Корневое тождество для рациональных тригонометрических сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

являются образующими алгебры, В над O, где

Библиографический список

1. В. Е. Kunyvskii, В. Z. Moroz, V. Е. Voskresenskii On integral models of an algebraic torus // Max - Planck - Institut fur Mathematic. Preprint Series, 2001(12).

2. В. E. Воскресенский, Т. В. Фомина Целые структуры в алгебраических торах // Изв. РАН: Сер. матем. 1995. Т. 59:5.

3. Popov S . Yu Voskresenskii V .Е . Galois lattices and reduction of algebraic tori //Communications of Algebra. 2001. N 9.

4. A. M. Водолазов Целые модели разложимых алгебраических торов бесконечного типа // Современные проблемы алгебры, теории чисел и функционального анализа: Межвуз. сб. науч. трудов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2003. Вып.1.

5. А. М. Водолазов Алгебры целозначных функций для алгебраических торов малой размерности //Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10.

УДК 511.23

Г.И. ГУСЕВ

Корневое тождество для рациональных тригонометрических

сумм

Пусть ^ ^ ^^^^ ^^^^отальных чисел, Ъ — кольцо целых чисел, ¥(х) = _ рациональная функция, где $(х) и д(х) — многочлены с целыми коэффициентами, взаимно простые между собой, ¥'(х) =

— несократимое представление F'(x), где fi(x) и gi(x) — многочлены с целыми коэффициентами, взаимно простые между собой.

Пусть fi(x) = a0<11... — каноническое разложение fi(x), где <i(x) — примитивные непрнводнмые naflQ мпогочлены, '(x) = <1... <s.

Определение. Простое нечетное число p будем называть F-регулярным, если выполнены следующие условия:

1. ordp Res(ф,ф') = 0 и ordpa0 = 0.

2. Существует целое a такое, что ordpg(a) = 0.

Обозначим через Xp(F) для F-регулярного простого числа, множе-p

2.

Теорема 1. Пусть p — F-регулярное простое число и 6i — целый p-адический корень <i(x), принадлежащий Xp(F). Тогда, ordp<i(6i) = 0.

Доказательство По свойству результанта Res(<i, <) :

Res(<fi, <) = (fi(x)Ai(x) + <p'i(x)Bi(x),

где Ai(x) и Bi(x) — целочисленные многочлены. Отсюда следует, что Res(<i, О =

Fp

s

Res(',') = ± JJ Res2(<fi,<pj) • Y[Res(<pi,<p'i),

1^i<j^s i=1

получаем ordp<ii(6i) = 0.

Теорема 2. Пусть 9i и 6j — различные целые p-адические корни F'(x), принадлежащие множеству Xp(F). Тогда, 6i ф 6j(mod p).

Доказательство

Рассмотрим два случая: когда ^ и 9, являются корнями одного и того же многочлена ^¿(х), и когда 9^ и 9, — корни различных многочленов ^¿(х) и щ (х).

В первом случае, из формулы Тейлора для щ (х):

^(х) = щ'Шх - 9¿) + №х - 9г)2 + ... + Лх - 9¿)N',

2! " N!

где N = deg щ(х), следует

) = -£ ^(9,- - 90'

*=2 б!

Поэтому ог^р(9, - 9¿) = 0.

Во втором случае, имеем щ^) = 0, щ (9,) = 0 и

Яез(щ,щ) = щ(х)А, (х) + щ (х)В, (х),

где А,(х), В,(х) Е Ъ[х]. Отсюда получим Явз(щ,щ) = щ^¿). Поэтому ввиду ¥-регулярпости простого р (9¿) = 0. Следователь-

но, ог^^ - 9,) = 0.

Теорема 3. Пусть 9¿ — коре ш> /1 (х) кратное ти щи 9¿ Е Хр(¥). Тогда, Р("^Г)^ м П + 1 являются р-адическими единицами.

Доказательство Будем считать, что щ^) = 0. Тогда из тождества

¥ (п+^)= щ!^)]" ^¿),

где ^(х) = ^ (^(х) Е Ъ[х], следует

¥("'+1)(9.) = (9 )]п,ао П,,„ ,№)

(n¿ + 1)! n¿ + 11щ"(9!)] д1 (9.) '

Так как число р ^-регулярно, тогда из теорем 1 и 2 от(р^р'(в') = 0, ог(р^^(в;) = 0 и ог(рд'(в') = 0. Поэтому

Р_(п+Щ = /

(П + 1)! V П' + 1,

от(р—-——р =-— = -ог(р(п; + 1).

О другой стороны, огар (п +1), ^ 0, поэтому —и п' + 1 являются р

Теорема 4. В обозначениях теремы 3 в компакте = в; + рОр имеет место изометрическая эквивалентность:

Р(пг + 1)(в •)

Р (х) - Р (в') + +\в)г!)(х - в')Щ+1. (п' + 1)!

Доказательство Разложим Р(х) в ряд Тейлора с центром в точке в; :

Р(х) = Р(в,) + ^(х - в'Г-+1 + £ ^(х - в')'-

( ' + )! '=м-'+2 '

Обозначим £' = Г(П.+1)<Ги положим х - в' = ри, и £ О. Тогда

Р (в' + ри) = Р (в')+ £г(ри)п

щ+1

<х Г1 ',

1 + £ --1 ^(риг-п-1

'=П+2

ОО г (в) (а \

Положим 5(и) = е-1 * 'Г (ри)'-щ-1. Тогда

'=щ+2

Р (в' + ри) = Р (в') + £'(ри)п^+1[1 + (и)].

р

пенной ряд Т (и) с целы ми р-адическими коэффициентами, сходящийся в кольце Ор, что

1+ р5 (и) = (1+ рТ (и))щ+\

тогда

Р (в' + ри) = Р (в')+ £'[р(и(1 + рТ (и)))]п+1.

В этом случае а(и) = и + риТ(и) является изометрией кольца Ор. Теорема доказана.

и

Теорема 5. Пустьр ^ F-регулярное число ив1,..., — все корни многочлена fi(x), принадлежащие Xp(F), t < р. Тогда, для любого целого р-адического числа a G Xp(F), удовлетворяющего условию a ф (mod р) (i = 1, 2,... ,t), p-a^w^ee^ww показатель ordpF'(a) = 0.

Доказательство

Предположим, что f1(a) ф 0(mod р). Тогда существует i G [1, t] такой, что ^¿(a) ф 0(mod р). Поэтому ф ^i(a)Bi(a)(mod р). В силу F-регулярности числа р ordpRes(^i, = 0. Следовательно, ^i(a) ф 0(mod р). Тогда по лемме Гензеля существует корень ^¿(ж), принадлежащий компакту Ka = a + рОр, что противоречит свойству a.

Теорема 6. В обозначениях теоремы 5 в компакте Ka имеет место изометрическая эквивалентность:

F(ж) ~ F(a) + F'(a)(x - a).

Доказательство Из разложения F(ж) в ряд Тейлора с центром в точке a следует

F(ж) = F(a) + F»(ж - a)

где F'(a) — р-адическая единица. Положим ж = a + ри, u G Op и

оо

1 + Е

s=2

F s(a) s!F '(a)

(ж - a)

s- 1

a(u) = u

i + E

s=2

F s(a) s!F '(a)

(ри)

s- 1

а (и) явялется изометрией компакта Ор. Теорема доказана.

Теорема 7. Предположим, что 91,..., 9^ — все корни /1 (х) соответствующих кратностеи, т1,... , ш^, принадлежащие Хр(¥), где р — ¥-регулярное число. Тогда, для любого а ^ 2 имеет место корневое тож-

дество

Е ехР (х) ) =

х|ра

рс

Е Е еХР

ж=08(р)

>+- ........;

Доказательство

(1)

Ранее было установлено, что различные корни многочлена/1 (х), принадлежащие ), не сравнимы между собой по модулю р. Дополним множество {9.}.=1 всех корн ей /1(х), принадлежащих ) до максимальной системы вычетов ) по модулю р целыми числами о,, 1 ^ ] ^ ш. Тогда

Е ^Р!2?^(х) ) =

х|ра

ра

^ ехР

х|ра

Ж = 0д (р)

(9,) + ^^(х - 98)т'+1'

р

(ш. + 1)!

По теореме 4 для корпя 9. кратноети ш. многочлена /1 (х)

Е ехР (х) ) =

х|ра ж=08 (р)

ра

Е ехр(^0(9.) + ^^(х - 9.Г+

х|ра

ра

(ш. + 1)!

По теореме 6 для а имеем

Е ехр (х)) = Е ех^тПо^(о,) + По,)(х - о,)) ) .

х|ра (р)

ра

х|ра (р)

ра

Следовательно, справедлива формула (1).

Выразим формулу (1) через суммы Гаусса:

БСт(£,ра) = ^ехр (

'т^,^) = У 2^£Хт

х\ра

Теорема 8. Пусть р — простое нечетное число, не делящее т и е — р-адическая единица. Тогда,

БСт(е,ра)= £ ехр^етА . (2)

х\ра ^ р '

х=0(р)

Доказательство

Пусть х0 — р-адическая единица. Тогда по условию ог(ртхт-1 = 0. Следовательно, в компакте КХ0 = х0 + рОр имеет место изометрическая эквивалентность

ехт ~ ехт + етхт-1 (х - х0).

Поэтому при а ^ 2

£ сср (^еА =0

х\ра ^ 1 '

х=хо(р)

А отсюда следует формула (2).

Теорема 9. Пусть р — простое Г -регулярное число. Тогда, для любого а ^ 2 справедливо корневое тождество

£ еЩР^Р(х)) = £ (в.) ) ЗОт.+1(е.,ра),

ра ' I \ ра

х\ра 7 в=1 4

хеХр(Е)

г0е е. = (т,+1)! .

Доказательство следует из теорем 4 и 9.