Анализ и коррекция погрешности цифровых интеграторов встраиваемых систем управления Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»



которое он позволяет вложить, хватает для размещения аутентификатора данного изображения , а также дополнительной информации. Метод обладает рядом важных преимуществ: полностью реализована задача точной аутентификации даже при искажении одного пикселя;

обеспечивает вложение достаточного количества информации;

изображение при вложении искажается очень слабо, что позволяет осуществлять его визуальное распознавание;

при определении (детектировании) вложенного ЦВЗ в данном методе ошибка не возникает в принципе;

объём файла при вложении ЦВЗ почти не увеличивается.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коржик В.И., Просихин В.П. Основы криптографии: учебное пособие по специальности 210403 "Защищенные телекоммуникационные системы связи". СПб. 2008.

2. Коржик В.И., Зинковская A.B., Jlycce С.А. Метод точной аутентификации цифровых изображений с использованием технологии цифровых водяных знаков / Вопросы защиты информации. 2008. № 1. С. 8-14.

3. Cox 1. Digital Watermarking / Morgan-Kaufman publishers. 2002.

4. Fridrich J., Goljan M., Du R. lnvertible Authentication Watermark for JPEG Images / 1TCC 2001. Las Vegas, Nevada. April 2-4. 2001. P. 223227.

5. Menezes A.J. et. al. Handbook oa Applied Cryptography. CRC Press. 1997.

УДК658.51 2:004.42, 658.51 2:519.87

К.Г. Жуков, Д.Н.Бутусов

АНАЛИЗ И КОРРЕКЦИЯ ПОГРЕШНОСТИ ЦИФРОВЫХ ИНТЕГРАТОРОВ ВСТРАИВАЕМЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Актуальность и существующие проблемы

Инструментальные системы графического моделирования динамических систем (Simulink, Simulation Module, SystemBuild) сегодня широко используются для модельного проектирования встраиваемых управляемых систем. Ориентация на создание прототипа системы реального времени предъявляет к таким пакетам ряд новых требований. Один из наиболее важных — требование к быстродействию и необходимой точности методов численного интегрирования (решателей) с фиксированным шагом. Пакеты используют классические методы различных порядков точности. Точные методы интегрирования (Рунге — Кутта четвёртого порядка, Адамса — Башфорта и др.) требуют значительных временных затрат для получения решения. Одним из показателей эффективности метода принято считать количество вычислений правой части дифференциальных уравнений. По этому по-

казателю метод Рунге — Кутта четвёртого порядка уступает методам прогноза-коррекции, к которым относится метод Адамса — Башфорта. Существенный недостаток последнего заключается в необходимости выполнения так называемого "участка разгона" с применением другого численного метода. Разработка прототипа объекта управления или контроллера в петле с реальной аппаратурой (H1L) предъявляет кчисленному методу интегрирования, реализуемому на целевом микропроцессоре, дополнительные требования:

возможность распараллеливания процесса вычислений;

обеспечение необходимой точности получения решений в заданном частотном диапазоне при известной длине машинного слова целевого микропроцессора;

минимальные аппаратурные затраты для выполнения арифметических операций с фиксированной точкой (fixed point);

минимальный объём регистрового запоминающего устройства;

автоматическая настройка структуры прототипа; алгоритмуправления прототипом не должен приводить к усложнению вычислительного процесса; автоматическая генерация целочисленного кода Перечисленным выше требованиям не удовлетворяют классические методы численного интегрирования, поэтому разработка интегрирующих структур, ориентированных на аппаратную реализацию, весьма актуальна.

В инструментальных средах MATLAB / Simulink и Lab VIEW/ Simulation Module для моделирования и проектирования цифровых систем управления применяют цифровые интеграторы на основе метода прямоугольников (forward rectangular, backward rectangular) и метода трапеций (trapezoidal).

В курсахдифференциалыюго и интегрального исчисления при оценке погрешности таких интеграторов используют аппроксимирующие полиномы (Тейлора, Ньютона, Чебышева) для представления подынтегральной функции. Погрешность метода определяется остаточным членом соответствующего ряда. В теории автоматического управления для представления подынтегральной функции применяют ряд Фурье. Точность метода при этом оценивается в частотной области.

Такие методики оценки погрешности численных интеграторов имеют существенные недостатки:

приближенный характер: находят максимальное/минимальное значение погрешности на промежутке интегрирования;

необходимость нахождения производных от подынтегральной функции;

отсутствие оценки динамики изменения погрешности;

погрешность нельзя скорректировать при заданном шаге интегрирования.

Далее рассмотрим методику получения аналитических выражений для погрешности нового цифрового интегратора ¿"/-интегратора, используемого при аппаратной реализации последова-телыю-параллельных интегрирующих структур на основе метода последовательного интегрирования [1,2]. Методика применима для оценки и коррекции погрешности классических цифровых интеграторов.

Метод основан на переходе от непрерывной системы к эквивалентной импульсной системе

с несинхронно срабатываемыми импульсными (ключевыми) элементами. Для такой системы возможен анализ погрешности с применением модифицированного 2-преобразования [3]. Чтобы подтвердить работоспособность метода, проведем компьютерное моделирование тестового уравнения непрерывной системы, описываемой тремя однородными дифференциальными уравнениями первого порядка:

г.

-= !" + г, + г3

Ж

'—г- = " + 2 z, + z3 (1)

dt

—- = 2 Z] + z, + 2 z3

_ dt '

При начальных условиях zt(0) = —1 иг2(0) = = z3(0) = 2.

Простейший вариант реализации эквивалентной импульсной системы (Ts=0,001 с) в виде Simulink-модели представлен на рис. 1. Графики решений приведены на рис. 2.

Импульсные элементы на входах сумматоров срабатывают с одинаковой частотой f() = = 1/7}j = 1/9 7s, где Ts — шаг дискретизации (Sample Time).

Для уменьшения погрешности метода необходимо коэффициенты уравнения в модели увеличить в T(j/Ts = 9 раз. Корректирующий множитель определяется числом членов в правых частях исходной системы.

Сравнительный анализ приближенных и аналитических решений показывает наличие погрешности. Минимальным значениям погрешности соответствуют моменты времени, кратные периодам срабатывания импульсных элементов кТ() (к = 0, 1,2...50).

Для численного интегрирования "непрерывной" Simulink-модели системы (1) был выбран метод первого порядка (метод Эйлера). Погрешности приближенных решений двух моделей практически совпадают в указанные моменты времени. Это позволяет утверждать, что метод 5/-интегрирования является одной из модификаций метода Эйлера при одинаковых значениях шага интегрирования.

Чтобы повысить точность ¿/-метода, необходимо исследовать погрешность интегратора

Рис. 1. Реализация эквивалентной импульсной системы для выражения (1)

Рис. 2. Результаты моделирования

при различных входных сигналах. В работе [4] описан синтез цифрового интегратора, реализующего 5/-метод. Дискретная передаточная функция имеет вид:

X ( ^ ):

Y(") ^ К, • vT0 Y ( " )

z -1

(2)

где K¡ — коэффициент усиления непрерывного интегратора; v= Ts/T(j — относительная длительность последовательности управляющих импульсов с периодом Т(). Выражение (2) получено для фиксатора нулевого порядка с передаточной 1 — е _ ~'T«S

функцией H0v =-, где уТ0 — время замк-

S

нутого состояния импульсного элемента. Очевидно, что при увеличении коэффициента K¡

в — раз формула (2) совпадает с передаточной У

функцией интегратора по методу прямоугольников с упреждением (forward rectangular)

X ( "):

F • т0

z -1

(3)

Определим выходной сигнал у[пТ^ интегратора (3), применяя структурную схему, представленную на рис. 3. Величина АГ0 определяет моменты выборки входного сигнала ф). Коэффициент

А

ется в пределах0 < А < Г0.

И спользуем модифицированное z-преобразование для нахождения X{z). В соответствии с рис. 3 z

Y(z)=WS!(z)X(z) (4)

z

образование, найдем величину ySJ[nT()]. Для оценки погрешности будем использовать абсолютную ошибку (5 ), представляющую собой раз-

ность между значением У]{пТ(}] на выходе идеального интегратора и значением ^[я

егг[пТ(}] = у^пЩ -у51[пТ(}]. (5)

Вывод аналитических выражений погрешности ^/-интегратора

Ступенчатая функция >■{{)= А 1/({)

Я(Т) 2 Ц"г(/)} 21; X(5) 2 ВДе^ 2 6еАга т т

у-Н2ЧI

2 А-

"-1

-If

Y(z) = АК,^-—; ySílnT0] = Г{7(z)}; z -1 z -1

^[nT0] = '1 IAK, 2 KAnT0;

'(t) 2 F Jó Au(f}dt 2 6t;

yj{nT()] =AnT(}; err[nT()] =AnT()- AnT() = 0. (6)

Линейно нарастающая функция r(t) = At

R(S ) = L{A(t )} 2 A ; Y (s) 2 ^r0s

S S

£ "x(s)} 2 A'

Y(z) 2 K,A

1

Ta

2 A

í T0z | AT0zЛ (z -1)2 z -1

Л

z -1

T0z | AT0z (z - Vf z -1

2 KAT0

1 T0z z -1 (z -1)

T0Z

+ KAAT0

L (" -1) J

Рис. 3. Структурная схема анализа погрешности

Js,.[пТ0] = FAT,—--> +

+F 9Т0 '

" -1( -1 у

Tr,z I

Величина погрешности при у1 [пТ0] = К определяется выражением

err[nT0] = KjAnTfc0,5 - А). Экспоненциальная функция r(t) = Ае^°

R(S) = L{r(t)} = А-?—; X(s) = А-^—е^ S + а S + а

£ {X(s)} = AI

1

2 A

ze _ о

s + aU = A " aT"

T 7p- аД7'0

Y ( ") = K,A———-1

z -1 z - e~al<

УшbnTo] ^ K,AT0'

1 ze-aAT«

z -1 z - e-aT

' FATX 1[m -1 ]e- ain + A -)T« =

2 FATX e"e(" + A-"yr« 2

= FATe-a(" + Ar/'<>£ eaml»;

m=i

у,[nT0] 2 FATüe-ain + Л)7'»I eamr<-

Подставив значение Z raml° [6], получим:

мТ0{ 1 - Д)

(7)

" -!)' J

Применив к первому слагаемому в выражении (7) теорему свертывания в вещественной области, найдем:

yJnT0] = FAF0 t 1[m - 1](n - m) + F69T20n =

m=0

= FAT t (n- m) + F,A9T\n =

m=i

= FAT n(n~1) + FAAT0n

где 1[/я — 1] = 1, при/и> 1 и 1[/я — 1] = 0, при m< 1. Окончательно будем иметь:

ySI[nT0] 2 FA - FA^f- + FAAT = 2KA&-^ (0,5-9). (8)

y^ [nT0 ] = K,AT0——r (1 - e- о). (11)

осле умноже] (11) на а получим:

5/L--UJ u e^a- 1

После умножения числителя и знаменателя

6 аТ еаТ°°~ А)

у [ПТ0] = F6(1 -е-ап''-оаТ°еаГ 1 . а еа1 ° -1

С учётом значения у [пТ0] = ^ — (1_ г а «)

а

выражение абсолютной погрешности примет вид:

егг[пТ0 ] 2 F6 (1 - е-™'») -а

-F -(1 - е~а1 '■) °а7. ■

а еаУ11 -1

(12)

Для получения интегрирования сигнала л(?) =Аешнеобходимо в выражениях (11), (12) заменить значение а на —а:

(пТ0 f

(9)

егг[пТ0 ] 2 -F6 (1 - еапТ«) + а

+F - (1 - еа/<0 ° аГ 1 ■

а е а'<>-1

(13)

Гармоническая функция r(t) = Acos(®t+ ф)

ж S) 2 As C0S w 0

ч . Scosrn-rosin w

X ( s) = 6-f--——eAras;

s2 +

E {X(,)} = Ät

S cos ф-rosin ф"

(J = Д

2 Ä

a cos(roAro + ф) - Z cos[roro (1 -9) -ф] Z1 - 2Z cos ю Tn +1

Y(z) 2 KA-

(10)

a -1

Z1 cos(roAro + ф) -Z cos[®ro (1 -9) -ф] a1 - 2Z cos иП +1

ySI[nTQ ] = FAT0 1 Z2 cos(®AT0 + ф) - Z cos[®T0 (1 -А) -ф]

Z -1

Z" - 2Z cos ®T„ +1

= FAT0 Y 1[m - 1]cos[wT0(n + А + ф) + ф] =

m=О

= K,AT0Y cos[wT0(n + А-m) + ф];

Ух[пТ0] = K,AT0S cos[wT0(я + A-m) + ф]. (14)

В результате трудоёмких тригонометрических преобразований выражения (14) получим

У si [nTa] 2 F

AT

. wT0

{sin[wT0 (0,5 -А) -ф] +

2sin

(15)

+ sin[wro (n + 0,5 -А ] + ф}.

Для входного сигнала r{t) = ©cos(œi) (ф = 0) выражение (15) принимает вид

Уш[nTo ] 2 К

юТп

0J 2 • ®Т0 2sin--

{sin[w Т0 (0,5 -А)] +

(16)

+ sin[w Т0 (n + А-0,5)]}.

n

При ф2 — входной сигнал r(t) = — ©sin(œi), n

(А = &; ф2-)и выражение (15) преобразуется к виду

У SI [ nTo] 2 F

œTn

. œT0

{cos[œT0 (n + Л- 0,5)]

2sin

(17)

cos[œT0 (0,5 -Л)]}.

Соответствующие выражения абсолютной погрешности определяются формулами

err[nT] 2 К sin(« T0) - К

wTn

, . «T0 2sin--

(18)

x{sin[ro T0 (0,5 -A)] + sin[« T0 (n + A- 0,5)]};

err[nT ] = F cos(ranT0 -1) - F

fflT„

. raT0 2sm--

(19)

x{cos[ffiT0(n + А - 0,5)] - cos[œT0(0,5 - А)]}.

Анализ полученных формул для определения абсолютных погрешностей (6), (9), (12), (13), (18) и (19) позволяет сделать следующие выводы:

1) погрешность при интегрировании ступенчатой функции равна нулю;

2) величина погрешности зависит от коэффициента отставания импульсного элемента А;

3) при А = 0 ¿'/-интегратор реализует формулу прямоугольников с упреждением (forward rectangular);

А

тоду прямоугольников с отставанием (backward rectangular);

А

равной нулю, что свидетельствует о реализации метода прямоугольников в средней точке (midpoint rectangular);

А

тей осью симметрии: в этой точке погрешность изменяет знак;

7) интегратор по методу трапеций (trapezoidal) может быть реализован на двух параллельно включенных SI-интеграторах с коэф-

АА ченных выходных значений;

8) ¿/-интегратор — универсален, таккакмо-жет реализовать все классические методы вычисления определенных интегралов.

А

эффективен, чем интегратор по методутрапеций, так как обладает в два раза меньшей погрешностью, требует единственного значения подынтегральной функции и не вносит постоянного запаздывания в вычисление выходной величины.

Такой интегратор отсутствует в библиотеках дискретных блоков инструментальных систем Simulink и Simulation Module.

В работе [5] синтезирован Г-интегратор на основе концепции численного интегрирования с использованием теории о среднем значении. Передаточная функция Г-интегратора включает два параметра - ^v, которые необходимо эмпирически подбирать, чтобы удовлетворять уравнению среднего значения. После обращения передаточной функции получается формула численного интегрирования в неявном виде. Этот факт затрудняет использование Г-интег-ратора при решении дифференциальных уравнений.

При фиксированных значениях X = 1 и v = 0; 0,5 и 1, Г-интегратор реализует соответственно

формулу прямоугольников с упреждением, трапеций и прямоугольников — с отставанием. При фиксированных значениях ^ и V Г-интегратор не может реализовать метод прямоугольников в средней точке, который более эффективен, чем метод трапеций. Автор работы [6] впервые применил теорию систем управления для разработки численных методов интегрирования, но, к сожалению, не получил аналитических выражений для расчета значений ^ и V.

Коррекция погрешности цифровых интеграторов. Докажем, что введение корректирующих множителей позволяет сделать абсолютную погрешность цифровых интеграторов равной нулю для рассмотренных ранее входных сигналов. Другими словами, позволяет сделать абсолютно точными все классические интеграторы.

Для доказательства такого утверждения подставим в полученные выражения ошибок два симметричных относительно точки А = 0,5 коэффициента запаздывания А и А2. Для выполнения условия симметрии необходимо, чтобы сумма

А, + А2 = 1

(20)

и, соответственно

e-ct7 0_ 1 аТ . еаУ'0(1-Д2)

g-ct'/' 0_ 1

2 F

Тогда с целью устранения ошибки для интег-А

рования выходной сигнал умножать на величину, обратную (1/Кх). Для второго интегратора корректирующий множитель имеет значение (1 /К2).

А

KFR =

еаГ* -1

аГ0 • еа7'<>

А

KBR =

еа1о -1 аГп

(24)

(25)

В случае интегрирования по методу трапеций АА

KTR =

K + K

(26)

А

А

А

А

методу прямоугольников с отставанием.

Линейнонарастающая функция. В результате

АА

дующие выражения:

егг^[пТ0] = 0,5^«Г02 = А^(0,5«Г02); (21)

егг^[пТ0] = -0,5^яГ02= -^(0,5яГ02). (22)

Для реализации формулы трапеций необходимо включить параллельно два прямоугольных интегратора и выходное значение умножить на коэффициент 0,5. В этом случае

егг[пТ0] = (еггА{[пТ0] + егг&2[пТ0]) 0,5. (23)

После подстановки найденных значений етгА[ и еггАв (23) ошибка становится равной нулю. Экспоненциальная функция. Обозначим в

аТ . еа700 -д|)

---:-2 К,

На рис. 4 приведен пример интегрирования экспоненциальной функции методом прямоугольников в средней точке.

Гармонический сигнал. Найдем корректирующие множители для интегратора по методу трапеций и методу прямоугольников в средней точке (рис. 4). Для этого в формулу (18) подставим АА

errAl = ¿пТ ] 2 F sin юпТй — F

юТп

. юТ0

2 sin

x{sin(0,5ro Т0) + sin[ro Т0 (п - 0,5)]};

errA^ = [пТ ] 2 F sin юпТ^ — F

юТп

_ . юТ0 2 sin--

x"— sin(0,5ю Т0) + sin[ro Т0 (п + 0,5)] -.

Найдем среднее значение ошибки: (errAi = 0[пТ0 ] + errAi = í[nT0 ])0,5 =

2К, sin юnTQ - F

юТ„

0 " 2 • ю Т0

2 svn--

sin(0,5ro Т0) +

+ F

Ю Тп

2sin

. юТ

-sin(0,5roT0 )-

Рис. 4. Интегрирование экспоненциальной функции методом прямоугольников в средней точке (А = 0,5)

- к

юГп

2зт

. юГ,

-8т[юГ0 (п - 0,5)]-

= К, эт юпТ0 - К

юТ0 соэ

юТп

2эт

. юТ0

эт юпТ„ 0

0'

юТп

§1п[ю т (п + 0,5)]

ю! о

2з1п--

0,5 2

гт ®и0 ■ сое-

егг[пТ ] = Щ этюТ0 - Щ ■

2зШ

. ®Т0

^т <аТ0 .(27)

2К, вт ьжТй - К

юТп

. аТ0 28т--

о • гр аТ0

2зт апТ а сое--

0,5 2

Значение погрешности (27) становится равным нулю при введении корректирующего множителя

2з1П

. юГ0

ктя =

гт юТ0

ютп соэ—-

(28)

Для интегратора по методу прямоугольников в средней точке получим:

2sin--

КМР = -

®Тп

(29)

Для входного сигнала rij) = — ювтю? значения корректирующих множителей остаются равными (28) и (29). Результаты проверки данных аналитических выражений приведены на рис. 5.

Для подтверждения полученных аналитических выражений создан ряд моделей в виде вир-

туальных приборов системы National Instalments Lab VIEW. Полученные экспериментальные данные отличаются от теоретических на величины, определяющие точность представления числовых данных с плавающей точкой (Double).

Впервые полученные теоретические и экспериментальные результаты, изложенные в настоящей статье, могут быть наиболее эффективно использованы для моделирования и создания встраиваемых систем управления в реальном масштабе времени.

Рис. 5. Результаты проверки аналитических выражений (27), (28)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жуков К.Г. Методы и средства реализации последовательно-параллельных интегрирующих структур: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. J1. 1988. '

2. Жуков К.Г. Исследование эффективности решателей обыкновенных дифференциальных уравнений инструментальных систем моделирования // Образовательные, научные и инженерные приложения в среде LabVlEW и технологии National Instruments: Матер, междунар. конф. М.: РУДН. 2007.

3. Ту Ю.Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления / Под. ред. В.В. Со-лодовникова. М.: Машиностроение. 1964.

4. Жуков К.Г. Анализ погрешности цифровых интеграторов в Simulink // Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТ LAB: Тр. Всерос. науч. конф. М.: ИПУ РАН. 2004.

5. Смит Д. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей М.: Энергия. 1979.

6. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 2-е изд. М.: ОГИЗ. 1948.