CC BY
21
УДК 514.185:519
К.Л. Панчук, В.Я. Волков
КОНСТРУКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕИЧАТОГО ПРОСТРАНСТВА
Линейчатое пространство принято рассматривать как многообразие прямых, расширенного до проективного евклидова пространства Я3 [1,2]. Известна модель Плюккера линейчатого пространства, построенная на основе представления прямой линии шестеркой однородных плюккеро-вых координат, связанных квадратичной зависимостью. Эта модель представляет собой квадрику
Q4 в пятимерном проективном пространстве [1,2].
В настоящей работе исследуется возможность моделирования линейчатого пространства Я3(1) с основным элементом прямой линией I в том же пространстве Я3.
В геометрии известен принцип перенесения Котельникова - Штуди, в соответствии с которым геометрия связки прямых и плоскостей пространства Я3 может быть перенесена на пространство Я3(1) [1,3]. В этой связи рассмотрим соответствие метрической структуры пространства Я3(1), связки прямых и плоскостей и образов, полученных на основе связки. Как известно, связка Б'2 прямых и
плоскостей; сфера 22 с центром в центре связки и отождествленными диаметрально противоположными точками; плоскость Я2, касательная к этой
сфере, - это гомеоморфно соответственные модели эллиптической плоскости [2,4]. Изотропный
конус -К2 связки индуцирует на моделях 22 и Я2 эллиптическую метрику, определяемую абсолютами: к'2 с S2; к'Я с Я2 . Конструктивно
указанные абсолюты представляют собой мнимые
-2
линии - сечения конуса К указанными двумерными моделями.
Для двух точек (х,у,2) и (Хо,Уо,^о) прямой линии: х = х0 + шР; у = у0 + пР; г = г0 + рР можно записать (х - х0):(у - у0):(г - г0) = ш:п:р = Шг'.Пг'А. Последнее позволяет определить расстояние между точками:
22
д = +д/ш1 + п1 +1 ■ (г - г0) . Если д = 0, то следует 22
Ш1 + П1 +1 = 0 . Поскольку ш1, п1, 1 суть однородные координаты несобственной точки прямой, то из последнего равенства следует, что несобственная точка изотропной прямой принадлежит — 2
абсолюту кх на несобственной плоскости Ах
пространства Я3, а сама изотропная прямая при-
надлежит конусу К2 с уравнением X + Г2 + Z2 = 0. Необходимый и достаточный признак изо-
2 2
тропной прямой +1 = 0, очевидно, имеет
место для всех изотропных прямых, параллельных данной. Таким образом, изотропные прямые, проходящие через одну и туже точку абсолюта к£ , образуют связку прямых с несобственным центром, а все множество изотропных прямых, несобственные точки которых принадлежат к£ , обра-
зуют изотропный квадратичный комплекс - К
2
М
конусом которого является изотропный конус
—К2 связки прямых и плоскостей. Так как несоб-
— 2
ственный абсолют кх представляет собой образ абсолютов — к^, —кЯ и образ комплекса — КМ на
-2
несобственной плоскости Ах, то комплекс Км
может быть принят в качестве абсолюта пространства Я3(1), при этом мнимая несобственная коника
-2
кх представляет собой образ этого абсолюта. Соответствие абсолютов к^, кЯ и КМ по
их общему образу кХ приводит к соответствию метрических структур моделей 22, 22, Я2 эллиптической плоскости и пространства Я3(1). В последующем изложении в работе рассматриваются особенности этого соответствия.
Покажем, что эллиптическая плоскость Я2 может быть рассмотрена как проективная метризованная плоскость Р^ . Для этого приведем доказательство с привлечением метрической структуры плоскости Я2, отличающееся от известного [2],
основанного на полярном соответствии относительно абсолюта. Расстояние 5 между двумя точками У(ук) и 2(гк) эллиптической плоскости Я2 радиуса кривизны г определяется по формуле [2]:
д X укгк
воя — = -г
к = 1,2,3.
(1)
Определим точки пересечения прямой (у,2) с абсолютом Xх2 = 0 ; к =1,2,3 в плоскости Я‘2 на основе решения уравнения:
2
г
X<■Ук + л?к)2 = 0 ; к = 1,2,3, (2)
где л - вещественный параметр. Пусть л и л" -
корни этого уравнения, соответствующие точкам пересечения іі(ук + л'2к) и і2(Ук + л"?к) . Тогда можно записать выражение сложного отношения
г
■ ■ ~ 1 л
четырех точек у, г, і1, і2 прямой линии: А = — =
л
(у,г,і1і2). Свойства квадратного уравнения позволяют записать:
(л' + л'")2 = 4(XУк2к)2 = (А +1)2 . лЛ" г4 А
(3)
. к = 1,2,3,
откуда, на основании выражения (1), следует
8 А +1
— = arccos—;= . (4)
r 2^А
Приведем одну из формул Эйлера в теории аналитических функций:
.8 .8
I— — I —
8 e r + e r (5)
cos— =--------------------------. (5)
r 2
8
i~ 8 Если ввести обозначения e r = t; cos— = m,
r
то из этой формулы получим ti2 = m ± Vm2 — 1 . Поскольку tit2 = 1, то есть ti Ф 0 , t2 Ф 0, то
8
t—
уравнение e r = t при t=t1 и t=t21 имеет решения
относительно 8. Следовательно, i — = lnt. Ограни-
r
чиваясь рассмотрением t=t1, получим
8 1, , I 2 j,
— = arccosm = — ln(m + V m — 1) , что позволяет на ri
основании (4) записать:
8 А +1 1, А +1 (А +1)2
— = arccos =• = — ln( ;= + J----------------------1)
Г 2Га і 2*Га V 4А 7
= -lny[Ä .
2i 8
В итоге получаем А = e r , откуда следует 3 1 1
— = — InA =—ln(y,z,ii,i2) . (6)
r 2i 2i
Таким образом, абсолют -kR плоскости
R-2 определяет на ней эллиптическую метрику (1), имеющую проективную интерпретацию (6). То есть абсолют плоскости R2 есть в то же время
мнимая коника проективной плоскости Р^. Вышеизложенное позволяет представить схематично соответствие геометрий эллиптической плоскости
Я2 = Р/, сферы 22 с отождествленными диаметрально противоположными точками, связки 22 прямых и плоскостей и линейчатого пространства Я3(1):
(7)
у2 12
Рассмотрим конструктивно-метрическое соответствие эллиптической плоскости и линейчатого пространства.
Соответствие расстояний. Ввиду замкнутости эллиптической прямой формула (1) определяет в плоскости Я2 два расстояния между точками
У и ^ 6 и 3" = гп - 6. Из полярности точек относительно абсолюта следует уравнение эллиптической прямой X акхк = 0, к =1,2,3, где ак - декартовы однородные координаты полюса прямой
3
в той же полярности. Формулой вояА = X УkZk
к=1
определяется дуальный угол А = 8д + а>81 между
двумя направленными прямыми у(Ук) и г^к) в линейчатом пространстве, составляющими которого являются угол 30 и кратчайшее расстояние 31 между прямыми. Из полярности прямых относительно абсолюта-к'М линейчатого пространства
следует уравнение щетки (да2 прямых, ортогонально пересекающих фиксированную прямую пространства): X АкХк = 0, где Ак и Хк - соответственно дуальные декартовы координаты фиксированной и переменной прямой.
Соответствие углов. Угол между двумя прямыми X акхк = 0 и X Ькхк = 0 в эллиптической плоскости определяется формулой
X акН
воаф = =~2-; к =1,2,3. Угол между двумя
г
щетками X АкХ к = 0 и X ВкХ к = 0 ; к = 1,2,3 в линейчатом пространстве определяется формулой вояФ = воящ - озщ^чпщ =X АкВк ; ®2 = 0,
где Ак и Хк - дуальные декартовы координаты направленных осей щеток.
Метрическая полярность образов точек и прямых эллиптической плоскости на несобственной плоскости пространства Я3 и метрическая полярность образов соответствующих им линейчатых объектов в пространстве Я3(1) на той же несобственной плоскости совпадают. Этим объясняется формальное совпадение и эквивалентность метрического смысла соответственных метрических формул эллиптической плоскости и линейчатого пространства. При этом каждая из метрических характеристик в обоих пространствах имеет как координатную, так и проективную интерпретации.
Соответствие преобразований. Вращение сферы относительно ее центра и отражение ее от диаметральной плоскости индуцирует в эллиптической плоскости движения - метрические кол-линеации, не изменяющие абсолют плоскости. Эти преобразования описываются формулами:
3 3
Pxí = X aikxk ; р * 0 ; \aík I * о ; X
а 2 = 1 ' ík ’
k=1
í=1
Xакгак] = 0; У = 1,2,3 ; г' * 7 . (8)
к=1
В эллиптической плоскости движение - вращение, представляет собой движение с неподвижной точкой и неподвижной прямой - полярой центра относительно абсолюта плоскости. Эти условия накладывают определенные ограничения на коэффициенты матрицы преобразований в уравнении (8). В итоге уравнения (8) описывают собственно вращение с определителем |агк | = 1 и отражение от поляры неподвижной точки с определителем |агк | = — 1. В эллиптической плоскости отражение от прямой есть вращение относительно ее полюса на угол п.
Преобразованиям (8) эллиптической плоскости соответствуют преобразования линейчатого пространства, аналитическая запись которых в дуальном евклидовом пространстве Я3(ю) имеет вид:
3
Х\ = Х АкХк ; \М * 0; X А2 = 1; к=1 г
X AíkAjk = 0 ; í,j=1,2,3; í*j.
(9)
k
При |Агк | = 1 преобразования (9) представляют собой винтовое движение. Инвариантные линейчатые множества в винтовом движении могут быть интерпретированы в несобственной плоскости. Неподвижной оси винтового движения соответствует ее несобственная точка, поляра которой относительно абсолюта на несобственной плоскости представляет собой множество несобственных точек прямых щетки с осью винтового движения. Винтовое движение оставляет щетку инвариантной, при этом ее прямые переставляются местами. Следовательно, образом винтового движения с инвариантной щеткой является вращение с неподвижным центром и неподвижной полярой этого
—, 2
центра относительно неподвижной коники кх в несобственной плоскости Ах.
Соответствие коник эллиптической плоскости и их линейчатых образов. Метрической структурой эллиптической плоскости в ней определены лишь две коники: окружность и эллипс. Из уравнения окружности в координатной форме
X aíxí
S У aiXi cos — = ■ ^
2
r
r
2 2 xí = r
0 < д < г 2
следует ее уравнение в параметрической форме:
ад а д д
х1 = геоя—ят—; х2 = гягп—ят —; х3 = геоя— , гг гг г
(10)
где д - радиус окружности; о - параметр, равный величине переноса точки на поляре центра окружности, соответствующей углу поворота прямой, проходящей через центр и точку поляры. На основе принципа перенесения Котельникова - Штуди установлено, что уравнениям (10) окружности соответствуют дуальные параметрические уравнения линейчатой конгруэнции Кг(2,2):
Х1 = Яеояр^ ята ; X2 = Яятф^ ята ;
X3 = Rcosa ; X X? = 1
(11)
где R - дуальный модуль винта с осью т;
2 л
a = ао + аш1 ; т = 0 - неизменный дуальный
угол между прямой т и неподвижной осью E3; (р = (ро + т@1 - переменный угол между ортогональной проекцией т3 прямой т на ось E3 и фиксированной прямой Ej, где Ej^E3.
Параметрические уравнения эллипса в эллиптической плоскости, построенного по двум окружностям (10), имеют вид:
X1 = a(a)-cos — ; X2 = b(a)• sín — ; X3 = c(a) ;
X
2 2
(12)
где параметр а имеет тот же смысл, что и в уравнении окружности (10). Уравнениям (12) соответствуют дуальные параметрические уравнения специальной конгруэнции Кг(2,2) в линейчатом пространстве:
Х1 = А((р)■ еояр; Х2 = В(ср)я1пф; Х3 = С (р);
X
(13)
2
где дуальный угол Ф = Ф0 + юф1; ю = 0 соответствует в линейчатой интерпретации по смыслу
а _
углу — в уравнениях эллипса. В итоге получаем,
г
что линейчатые образы коник эллиптической плоскости представляют собой конгруэнцию Кг(2,2). В этой связи исследование конструктивных и метрических свойств этой конгруэнции можно вести, выполняя исследование соответствующих свойств коник эллиптической плоскости.
В отечественной геометрической литературе отсутствуют исчерпывающие сведения относи-
тельно свойств коник эллиптической плоскости, кроме сведений общего конструктивного характера, касающихся в целом коник неевклидовой плоскости, и ссылок на публикации зарубежных авторов [2,4]. Исходя из этого и учитывая взаимосвязь коник и линейчатых конгруэнций, авторами настоящей работы были исследованы конструктивные и метрические свойства этих линий. Приведем основные результаты этих исследований.
Окружность. Уравнением окружности
V 2 2^2 2-/Т
у ajXj = r cos—; у aj = у Xj = r ; 1=1,2 и
уравнением абсолюта У x2 = 0 эллиптической
плоскости определены конструктивные и метрические свойства окружности. Перечислим основные из них.
1. Поляры центра (ay.a2:a3) окружности относительно окружности и абсолюта совпадают. Поляра является вещественной двойной линией. Точки пересечения поляры с абсолютом являются точками касания окружности с абсолютом. Поляра является общей для всех концентрических окружностей. Из полярного соответствия относительно абсолюта следует, что окружность есть огибающая множества прямых линий, образующих неизменный угол с постоянной прямой - полярой ее центра. Окружность и абсолют имеют общий ав-тополярный треугольник, который может быть принят в качестве координатного проективного треугольника.
2. На основании конструктивных и метрических свойств автополярного треугольника выявлены свойства, аналогичные свойствам окружности в евклидовой плоскости: диаметр окружности в своих конечных точках перпендикулярен касательным к ней и делит перпендикулярные к нему хорды пополам; огибающая положений подвижной, неизменной длины хорды окружности, есть окружность, соосная данной; множество точек плоскости - вершин подвижного, неизменной величины угла, стороны которого касаются данной окружности, есть окружность, концентричная данной. Последние два свойства, как и множество других, двойственны в метрической полярности относительно абсолюта.
Совместное рассмотрение уравнений двух окружностей в системе координат автополярного проективного треугольника выявляет свойства пары окружностей: две окружности пересекаются в четырех действительных точках (в евклидовой плоскости две окружности пересекаются в двух действительных и двух мнимо-сопряженных точках); две радикальные прямые и поляры двух центров окружностей образуют гармоническую четверку прямых и другие свойства.
Эллипс. Рассмотрением уравнений эллипса в эллиптической плоскости
а^^ + а2х| — а3х3, = 0; X х2 = 1
и абсолюта X х2 = 0 получена система конструктивно-метрических свойств эллипса, основанная на метрических отношениях между фигурами, конструктивно связанными с эллипсом и абсолютом. К ним относятся: четыре абсолютные мнимые точки; шесть фокальных прямых (две действительные и четыре мнимые); три действительные центра и три действительные оси; четыре абсолютные мнимые касательные; шесть фокусов (два действительных и четыре мнимых); шесть директрис (две действительные и четыре мнимые); сопряженные диаметры; шесть асимптот (четыре действительные и две мнимые). Свойства следуют из метрических отношений между фигурами, выражаемых тригонометрическими функциями расстояний и углов и математическими действиями над ними.
Соответствие метрических структур эллиптической плоскости и многообразия прямых расширенного трехмерного евклидова пространства по абсолюту этого пространства позволяет выполнять конструктивно-метрическое моделирование этого многообразия эллиптической плоскостью. При этом точечным прообразам эллиптической плоскости конструктивно и метрически соответствуют линейчатые образы многообразия прямых.
Изложенный в работе подход определяет новое направление в моделировании и исследовании линейчатого пространства.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Клейн Ф. Высшая геометрия. - М.- Л.: ОНТИ, 1939. - 400с.
2. РозенфельдБ.А. Неевклидовы геометрии. - М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955. - 744 с.
3. Диментберг Ф.М. Теория винтов и её приложения. - М.: Наука, 1978. - 328 с.
4. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. - М.- Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 355 с.
□ Авторы статьи:
Панчук
Константин Леонидович
- канд.техн.наук., доц. каф. начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета
Волков Владимир Яковлевич
- докт.техн.наук., проф., зав. каф. начертательной геометрии и машинной графики Сибирской автомобильнодорожной академии
