Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций и F-пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 8. 2008

УДК 512.556

КОНГРУЭНЦИИ НА ПОЛУКОЛЬЦАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ И Е-ПРОСТРАНВСТВА

Е.М. Вечтомов, Д. В. Чупраков

Исследуются конгруэнции полуколец непрерывных неотрицательных функций над топологическим пространством X. В терминах таких конгруэнций получены новые алгебраические харак-теризации ^-пространств и Р-пространств X.

Введение

Пусть С+(Х) (11(Х)) полукольцо (полуполе без нуля) всех непрерывных неотрицательных (положительных) функций, определенных на произвольном топологическом пространстве X, с обычными операциями сложения и умножения функций. Если вместо сложения + взять операцию тах V, то получим идемпотентные полукольцо СУ(Х) и полуполе (X). Кольцо С{Х) всех непрерывных вещественных функций на X служит кольцом разностей для С+(Х) и для и(Х).

Целью работы является исследование связей между конгруэнциями полуколец СУ(Х) и С+(Х).

Основным результатам работы посвящен параграф 2. В теореме 1 установлены новые характеризации ^-пространств. В частности, X является ^-пространством, если и только если Соп£/(Х) = Соп 11У(Х). В теореме 2 доказывается, что множества конгруэнций СопС+(Х) и СопСу(Х) равны тогда и только тогда, когда X есть Р-пространство, что дает новую характеризацию Р-пространств.

Пространство X называется Р-пространством, если нуль-множество любой функции из С{Х) открыто [1].

Топологическое пространство X называется Г-пространством, если в кольце С{Х) все конечнопорожденные идеалы главные [2].

Исходные понятия теории полуколец имеются в монографии Голана [3]. Теория колец непрерывных функций изложена в известной книге

© Вечтомов Е.М., Чупраков Д.В., 2008.

Гилмана и Джерисона [4]. Систематическое изучение конгруэнций на полукольцах непрерывных функций начато в [5].

Под полукольцом понимается алгебраическая система (¿S,+, •, 0,1), в которой (5,+, 0) коммутативный моноид, (5,-,1) моноид, выполняется законы дистрибутивности операции умножения относительно сложения, 0 ф 1 и тождественно 0 • х — х • 0 = 0 [3]. Если операция умножения на S коммутативна, то S — коммутативное полукольцо. Полукольцо, не являющееся кольцом, каждый элемент которого обратим, называется полутелом. Коммутативное полутело называется по-луполем.

На полукольце непрерывных функций С+(Х) операции заданы поточечно. Операции взятия максимума V и минимума А также определяются поточечно: (/ V д)(х) = тах{/(х),д(х)}, (/ А д)(х) = тт{/(х), д(х)} в каждой точке х Е X.

На множестве С(Х) зададим порядок / ^ д (Ух Е X)f(x) ^ б/(х). Запись f < д будет обозначать, что / ^ б/, но / ф д.

Для каждой функции / Е С(Х) множества = {х Е X |

/(х) = 0} и coz/ = X\Z(f) называются нуль-множеством и конуль-множеством. Обозначим pos/ = {х Е X | /(х) > 0} и neg/ = {х Е X | /(х) < 0}. Множество Z(f) замкнуто, а множества coz/, pos/ и neg/ открыты.

Конгруэнцией на полукольце 5 называется отношение эквивалентности на 5, сохраняющее полукольцевые операции. Пусть р конгруэнция на полукольце S. Полукольцо S/p = {[о]р | а Е всех классов [а]р = {s Е 5 | spa}, а Е 5, конгруэнтности назвается фактор-полукольцом полукольца S по конгруэнции р. Через ker р будем обозначать класс единицы [1]р конгруэнции р и называть его ядром полукольца S. Ядро конгруэнции полуполя UW(X) назовем У-ядром.

Пусть 7 — идеал полукольца S. Отношение а/ на полукольце S такое,

что

Va, b Е S (a Gib 3 и, v Е 7 (а + и = b + г;))

является конгруэнцией Берна по идеалу 7. Это наименьшая конгруэнция, содержащая идеал 7 в классе нуля.

Пусть 7 идеал кольца С(Х). Конгруэнция 7(7) на полукольце С+(Х) или полуполе £/(Х) заданная формулой aj(I)b a — b Е 7 для любых a, b Е 5, называется идеальной конгруэнцией на С+(Х) или [/(X) соответственно. Любая идеальная конгруэнция 7(7) Е Соп[/(Х) продолжается до соответствующей конгруэнции 7(7) на С+(Х).

Множество всех конгруэнций ConS* полукольца S является полной решеткой отностительно включения С. Точной верхней гранью

двух конгруэнций р, о G ConS* является транзитивное замыкание р V сг композиции р о сг этих элементов. Точной нижней гранью элементов р, сг g ConS* является их пересечение р П ст.

Другие необходимые термины и обозначения будут вводиться по ходу изложения.

Подмножество А упорядоченного множества 5 называется выпуклым, если вместе с элементами ^ <§2 множество А содержит все элементы удовлетворяющие условию ^ 8 ^ 52.

Лемма 1. Классы любой конгруэнции на полукольце С^(Х) и на полуполе иу (X) выпуклы.

Действительно, пусть р — произвольная конгруэнция на (X) (или

на t/v(X)), /ь /2 G [д]р, / G CV(X) и h ^ f ^ /2. Тогда [f]p = [/У h]p = [f]p V [/i]p = [/], V [f2]p = [/ V f2]p = ШР = [g]p.

Предложение 1. Мультипликативная нормальная подгруппа К полутела U является ядром тогда и только тогда, когда k\Si + ... + knsn G К для любых ki,...,kn G К и любых G U с условием

S\ + ... + sn — 1. При этом Кир связаны соотношениями: upv uv~l G К для любых u,v G U и К — ker p.

Доказательство проводится индукцией по п. Для п — 2 это предложение рассмотрено в [3, proposition 9.23].

Заметим, что решетка Con U изоморфна решетке {кет р \ р G Conf/} всех ядер полутела U с операциями умножения и пересечения ядер.

Предложение 2 (см. [6, лемма 7.2]). Мультипликативная подгруппа К полуполя UV(X) является У-ядром тогда и только тогда, когда К выпукла и замкнута относительно операций взятия максимума V (равносильно, минимума А).

Предложение 3. На полуполе U+(X) любое У-ядро является ядром. Решетка конгруэнций ConUy (X) является подрешеткой решетки конгруэнций ConU(X).

Доказательство. Пусть К V-ядро. В силу предложения 1 достаточно показать, что для любых Д, /2 G С/+(Х) и любых ei, е2 G К условие Д + /2 = 1 влечет Д ei + /2е2 G К. Имеем ег А е2 = ( Д + /2) (ег А е2) ^ fiei + Де2 ^ (Д + /2)(ei V е2) = ei V е2, причем, ei A е2, а V е2 G К

1. О ядрах конгруэнций на полуполях

и

по предложению 2. В силу выпуклости \/-ядра (лемма 1) получаем Ле1 + Не2 £ К. По предложению 1 К является ядром. Значит, решетка конгруэнций Соп (X) является подрешеткой решетки конгруэнций Соп и(Х).

Главной конгруэнцией р на полуполе [/, порожденной парой (и, г;), называется наименьшая конгруэнция на II с условием иру. Она однозначно задается парой (ш;-1,1).

Ядро главной конгруэнции на полуполе и{Х) ([/У(Х)), порожденной парой (<£, 1), будем называть главным ядром и обозначим кет((р) (кегу(<^)).

И. А. Семеновой [7, теорема 1] установлено строение главных конгруэнций на полуполе II(X).

Теорема А. Главные ядра кет((р) на полуполе и(Х) и только они имеют вид:

V е и(Х)

у-1е(<р-1)С(Х),

(3к Е М) (ср V (р-1)~к ^ V ^ (ср V (р-1)к)

Для главных \/-ядер теорема приобретает следующий вид:

Предложение 4. Главные ядра кегу(^) на полуполе 11у (X) и только они имеют вид:

{у Е иу(Х) I (3к Е М) (ср А (р-г)к ^ V ^ (ср V (р-г)к)} . (1)

Доказательство. Рассмотрим отношение р, заданное условием: /рд ^ (Зк е Щ/((рА(р~г)к ^д^ /(^ут1)* для любых /,<? е Легко видеть, что р является конгруэнцией, причем [1]р есть множество (1). Пусть т произвольная конгруэнция на [/У(Х), для которой (рт1. Рассмотрим произвольные функции /, д Е £/у(Х), такие, что /рд. Для них /((р А ^ д ^ /(<р V при некотором к Е N. По пред-

ложению 2 /((р А Е [/]т и /(ср V Е [/]т. Значит, по лемме 1

д Е [/]т и / тр. Таким образом, р является наименьшей конгруэнцией на [/У(Х), порожденная парой 1).

Для каждой конгруэнции р Е Соп[/х/(Х) с ядром К — [1]р на полукольце С^(Х) введем бинарное отношение рк

/ рк д дк ^ / ^ дкг для некоторых к, к' Е К.

Для каждой конгруэнции р Е Соп[/(Х) с ядром [1]р = К рассмотрим бинарное отношение ^к на полукольце С+(Х):

п га

¿=1 ¿=1

для некоторых иъ ..., ип, ..., ут Е К и некоторых /ь ..., /п, ..., Е С+(Х) с условиями / = Л + ... + /п, 9 = 01 + ... + 0т-

Предложение 5. Пусть р некоторая конгруэнция на 11У(Х), К — [1]р. Тогда отношение рк является найменьшей конгруэнцией на склеивающих К. При этом [1]Рк = К.

Доказательство. Несложно видеть, что рк — конгруэнция на Су (X). Докажем, что ядра конгруэнций р Е Сои 11у (X) и рк Е СопСу(Х) совпадают. Покажем включение К С [1]Рк. Возьмем произвольную функцию / р 1. Значит, 1 • / ^ / ^ 1 • /. Следовательно, / рк 1.

Обратно, пусть / рд-1, то существуют к, к' Е , для которых 1 • & ^ / ^ 1 • к'. По лемме 1, Значит, К = [1]№. Теперь докажем, что

конгруэнция рк Е СопСу(Х) является наименьшей конгруэнцией на склеивающей ядро К — [1]р. Рассмотрим произвольную конгруэнцию т Е СопСу(Х), удовлетворяющую условию / Е К /т1. Покажем, что / рк д влечет / г д.

Пусть / рк то дк ^ / ^ дк' для некоторых к, к' Е К. Заметим, что = [#]Т[А;]Т = [#]т и [рА;;]т = [</]#']. = [р]т. По лемме 1, / Е [#]т. Итак, конгруэнция рк является наименьшей на с кег р — К.

Предложение 6. Для любого У-ядра К отношение рк является конгруэнцией на полукольце С+(Х).

Для доказательства достаточно показать, что отношение рк стабильно относительно сложения. Действительно, если /ркд, то дк ^ / ^ дк', для некоторых /с, к' Е К. Возьмем 8 = А;Л1и8/ = А;/\/1и получим (р + = + ^ дк + к ^ / + к ^ дк' + к ^ + кз' = + Л)5'-Таким образом, (/ + /г) рК (д + к) и рк конгруэнция на С+(Х).

Лемма 2. Пусть р некоторая конгруэнция на и(Х), К — [1]р. Тогда / д; тогда и только тогда, когда существуют б/1,...,б/п Е С+(Х) г* ..., и)п Е такие что д = дх + ... + дп и / = д^.

Доказательство. Достаточность очеочевидна. Докажем необходимость. Пусть / д для /, <7 Е С+(Х). Существуют £ К и fi•) д^ Е С+(Х), для которых

п т п т

/ = !]/», д = эр =

г—1 ^'=1 г=1 ^'=1

Можно считать, что п — т.

Заметим, что для фиксированных G N, Ц п и любых G N, г, j ^ п, если j = (i + k — 2) mod n) + 1, то i = ((j — k) mod n) + 1. Для всех k, i G {1,n} рассмотрим функции из полукольца С+(Х):

fiik — Д/с-1 Л mod n)+l,fe —1' /¿0 = fiUii 5г0 ~ 9ivii

fik — fi,k-1 — Phi, g[(i+k-2) mod n) + l,/c = #((г+/с-2) mod + — Phi-

Тогда при Л' = 1 имеем

n n n n

i—1 г=1 г=1 г=1

fiUi = Al + fil, g'jVj = pji + д'п, coz fu П coz g'ix = 0 для г, j e {1,..., n}.

Рассмотрим шаг k > 1 (k ^ n) в предположении, что

fe—1 n n fe—1 n n

s = + Лл-i = ^ + E и

/=1 i=1 г=1 /=1 г=1 г=1

fc-1 fc-1

fiUi = ^ Pu + fi,k-U 9jvj = ^ ACM+1) mod n) + l,/ + S^fc-U /=1 /=1

COz/^_i П COZp¡(¿+p_2) mod n) + l,fc-l = 0 для всех G 1,n и p G {1,k — 1}. Тогда

k n n k n n

/=1 г=1 г=1 /=1 г=1 г=1

/с /с

fi^i = ^ /Зц + fik, fi^j = modn) + b I + S'jki

1=1 1=1

cozfik П coz^(m_1} modn)+ijib =

Для всех г G {1,n}, p G {1,к - 1} и j = ((г + р - 1) mod n) + 1 имеем cozfik = coz(/^_i - (Дл_х A mod n)+i,fc-i) ^ coz/¿,fc-b

аналогично соъд'-к С соъд'-к_х В силу предположения cozfikncozg'jk = 0. Значит, cozfik П coz^(-+p_2) modn)+ljfc = 0 для всех p G {1,fc}.

При к — n имеем cozfin П cozgfjn = 0 для всех G {1,n} или

n n

coz fin n coz 9jn = 0-

i=l 3=1

Откуда для любых Е {1,п} имеем

п п

= = о, « =

1 ^=1 г5<7 = 1,п

п п

/г^г — ? — то<1 + — А;/ •

.7 = 1 г=1 г=1

Получаем

п п п

г=1 г=1 .7 = 1

п п2

я = Х/^ = =

.7 = 1 ¿7 = 1,п &=1

п п2

/ = /г = X А^Г1 = X =

¿=1 г5<7=1,п г5<7 = 1,п ^=1

Опираясь на лемму 2, легко убедиться в справедливости следующего предложения:

Предложение 7. Пусть р некоторая конгруэнция на полуполе и(Х), К = [1]р. Тогда отношение ~к является наименьшей конгруэнцией на полукольце С+(Х), склеивающей ядро К: К С

2. Полукольца непрерывных функций на ^-прост-ранствах

Подмножества А и В пространства X называются функционально отделимыми, если существует функция / Е С(Х), принимающая значение 0 на А и 1 на В.

Подпространство А топологического пространства X называется С*-расширяемым, если любая ограниченная функция из С (А) непрерывно продолжается до некоторой функции из С(Х).

Теорема В. Для любого топологического пространства X следующие условия равносильны:

1.Х Г-пространство;

2. непересекающиеся конуль-множества на X функционално отделимы;

3. для любой функции / Е С'(Х) множества пед/ и ров/ функционально отделимы;

4- любое кону ль-множество на X С* -расширяемо;

5. каждый идеал в С(Х) выпуклый (абсолютно выпуклый);

6. решетка всех идеалов кольца С(Х) (равносильно, полукольца С+(Х)) дистрибутивна;

7. решетка конгруэнций Соп1/(Х) дистрибутивна;

8. У и Е и(Х) кег(п) = кег(п V и'1).

Характеризации 2-5 имеются в [3], условие 6 для колец С{Х) доказано Е. М. Вечтомовым в [8], а для полуколец С+(Х) в [5], условия 7 и 8 получены Д.В. Широковым в [9].

Теорема 1. Для любого пространства X равносильны условия:

1.Х Г-пространство;

2. Сопи(Х) = Соп11у (X);

3. (У/^/г Е С{Х\ / ^ Н ^ д)(3а Е С{Х\ о^ 1)

[к = а/ + (1- а)д};

4. ^к— Рк для любого ядра К;

5. для любого ядра К / рк д тогда и только тогда, когда / = дк для некоторого к Е К;

6. отношение о на полукольце С+(Х) , заданное условием

¡ад^(3иеЩХ))/ = ди, является конгруэнцией на нем; 1. классы любой конгруэнции полукольца С+(Х) выпуклы;

8. классы любой конгруэнции полуполя и(Х) выпуклы;

9. ядра всех конгруэнций полукольца С+(Х) выпуклы.

Доказательство. 1) 2). Пусть X является F-пространством. Возьмем произвольную функцию v е kerv(t¿). По предложению 4 справедливо неравенство 1 ^ v\Jv~l ^ u\Ju~l. Значит, v\Jv~l — 1 ^ u\Ju~l — 1. По условию 5) теоремы В идеал (и\/и~1 — 1 )С{Х) является выпуклым и vVv~l — le (иУu~l — 1 )С(Х). По теореме A vVv~l е ker(t¿). Пользуясь условием 8) теоремы В, имеем v е ker(t¿). Значит, на F-пространстве kerv(t¿) С ker(t¿). В тоже время, всегда ker(t¿) С kerv(t¿).

Итак, kerv(t¿) = ker(t¿) для любой и е U(X). Следовательно, ConU(X) = Conf/v(X), поскольку каждая конгруэнция полуполя U(X) (полуполя UV(X)) является объединением главных конгруэнций полу-поля U(X) (t/v(X)).

2) 4). Пусть Con[/(X) = ConUy(X). Тогда конгруэнция является конгруэнцией на CV(X). По предложению 5 рк С другой стороны, ^^С рк по предложению 7. Откуда и следует условие 4).

4) 8). Рассмотрим произвольное ядро К полуполя U(X). Исходя из посылки ^к— Рк, заключаем что рк — конгруэнция полуполя U(X). По предложению 5 имеем [1]Рк = К. Значит, ядро К выпуклое. Пусть р е Con[/(X), / е и(Х), дъд2 е [д]р и 9l ^ f ^ д2. Тогда дхд~х ^ fg~l ^ 929~1 и gig~l,g2g~l е к. Откуда /fif-1 е К, или / е

8) 1) Возьмем идеал / кольца С(Х). Пусть / е С+(Х) и д £ I такие, что 0 ^ f ^ д. Тогда l^l + f^l + д. Рассмотрим идеальную конгруэнцию 7(/) е Соп[/(Х) и ее ядро ií = [1]7(/). Тогда К — (1 + /) П [/(X) и 1 + д е ií. По условию 8) все ядра выпуклы, следовательно, 1 + / е К и / е /. Значит, произвольный идеал / выпуклый. По условию 5) теоремы BI F-пространство.

1) 3). Рассмотрим функции / ^ д ^ h из С+(Х). Па pos(g — /) = coz((g — /) V 0) рассмотрим непрерывную функцию а' — {д — К)/{д — f). Очевидно, 0 ^ <У ^ 1. Тогда по условию 4) теоремы В о! продолжается до искомой функции а е С(Х).

3) 7). Пусть f,g,h Е С+(Х), f ^ h ^ д и f,g е [f]T (т G СопС+(Х)). Тогда для некоторой а е С+(Х), а ^ 1, справедливо [/i]T =

[а/+(1-а)£]т = [«]т[/]т + [1-«]т[^]г = [«]T[/]r + [l-«]r[/]r = ([«]r + [l-

а]т)[/]т = [а + 1 — a]T[f]T = [/]т. Значит, h е [/]т и класс [/]т выпуклый.

Имплпканпя 7) 9) очевидна, а 9) 1) доказывается аналогично импликации 8) 1).

1) 5). Пусть X F-пространство и К—ядро полуроля U(X). Возьмем функции /, д е С+(Х), для которых f рк 9- Тогда по определению отношения рк найдутся такие k\,k2 е ÜT, что 6/Á4 ^ / ^ дк2-Очевидно, coz/ = cozg.

На coz^ функция k\k^1 ^ fg~lk2l ^ 1 и непрерывна. Следовательно,

она продолжается до функции х' £ С+(Х) Возьмем х — х' V kik^1 G U(X). Имеем X — xl — Î9~lk2l на coz9 и k\k2l ^ X ^ 1 на всем X. Значит, х £ ^ и k = G

На cozg имеем к = /д-1 или / = дк. Откуда / = дк на всем X.

5) 6). Поскольку множество U(X) является V-ядром, то а — Ри(х) будет конгруэнцией на С+(Х) по предложению 5.

6) 1). Очевидно, a С другой стороны, ~u(x)Ç: ° п0 предложению 7. То есть а Рассмотрим произволные функции 9ъ9ч £ С+(Х), такие, что cozgi П согд2 = то есть 6/ig2 = 0. Возьмем функции g = gi + g2J = + 2#2 G C+(X). Тогда / д. Поэтому f cf g•) то есть f — ди — g\U + д2и для некоторой и G U(X). Функция

непрерывная на cozg, принимает значение 2 на cozt/i и 1 на cozд2. По условию 2) теоремы В X является F-пространством. Теорема полностью доказана.

Полукольцо S называется абелево-регулярным положительным (агр-полукольцом), если S - абелево-регулярное (т. е. для любого a G S найдется такой элемент х G 5, что axa — а, и каждый его идемпотент е коммутирует с любым элементом из S) и положительное полукольцо (т. е. для любого элемента a G S элемент а + 1 обратим в 5).

Пусть а - конгруэнция на дистрибутивной решетке L(S) всех идем-потентов полукольца S я г - конгруэнция на полутеле U(S) всех обратимых элементов полукольца S. Пара конгруэнций (сг, т) называется согласованной, если она удовлетворяет условию: eaf тоср(е) = то<^(/), где конгруэнция </?(е) задается условием: и (р(е) v ^ eu — ev, u,v £ U (S).

Нам потребуется следующая теорема О.В. Старостиной [10]:

Теорема С. Отображение а: р —ï (p\l(s), p\u(s)) является изоморфизмом решетки всех конгруэнций ConS агр-полукольца S на под-решетку решетки всех согласованных пар конгруэнций ConL(S) х ConU(S).

Теорема 2. Множества конгруэнций СопС+(Х) и СопСу(X) равны тогда и только тогда, когда X Р-пространство.

Доказательство. Необходимость. Пусть ConC+(X) = ConCv(X). Покажем, что, для любой функции т G С+(Х), множество Z{r) открыто. Множество МХо = {/ G С+(Х) | /(х0) = 0} служит идеалом полуколец С+(Х) и CV(X). Пусть р — р(МХо) конгруэнция Берна С+(Х), а о — а(МХо) конгруэнция Берна на CV(X). Тогда их классы нуля совпадают с МХо. Более того, они являются наименьшими такими конгруэнциями. Учитывая ConC+(X) = ConCv(X), получаем р — о.

Для любых д, К е С+(Х) е £/(Х)), таких, что д рН существует ср, ф е МЖо, для которых д + (р = к + ф. Тогда д(хо) = Предполо-

жим, что д(хо) > 0. Так как да к то существует % £ М{рсо), с условием д V % = х- Так как [д]р ф МЖо, то существует такое открытое множество А Э хо, на котором х < 9 Л /. Следовательно, д\А =

Итак, если две непрерывные функции в какой-то точке положител-ны и равны, то они равны и в некоторой открытой окрестности этой точки.

Возьмем произвольную функцию / Е С+(Х) и любую точку х0 £ Тогда функции 1 и 1 + / равны 1 в точке х^. Значит, 1 + / = 1 на некотором открытом множестве А, содержащем Имеем А С Z(f). Поэтому, нуль-множество Z(f) является открытым множеством. Итак, любое нуль-множество пространства X открыто, то есть X является Р-пространством.

Достаточность. Пусть X Р-пространство. Тогда С+(Х) и Су (X) являются агр-полукольцами. Значит, Ь(С+(Х)) = Ь{СУ{Х)). Так как любое Р-пространство является Р-пространством, то Сопи(Х) = = Сопиу (X) по теореме 1. Тогда по теореме С получаем: СопС+(Х) = = СопСу(Х).

Замечание. Решетка Соп 11у (X) всегда дистрибутивна. По теореме В дистрибутивность решетки Сопи(Х) равносильна тому, что пространство X является Р-пространством. Из теоремы 2 и теорем В и С вытекает, что решетки СопС+(Х) и СопСу(Х) дистрибутивна для любого Р-пространства X. Известно, что если одна из решеток СопС+(Х) или Сопи(Х) дистрибутивны, то X является Р-пространством [5, следствие 3.2].

Естественно поставить вопрос. Какое свойство топологического пространства X равносильно дистрибутивности решетки СопС+(Х) (решетки СопС^Х))?

Литература

1. Gillman L., Henriksen М. Concerning rings of continious functions.

//Trans American Math. Soc. 1954. V.77. №2. P. 340-362.

2. Gillman L., Henriksen M. Rings of continious functions in which every finitely generated ideal is principal // Trans American Math. Soc. 1956. V.82. №2. P. 366-391.

3. Golan J.S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoetical computer science. Harlow: Longman scientific and technical, 1992.

4. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. N.Y.: Springer-Verlag, 1976.

5. Варанкина В.И., Вечтомов Е.М., Семенова И.А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы,конгруэнции //Фундам. и прикл. математика. 1998. Т.4- №2. С. 493-510.

6. Полин С.В. Простые полутела и полуполя //Сиб. матем. журнал. 1974. Т. 15. т. С. 90-101.

7. Семенова И.А. Максималные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций // Фундам. и прикл. математика. 2000. Т. 6. №.1. С. 305-310.

8. Вечтомов Е.М. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и F-пространства /¡Матем. заметки. 1983. Т. 34. №3. С. 321-332.

9. Широков Д.В. Условия дистрибутивности решетки конгруэн-ций полуполя непрерывных положительных функций //Вестник ВятГГУ. 2003. №8. С. 137-140.

10. Старостина О.В. Строение абелево регулярных положительных полуколец // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. №4(16). С. 141-151.

Summary

Vechtomov E.M., Chuprakov D.V. Congruences on semirings of continious functions and F-spaces

The congruences of semirings of non-negative continuous functions on topological space are investigated. In terms such congruences new algebraic characterizations of F-spaces and P-spaces are received.

Вятский гуманитарный университет

Поступила 12.01.2008