Построение функций с заданным поведением $T_G(b)(z)$ в особой точке} Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 1 (2011). С. 85-93.

УДК 517.9

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННЫМ ПОВЕДЕНИЕМ

ТО(Ь)(г) В ОСОБОЙ ТОЧКЕ

А.Ю. ТИМОФЕЕВ

Аннотация. И.Н. Векуа построил теорию обобщенных аналитических функций, как решений уравнения

д¿ад + А(г)ю + В(г)7Ш = 0, (0.1)

где г € О (О, например, единичный круг в комплексной плоскости) и коэффициенты А(г), В (г) принадлежат Ьр(О), р > 2. Теория Векуа переносит теорию голоморфных функций на решения (0.1) с помощью так называемого принципа подобия. При этом большую роль играет ТС-оператор, который является правым обратным к оператору Л, где производная понимается в смысле Соболева.

В работе предложена схема построения в единичном круге О функции Ь(г) с заданным поведением Тс(Ь)(г) в особой точке г = 0, где Тс — интегральный оператор Векуа. Сформулированы условия на функцию Ь(г), когда Тс(Ь)(г) является непрерывной функцией.

Ключевые слова: Тс-оператор, особая точка, модуль непрерывности.

1. Введение

В теории уравнений с частными производными за последние годы успешно используются методы, основанные на представлении решений в комплексной форме. Эти методы развиты главным образом в работах И.Н. Векуа, Л. Берса, С. Бергмана и других. В качестве примера рассмотрим следующее представление для системы уравнений с частными производными первого порядка:

ди дь ди дь

— = — + аои + Ьоь, — = + сои + аоь, (1.1)

д£ дп дп дё

где а0, Ь0, с0, йо — непрерывные функции переменных £, п в некоторой области О.

Система (1.1) является обобщением условий Коши-Римана, которые получаются при а0 = Ь0 = с0 = й0 = 0. Эта система была впервые рассмотрена Карлеманом, доказавшим для её решения теорему единственности. Подробное исследование системы (1.1) и её приложений провёл Векуа [1]. Всюду в дальнейшем будем для простоты считать, что функции и, V обладают в области О непрерывными частными производными.

Введём обозначения

_д _1 (_д \ _д _1 (_д _ \ а о)

д£ = Л дё + гд^),д( = Н дё - %дп)- (.)

A.Y. Timofeev, Construction of functions with determined behavior TG(b)(z) at a singular point.

© Тимофеев А.Ю. 2011.

Поступила 24 января 2011 г.

Известна формула представления произвольной функции 7 (^) = и + %ь, обладающей в некоторой ограниченной области О непрерывными частными производными ([2, с. 317]):

f (*) = —! <к -1 // (1.3)

2п% За С - г п 3 За д(( - г

Для аналитических функций двойной интеграл исчезает, и мы приходим к интегральной формуле Коши.

Применим эту формулу к решению системы (1.1). С помощью символа дифференцирования (1.2) эта система записывается в виде одного комплексного уравнения

7 = АР + Б/, (1.4)

д(

где 7 = и + %ь, А = 4(а0 + й0 + %с0 - %Ь0), 3 = 1 (а0 - й0 + %с0 + %Ь0). Поэтому формула (1.3)

даёт следующее комплексное представление решений системы (1.1):

7(г) = ± ¡Ж-Ч[ А(<7«> + 3(е7(е)^ (1.5)

2п%]а ( - г п] ]а С - г

В данной работе на конкретном примере рассматривается поведение двойного интеграла в формуле (1.3), который в работе [1] обозначается как Та(7)(г) :

пт 1 [ [ 7(()йёйп . { гЛ

Та(7 )(г) =--- -----------------------------,С = ё + %П. (1.6)

п3 За С - г

Известно (см. напр. [3]-[5]), что теория Векуа для системы (1.4) перестаёт работать если коэффициенты А((), Б(() не принадлежат пространству Ьр(О) (р > 2). Поэтому для уравнений с такими коэффициентами, как А(£) = 1, В(() = 1 и других, необходимо провести самостоятельное исследование. В работах [3]-[12] получен целый ряд результатов для таких уравнений (1.4) с сингулярными коэффициентами. Следует отметить, что во всех этих работах большую роль играет значение оператора Та (7) на том или ином классе функций. Известно, что Та переводит пространство Ьр(О) (р > 2) в пространство Гёль-

дера Са(О) с показателем а = 2—2. Известно также поведение Та(7) на некоторых других классах функций (см. также раздел 2).

В связи с этим, в данной работе изучается поведение Та(7) для функций 7(г), имеющих в точке г = 0 особенность того или иного порядка.

В работе для единичного круга О = {г : |г| < 1} для заданного модуля непрерывности ^(х) строится функция Ь = Ь((), такая, что Та(Ь)(г) имеет в точке г = 0 поведение, описываемое в этой точке функцией ^. Здесь Та — оператор, введённый И.Н. Векуа ((1.6)).

Для этого разработана схема вычисления Та7 с помощью теории вычетов. В разделе 3 доказываются вспомогательные утверждения, позволяющие вычислить Та7 для достаточно широкого класса функций 7(г) с особенностью в точке г = 0. Примеры подтверждают приведённые без доказательства результаты из книги Л.Г. Михайлова. Кроме того, они свидетельствуют о том, что Та7 может быть ограниченной и даже (после доопределения в точке г = 0) непрерывной функцией, хотя 7(г) имеет в нуле особенность.

2. Свойства ОПЕРАТОРА Та

В данном разделе приводятся основные свойства функции Та(7)(г) (см. например [1, с. 39]).

Свойство 1. Пусть О — ограниченная область. Если 7 € Ьр(О), р > 2, то функция д = Та7 удовлетворяет условиям

Ш1 ^ ЫгЬр(7, О), г € Е, (2.1)

— р — 2

\д(г1) - д(г2)\ ^ М2 ^р(7, О)\г1 - г2\а ,а = -, (2.2)

р

где г, г\, г2 — произвольные точки плоскости, а М\, М2 — произвольные постоянные,

причём М\ зависит от р и О, а М2 — только от р; Ьр(7,О) — норма функции 7 в

пространстве Ьр(О).

Неравенства (2.1) и (2.2) показывают, что Та — линейный вполне непрерывный оператор в пространстве Ьр(О), отображающий это пространство на Са(О), а = р1—2, р > 2 (такие операторы называются иногда усиленно вполне непрерывными операторами), причём

— — р — 2

Са(Та7, О) ^ МЬр(7, О), а = р---------,р > 2. (2.3)

р

Свойство 2. Пусть 7 € С (О). Тогда из

) - = И 7(с) <%<*п г _

дЫ - дЫ -~ЛГ- -¡)а (( - гЖ - *)'г г

следует

| \д(г)\ ^ МС(7, О), _

\ \д( г1) - д( г2) \ ^ МС (7,О)\г1 - г2 \ lg |^!—г2| , где d — диаметр области О, М — постоянная.

Если же 7 € Ь^(О), то имеем

1 \д(г)\ ^ МЬЖ(7,С), _

\ \д(г1) - д(г2)\ ^ ML(X)(f,О)\г1 - г2\ ^ ^—21,

Из этих неравенств следует, что оператор Та непрерывен в пространствах С (О) и Ь^(О), причём отображает эти пространства на класс функций, удовлетворяющих условию Дини.

В книге Л.Г. Михайлова [3] приводится следующая таблица, показывающая свойства функции Та(7)(г) по свойствам функции 7(г) :

Условия на 7 (^) Свойства функции Та(7)(г)

1) Ь(О) 2) Ьр(О), 1 <р < 2 3) ь2(О) 4) Ьр(О), 2 <р 5) Ь^(О), С (О) 6) Голоморфная в О Ь2—е(О), £ > 0 мало Ь„(О),д = р—2 Ь3(О)для любого 8 > 1 Са(О),а = р—2 Аи = 0(\Аг\ ■ 1п \Аг\), Аи — модуль непрерывности Голоморфная в О

3. Вспомогательные утверждения

В этом параграфе будут доказаны три леммы, которые могут быть использованы и в других исследованиях.

г'2п dф

Лемма 1. Рассмотрим интеграл 7(г,г) = J —ц-----------, где \г\ < 1 и 0 < г < 1. Если

0 < г < \г\, то .](г,г) = -. Если \г\ < г < 1, то .](г,г) = 0.

Доказательство. Сделаем в данном интеграле замену переменной: егф = Ь. В итоге получим следующий контурный интеграл:

7 (г /ии ТТ-Т) ■

Подынтегральная функция имеет две особые точки: ^ = 0, Ь2 = - — простые полюсы.

1. Пусть Ь2 < 1, что эквивалентно условию \г\ < г, тогда

3(г, г) = 2п

1

гее

+ гее

1

*і=о і(гі — г) і2=Г і(гі — г)

2. Пусть \Т2\ > 1, это условие эквивалентно \г\ > г, тогда

3(г, г) = 2п ■ гее

1

2п

Таким образом,

*і=о і(гі — г) г

3г г) = / — ¥,если0<г<|г| ( , ) 1 0, если ІгІ < г < 1.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Рассмотрим интеграл

7(г, г)

г-2п

¿ф

/0 еіпф(геіф — г)

где п — натуральное число, \г\ < 1 и 0 < г < 1. Если 0 <г < \г\, то .] (г,г) = - 2+. Если \г\ <г < 1, то .](г,г) = 0.

Доказательство. Повторяя схему доказательства леммы 1, получим следующий контурный интеграл

7 {z'r)-1l 1=> ^щЪг).

Подынтегральная функция имеет две особые точки: = 0 — (п + 1) — кратный полюс и

Т2 = ~г .

1. Пусть Ь2 < 1, что эквивалентно условию \г\ < г, тогда

3(г, г) = 2п

гее

+ гее

*1=о іп+1(гі — г) *2=Г іп+1(гі — г)

2п

(—1)п

+

(—г)п+1 гп+1_

2п

+

П+1 гП+1

2. Пусть \Т2\ > 1, это условие эквивалентно \г\ > г, тогда

т. ч 1 1 2пгп

3(г, г) = - ■ 2пг ■ гее ——------------ =--------—

^ ’ г *і=о іп+1(гі — г) гп+1

Таким образом,

3(г, г)

2пгп ' 2" + 1

если 0 < г < | г| ,

0, если ІгІ < г < 1.

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Рассмотрим интеграл

3(г, г)

г'2п еіпф

еіпф ¿ф

геіф г

где п — натуральное число, \г\ < 1 и 0 < г < 1. Если 0 < г < \г\, то 3(г, г) \г\ <г < 1, то 3(г,г) = 2ж^„ 1.

0. Если

1

1

п

п

п

г

г

г

г

0

о

Доказательство. Сделаем в данном интеграле замену переменной: егф = Ь, — и получим следующий контурный интеграл:

1 Г Г-1 dt

3 (г,г) = - --------.

% 3 | г |=1 гТ - г

Подынтегральная функция имеет одну особую точку Т = *. Применяя основную теорему теории вычетов, получим, что

0, если 0 < г < \ г\ ,

, если \г\ < г < 1.

Лемма 3 доказана.

4. Та(7)(г) для радиально зависящих функций

4.1. Та(Ь)(г) для радиально зависящих функций Ь = Ь(\£\). Найдём в явном виде Та(Ь)(г), если Ь = Ь(\(\) = Ь(р), 0 < р < 1.

Предположим, что фиксированное число г = 0, \г\ < 1. Тогда, если £ = С + %П, то

ТаШг) = -1 П =

п ^ М<1 ( - г

- 1 П ь(р) dСdп - 1 И dСdп = 'к(г) + Мг).

ъ],/|с|<и С-г к},/|СС-г

Вычислим вначале 7\(г) :

1 [|г| ( [2ж \ 1 [|г|

Л (г) =-------- Ь(р) ■р ■ / —---------) (1р =----- Ь(р) ■ р ■ I(р,г) ^.

п о 0 \*/0 ре г/ п о 0

По лемме 1 для \г\ > р I(р,г) = -21, значит

Аналогично,

1 [и'ь(р)-г-(-2п)dP=2. ("т-рчр.

п ] 0 V г ) г Jо

11

Мг) =----- Ь(р) ■ р^ I (р, г) dр.

п з I * I

По лемме 1 для \г\ < р I(р, г) = 0, значит 72(г) = 0. Таким образом,

2 Ги

Та(Ь)(г) = - Ь(р) ■ рdр. (4.1)

г0

Примеры.

1. Ь(() = , а < 2. По формуле (4.1) получаем, что

2 Ы2—а

Та(Ь)(г) = — ■ Ц_.

В частности, при а = 1

Та(Ь)(г) = 2 ■ -И г

является ограниченной функцией.

2. b(Z) = 1 = . Повторяя рассуждения 4.1 с использованием леммы 2 при n = 1,

получим, что

z

Tc(b)(z) = -

является ограниченной функцией.

3. b(Z) = 1 = . Повторяя рассуждения 4.1 с использованием леммы 3 при n = 1,

получим, что

TG(b)(z) = ln |z|2.

Примеры 1-3 приведены ранее без пояснений в [3, с. 123-124].

4.2. Поведение TG(b)(z) в точке z = 0 для радиально зависящих b(Z). Для z = 0

рассмотрим разность

TG(b)(z) - TG(b)(0) = -z[ didV (4.2)

n JК|<1 z(z - z)

Введём обозначения

T ( ) = — I dt

(P,z) ipj|t|=i t2(pt - z),

тогда по лемме 2 получим, что

' «■«=<-- Ü '.¡¡О,

Используя это в (4.2), получаем

2 г|z|

TG(b)(z) - TG(b)(0) = - b(p) ■pdp. (4.3)

z Jo

Предполагая дополнительно, что b(p) > 0, из (4.3) следует

2 Г|z|

\TG(b)(z) - TG(b)(0)\ = ^ b(p) ■ pdp. (4.4)

| z| o

4.3. Построение функций с заданным поведением TG(b)(z) в точке z = 0. Формула (4.4) позволяет строить функции b = b(p), такие, что TG(b)(z) имеет заданное в смысле модуля непрерывности поведение в точке z = 0.

Напомним, что модулем непрерывности называется заданная на интервале (0, 5) функция ß(t), удовлетворяющая условиям:

1. ß(t) > 0,t > 0;

2. lim a(t) = 0; t^+o v 7

3. ß(t) не убывает для t > 0;

4. для любых t\,t2 Е (0,5) ß(t\ + t2) ^ ß(t\) + ß(t2).

Условие 4 заведомо выполнено, если предполагать, что не возрастает для t > 0. Предположим, что

/ b(p) ■ pdp < +то.

Введём обозначение x = \z\,

Тогда (4.4) можно записать

2 Г

ß(x) = — b(p) • pdp (4.5)

x Jo

\TG(b)(z) - TG(b)(0)\ = ß(\z\). (4.6)

o

Предполагая х) дифференцируемой, получим

Ь(х) = ^ ^)' (4.7)

Формула (4.7) позволяет для заданной функции V строить Ь = Ь(|£|), такую, что выполняется (4.6).

4.4. Примеры.

4.4.1. р,(х) = хх, 0 < Л < 1. Тогда по формуле (4.7) получаем, что

_ Л + 1 1 (()= 2 '|< |^ ■

У этой функции Ь = Ь((), имеющей слабую особенность в точке £ = 0, Тс(Ь)(г) удовлетворяет условию Гёльдера в начале координат.

4.4.2. ц(х) = х. Тогда Ь(р) = 1■ Среди радиально зависящих функций Ь = Ь(р), таких, что Тс(Ь)(г) удовлетворяет условию Липшица в точке г = 0, нет, отличных от постоянных.

4.4.3. Обратно, пусть

Ь(КП 1

4.4.4. Для функции Ь(К|) = . . х+е х , принадлежащей Бр(О) (см. [12]),

К1 ^ |С|

V(х) = п2 X, 0 ^ х* ^ x,

X*

поэтому, учитывая монотонность последней функции, получаем, что

2

V(х) ^ ,

X

значит р,(1г1) ^ 0, г ^ 0.

4.5. Непрерывность Тс(Ь)(г) в точке г = 0. Выясним, когда р,(1А), участвующая в

(4.6), стремится к 0 при г ^ 0. Это эквивалентно условию

ГХ

ы о) • пап ,

—> 0, х —> 0. (4.8)

Ю Ь(Р) • Р dp

x

По правилу Лопиталя (4.8) эквивалентно

b(x) • x ^ 0,x ^ 0. (4.9)

Отсюда, конечно, следует

/ b(p) • pdp < +то.

Jo

Таким образом, функция b = b(|Z|) имеет непрерывную в точке z = 0 функцию TG(b)(z) тогда и только тогда, когда выполнено (4.9).

Пример. Функция

b(Z) =----------1---------Г(КI « d< 1)

|z 1 •ln ln ln ... —

4------V-----'

k раз

не принадлежит даже Ь2(и,з), тем не менее, выполнено условие (4.9) и Тс(Ь)(г) является непрерывной в начале координат.

4.6. Связь с пространством Бр(О). Известно, что для функций Ь(() € Бр(О) Тс(Ь)(г) является непрерывной функцией в точке г = 0 (см. [12]). Обозначим через Б1(О) множество радиальных функций Ь(() со свойством (4.9).

Сравним эти пространства, рассматривая радиально зависящие функции Ь(()■

Из результатов работы [13] следует, что для любого е > 0 существует 50(е) со свойством

1

--туу < е ■ Ь,Ь > 0о(е),

Р

то есть

В итоге,

1 1 1 X / N

—- <£• -,х < — = di(e). P(x) х 00

х

< £, для всех 0 < х < 01(е). (4.10)

р(х)

Возьмём теперь произвольную функцию Ь = Ь(К|) € Бр(О)■ Следовательно, существует р = р(г) :

вир |)| ■р(г) = Со < +ж.

К1<1

Тогда, в силу (4.10),

г

|Ь(r)| ■ г = |Ь(г)| ■ р(г) ■ —— ^ С0е, г < ¿1(е).

р(г)

Таким образом, Ь(К|) € Б1(О)■

Кроме того, Ь(\(^ € Б1(0 < ^| < ^, но |) € Бр(О)■

В итоге для радиально зависящих функций Ь = Ь(|£|) Бр(О) С Б1 (О), причём включение строгое.

t

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука. 1988. 512 с.

2. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 736 с.

3. L.G. Mikhailov A new Class of Singular Integral Equations and its Application to Differential Equation with Singular Coefficients. Berlin: Academie - Verlag. 1970.

4. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд-во Тадж. ун-та. 1963.

5. Усманов З.Д. Об одном классе обобщенных систем Коши-Римана с сингулярной точкой // Сиб. матем. журнал. 1973. Т. 14, № 5. С. 1078-1087.

6. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Душанбе. 1993. 245 с.

7. Z.D. Usmanov Generalized Cauchy-Riemann systems with a singular point. Longman, Harlow. 1997.

8. M. Reissig, A. Timofeev Special Vekua Equations with Singular Coefficients // Applicable Analysis. 1999. Vol. 73 (1-2). P. 187-199.

9. Тунгатаров А. К теории уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой // Математический сборник. 1993. Т. 184, № 3. С. 111-120.

10. Тунгатаров А. О непрерывных решениях обобщенной системы Коши-Римана с конечным числом сингулярных точек // Математические заметки. 1994. Т. 56. С. 106-115.

11. R. Saks Riemann-Hilbert Problem for New Class of Model Vekua Equations with Singular Degeneration // Applicable analysis. 1999. Vol. 73 (1-2). P. 201-211.

12. M. Reissig, A. Timofeev Dirichlet problems for generalized Cauchy-Riemann systems with singular coefficients // Complex variables. 2005. Vol. 50, № 7-11. P. 653-672.

13. Тимофеев А.Ю. Весовые пространства в теории обобщенных уравнений Коши-Римана // Уфимский мат. журн. 2010. Т. 2. № 1. C. 110-118.

Алексей Юрьевич Тимофеев Сыктывкарский государственный университет,

Октябрьский проспект, 55,

167001, г. Сыктывкар, Россия E-mail: [email protected]