CC BY
21
УДК 539.3
А.В. Кириченко, В.А. Крысько
КОРРЕКТНОСТЬ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ
С помощью метода компактности доказана разрешимость первой краевой задачи для уравнений равновесия в неклассической теории пологих оболочек.
Неклассическая теория пологих оболочек, уравнения математической физики, обобщенные решения нелинейных краевых задач
A.V. Kirichenko, V.A. Krysko
CORRECTNESS OF THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR EQUILIBRIUM EQUATION IN NONCLASSICAL THEORY OF PLATES WITH INITIAL IRREGULARITIES
The solvability of the first boundary value problem for equilibrium equation in nonclassical theory is proved with the aid of compactness method.
Nonclassical theory of shallow shells, equations of mathematical physics, generalized solutions of nonlinear boundary-value problems
Объектом исследования является следующая система стационарных уравнений теории пластин в рамках модели Пелеха-Шереметьева (асимптотически согласованная модель)
4x1 ^ да
(
4 х.
зЛ
3h
да,,
(
д хз_{
- +
1-
4x
ап
dx, = 0, i =1,2
4х
3 Л
h i=1 2
3h2
д 2а
д X3-i д Xi
■+
4х.
2
I-----------------------------------------------------
да
dx3 - L(w0, F)
i
- L(u30, F )- gi (xi, X2 ),
—— A F = — — L(u30, u30 )— L(u30, w0 );
Eh 2
30 Ian
= 0 дu30
д n
до
= 0, F | = 0, —
1дО
д n
= °, ui— до. = 0, i = —,2-
(1)
(2)
(3)
(4)
до
Выше и всюду далее приняты такие обозначения: О = ^х(- к /2, к /2); ^ С Я2 - измеримая область в евклидовом пространстве Я2 (план пластины); к - толщина пластины; ^ = ^ и , - граничный контур области ^; (х1, X , Х3 )е О; п - единичная нормаль к ;
ып (х1, X ), I = 1,2 - функции углов поворота нормали к срединной поверхности; функция w0 (х1, Х2 )
2
h
2
д
h
определяет начальную неправильность оболочки; и30 (хх, х2 ) - определяет дополнительный прогиб оболочки, а функция [и30 + *0 ] - определяет полный прогиб оболочки; Г (х15 х2) - функция усилий; g1 (х1, х2) - функция интенсивности поперечной нагрузки; Е - модуль упругости; V - коэффициент Пуассона, 0 < V < 1/ 2 ;
1 д 2Г
Г =----------------
11 к д х2
+ -
Е
2
д2 Г
1 -V2
Е
4 х. 3' к
зУ;
V д х1
■ + V-
х
2 у
4 х.^
з' к
3
V д х2
■ + V■
2
д и,,
д2
1_________+_________<
к дх1дх2 2(1 + V)
Е
Г13 =
2(1 + v)
4 х^
3 ' к1,
.2 Л/
V д х2
■ + v-
д и0, Л 4
д х1
3 к
д 2и„
2
Л
V д х1д х2 у
1
4 х к
ин +
дг
Л
, (1 ^ 2 );
кроме того, обозначение используемых функциональных пространств соответствует принятому в [1], при этом символами | • |а , (■,• )А - обозначим норму и скалярное произведение в пространстве Ь(Л).
Имеет место
Теорема. Пусть дП имеет гладкость, достаточную для используемых теорем вложения и g1 е Н ~2 (П), w0 € С2 (П) , тогда
1) существует хотя бы одно обобщенное решение { ~ 0, ~30, Е } задачи (1)-(4), при этом
~30,Е е Н02(П); ~ € Н1 (П); (5)
2) приближенное решение задачи (1)-(4) может быть найдено методом Бубнова-Галеркина, при этом функции Е, ыд, г = 1,2 , определяются как решения уравнений (1), (3), а все множество получаемых приближенных решений слабо компактно в пространствах, соответствующих условию (5), и его предельные точки являются решением задачи (1)-(4) в обобщенном смысле [1];
3) конфигурационное пространство Т механической системы, определяемой краевой задачей (1)-(4) с обобщенным решением из (5), имеет следующий вид:
т = (н о2 (п))2 х(н1 (п))2.
Отметим основные этапы доказательства.
Первый этап - построение приближенного решения. Решение задачи (1)-(4) ищем с помощью метода Бубнова-Галеркина в следующем виде:
(6)
и
30
^ £К3 Х3К3 (х1 » х2 ) > £к3 Є К ,
К3 =1
где { у
Л3КЪ
уравнений:
} _ базис в Н02 (п). Функции Гп є Н02,
2 п 0 , и«1 є
Ек
-А2 Гп
:- 2 и(и3с>, и3П0 )
Н1 (п) определяются как решения следующих
(7)
х.
4х33 Л дгП
2
V
3к
дх,
х
V
4х
3к
дГ12
у дх3-і
+
4х
2 Л Л Г
уу
,),
йх^ = 0, і=Ъ2,
при этом функция и 30 вида (6) является решением
к
2 2
ШІ-
4х
Лд2
3к
Л 2 _. п
д Г..
(
дх
-+
3к I дх, .дх
■-І 1 -
4х
2 Л д2 Г Л
дх
йх3 -
(8)
> у
- и(*„,Г)-і(и:„гп )=gi
при граничных условиях (4) (сГ получаются из СГ. заменой функций ип,и30, Г соответственно на
п п п
иі1, и30 , Г ).
Следуя изложению Ж.-Л. Лионса [1], введем в рассмотрение вектор £ = \^1,£2,....£п }є Ящ и оператор Р : Кп3 ^ Кп3, определяемый по правилу
и
и
11
х3 -
и
11
п
1
1
к
2
к
V^ R-3, p(£) =
ҐҐ
I
i=1
Г",
ii
4x;
vv
3h2
Э x2
+
1 J D
+
Гі2>
4x33 А Э 2X
2
3K3
3h2 J Э x ,Э x
+ I г-3,! 1
4 x32 А ЭХз,
3—!' !' У D
h2 У Э x
L(w„,F")-(l(u;0,F"),X.K.) -(g„Z„, )„}є R-.
i У D
'3
тогда, с учетом (7), (В) получаем
РШІ3 = ^|АFnЩ—(gi,u"o)n+1
Eh In i=i
(
Г ,
ii
Vv
4x
зЛ
3h2
Эи"
Э x
4x3 Э 2U3no 3h2 Э x,2
(
+
У D
Г12,
4x
з Л
3h2
Эu!nl 4 x| Э 2U3no
+
У D
A
+
n
Г 3,
(1 — 4 x3
2(
h2
un + Эuзn0 Uii +
Э x,.
i У.
Так как
А
У D У
|(gi, “»LI- lgiH-2 (n) ■ W h02 (n)- ci Iа u
то
(p(^),^)R„ >— A F" I2 — cjAU3"J + , ,
v \b/,b/R e^ Ь 4 30ln 2(1 + v)
E
4x:
+
Э x
1 У
4 x 3h
3 Z'
2n
Э 2u
Э x1 Э x 2 У
+1
i=1
x
2n Э u,(
Э x 2
+
E
2(1 + v)
4x
E
1 + v
V
(. 4x3 А
3h2
3h2
Эul1l Э x.
+
(9)
4 x3
Э x 3h2
x
h
2
У
»+ Э«30А
Uii + -4
V Э xi У
2
D У
Из (9), учитывая взаимосвязь последних трех слагаемых в правой части с нормами Ды" и
A u-
(которая является следствием интегрирования этих слагаемых по переменной х3), заключаем:
1) согласно лемме 4.3 [1] система (7), (8) разрешима относительно вектора £ ;
2) множества {и^0 },{ Гп } - ограничены в Н02, а множества { и^ }, і = 1,2 - в Н0(п);
3) найдутся элементы { иі0, и30, Г } и подпоследовательности { и^ }, { и 30 }, { Гц } такие, что
10)
слабо в Н 02 (П),
ЕА ^ Е слабо в Н02 (П).
Таким образом, принимая во внимание линейность уравнений (1), завершается доказательство подобно теореме 4.3 [1].
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. М.: Мир, 1972. 587 с.
Кириченко Анастасия Валерьевна -
ассистент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Anastasiya V. Kirichenko -
Assistant Lecturer
Department of Mathematics and Modeling, Gagarin Saratov State Technical University
x
3
x
3
Q
x3 —
2
2
D
Крысько Вадим Анатольевич -
доктор технических наук, профессор кафедры «Математика и моделирование»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 01.11.11, принята к опубликованию 01.12.11
Vadim A. Krysko -
Dr. Sc., Professor
Department of Mathematics and Modeling, Gagarin Saratov State Technical University
