Коррекция погрешности решения дифференциальных уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Полученные результаты свидетельствуют о том, что для решения задачи прогнозирования интенсивностей сомоподобного трафика телекоммуникационной сети с пакетной передачей данных можно использовать нейросетевые технологии. Ошибка прогноза не превышает 4 %.

Возможность прогнозирования интенсивно-

стей самоподобного трафика сети позволяет получить данные для решения задачи управления -задачи формирования алгоритма предотвращения перегрузки.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 10-01-00381-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Leland, W.E. On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic [Текс^/W.E. Leland, M.S. Taqqu [et al.]// Proc. ACM SIG COMM'93.-San Fransisco, CA, 1993. -P. 183-193.

2. Шелухин, О.И. Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения [Текст]/О.И. Шелухин, А.В. Осин, С.М. Смольский; Под ред. О.И. Шелухина.-М.: Физматлит, 2008.-368 с.

3. Крылов, В.В. Теория телетрафика и ее прило-

жения [Текст]/В.В. Крылов, С.С. Самохвалова.-СПб.: БХВ-Петербург, 2005.-288 с.

4. Городецкий, А.Я. Информатика. Фрактальные процессы в компьютерных сетях: Учеб. пособие [Текст]/А.Я. Городецкий, В.С. Заборовский.-СПб.: СПбГТУ, 2000.

5. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс [Текст]/ С. Хайкин; Пер. с англ.-М.: Изд. Дом «Ви-льямс», 2006.-2-е изд.-1104 с.

УДК 658.512:004.42,658.512:519.87

К.Г. Жуков, Д.Н. Бутусов

КОРРЕКЦИЯ ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Один из способов описания динамических систем - представление в виде передаточной функции. Передаточные функции высокого порядка могут быть представлены в виде передаточных звеньев второго и первого порядка. При подобном представлении имеет смысл повысить точность реализации каждого звена системы, что приведет к уменьшению общей погрешности. В работе [2] рассматривается способ перехода от передаточной функции к системе уравнений в нормальной форме Коши, называемый методом совместного интегрирования.

Пусть управляемая система с одним входом и одним выходом (Б^О-система) задана следующей передаточной функцией:

W(S) =

Y(S)

со

(1)

X(S) S2 + 2qooS + со2 Запишем выражение (1) в виде дифференци-

ального уравнения второго порядка:

d2y „ dy 2 2 / \ —Y + 2qs>— + or1 у = в) x(t). dt dt

(2)

Выполним следующие преобразования над выражением (2):

+ 2сю— = со2х(0 - ю2у. Л2 Л

Разделим обе части выражения на ю:

¿г со Л

Вынесем оператор — за скобки в левой части: dt

— (-т1- + 2$У) = <о*(0 - <ву ■ йг йг со

Приняв выражение в скобках за ур получим следующую систему уравнений:

at

(3)

Аналитическое решение для системы (3) имеет вид:

у2 (!) = -е-м ■- 8ш(&) -в"" совСЫ) +1. (4)

Рис. 1. Структурная схема системы (3)

Рис. 2. Выделение внутреннего контура из схемы (рис. 1)

Структурная схема непрерывной модели системы уравнений (3) приведена на рис. 1.

Внешний контур модели (см. рис. 1) соответствует случаю, когда £= 0. Этот вариант исследован в работе [2], доказана возможность коррекции погрешности вычисления переменных состояния

У и у 2).

Исследуем возможность коррекции внутреннего контура (выделен пунктиром на рис. 2). Выделенный фрагмент соответствует линейному звену первого порядка с передаточной функцией (5):

Г (V = . (5)

Перейдем от передаточной функции (5) к нормальной форме Коши:

d^- = (t>x(t)-2c1(ny2.

(6)

Аналитическое решение уравнения (6) при rax(t) = const имеет вид:

y(t) = J - e (7)

Перейдем от непрерывной модели системы (рис. 3) к эквивалентной системе (рис. 4). Произведем коррекцию решения уравнения первого порядка согласно методике, изложенной в [1]. Времена запаздывания для импульсных элементов системы назначим в соответствии с выражениями, приведенными в [1].

Моменты срабатывания ключей на рис. 4 соответствуют значениям времен запаздывания Aj = 0,125, Д2 = 0,250. Во втором процессоре значения времен запаздывания равны Aj = 0,875, Д2 = 0,750 соответственно.

На рис. 5 представлен двухпроцессорный ва-

Рис. 3. Структурная схема непрерывной модели системы (6)

Рис. 4. Структурная схема импульсной модели уравнения (6)

риант БтиПпк-модели, соответствующий схеме (рис. 4). Результаты исполнения модели приведены на рис. 6.

Найденные коэффициенты коррекции для модели (рис. 5) необходимо перенести в общую модель системы, а также установить скорректированные коэффициенты для гармонического осциллятора [3]. Создадим БтиНпк-модель системы (3) и установим коэффициенты так, как описано выше. Произведем моделирование с шагом интегрирования Т, = 0,001 с и временем переходного процесса 5 с. Для сравнительной оценки погрешности полученного решения проведем также моделирование методом Рунге-Кутта второго порядка. БтиНпк-модель системы (3) и результаты ее выполнения приведены на рис. 7.

Из рис. 7 видна симметрия погрешностей решения в первом и втором процессоре. Усреднение значения выходной переменной между двумя процессорами дает скорректированное решение, приведенное на рис. 8. Для сравнения там же приведено решение методом Рунге-Кутта второго порядка.

В установившемся режиме погрешности методов практически совпадают.

Проведенное исследование показывает, что для общего случая системы второго порядка не удается полностью скомпенсировать погрешность решения. Этот факт можно объяснить следующими причинами.

Решение (4) не является чисто гармонической или чисто экспоненциальной функцией, а пред-

Рис. 5. Импульсная 8гти1гпк-модель уравнения (5)

4

Рис. 6. Графики погрешностей решений в каждом из процессоров и погрешности усредненного значения

X 10

0,125 0,25

V

0,£¡25

0,750 _ 0,875

* ,

►4=1

4"р |'р

. • 2"[ .- Г;,":

Г н г ( ' г 1

► 5

я - >

о

Н>

¿н

♦ гп

о

\

I1 1

1 [ I \ / \

1 ]............... ""А / \ / V У /_______

\ -

\ / \ /

\У

-1

Рис. 7. Блок-диаграмма полной модели системы (3) и графики погрешностей решения

для каждого из процессоров

ставляет собой произведение этих двух функций. Использование коэффициентов коррекции

Для коррекции погрешности интегрирования та- для экспоненциальной и гармонической функции кого входного сигнала в настоящий момент не дает лишь неполную коррекцию решения. получены аналитические выражения. Получение

аналитических выражений погрешности является В статье рассмотрена возможность коррекции

нетривиальной математической задачей. решений уравнений второго порядка методом по-

4

Рис. 8. Сравнение погрешностей метода ПИ и Рунге-Кутта второго порядка

следовательного интегрирования.

Анализ погрешностей решений метода МПИ с коррекцией и метода Рунге-Кутта второго порядка показывает, что методы имеют практически один порядок точности.

При аппаратной реализации предложенного

метода с коррекцией возможна организация параллельных вычислений в двух процессорах, что нереализуемо для метода Рунге-Кутта второго порядка.

Полученные результаты могут применяться при каскадном построении цифровых фильтров на основе звеньев второго порядка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жуков, К.Г. Анализ и коррекция погрешности цифровых интеграторов встраиваемых систем управления [Текст]/К.Г. Жуков, Д.Н. Бутусов//Научно-технические ведомости СПбГПУ-2009.-№ 6(91). -С. 17-25.

2. Жуков, К.Г. Реализация цифровых фильтров методом последовательного интегрирования [Текст]/ К.Г. Жуков, Д.Н. Бутусов//Научно-технические ведомости СПбГПУ-2009.-№ 6(91).-С. 26-35.

3. Жуков, К.Г. Коррекция погрешности решения уравнения гармонического осциллятора методом последовательного интегрирования [Текст]/К.Г. Жуков, Д.Н. Бутусов/Научно-технические ведомости СПбГПУ-2010.-№ 6.

4. Жуков, К.Г. Методы и средства реализации последовательно-параллельных интегрирующих структур: Дис. ... канд. техн. наук [Текст]/К.Г. Жуков. -Л., 1988.