CC BY
12Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. Ц-2011
УДК 512.566
РЕШЕТКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ЕДИНИЧНОМ ОТРЕЗКЕ
Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина
В работе изучаются решетки С(X, I) всех непрерывных функций, заданных на топологических пространствах X и принимающих значения в числовом отрезке I = [0,1]. Доказана определя-емость любого компакта X как решеткой идеалов, так и решеткой конгруэнций решетки С(Х, I). Описаны замкнутые идеалы топологических решеток Ср(Х, I) с топологией поточечной сходимости. Как следствие получена определяемость произвольного тихоновского пространства X решеткой СР(Х, I).
Ключевые слова: решетка, функция, определяемость, идеал,
фильтр, полукольцо, аннулятор, конгруэнция, тихоновское пространство.
1. Введение
Разнообразные алгебраические системы функций и пространства функций образуют важнейшее направление в математике, составляющее в частности основу функционального анализа, общей топологии, топологической алгебры. Многие абстрактные математические объекты могут быть реализованы как функциональные структуры.
В этой статье рассматриваются решетки С(Х) = С(Х, М) всевозможных непрерывных вещественнозначных функций на топологических пространствах X с поточечным отношением порядка: для любых функций ¡,д Е С (X)
/ < д означает, что /(х) < д{х) для всех х е X.
Это будут дистрибутивные решетки С{Х) с операциями тах(\/) и тгп{/\) над функциями.
© Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., 2011.
Нас интересуют их иодрешетки С (X, I) функций со значениями в единичном отрезке I = [0,1], которые являются также подрешетками полных решеток Iх всевозможных 1-значных функций на X. Получаем уже ограниченные дистрибутивные решетки с наименьшим (наибольшим) элементом — функцией-константой 0 (1) над X. Решетки С(Х, I) очевидно являются коммутативными полукольцами.
Заметим, что решетки С(Х, I) по своим свойствам близки к идемпо-тентным полукольцам С (X, I), наделенным операциями сложения V и обычного умножения функций. Но имеются и отличия уже решетки I от полукольца I : идеалы в них совпадают, но все собственные идеалы решетки I простые, а в полукольце I простыми будут только два идеала
— нулевой {0} и наибольший [0,1). Далее в тексте под полукольцами С(Х, I) будем понимать указанные идемпотентные полукольца.
Решетки С(Х) изучались в работах [1-6]. Капланский [2] доказал определяемость всякого компакта X соответствующей решеткой С(Х). Затем Широта [3] усилил этот результат, показав, что любое хьюитов-ское пространство X определяется решеткой С(Х). В свою очередь На-гата [4] доказал определяемость уже произвольного тихоновского пространства X топологической решеткой СР(Х), наделенной топологией поточечной сходимости. В. В. Пашенков [5] передоказал этот результат другим способом.
При изложении мы используем терминологию и некоторые результаты известных монографий [7-10].
Решетки С(Х, I) стали изучаться значительно позднее. Одними из первых работ по исследованию алгебраических свойств решеток и полуколец С(Х, I) стали статьи [11-13].
2. Предварительные понятия
Введем исходные определения и обозначения.
Полукольцом называется непустое множество 5 с бинарными операциями сложения + и умножения •, для которых < 5, + > — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0, < 5, • > — полугруппа с нейтральным элементом 1 и а{Ъ + с) = аЬ + ас, (а + Ъ)с — ас + 6с,
0 • а — 0 = а • 0 для любых а, 6, с Е 5. Будем рассматривать коммутативные полукольца.
Идеалом (фильтром) полукольца 5 называется всякое его непустое подмножество <7, такое, что для любых а, 6 Е /, 5 Е 5 выполняется: аз Е <7, а+Ь Е J (а+з Е <7, аЬ Е </). Для идеалов /, J полукольца 5 множества
1 + J={f + 9^JeI>geJ}ъI'J = {YZ=Ji'9i^fiZІ^9ieJ,neЩ также являются идеалами в 5.
Аннулятором непустого подмножества М полукольца 5 называется множество АппМ = {<§ Е ¿> : те = 0}, которое необходимо будет идеалом в Идеал вида АппМ называется аннуляторным. Легко видеть, что идеал А полукольца 5 будет аннуляторным тогда и только тогда, когда А = Апп(АппА).
Множество МБ всех идеалов полукольца 5 относительно теоретикомножественного включения С есть решетка с операциями зир(1, </) =
I У 1 — I -\-1 и т/(/, J)=ІAJ = ІГ\J. Множество АпБ всех аннуля-торных идеалов полукольца 5 относительно С также будет решеткой, не являющейся, вообще говоря, подрешеткой в МБ.
Отношение эквивалентности р на полукольце 5 называется конгруэнцией, если р сохраняет полукольцевые операции, то есть
Уа, 6, а1, Ь\ Е 5 (арЬ и ахрЬх => (а + а\)р{Ъ + 61) и (аа\)р{ЪЬ1)).
Множество всех конгруэнций полукольца 5 образует решетку СопБ по отношению включения: р\ С р2 *<=>* Уа, Ь Е 5 (архЬ =>* ар2&) для любых р\, р2 Е СопБ. Операции в решетке СопБ определяются следующим образом: р\ А р2 = /?1 П р2, р\ V р2 ~ транзитивное замыкание композиции отношений рх о р2. Напомним, что при любых а, Ь Е 5 и Ръ р2 € СопБ
а(р1 П р2)6 *<=>* архб и ар26, а(/?1 о р2)& *<=>* Зс Е 5 (а/^с и ср26).
Наибольшим элементом решетки СопБ является единичная конгруэнция 1 : а1Ь для любых а, Ь Е 5 (то есть одноклассовая конгруэнция на 5). Наименьшим элементом в СопБ служит нулевая конгруэнция 0 : аОЬ *<=>* а — Ь для любых а, Ь Е 5 (то есть отношение равенства).
Замечание 1. На топологическом пространстве X введем следующее отношение эквивалентности х ~ у, если /(х) = /(у) для любой функции / Е С(Х, I). На фактормножестве тХ — X/ ^ существует наименьшая топология, относительно которой непрерывны все функции / : тХ I, где / Е С(Х, I) и /(х) = /(х) при любом х Е X ([7, р. 41]). Пространство тХ тихоновское (то есть вполне регулярное хау-сдорфово) и С(Х, I) = С(тХ, I) при каноническом отображении / /.
Для пространства тХ существует стоун-чеховская компактификация /3(тХ) = ¿V, дающая изоморфизм С(тХ, I) = (7(^,1) ([7, р. 82]) Таким образом, любому топологическому пространству X соответствует компакт ¿V = /ЗтХ (то есть компактное хаусдорфово пространство), такой, что полукольца СI) и С(Х, I) канонически изоморфны. Поэтому для изучения алгебраических свойств полукольца и решетки С (X, I) можно считать пространство X компактом. □
Под окрестностью подмножества топологического пространства понимается любое содержащее его открытое множество. Через U будем обозначать замыкание множества U CI, через [7° — его внутренность.
Каждой функции / Е С(Х, I) соответствует ну ль-множеств о Z (/) = /-1(0), его внутренность Z °(/) и кону ль-множество coz / = X \ Z(f). Любому подмножеству А С X в полукольце (решетке) (7 (X, I) отвечают идеал Ма — {/ Е С(Х, I) : /(А) = {0}} и конгруэнция А4 : ÍPa9 & / = д на А <& А С Z(/ - #).
Каждой точке х Е X ъ решетке С*(Х, I) сопоставляются: идеал Ox={f £ С(Х, I) : х £ z°(/)}=U {Mjj : U — окрестность точки х}; фильтр Ех=1— Ox={fEC(X, I): /=1 на некоторой окрестности точки ж}; конгруэнция = IJ {p¡j : U — окрестность точки х}, то есть fSxg -ФФ-ж е Z°(/ — д) для любых f,g£ С(Х, I).
Для нас будут важны следующие три утверждения:
Лемма 1. Пусть X — тихоновское пространство и (х\, X2, •••, Xk)
— п-ка его точек. Тогда существуют такая функция е € С(Х, I), что е(х\) = 1 и е(Хг) = 0, i = 2,к.
Доказательство. Поскольку X тихоновское, то для каждого индекса i = 2,к в СР(Х, I) найдется такая функция e¿, что e¿(xi) = 1 и ei(xi) = 0. Тогда для функции е = П е* имеем следующие равенства:
г=2,...,/с
e(xi) = 1 и ei(xi) = 0 для любого i = 2,к. □
Лемма 2. Пусть X — тихоновское пространство и U — окрестность точки х Е X. Тогда существуют такие окрестности V С W точки х и функция / G С(Х,1), что W С U и f(X \ W) = {0} и
f(v) = {!}•
Доказательство. В силу тихоновости пространства X существует функция h е С(Х, I), для которой h(x) = 1 и h(X \ U) = {0}. Положим / = 4((h — |) V 0) А 1 е С(Х, I). Обозначим W = U \ {х е X : h(x) < |} и V = {х G X : д(х) > |}, при этом V С W С U— окрестности точки х и X \ W — окрестность множества X\U. Имеем f = 0 н& X \ W и/ = 1 на окрестности V точки х. □
Легко видеть, что Ма = М-j для любого подмножества А \ X. Поэтому в обозначениях леммы 2 имеем /el — Му.
Подмножество V топологического пространства X называется канонически замкнутым, если V = U— замыкание некоторого открытого множества U С I. Отметим, что множество V будет канонически замкнутым тогда и только тогда, когда V = Vo.
Лемма 3. Пусть X — тихоновское пространство. Если у G X \ {х}, то Мд V Мв = С(Х, I) и рА° рв = Ра^ рв = 1 для некоторых
канонически замкнутых множеств А, В в X с условием х Е А0, у Е В°.
Доказательство. В пространстве X найдутся непересекающиеся окрестности их1 IIу точек х,у. Возьмем в С(Х, I) функции и /у, аналогичные функции / из леммы 2. Обозначим А = Мрг-, В = М^г, где, как и в лемме 2, 14 и 1/^ окрестности точек х и у. Тогда для функций 9х = 1 - ¡х е МА и ду = 1 - Е Мв получаем дхУ ду = 1. Для любой функции К Е С(Х, I) имеем К = = (ЛАрж)\/(/1Ар2/) Е МаУМв.
Значит, Ма V Мв = С(Х, I). Произвольным функциям А;, I Е С(Х, I) сопоставим функцию д — {к У дх) Л (/ V Е С(Х, I). Тогда крлд и дрв1, то есть А;(¿и о р#)/. Значит, рА о рв — 1. □
3. Определяемость компакта X решеткой идеалов решетки С(Х, I)
По изоморфизму решеток идеалов решеток С(Х, I) и С(У,1) над компактами X и У построим гомеоморфизм у? : X ¥. Данное построение легко переносится на случай полуколец С(Х, I) [15].
В решетке ЫС(Х, I) исследуем псевдодополнения ее элементов. Напомним, что псевдодополнением элемента а решетки (I/, V, А, 0) называется наибольший элемент а* Е I/, удовлетворяющий условию а А а* = 0.
Для идеалов Аж В решетки С(Х, I) имеем ЛЛВ = 0<^ЛПВ = 0. Поэтому для любого идеала А решетки С (X, I) аннуляторный идеал АппА — есть наибольший идеал среди идеалов В с условием АПВ = 0, то есть является псевдодополнением к А. Получаем, что аннуляторные идеалы решетки С (X, I) — это в точности псевдодополнения элементов решетки ЫС(Х, I).
Предложение 1. 7Ж7(Х, I) — полная решетка с псевдодополнениями.
Лемма 4. Если а : 7Ж7(Х, I) —>> ЫС(У, I) — изоморфизм, то и о\апС(х,Т) : АпС(Х, I) —>> АпС(У, I) — также изоморфизм.
Далее установим взаимно однозначное соответствие между множествами АпС(Х, I) и Ь(Х) всех канонически замкнутых подмножеств тихоновского пространства X.
Предложение 2. Псевдодополнения элементов решетки ЫС(Х, I) совпадают с идеалами вида Ма по всем канонически замкнутым подмножествам А С X.
Доказательство. Достаточно показать, что аннуляторные идеалы решетки С (X, I) совпадают с идеалами вида Ма по всем канонически замкнутым подмножествам А С X.
Пусть дан аннуляторный идеал AnnJ для некоторого идеала J € С(Х, I). Обозначим AJ = П¡ejZ(f). Тогда AnnJ = Mjj, U = X \ AJ Действительно, пусть / £ AnnJ и х £ U. Найдется такая функция д £ J, что д(х) ф0я/Ад = 0. Поэтому f(x) = 0. Значит, U С Z(f) и U С Z(f). С другой стороны, пусть / е Му. Если д е J, то Z(fg) = Z(f) U -Z’(fi') С U U AJ = X, то есть fAg=0nfe AnnJ.
Обратно, возьмем в X открытое множество U. Тогда Мц = AnnMx^j. Очевидно Му С A.\mMx^¡j. Для любой функции / е С(Х, I) \ Мц найдется такая точка х £ U, что f{x) ф 0. Поэтому найдется функция д е С(Х, I), для которой д(х) Ф 0 и д = 0 на X \ U. Значит, д е Mx\jj и f Ад ф 0. Откуда / (£ AnnMx\jj. □
Множество 1/(Х) относительно отношения включения С есть решетка, в которой А А В = А0 П Б°, А V Б = A U В. Эта решетка булева ([8, с. 11]), то есть дистрибутивная решетка с наибольшим (X) и наименьшим (0) элементами, каждый элемент А которой обладает дополнением А' — X \ А (А V А' — 1, А А А' — 0). Более того, L(X) — полная булева решетка.
Зададим отображение ¡jl = ¡ix : АпС(Х, I) —>L{X) следующим образом: ii(Ma) = А по всем канонически замкнутым множествам А С X. В силу предложения 2 отображение ¡i взаимно однозначно и обращает включения. То есть имеет место следующее утверждение:
Следствие 1. Решетка АпС(Х, I) аннуляторных идеалов решетки С(Х,1) антиизоморфна решетке L(X) канонически замкнутых подмножеств пространства X.
Поэтому решетка АпС(Х, I) является полной и булевой.
Введем отображение 7 : L{X) ->■ L(Y), 7(А) = pY{a(¡ix(A))) для всех А 6 L(X).
Следствие 2. .ёсуш а : IdC(X, I) —> IdC(Y,T) — изоморфизм, то 7 — изоморфизм булевых решеток канонически замкнутых множеств.
Рассмотрим максимальные фильтры в решетке L(X). Нам понадобятся следующие два хорошо известных свойства булевых решеток:
1) для любого максимального фильтра F и любого А 6 L(X) или А е F, или А! £ F;
2) любой собственный фильтр содержится в некотором максимальном фильтре.
Пусть а : IdC(X, I) —>■ IdC(Y, I) — фиксированный изоморфизм для произвольных компактов X и Y.
Лемма 5. Для любого максимального фильтра F булевой решетки L(X) существует такая единственная точка х £ X, что P|F =
Hagf ^ =
Доказательство. Покажем сначала, что р| ^ ф 0. Пусть это не так. Тогда для любой точки х Е X найдется такое канонически замкнутое множество А Е Г, что х Е X \ А. Из открытого покрытия компакта X множествами X \ А выберем конечное подпокрытие X \ А1,..., X \ А^. Тогда П^=1 Аг = 0, что невозможно. Значит,
Пусть 3 где £1 Ф х2 — точки их X. Существует такое
канонически замкнутое подмножество А топологического пространства X, что Х\ Е А0 и х2 Е А' — X \ А. Тогда А^ Г и Л' ^ противоречие.
□
На множестве всех максимальных фильтров булевой решетки Ь(Х) введем отношение эквивалентности ^ следующим образом: ^ ^ £7 р| ^ = р| £7. Обозначим через [^] класс эквивалентности, содержащий максимальный фильтр К
В решетке 1/(Х) определим фильтр, аналогичный идеалу Ож, х Е X. Положим 0Ж = {/¿(М^) : 11 — окрестность точки х} — это фильтр в решетке Ь(Х), состоящий из всех канонически замкнутых множеств, содержащих точку х в своей внутренности. Заметим, что По* = {^}.
Ламма 6. Для любого максимального фильтра Р булевой решетки Ь{Х) с условием р)Р = {ж} имеем ©я С Р.
Доказательство. Рассмотрим А £ ©ж. Имеем х £ А0'ях^Х\А = А1, то есть А1 ф Р. Значит, А £ Р. Поэтому Ох С Р. □
Предложение 3. Для любого максимального фильтра Р булевой решетки Ь(Х) имеем Пле^] ^ = П [-^1 = для однозначно определенной точки х £ X.
Доказательство. По лемме б Ож С Р| [Р] для однозначно определенной точки х £ X. Покажем, что ©ж Э р| [Р]. Пусть это не так, тогда найдется такое канонически замкнутое множество А, что А £ О для любого С 6 [Р] иже А\Л°. Рассмотрим фильтр Н в Ь(Х), порожденный множествами Ож и {А1}. Очевидно, Р| Н = {х}, то есть Н собственный. Найдется содержащий Н максимальный фильтр М решетки Ь(Х), принадлежащий [Р]. Это противоречит тому, что А1 ^ С для всех Се [Р]. Значит, 0Ж Э П [Р] • □
Покажем, что 7 сохраняет отношение ~ .
Лемма 7. Для произвольных максимальных фильтров Р и (7 булевой решетки Ь(Х) имеем
Р ~ С -ФФ- /1~1(А) V /1~1(В) ф С(Х, I) для любых А £ Р и В £ С.
Доказательство. Пусть Р ~ (?. По лемме 5 = п = {ж} для
некоторой точки х £ X. Произвольные множества А £ Р, В £ содер-
жат точку х. Тогда х Є 8 ц 1(А) П 8 ц 1{В), откуда ц Х(Л) V ц 1(А) ф С{Х,1).
Предположим, что ^ ^ С. Тогда р| Е = {х} ф {у} = р|<3 Для соответствующих точек х, у Є X. Возьмем иостоеиные в лемме 2 канонически замкнутые множества А Є Ох С Е и В Є 9у С £7. Получаем С(Х, I) = МА V МБ = ¡л~1{А) V ¡л-1{В). □
Из леммы 7 вытекает следующее утверждение:
Следствие 3. Для произвольных максимальных фильтров Г и Є булевой решетки Ь(Х) имеем Е ^ Є 7(і^) 7(0).
Определим соответствие (р : X У между компактими X и У формулой
(р(х) — у ^ 7(0ж) = @у Для любых точек х Є X, у Є У.
Предложение 3 и следствие 3 показывают, что (р является взаимнооднозначным отображением.
Теорема 1. Произвольные компакты X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки ЫС{Х, I) и ЫС(у, I) изоморфны
Доказательство. Пусть (р — гомеоморфизм компактов X на У, тогда (р индуцирует изоморфизм решеток а(ср) : С(Х, I) —С (У, I), где а((р)(/)(у) = /(^_1(і/)) для любых функции / Є С(Х, I) и точки у Є У. Значит, изоморфны соответствующие решетки идеалов ЫС (X, I) и ІЖ7(У,І).
Выше по изоморфизму а : 7Ж7(Х, I) —>> 7Ж7(У, I) мы определили биекцию (р : X —)► У. Покажем, что (р сохраняет некоторую базу топологии. Такой базой будет множество внутренностей всех канонически замкнутых подмножеств X. Рассмотрим любое открытое множество II и точку х в нем. Для II возьмем построенную в лемме 2 окрестность V точки ж. Тогда IV =У° С и и [/ = Цхеи 1У.
Пусть А Є Ь(Х) и х Є X. Тогда
х Є А0 о А є Ох О 7(А) є вф) О (р(х) Є 7(Л)°.
Следовательно, ^{Ай) = 7(Л)°. Таким образом, биекция ір сохраняет базу топологии, то есть является гомеоморфизмом. □
Замечание 2. По известной теореме представления М. Стоуна любая булева решетка (булева алгебра) Ь изоморфна булевой решетке всех открыто-замкнутых подмножеств нульмерного компакта МахЬ всех максимальных идеалов в Ь (со стоуновской топологией), определенного однозначно с точностью до гомеоморфизма [9, с. 41]. Нульмерность пространства означает, что его открыто-замкнутые множества образуют базу. При этом булева решетка Ь полна тогда и только тогда, когда
МахЬ экстремально несвязно (то есть замыкание любого открытого в нем множества открыто) [9, с. 140]. Значит, для компакта, не являющегося экстремально несвязным пространством, изоморфизм решеток аннуляторных идеалов не влечет гомеоморфизм соответствующих компактов. □
4. Определяемость компакта X решеткой конгруэнций на С(Х, I)
Определяемость компакта X решеткой СопС(Х, I) конгруэнций на С(Х, I) может быть доказана по той же схеме, что и для решетки идеалов ЫС(Х, I). Покажем это. Рассмотрим псевдодополнения элелемен-тов решетки СопС(Х, I). Для полукольца С(Х, М+) вид псевдодополнений элементов соответствующей решетки конгруэнций установлен в [14], для решетки С(Х, I) получается аналогичный результат.
Лемма 8. Для любых конгруэнций р, г на решетке С(Х, I) равенство р П г — 0 эквивалентно тому, что (/ — д)(Ь — д) =0 для любых функций /, С(Х, I) со свойствами /рд и hтq.
Доказательство. Предположим, что существуют такие функции /,#, М е С(Х,Т), что /рд и Ьтд и (/ - д){к - <?) ф 0. Тогда найдется точка х € X, для которой /(ж) ф д(х) и ¡г(х) Ф д(х). Можем считать, что/(ж) > д(х),}г{х) > д(ж). Для функций (¡ЛН)У(д/\д) и (рЛ/г) У(/Л#) имеем: ((/ЛЛ) V (0Лд))(/>Пт)((0ЛЛ) V (/Л?)) и ((/ЛЛ) V (рЛд))(ж) = (/ Л /г)(ж) > ((<7 Л /г) V (/ Л #))(#). Поэтому р П г ф 0.
Обратно, пусть для любых функций /, д, /г,, д е С(Х, I), таких, что /рд и /т/, выполняется равенство (/ — д){Н — д) = 0. Тогда, если &(рПт)/ для к, I € С(Х, I), то (к — 1)(к — I) = 0 и к = I. Значит, р П г = 0. □
Предложению 2 соответствует следующее:
Предложение 4. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда псевдодополнения элементов в решетке СопС(Х, I) совпадают с конгруэнциями вида Ра по всем канонически замкнутым подмножествам А С X.
Доказательство. Покажем сначала, что для любой конгруэнции р е СопС(Х, I) существует такое канонически замкнутое множество А, что р* = Ра- Для это возьмем конгруэнцию рА для А = УЛ г сог(к — I). Тогда для любых функций /, д,/г, д £ С(Х, I), таких что /рд и Ирдд, (/ ~ 9) ~ я) = 0. Значит, по лемме 7 р П рА = 0.
Конгруэнция рд является наибольшей со свойством рГ) ра = 0. Действительно, для любой конгруэнции а € СопС(Х, I), если р П а = 0, то по лемме 7 для всех функций /, д,/1, д 6 С(Х, I), таких что f рд и Дсгд, (/ ~ д){^ ~ я) = 0. Получаем (1г — д) = 0 на УЛ г сог(к — I) = V и а С Значит, р* = ра-
Покажем, что для канонически замкнутых множеств А и В в X, если Ра — Рв, т0 А = £?, то есть множесво А единственное. Предположим, что А ф В. Тогда А® % В или В® % А. Найдется точка х G X, для которой х £ А0, х ф В или х G В°,х £ А. Достаточно рассмотреть первый случай: пусть х G А0 и х ^ В. Для окрестности U = А°П(Х\£?) точки х возьмем функцию / G Де, построенную в лемме 2. Имеем / = О на Б и /(х) = 1, то есть fpB0 и / ^ [0]РЛ. Поэтому рАф рв.
Обратно, покажем, что для любого канонически замкнутого множн-ства А конгруэнция рА служит псевдодополнением к конгруэнции Px\j G СопС{Х, I). По уже доказанному нам достаточно доказать равенство А = [Jkp___г coz(A; — /). Очевидно [Jkp_t coz(k — I) С A. Пусть
x G A. Найдется окрестность U точки x не пересекающаяся с множеством X \А. Для нее возьмем функцию /, построенную в лемме 2. Имеем fpx\j^f, (/ — — \ и х G Ufcp г coz(fc — /). Значит,
A = \Jkp_lcoz(k-l). □
Для решетки PC (X, I) всех псевдодополнений элементов решетки конгруэнций СопС(Х, I) отображение v — vx : РС(Х, I) —» Ь(Х), ^(Ра) = ^4 для всех канонически замкнутых множеств А С X, является антиизоморфизмом решеток. Аналогом леммы 7 служит:
Лемма 9. Для произвольных максимальных фильтров Е и G булевой решетки L(X) имеем
F ~ G z/-1(A) V z/_1(i?) ф 1 при любых 4 G F и ß G G.
Доказательство. Пусть F ~ G, то есть |-|F = ПС = М- Возьмем произвольные множетва А £ F, В £ G. Получаем v~l(Ä) С р^х} и v~l{B) С Значит, ^_1("4) v ^ PW Ф 1-
Предположим, что F ф G. Тогда М = Ф flG = М- Для точек х и у возьмем посторенные в лемме 2 канонически замкнутые множества А £ Ох С F и В £ Оу С G. Получаем 1 = рА V рв = z/_1(A) V г^_1(Б). □
Из лемм 8 и 9 и предложения 4 получаем:
Торема 2. Компакты X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки СопС(Х,Т) и СопС^У,!!) изоморфны.
Из теорем 1 и 2 и замечания 1 вытекает
Следствие 4. Для произвольных топологических пространств X и У следующие утверждения эквивалентны:
1) решетки С(Х, I) и C(Y, I) изоморфны;
2) решетки IdC(X,T) и IdC(Y,T) изоморфны;
3) решетки СопС(Х, I) и СопС(У,1) изоморфны.
Замечание 3. Покажем, что не всякий изоморфизм решеток а : ЫС{Х, I) ЫС(У, I) (а : СапС(Х,1) СопС{У, I)) индуцируется гомеоморфизмом компактов X и ¥.
Пусть X = /5((0,1)) — стоун-чеховская компактификация числового интервала (0,1). Возьмем непрерывное отображение г : (0,1)
[4,+оо), г(х) — Зададим отображение 5 : С(Х, I) —С(Х, I),
положив £(/) = /3(/г) для любой функции / Е С(Х, I). Функция /г Е С((0,1), I) непрерывная и ограниченная на интервале (0,1). Тогда £(/) Е С(Х, I). Очевидно, что 5— решеточный гомоморфизм. Прообразом произвольной функции д Е С (X, I) будет функция /, заданная формулой / = /^(д1^). Поэтому 6— изоморфизм. Идеал 6~1(МХ) содержит все константы 0 < с < 1 для любой точки х Е X \ (0,1), то есть в этом случае 5(с)(х) = 0.
Автоморфизм 5 : С (X, I) —>> С (X, I) индуцирует автоморфизм а : ЫС{Х, I) ЫС{Х, I) (а : СопС(Х,1) СопС(У,1)) решетки идеалов (конгруэнций) решетки С(Х, I). Легко видеть, что гомеоморфизм у?, полученный выше по изоморфизму а, не порождает как исходный изоморфизм решеток 5, так и полученный изоморфизм решеток идеалов (конгруэнций) а. □
Замечание 4. Для полуколец С(Х, I) теоремы 1 и 2 и следствие 4 также справедливы [15] и доказываются аналогичным образом. □
5. Решетки С(Х, I) с топологией поточечной сходимости
Для изучения свойств решеток (полуколец) С (X, I) в случае тихоновских пространствах X целесообразно ввести топологию на них.
Множество С (X, I) будем рассматривать как подпространство декартовою произведения Iх с топологией поточечной сходимости. Относительно этой топологии поточечные операции V и А ( и умножения функций) непрерывны на С(Х, I). Следовательно, получаем топологические решетку (топологическое полукольцо) СР(Х, I). Для каждой точки х Е X проектирование 7ГЖ(/) = /(ж), / Е С(Х, I), является непрерывным эпиморфизмом Ср(Х, I) —)► I.
Идеал J С СР(Х, I) называется замкнутым идеалом, если J есть замкнутое множество в СР(Х, I). Опишем далее замкнутые идеалы в топологической решетке СР(Х, I). Приведенные ниже рассуждения легко переносятся на случай топологического полукольца СР(Х, I). Другой способ доказательства утверждений для топологического полукольца СР(Х, 5), где 5 — произвольное простое топологическое полукольцо,
реализован в [16].
Лемма 10. Идеалы решетки I имеют вид [0, г] и [0, г) для произвольных значений г Е I. При этом простыми идеалами будут все собственные идеалы, а замкнутыми — всевозможные отрезки [0, г].
Отметим, что в решетке СР(Х, I) все идеалы выпуклые, то есть с каждым своим элементом содержат элементы, меньшие его. При этом все главные идеалы в ней замкнутые.
Замечание 5. Отметим, что в полукольцах С(Х, I) не все идеалы выпуклы. В топологическом полукольце СР(Х, I) замкнутые идеалы выпуклые. Действительно, пусть идеал J в полукольце СР(Х, I) замкнутый
(X, I). Возьмем произвольную базовую окрестность
11 элемента д в пространстве СР(Х, I): II = 11(хь ..., хп; ..., ип) = {Н Е Ср(Х,1) : Ь{Хг) Е 17г}, где XI Е X И 17г - окрестности чисел д(Хг) при г = 1,..., п. Отметим, что для любой точки ж* множество пх(.1), как образ идеала, является идеалом в I, то есть выпукло. Поскольку д < /, то для любой окрестности [/* числа д{х^ существует функция Е J, для кото-
П
рой ^(Хг) Е [/¿. Рассмотрим функцию ¡1 = ^ Ы-вг Е J, где вг — фуНКЦИИ
1=1
из леммы 1, соответствующие точкам {х\,х 1,^¿-1? хъ+ъ •••? хк)• Так как к(х{) = Ы(х{) • е{(х{) V ^ ^(х{) • — Ы(х{), то к(х{) Е ^ для любого
Зфг
ъ — 1, ...,п. То есть в любой окрестности функции д нашлась функция из замкнутого идеала 3. Следовательно, д Е 7 и идеал 7 выпуклый. □ Лемма 11. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда для любых замкнутого идеала <7 решетки СР(Х, I) и точки х Е X имеем 1Гх(,Х) = 7ГЖ(«7).
Доказательство По лемме 10 7гж(7) = {0}, или ттх(.Х) = [0, г], или 7ГЖ(7) = [0, г) для некоторого ненулевого числа г £ I.
Пусть 7ГЖ(7) = [0, г), тогда для любого индекса п Е N найдется функция дга е «/, для которой дп(х) = ^¡- = гп —> г. Обозначим окрестности У0 = X и 17п = {х Е X : дп+1(х) > гп} П Уп-\ точки х. Возьмем функции = (/п Л Гп) < Рга+Ъ^п для функций /г и окрестностей из леммы
2, соответствующие окрестностям точки х. Из выпуклости идеала 7 получаем Ь,п Е J. При таком построении
{гп, если х Е К;
0, если х Е X \ ип]
/п А гп, если х Е1/п\Уп
и уп-1 ^ипэ уп. Тогда г {к) = {х\ ип) и г(/п), где х\ип с г(/п) с
х \ Уп ^ х \ ип+1 С ^(/п+1). При этом £(/гп) С ^(Дп+1) и Иг = 0 для
г > п + 1 на Z{hn+l). Отметим, что Z(hn+^)0 Э Z(fn+l)0 Э (X \ Уп)° = х\упэ г{ьп), то есть г(^+1)° э г{Ьг).
Покажем, что функция 1г{х) = 8ир1гп(х) в Iх непрерывна. Для любой точки у ^ Ппем ип найдется окрестность ^ точки х, что у ^ С/Значит, у £ Z{hj). Среди индексов ] выберем минимальный г = тиу. Тогда Ь, = /г-1 V /12 V ... V /¿г на окрестности ^(/1г+1)° Э ^(Лг) точки у. Пусть далее у е Ппем ип = Ппем Тогда /г.(у) = г для любой окрестности ТУ числа г найдется число г, € IV, и для любых индексов i > j получаем f’j < ^ То есть функция И непрерывна в точке у.
Возьмем произвольную окрестность и элемента /г в пространстве СР(Х, I): и = и{хъ...,хп-иъ...,ип) = {д Е СР(Х, I) : д(хг) е Щ}. Поскольку ¡1 = Эйр¡1п, ТО ДЛЯ любой окрестности 17г числа к{Хг) существует функция е е/, ДЛЯ которой д^Хг) е Рассмотрим функцию
п
д = ^2 дг Л вг е 7, где е* — функции из леммы 1, соответствующие
г=1
точкам (^,^1,..., ж*_1, £¿+1, ...,Хк). Получаем, что р(^г) £ 11г для любого г = 1, ...,п. То есть в любой окрестности функции /г нашлась функция из замкнутого идеала J. Следовательно, к е J. □
Для любого непустого подмножества J решетки С (X, I) введем обозначение г/ = supJ в Iх, и назовем функции такого вида вс-функциями.
Предложение 5. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда замкнутые идеалы в решетке СР(Х, I) совпадают с идеалами J(^p) = {/ € С(Х, I) :/<<£>} по произвольным функциям Е Iх.
Доказательство По лемме 11 для любых замкнутого идеала 7 решетки Ср(Х,Т) и точки х £ X имеем 7гж(7) = [0,гх],гх £ I. Зададим отображение р : X —У I по правилу (р(х) = гх. По лемме 11 ,7 С Л^ф).
Обратно, пусть / £ Возьмем произвольную окрестность II эле-
мента / в пространстве СР(Х, I): II = II(х\,..., хп; ..., 11п) = {д € СР(Х,Т) : д(хг) е 17г}. Для любой окрестности [У* числа /(з^) € 7ГЖД7) существует функция //, е 7, для которой д^х,) 6 Рассмотрим функ-
п
цию 5 = XI № А е* ^ 'Л ГДе ег — функции из леммы 1, соответствующие
г=1
точкам (а^, ^1,..., £г-ъ £г+ъ..., £&). Получаем, что д(£г) Е для любого г = 1,..., гг. То есть в любой окрестности функции / нашлась функция из замкнутого идеала <7. Следовательно, / Е 7. □
Отметим, что данный факт можно было доказать по-другому, показав, что для тихоновского пространства X замкнутость идеала 7 решетки СР(Х,Т) равносильна условию 7 =
П [16]
Следующее утверждение проверяется непосредственно.
Предложение 6. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда для произвольного идеала .1 решетки СР(Х,1), любых функций <р, ф £ Iх и /,д Е С(Х, I) выполняются следующие свойства: 1) О(^) <
г7 = 2) 7\/ < г/ <7 С /; если .1 С /, то rJ < г/; 3) если
<р <ф, то Лу>) С У(ф); = гдф} ^ J{p>) = .1(ф); 4) J(f) V J(g) =
А/уд)-
Из предложений 5 и 6 получаем:
Теорема 3. Отображения Г(.) и J(■) устанавливают изоморфизм между решеткой ЫСР(Х, I) всех замкнутых идеалов .1 решетки С(Х, I) и решеткой всех вс-функций (р из Iх : г,/^) и «/(г/) = .].
Из предложения 5 и леммы 10 получаем
Следствие 5. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда замкнутые простые идеалы в топологической решетке СР(Х,1) суть в точности ([0, /']), при г £ [0,1),х Е X. В частности, минимальные замкнутые простые идеалы суть Мх.
Поскольку в коммутативном полукольце полупростые идеалы совпадают с пересечениями простых идеалов, их содержащих, то имеет место
Следствие 6. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда замкнутые полупростые идеалы в топологической решетке СР(Х, I) суть в точности ПжеА жх 1 ([0? г])? для А С Х,г £ [0,1). В частности, минимальные замкнутые полупростые идеалы суть Мд.
Следствие 7 [4]. Произвольные тихоновские пространства X и ¥ гомеоморфны тогда и только тогда, когда топологические решетки СР(Х,1) и Ср(У,1) изоморфны.
Доказательство Для произвольного решеточного изоморфизма а : СР(Х, I) —>■ Ср(у, I) зададим отображение р : X —>■ ¥ по правилу р(х) = у, если а(Мх) = Му. По следствию 5 отображение <р биективно. При этом (р сохраняет нуль-множества, то есть базу топологии. Значит, <р гомеоморфизм. □
I 0, если х = Хо Е X;
Поскольку функции вида, <рх = < . является
I 1, если х е X \ {жо}
^с-функцией, то из теоремы 3 вытекает
Следствие 8. Произвольные тихоновские пространства X и ¥ гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки 1с1Ср(Х,Т) и ЫСр{у, I) изоморфны.
Для тихоновского пространства X и точки у £ ¡ЗХ обозначим Оу =
{/ е ‘у е Ш^)0}.
Предложение 7. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда
любой простой идеал Р решетки С (X, I) содержит идеал Оу для однозначно определенной точки у Е /ЗХ.
Доказательство. Докадем сначала для компакта X. Пусть предложение не выполняется. Тогда для любой точки х Е X найдется такая / Е Ох \ Р, что /(х) = 0 на некоторой окрестности IIх точки х. Для открытого покрытия С/ж, х Е X, компакта X существует конечное подпокрытие Е/ь ..., Е4, для которого 0 = ДА.. .ЛД Е £\Р, противоречие. Значит, Р содержит Ож для некоторой точки х Е X. Единственность этой точки вытекает из леммы 3. Для произвольного тихоновского пространства X и любого простого идеала Р в С (X, I) простым будет идеал Р^ лежит в С(/ЗХ, I) = С(Х, I). Известно, что Z0(//3) = (%(1)рХ)° для любой функции / Е (7 (X, I). Тогда искомое предложение выполняется в силу доказанного. □
Предложение 8. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда:
1) Для любой точки х Е X имеем Ох — Мх\
2) Для любой точки р Е /ЗХ \ X имеем Ор = С(Х, I).
Доказательство. 1). Легко видеть, что Мх ~Э Ох и множество Мх
замкнуто в СР(Х, I). Покажем, что любая окрестность произвольной функции т Е Мх содержит некоторую функцию /г Е Ож. Пусть окрестность функции 771 определяется точками #1, #2, ИЗ X. Для окрестности и — Х \ ({^1, #2, •••? \ {^}) ТОЧКИ х возьмем функцию (/
из леммы 2. Получили функцию к = тд Е П Ж Значит, Ож = Мх.
2). Будем рассуждать аналогично. Имеем С(Х, I) ЗОри множество С(Х, I) замкнуто в СР(Х, I). Покажем, что любая окрестность произвольной функции 8 Е С(Х, I) содержит некоторую функцию к Е Ор. Пусть окрестность функции 8 определяется точками #1, #2, из
X. Для окрестности и = /ЗХ \ {^ь^ точки р возьмем из лем-
мы 2 в С(/ЗХ, I) функцию д — д±. При этом дх Е Ор, д(/ЗХ \ II) = ^1({х1,х2, ...,хп}) = {1}. Получили функцию К = Е П Ж Значит, Ор = С(Х,1). □
6. Приложения
В этом пункте мы дадим ряд решеточных характеризаций свойств топологических пространств.
Напомним, что топологическое пространство X называется экстремально несвязным (базисно несвязным), если все его канонически замкнутые множества (замыкания всех конуль-множеств в X) открыты, то есть открыто-замкнутые. Г-пространство может быть определено как топологическое пространство X, в котором любые два непересека-ющиеся конуль-множества функционально отделимы [7, 14].
Из известных характеризаций экстремально несвязных и базисно несвязных тихоновских пространств X в терминах условий полноты решетки С(Х), [7, example 3N.6] и [7, example 3N.5], получаем следующие предложения:
Предложение 9. Произволъеное тихоновское пространство X экстремально несвязно тогда и только тогда, когда решетка С (X, I) полна.
Предложение 10. Базисная несвязность тихоновского пространства X равносильна счетной полноте решетки С(Х, I).
Дистрибутивная решетка L называется нормальной, если для любых элементов а, Ъ 6 L с условием аЪ = 0 существуют такие элементы c,dE L, что cd = 0na + c = b + d= 1. Решетка L, обладающая двойственным свойством, называется конормальной.
Предложение 11. Для любого топологического пространства X эквивалентны следующие утверждения: 1) X есть F-пространство;
2) решетка С(Х, I) нормальна; 3) решетка С(Х, I) конормальна; 4) все главные идеалы полукольца С(Х, I) замкнуты в СР(Х, I).
Доказательство. Эквивалентность условий 1)-3) доказана в [11]. Легко видеть, что топологическое пространство X является F-пространством тогда и только тогда, когда / < g влечет / е gC (X, I) для любых функций f,g е С(Х, I) для всех f,g Е С(Х, I) [12]. Значит, 4) => 1). Если X — F-пространство, то любой идеал в полукольце С(Х, I) выпуклый. Но для главного идеала топологического полукольце СР(Х, I) его выпоклость очевидно равносильна замкнутости. □
Предложение 12. Для всякого тихоновского пространства X равносильны следующие условия: 1) X — дискретное пространство; 2) все sc-функции на X непрерывеные; 3) все замкнутые идеалы топологической решетки СР(Х, I) являются главными идеалами; 4) все замкнутые идеалы топологического полукольца СР(Х, I) главные.
Доказательство. Очевидно, что 1) =>- 2) и 1) =>■ 4). В силу теоремы 3 имеем 2) =>■ 3). Если замкнутые идеалы Мх,х е X, — главные,
0, если у = х е X;
1, если у е X \ {ж}
непрерывны. Значит,
3) => 1) и 4) => 1).
□
Литература
1. Kaplanskiy I. Lattices of continuous functions // Bull. Amer. Math. Soc. - 1947. - V. 53., № 6. - pp. 617-623.
2. Kaplanskiy I. Lattices of continuous functions. II // Amer. J. Math.
- 1948. - V. 70., № 3. - pp. 626-634.
3. Shirota Taira. A generalization of a theorem of I. Kaplansky // Osaka Math. J. - 1952. - V. 5, № 2. - pp. 121-132
4. Nagata Jun-iti. On lettice of tunctions on topological spaces and of tunctions on uniform spaces // Osaka Math. J. — 1949. — V. 1, Ns 2. — pp. 166-181.
5. Пашенков В. В. О структуре непрерывных функций на вполне регулярных пространствах // Матем. заметки. — 1976. — Т. 19, № 6. - С. 683-689.
6. Вечтомов Е. М. Решетки непрерывных функций // М.: ВИНИТИ, - 1977. - № 3352-77 Деп. - 29 с.
7. Gillman L., Jerison М. Rings of continuous functions. — N. Y.:
Springer-Verlag, 1976. — 300 p.
8. Гретцер Г. Общая теория решеток - М.: Мир, 1982. — 456 с.
9. Сикорский Р. Булевы алгебры. - М.: Мир, 1969. — 376 с.
10. Энгелькинг Р. Общая топология. - М.: Мир, 1986. — 752 с.
11. Вечтомов Е. М. Дистрибутивные решетки, функционально представимые цепями // Фундаментальная и прикладная математика.
- 1996. - Т. 2, № 1. - С. 93-102.
12. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. - Т. 4, № 2. - С. 493-510.
13. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. О простых идеалах полуколец непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Вестник У дм. ун-та — 2011. — Вып. 2. — С. 12-18.
14. Вечтомов Е. М., Чупраков Д. В. Псевдодополнения в решетке конгруэнций полуколец непрерывных функций // Вестник Сые-тывкарского ун-та. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. — 2009. — № 9. — С. 3-17.
15. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. Определяемость компактов решетками идеалов и конгруэнций полуколец непрерывных 0,1-значных функций // Известия вузов. Математика. — 2012. — №
1 (в печати).
16. Смирнова (Подлевских) М. Н. Замкнутые идеалы в полукольцах непрерывных функций с топологией поточечной сходимости // Вестник Вятского государственного педагогического университета. Митематика, информатика, физика. — 1996. — Вып. 1. — С. 16-18.
Summary
Vechtomov Е. М., Lubiagina Е. N. Lattices continuous function with values in unit segment
In this paper we prove that the lattice of ideals (lattice of congruences) in lattice C(X, [0,1]) determines any compactum X. We study the lattice of all continuous [0, l]-value functions on topological spaces X. We proved that any compactum X determined by the the lattice of ideals (the lattice of congruences) of a lattice C(X,1). We described the closed ideals of topological lattices CP{X,T) with the topology of pointwise convergence, we have that a Tikhonov space X defined by the lattice CP(X, I) as a consequence.
Keywords: lattice, function, ideal, filter, topological lattice, semiring,
congruence, Tikhonov space.
ВятГГУ
Поступила 01.10.2011
