CC BY
24
УДК 539.3
В.Ф. Кириченко, П.А. Самаркин
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НОРМ ИЗ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
Исследуются особенности интегральных критериев динамической устойчивости на базе норм из фазового пространства в неклассической теории пологих оболочек.
Неклассическая теория пологих оболочек, уравнения математической физики, обобщенные решения нелинейных краевых задач
V.F. Kirichenko, P.A. Samarkin
APPLICATION OF THE PHASE SPACE NORMS IN THE ANALYSIS OF DYNAMIC BUCKLING OF SHALLOW SHELLS
Specifics of the integral criteria of dynamic buckling is analysed on the basis of the nonclassical theory of shallow shells.
Nonclassical theory of shallow shells, equations of mathematical physics, generalized solutions of nonlinear boundary-value problems
Понятие динамической устойчивости (или динамической потери устойчивости) оболочек вплоть до настоящего времени не имеет однозначного формального определения. Подобный факт является отражением большого многообразия в эволюционных состояниях оболочек и необходимости использования различных критериев при выявлении и описании таких состояний. В данной работе используются критерии Шио, Сунг и Рота [1]; Будянского и Рота [2], А.С. Вольмира [3] и, кроме того, различные варианты фазовых портретов.
Объектом исследования является следующая краевая задача для эволюционных уравнений «в смешанной форме», определяющих условия движения пологой изотропной и однородной оболочки в рамках обобщенных гипотез Тимошенко (модель Пелеха - Шереметьева):
Au„ - B ^
ОХ-
Л Э
+ £iA— ! dt
AUi, - B dua
ox.
A
^ - A +Cai3
ox ox, ■
\
dx3 = 0,
(1)
i = 1,2;
h ( ^2
P
dt2
dt
+±\pb 3
d2
i=1
Эх,
dt2
Au„ - B дЩо
Эх,
,
+ £iB—
1 Эх,.
dt
Aun - BdUo-11 Эх,.
B
d 4
Эх,2
в-д^
dx3-i dxi
C dai3
Эх,
dx.
(2)
-K
d 2f d2f
- K
12
22
dx?
—A2 F Eh
U30 !r = 0
- L(U30, F ) = g (Xi, x2, t);
K
d 2u
30
1 Эх22
K
Э u30 1
2
dx1 2
(x15 x2) e Q = (0, a) x (0,b)
d2
*30
0, F lr =0,
д2 F
dn2
(3)
f
1
2
d
0
Г
Г
и11(х1,0, г) = 0, ип( х15 Ъ, 0 = 0,
и21(0, х2, г) = 0, и21(а, х2, г) = 0,
и30(х1> х2 ,0) = Р30(х1> Х2Х
иа( X 2 ,0) = Рг1( х1, Х2 )?
Эип(0, х2, г) = 0 Эи11(а, х2, г) , Эх1
Эи21( х1, Ъ, г) дх2 ¥30( X1, X2),
Эх1
Эи21( х1,0, г) дх2
Эи30( х1, х2,0)
= 0,
= 0,
дг
Эиг1( х1, х2,0) дг
¥п( X1, х2 )? г = 1,2-
(5)
(6) (7)
В задаче (1)-(7) и всюду далее приняты следующие условные обозначения:
Л2(0 = а(а(-)}, А(.) = +э2();
А =
4х
3 Л
V
3И2
в =
4x3
3И2
22 Эх1 Эх2
, С = 1 -
4х
3
и2
1 Э 2б е
о =-—-^ +
и Эх32-1 1 - V2
2
( А Эии + V Эи3-11 -в Э и30 | V Э и30 л
V _ Эх1 Эх3-1 _ Эх2 Эх3-1 /
о
1 Э 2б е
-+-
И Эх1Эх2 2(1+V)
А
Эи11 + Эи21 -в 2 Э2и30
1 2 Эх1 Эх1Эх2
°13 =
Е
С
2(1 + V)
Г = ЭПх[0,Г], П = Пи
Эи30
и11 +^х~
:с.
, 1 = 1,2;
Эа, АсЯ2, й=ах(0,г), к к
В = Ах| -2,2 |, ве Я3; (х1,х2)е А, х3 е
2 2
, к > 0;
здесь а - измеримая по Лебегу односвязная область в евклидовом пространстве Я 2 с границей ЭА;
В = ах
- область в пространстве Я3, занимаемая оболочкой в недеформированном
к к 2’2 _
состоянии; п - внешняя единичная нормаль к плоской кривой ЭА; к - постоянная толщина оболочки; р - постоянная плотность материала оболочки; [0,Т] - отрезок времени наблюдения за эволюцией оболочки; функция и30(х1, х2, г) определяет прогиб оболочки в момент времени г е [0,Т]; К - (г = 1,2) постоянные начальные кривизны оболочки; Г (х1, х2, г) - искомая функция усилий; и30( х1, х2, г), иг1( х1, х2, г) (г = 1,2) - искомые функции, определяющие коэффициенты в
аппроксимации вектора перемещений точек оболочки; g (х1, х2, г) - интенсивность поперечной нагрузки; рг1(х1,х2) , р30(х1,х2) , у/{1(х1,х2), ^30(х1,х2) - известные функции, определяющие начальные условия (6), (7), г = 1,2; £1, £2, £ъ - постоянные коэффициенты демпфирования; Е, V -
упругие постоянные, Е > 0, 0 < V <1 /2.
Краевая задача (1)-(7) получена по методике из [4].
Далее будем использовать обозначения, в том числе функциональных пространств и норм, из [5].
Теорема. Пусть выполняются такие условия:
g е Ь\0), Р30 е Н2(А), ¥30 е Н^П). рг1 е НЧа), е Г2(А), г = 12;
Тогда:
- существует хотя бы одно решение |и;1, и30, Г} задачи (1) - (7), при этом
~30,Ге Г(г0,гх\Н2(а)); иа,^е Г(г0,гх\НЧП)),
Эг
Эи, т
—^ е Г (г0, г{, Г2(а));
Эг
(8)
(9)
0
2
3
х3 -
приближенное решение задачи (1)-(7) может быть найдено методом Бубнова -Галеркина по схеме Власова, при этом, всё множество получаемых приближенных решений слабо компактно в пространствах соответствующих (9) и его предельные точки определяют решение задачи (1)-(7).
Доказательство теоремы проводится по методике из [6].
Для последующих численных экспериментов задача (1)-(7) приводится к безразмерной форме, при этом размерные параметры (с чёрточкой) связаны с безразмерными (без чёрточки) следующими соотношениями:
И
■*30
= hu
30
= bx2,
g
Eh4
2i2 g, a2b2
a
b
t =a!bjp t, i
ME
hh
X1 = , X 2 = ~T-
ab
k =—k
k1 = 2 k1,
a2
k2 = —rk2,
2 b2 2
i =1,3,
h
u
u
h
= bU2
(10)
Т = ЕН^Т, (11)
где Н - постоянная толщина оболочки, а и Ь - исходные размеры оболочки в плане, р - плотность
материала оболочки, Е - модуль Юнга.
Для численного решения задачи (1)-(7) используется метод Бубнова-Галёркина с последующим применением метода Рунге-Кутты с шагом 0,0001 на этапе решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
При реализации метода Бубнова-Галёркина задается следующая аппроксимация определяющих функций в безразмерной форме:
n1 "2
ЪЪщ (t)
i=1 j=1
1
/•2 . ~ Vi + j
n3 n4
21
*30
= 21j (t)
i=1 j=1
5 n6
55g 30 ij i=1 j=1
(t)
F
1
(i 2 + j2) 1
• cos(i nx1) • sin( jnx2),
• sin(inx1) • cos( jnx2),
m,
mn
• sin(inx1) • sin( jnx2), m3
sin (i nx1) • sin( jnx2), m4
: n1 xn2;
= n3 x n4;
n5 x n6;
n7 x n8;
(12)
Результаты численных экспериментов по сходимости метода Бубнова-Галёркина показали, что достаточным для проводимых исследований является следующее число базисных фукнций в аппроксимации (12):
mx = m2 = m3 = m4 = 49, при nk = nk+1,k = 1,3,5,7 (13)
Исследование динамической потери устойчивости оболочек предполагает ограниченность отрезка времени наблюдения [0,Т] и с этой точки зрения такое исследование соответствует технической теории устойчивости движения. Значение длины отрезка [0,Т ] проявляется, например, при анализе графиков на рис. 4: если на указанном рисунке положить [0,Т] = [0,0.25], то ни один из выбранных критериев не указывает на динамическую потерю устойчивости оболочки, однако если [0,Т] = [0,4], то все критерии выявляют наличие такой потери устойчивости.
Всюду далее полагаем, что
[0,Г ] = [0,4], Л = 1, X = Л2=—, £ = е2 = 0, £3=3, v = 0.3, g (xj, x2, t) = const e R, 56 Рэ0=^30=0, Pil=¥il=0, i = 1,2
Как известно [3], критерии динамической устойчивости оболочек основаны на анализе эволюции отдельных точек оболочек (в частности, центральной точки), но оболочка является континуальной механической системой с бесконечномерным фазовым пространством и её эволюцию следует наблюдать именно в этом пространстве. Непосредственно из приведенной выше теоремы
x1 = ax1
2
a
m
и
11
1
m
2
m
3
4
следует, что задача (1)-(7) имеет решение, а фазовое пространство Ф , соответствующее исследуемой модели оболочки, определяется как прямое произведение конфигурационного пространства V и пространства скоростей W, то есть Ф = V хW, при этом
V = Н ЧП) х Н ЧП) х Н 2(П), W = Ь2(П) х Ь2(П) х Н ЧП).
Для любой вектор-функции и = (и11, и 21, и30) квадрат нормы в пространстве Ф имеет такой вид:
— 2 — 2 —
u ■ u + u
Ф V
222 1 + u21 zjl + u3
зо H2!
где
du11
dt
+
du
21
dt
+
du
30
dt
(14)
Учитывая норму фазового пространства из (14), введем в рассмотрение функции X(t), X1(t), P(t) и параметры ti, t2, определяемые по следующим правилам:
X (t )■
+ u30 +
II
оо
du
2
ull +
2
du11 i du11
dx1
du
+
dx1
+
V dx2 J
2
+ u 21 +
du
21
dx1
+
21
V dx2 J
+
30
V dx2 J
+
d u
30
X l(t )■
(11
11
оо
u!i +
dxf
du11
dx1
+2
30
dx1dx
+
2
о u
2J
3о
dx2 J
1/2
(15)
dx1 dx2
+
du1
V dx2 J
P(t)
(11
II
оо
dt
dt
du
3о
dt
2 ( d2-+
3о
dtdx1
+
2
о u
3о
dtdx
2 J
1/2
dx1 dx2
(16)
(17)
^ - время достижения шахи30(0,5;0,5;£); ?2 - время достижения шах ^(£).
(е[0,Г ] (е[0,Г ]
На рис. 1-4 представлены результаты численного исследования задачи (1)-(7) в безразмерной форме (далее для краткости будем называть критерии и графики, определяемые для конкретных точек оболочки - локальными, а использующие функции Хф, Х1(1), Р(0 - интегральными):
1. На всех рисунках представлены результаты определения «динамической критической нагрузки» gкр при различных кривизнах, в частности все критерии указывают, что при к1 = к2 = 15, gкр = 82, а при к1 = к2 = 24, gкр = 245.
2. Из рис. 1 в, г и 2 б видно, что интегральные и локальные графики не совпадают: у интегрального графика появляется «ступенька» - этот факт соответствует учету в интегральной форме функций и30, и11, и21 и их производных (в локальных графиках подобная информация отсутствует).
3. На рис. 3 представлены локальные и интегральные фазовые портреты в «расширенном» фазовом пространстве при к1 = к2 = 24 (при других кривизнах наблюдается такое же соответствие между локальными и интегральными графиками).
4. На рис. 4 представлен критерий А.С. Вольмира в локальной и интегральной формах при к1 = к2= 24 для различных компонент вектора перемещений.
Выводы
1. Все используемые критерии определяют одно и то же значение нагрузки g кр = g (х1, x2, t) = const , при которой наблюдается динамическая потеря устойчивости оболочек,
однако интегральная форма критериев как Будянского и Рота, так и Шио, Сунг и Рота обладает большей гладкостью, оставляя меньше возможностей для совершения ошибки при определении критической нагрузки.
2. Построение интегральных графиков (рис. 1г) позволяет выявить влияние функций u3o, u11, u21 и производных таких функций на эволюцию пологих оболочек при различных значениях параметров k1, k2 (следует отметить, что в локальном варианте критерия Шио, Сунг и Рота
73
2
2
2
u
u
2
L
H
L
2
2
2
2
2
2
2
2
рассмотрение ведется в центральной точке, где функции углов поворота нормали равны нулю, но производные от таких функций могут и не быть равными нулю в этой точке).
3. Интегральные фазовые портреты (рис. 3б) наглядно характеризуют эволюцию оболочки в целом, по всему плану П и, тем самым, соответствуют ее рассмотрению как распределенной механической системы, в бесконечномерном фазовом пространстве Ф - в этом смысле геометрическое подобие интегральных и локальных фазовых портретов (рис. 3а,б) может рассматриваться как доказательство возможности при равнораспределенной нагрузке g использовать локальные портреты в качестве критериев динамической потери устойчивости оболочек.
4. Графики функций Х(т), Х^) на рис. 4 в, г показывают, что каждый из них может быть принят за интегральный критерий А. С. Вольмира.
Рис. 1. Критерии Будянского и Рота в локальной (а) и интегральной (б) формах; Шио, Сунг и Рота в локальной (в) и интегральной (г) формах
Рис. 2. Критерий Шио, Сунг и Рота в локальной и интегральной форме для значений кривизны 15 (а) и 24 (б)
(а) (б)
Рис. 3. Графики фазовых портретов локальные (а) и интегральные (б)
Рис. 4. Локальные графики функций прогиба (а) и функции угла поворота нормали (б) и графики функций X(t) (в) и Xi(t) (г) для ki=k2=24
ЛИТЕРАТУРА
1. Shiau A.C., Soong T.T. and Roth R.S. Dynamic Buckling of Conical Shells with Imperfections / A.C. Shiau, T.T. Soong, R.S. Roth // AIAA Journal. Vol. 12. № 6. July, 1974. P. 755.
2. Budiansky B. and Roth R.S. Axisymmetric Dynamic Buckling of Clamped Shallow Spherical Shells. TN D-1510, 1962, NASA, P. 597-606.
3. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В.А. Крысько. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. 216 с.
4. Кириченко В.Ф. «Проекционные» условия движения термоупругого деформируемого твердого тела и их применение в теории многослойных ортотропных оболочек / В.Ф. Кириченко // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов: СГТУ, 1997. Т. 1. С. 144-155.
5. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. М.: Мир, 1972. 587 c.
6. Кириченко В.Ф. Качественный анализ эволюционных уравнений в неклассической теории пологих оболочек с начальными неправильностями / В.Ф. Кириченко, П.А. Самаркин // Вестник СГТУ, 2011. №3 (57). Вып. 1. С. 34-40.
Кириченко Валерий Федорович -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Самаркин Павел Александрович -
аспирант кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Valery F. Kirichenko -
Dr. Sc., Professor
Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University
Pavel A. Samarkin -
Postgraduate,
Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 25.10.11, принята к опубликованию 01.12.11
