftp dt 41 m <

В дальнейшем будем считать функции р(Ь) заданными на всём промежутке (0,1], продолжая в случае необходимости р(£) на промежутке \Ър, 1] постоянной, равной р(Ьр). В этом случае условия 1, 2 и 4 будут выполнены уже па всём промежутке (0,1]. Обозначим через Р множество функций р(Ь), удовлетворяющих условиям 1-4,

Нетрудно показать, что для функции р(Ь) Е Р существует такое число ср > 0, что

1 ^ ср,г е (0,1]. (2.1)

p{t)

Приведём примеры весовых функций.

1. pit) = ta, 0 < а < 1.

2. p(t) = t • \n 1, ft > 1.

3. p(t) = t • ln 1 • lnln 1...1п.^Лп 1 • (In... ln 1 )P, ft > 1.

k—l к

Во множестве весовых функций P можно ввести частичный порядок. Пусть p1it),p2it) Е Р. Будем писать р1 -< р2, если p1(t) ^ p2(t), t Е (0,1], прпчём ^ 0 при

t ^ +0. Р2

Можно показать (см. [7]), что для каждой функции р Е Р существует р1 Е Р со свойством, что р1 -< р.

С другой стороны, отношение -< во множестве тесовых функций Р не является порядком: не для любых р1,р2 Е Р можно сказать, что р1 -< р^п р2 -< р1 (см. [8]).

В работе [7] допускающие особенности коэффициенты В(z) (A(z) = 0) принадлежат

весовому пространству функций SP(G), которое является объединением пространств

sp(G) = j B(z) : sup (\B(z^ • p(\z\)) < +то 1 .

[ G\{0} J

Заметим, что для таких функций выполнено условие В(z) Е L^,ioc(G \ {0}). Пространство Sp(G) состоит го тех и только тех заданных в G функций B(z), для каждой из которых существует такая функция p(t) Е Р, что В(z) Е sP(G). Нетрудно показать, что Sp(G) С l2(G).

В соответствии с определением из [9, с. 41], функция u(t), удовлетворяющая условиям

1. u(t) > 0 и те убывает на [0,1];

2. и(0) = 0;

3. ^(¿1 + ¿2) ^ ш(1\) + ¡¿(12);

4. ш(t) непрерывна на [0,1],

называется модулем непрерывности.

Мы не будем требовать выполнения условия 4, а вместо условия 3 будем предполагать более сильное условие, что те возрастает при t > 0. Очевидно, что тогда u(t) полу-адцитивна. Множество всех таких функций будем обозначать через Q. Заметим, что для весовых функций из Р, вообще говоря, не выполнено условие невозрастания р(— при t > 0

/ ГоП ЛА ft • ln 1, 0 <t ^ 1

(см. 8 ), а для модуля непрерывности шЩ = < „ 1 , „ е не выполнено условие

I 0, i = 0

4 функций класса Р.

Определим теперь для замкнутого ограниченного подмножества К ш С и ш Е Q класс непрерывных функций Сш (К), удовлетворяющих условию

11f :=ma^sup lf(t)1, sup ^ (2-2)

I К Z1=Z2 W(\Z1 - Z2\) J

Очевидно, что величина (2,2) удовлетворяет веем аксиомам нормы. Более того, пространство (Сш(К), \ \ • \ \ш) является банаховым (см. например [10]), В случае ш(Ь) = Ьх (0 < Л < 1) получаем пространство Гёльдера, а при ш(Ь) = ¿ — пространство Липшица,

3. Вспомогательные утверждения При доказательстве теоремы 1 в [7] существенную роль играет следующая теорема: Теорема 3. Пусть Ь(г) Е Бр(С), тогда функция Та(Ъ)(г) непрерывна в точке г = 0. Здесь под Та (•) подразумевается основной оператор теории Векуа, а именно, следующее:

Та(Ь)(г) := -1 [[ ^ = £ + г •

Ъ 3 За С - *

Кроме того, было использовано следующее свойство.

Теорема 4. Пусть а(г) — фиксированная функция из Ь^(С), т(г) Е Бр(С). Тогда, Та(а • 1^) Е Сх(С \ {0}) для, любого X Е (0,1), при этом

\Та(а • ь))(г)\ ^ А1(1,р) • \^\\р • \\а\\Ьоо(а),г Е С \ иь (3.1)

\Та(а • т)(х1) - Та(а • w)(z2)| ^ А2(1,р,Х) • |М1р • \HUco(а) • \?1 - ¿2^, (3.2)

где иг = {г : \г\ ^ £ }0 = 1, 2,...).

Из (3.1) и (3.2) следует, что для любого А Е (0,1) и любого I Е N

\\та(а • ^Нса^) ^ Л(1,р,Х) • \М\р • (а). (3.3)

Замечание, Поскольку вне круга Щ функция а(г)^(г) является ограниченной, то вместо

(3,2) можно утверждать более точное неравенство (см, [1, с, 39])

\Та(а • w)(zl) - Та(а • w)(z2)| ^ А3(1,р) • \^\\р • \\а\\Ьсо(а) • \^ - ^\ • Ь :-1-,, (3.4)

\21 - 22\

где \г1 - г2\ < 1, поэтому при выполнении условий теоремы 4 справедлива следующая оценка:

\\Та(а • ^\\Ш1А ^ АА(1,р) • \И\р • \\а\\Ьоо(а) (3.5)

в смысле пространства СШ11 (С \ Иг).

При доказательстве теоремы 1 использовалось решение задачи Дирихле для голоморфных функций, а именно, следующая (см. [11, с. 131])

Теорема 5. Если функция д задана на дС и непрерывна по Гёльдеру с показателем, X (0 < X < 1), то существует единственная голоморфная в С функция ¡, непрерывная в замкнутом круге С и удовлетворяющая условиям

Щ = д(г),г Е дG, \^ (3.6)

где г0 Е дС — фиксированная точка, причём $ является непрерывной по Гёльдеру в С с тем, же самым показателем, X, то есть f Е Сх(С).

Замечание. Как следует из [11, с. 131], справедлива оценка

\\!\\сл(С) ^ А(^)\\!\\сЛ(аа). (3.7)

Как показано в [10] и [12], справедливы аналоги теоремы 5 для более общих, чем гёльде-ровские, пространств функций, описываемых модулем непрерывности. В частности, справедлива

Теорема 6. Если д Е С^1к (дС) (к > 0), то существует и притом единственная голоморфная в С функция ¡удовлетворяющая (3,6), причём f Е С^1 к+2(С).

Аналог неравенства (3,7) в этом случае

\\/11^1 ,,+2(аа) ^ А • \\ / \\с,1,к+2(да) (3.8)

используется в разделе 4 на шаге 2 и шаге 3 при использовании принципа неподвижной точки.

Замечание, Теоремы 5 и 6 остаются справедливыми при замене в условии (3,6) вещественной и мнимой частей местами.

4. Схема доказательства теоремы 2

Доказательство теоремы 2 проводится по схеме доказательства теоремы 1 (см, [7, с, 661662]).

1-й шаг. Решение w = w(z) (1.2)—(1.3) ищем в виде

w(z) = Ф(г) ■ exp u(z),

(4.1)

где &(z) — голоморфная в G функция, которая является непрерывной в G, а expu(z) Е L^(G). Подставляя (4,1) в (1.2), получаем уравнение для ш = ш(г) :

£ + B(z) • ф4 • exp^ = 0,z Е G.

oz Ф(г) exp u(z)

Подбираем решение (4,2) так, чтобы выполнялись условия

3w|sg = О, iftw|Z0=1 = 0.

Из (4,2) получаем ([1]) для решения (4,2) представление

ш(г) = ф(ш, ф)(г) - TG(В • Ф • (z),z Е (^,

\ ф exp ш)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

где Ф — произвольпая, зависящая от ш и ф голоморфная функция. Из теорем 3, 4 и заме-

чания следует, что Тс [В ■ ф

Є С(G)C\ С^Л (G \ {0}), причём (см. (3.5))

в,

С(С)

с

в,\

(4.5)

С„ц (С\и,)

где постоянные С в и Св,1 не зав иеят от ш и Ф.

2-й шаг. Подбираем далее произвольную функцию Ф так, чтобы выполнялись условия (4.3), т.е.

ЗФ

КФ

дс

%Тс (в ■ ф ■ ^)

1 с у Ф exp ш )

= ШТс (в ■ ф ■ ^)

1 с у Ф ехрш у

(4.6)

ZQ=1

Правая часть первого соотношения (4.6) является функцией класса С^11 (дС). В соответствие с замечанием и теоремой 6 существует единственная голоморфная в С функция ф(г), которая удовлетворяет условиям (4.6), причём

\\ф\\сп 3(а) < с • \\ф\\сп , 3(да).

Таким образом, правая часть (4.4), а значит, и левая часть, то есть функция ш(г), для любых Ф Е Н (G) Р С (G) и ш Е L^(G) является функцией класса С (С)['\С/11 3 (G \ {0}). Далее, применяя к отображению

ш ^ F(Ф,ш) := Ф(ш, Ф) -TG (в • Ф • \

\ Ф exp и J

теорему Тихонова о неподвижной точке, получаем, что длн любой Ф е Н(G) Р С(G) существует и притом единственная функция u(z) Е С(G) Р С^13(G \ {0}) со свойствами

(4.2)-(4.3). В итоге мы получаем, что для любой Ф е Н(G) Р С(G) существует функция w(z) вида (4.1), которая является в G решением уравнения (4.1).

3-й шаг. Подбираем такую голоморфную в G функцию Ф Е С(G), чтобы для функции w = Ф • expw, где ш — функция 2-го шага, выполнялись граничные условия (1.3). Для этого рассмотрим отображение

ш ^ Ф,

где

КФ = K(w • exp(-ш)) = exp(-iRw) • g(z) = gi(z),z Е dG,

^Ф = exp(-!Rw(zo = 1)) • Qw(z0 = 1) = h.

Заметим, что g\ (z) Е С^1 , 3 (dG). Таким образом, подбираем голоморфную в G функцию Ф, так, чтобы

КФ

= Oi (z), ^Ф

dG

= h.

ZQ=1

Такая функция по теореме 6 существует, причём единственная. Кроме того, Ф^) Е С^15 (С). Для доказательства существования решения изучаем отображение

К :Ф Е Н (С) р| С (Л) ^ ш = Кг (Ф) ^ ф = К2(ш), ф = К (Ф),

где ш = К\ (Ф) — неподвижная точка для ш = ^ (ш, Ф), Ф— решение приведённой выше задачи Дирихле. Применяя теорему Шаудера о неподвижной точке к отображению ф = К(Ф), как и в [7], получаем доказательство существования решения (1.2)—(1.3).

4-й шаг. Как и в [7], доказывается единственность решения (1.2)—(1.3) в классе решений в смысле функций Соболева из С (С).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука. 1988. 512 с.

2. Михайлов Л.Г. Новый класс интегрируемы,х уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963. 183 с.

3. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Рим,а,на, с сингулярной точкой. Душанбе, 1993. 245 с.

4. Тунгатаров А. К теории уравнений Карлемана-Векуа с сингулярной точкой // Математический сборник. Т. 184, № 3, 1993. С. 111-120.

5. N. Bliev Generalized analytic functions in fractional spaces. Longman, Harlow, 1997.

6. Абдыманапов С.А., Тунгатаров А.Б. Некоторые классы, эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами. Алматы: Гылым, 2005.

7. М. Reissig, A. Timofeev Dirichlet problems for generalized Cauchy-Riemann system,s with singular coefficients // Complex variables. 2005. Vol. 73, № 1-2. P. 653-672.

8. Тимофеев А.Ю. Весовые пространства в теории обобщенных уравнений Коши-Рим,а,па, // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2. № 1. С. 117-125.

9. R.A. Devore, G.G. Lorentz, Constructive Approximation. Grundlehren der Mathemat. Wissenschaften. Berlin-Heidelberg-New York: Springen Verlag, 1993. 451 p.

10. Ильчуков A.C., Тимофеев А.Ю. Задача Дирихле для голоморфных функций в пространствах функций, описываемых поведением, модуля непрерывности // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 1. С. 58-65.

11. W. Tutschke Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen. Klassische, funktionalanalytische und komplexe Methoden. Leipzig: Teubner-Texte zur Mathematik, 1978. 193 p.

12. Напалков В.В., Тимофеев А.Ю. Задача Дирихле для голоморфных функций в обобщенных пространствах Гелъдера // Доклады Академии наук. 2010. Т. 432, N8 3. С. 1-3.

Алексей Юрьевич Тимофеев

Сыктывкарский государственный университет Октябрьский проспект, 55,

167001, г. Сыктывкар, Россия