CC BY
16
Summary
Take countable set of Fitting classes F; (i = 1, . . . , n , . . .) and take the set of all finite solvable groups in which F; -injektors are normal in groups (i = 1, . . , n , . . .). Had prooved thah
this class is the class of Fitting and this class containing class of all nilpotent groups. The conditions of normality of the injectors in finite solvable groups are investigating.
Поступила в редакцию 05.12.05.
УДК 512.542
Е.А. Задорожнюк
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ^-ЭКВИДИСТАНТНЫМИ МИНИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ
Все рассматриваемые нами в данной работе группы конечны. Все определения и обозначения стандартны и соответствуют принятым в [1].
Напомним, что цепь
G = G0 з G1 з ... з Gn = H
называется (G - Н)-цепью (с индексами |GI-1:G,|). Если при этом Gj является максимальной подгруппой в Gi-1 для любого I > 0, то указанная цепь называется максимальной (G - Н)-цепью. Длиной данной цепи называется число отличных от группы H членов цепи. Группа G удовлетворяет условию Жордана-Дедекинда относительно цепей, если для любой ее подгруппы H все максимальные (G - Н)-цепи имеют одну и ту же длину, обозначаемую l [G/H] (см., например, [2]). Понятно, что условие Жордана-Дедекинда эквивалентно следующему: все максимальные (G - 1)-цепи имеют одну и ту же длину. Очевидно, что условие Жордана-Дедекинда является решеточным и наследственным для подрешеток решетки всех подгрупп группы G.
Пусть теперь p - некоторое фиксированное простое число. Тогда мы будем говорить, что подгруппа H группы G p-эквидистантна в G, если в любой максимальной (G - ^-цепи имеется одно и то же число индексов, делящихся на p. И это число мы будем обозначать символом lp [G/H].
Целью данного работы является изучение групп, у которых все их минимальные подгруппы p-эквидистантны.
Имеет место следующая
Лемма 1. Пусть K - p-эквидистантная подгруппа в группе G. Тогда любая подгруппа H группы G, содержащая подгруппу K, является p-эквидистантной в G, группа K является p-эквидистантной в H, причем справедлива формула
lp [G/K] = lp [G/H] + lp [H/K].
Доказательство. Рассмотрим максимальную (G - К)-цепь, проходящую через H:
K = Go < Gl < ... < Gj = H < Gj+i < ... < GJ+n = G.
Пусть в этой цепи число индексов, делящихся на p, равно m. Зафиксируем часть этой цепи от H до K. Пусть в (H - К)-цепи число индексов, делящихся на p, равно к. Тогда в любой (H - K)-цепи число индексов, делящихся на p, равно m - к. Итак, группа H является p-эквидистантной в G.
Если зафиксировать часть цепи от G до H, то, рассуждая аналогично, получим, что и в любой максимальной (H - К)-цепи число индексов, делящихся на p, одно и то же. Таким образом, имеет место формула
lp [G/K] = lp [G/H]+ lp [H/K].
Лемма доказана.
Лемма 2. Если группа G p-сверхразрешима, то каждая ее подгруппа p-эквидистантна в G.
Доказательство. Из p-сверхразрешимости группы G для любой максимальной подгруппы M группы G имеет место в точности одна из следующих возможностей:
1) |gm = p;
2) |GM| - p'-число.
Значит, если рп - порядок силовской р-подгруппы Gp группы G, то в любой максимальной цепи группы G имеется в точности n индексов, делящихся на р. Отсюда и из леммы 1 вытекает, что все подгруппы из G р-эквидистантны в G. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть K а G и H - произвольная подгруппа группы G, содержащая K. Тогда подгруппа H/K p-эквидистантна в G/K тогда и только тогда, когда подгруппа H p-эквидистантна в группе G.
Лемма 4. Пусть G = [Р] M, где P - р-подгруппа группы G, M- р-сверхразрешимая подгруппа группы G. Пусть Z - подгруппа простого порядка группы M. Тогда группа PZявляется p-эквидистантной в группе G, причем имеет место равенство
1р [G/PZ] = 1р [M/Z].
Доказательство. Из р-сверхразрешимости группы MÄ G/P ввиду леммы 2 следует, что подгруппа PZ/P является р-эквидистантной в G/P. Ввиду леммы 3 подгруппа PZ является р-эквидистантной в группе G. Осталось доказать равенство
1р [G/PZ] = 1р [M/Z]. Рассмотрим максимальную (G - PZ)-^^
PZ = M0 <M1 < ... <Mt = G
и максимальную (G/P - PZ/Py^m,
PZ/P = M0/P <M1/P < ... <Mt/P = G/P.
Из р-сверхразрешимости группы MÄ G/P следует, что для любого i = 1, ..., t индекс Mi/P'-Mi-1/P\ равенр либо являетсяр'-числом. А так как \Mi:Mi-i\ = \Mi/P'.Mi_1/P\, то и индекс \Mf.Mi.1\ для любого i = 1, ..., t равен р либо является р'-числом. Так как
PZ П M = Z (M n P) = Z и G П M = M,
то, пересекая каждый член первой цепи с подгруппой M, имеем цепь подгрупп
Z = M0 П M<M П M< ... <Mt П M = M.
Понятно, что
Mi = Mi П PM = P M П M).
Поскольку
\м-м I- |М'-' - !р(м'пМ)| = 1P1 |м'-пм| |P^(MПM)| = \Mi nM| =
1 ' ' '| | M_j | | P(Mh1 n M) | | P n (M n M) | | P | | M_j nM | | M_j n M |
= | M n M: M_j n M |,
то число индексов, делящихся на р, в последней цепи равно числу индексов, делящихся на р, в первой цепи. Значит, имеет место равенство
1р [G/PZ] = 1р [M/Z].
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть G - р-разрешимая группа, такая, что в любой ее максимальной цепи число индексов, делящихся на p, одно и то же. Тогда G - р-сверхразрешимая группа.
Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть G - контрпример минимального порядка. Пусть P - минимальная нормальная подгруппа группы G.
Рассмотрим факторгруппу G/P. Так как условие теоремы переносится на факторгруппу G/P и \G/P\ < \G\, то ввиду выбора группы G факторгруппа G/P является р-сверхразрешимой. Поскольку по условию теоремы группа G является р-разрешимой, то P - либо элементарная абелева р-группа, либо р'-группа. Если P - р'-группа, то G является р-сверхразрешимой группой. Противоречие.
Значит, P - элементарная абелева р-группа. Положим, \P\ = рп. Тогда из того, что группа G не р-сверхразрешима, следует, что п > 1. Если P с Ф (G), то из р-сверхразрешимости факторгруппы G/P следует р-сверхразрешимость группы G/Ф (G). Но тогда и группа G р-сверхразрешима, так как формация всех р-сверхразрешимых групп является насыщенной. Противоречие.
Итак, Р X Ф(О), т. е. среди максимальных подгрупп группы О найдется такая, скажем, М, которая не содержит Р. Так как Р П М а О, а Р - минимальная нормальная подгруппа в группе О, то Р П М = 1. Итак, О = [Р] М. Ввиду условия теоремы в любой максимальной (О - 1)-цепи - одно и то же число индексов, делящихся на р. Значит, и в любой максимальной (М - 1)-цепи - одно и то же число индексов, делящихся на р. Ясно, что в любой максимальной (О - 1)-цепи, проходящей через подгруппу М
1 = Оо < О! < ... О( = М < О,
имеет место равенство
1р [О/1] = 1р [М/1] +1.
С другой стороны, в любой максимальной (О - Р)-цепи - одно и то же число индексов, делящихся на р. Очевидно,
1р [О/Р] = 1р [М/1].
Но тогда
1р [О/1] = 1р [О/Р] + 1.
Так как ввиду леммы 1 1р [О/1] = 1р [О/Р] + 1р [Р/1], то получаем, что 1р [Р/1] = 1, т. е. |Р| = р. Противоречие завершает доказательство теоремы.
Теорема 2. Пусть р-разрешимая группа G не является р-сверхразрешимой. Тогда любая минимальная подгруппы Р группы G является р-эквидистантной в G тогда и только тогда, когда О = [Р]М, где Р - нециклическая минимальная нормальная подгруппа группы G, являющаяся ее силовской р-подгруппой, причем Р = СО (Р) = Ор (О) = Е (О), М - р-сверхразрешимая подгруппа нечётного порядка, каждая нетривиальная подгруппа которой действует неприводимо на Р.
Доказательство. Необходимость. Пусть О - р-разрешимая, но не р-сверхразрешимая группа. Пусть Р - минимальная нормальная подгруппа группы О. Докажем, что Р - единственная минимальная нормальная подгруппа.
Действительно, ввиду леммы 3 в любой максимальной цепи факторгруппы О/Р содержится одно и то же число индексов, делящихся на р. Понятно, что группа О/Р является р-разрешимой. Но тогда ввиду теоремы 1 группа О/Р является р-сверхразрешимой. Значит, Р - либо р'-группа, либо р-группа. Но в первом случае из р-сверхразрешимости факторгруппы О/Р следует р-сверхразрешимость самой группы О. Значит, Р - элементарная абелева р-группа. Но тогда и группа О р-сверхразрешима. Так как формация всех р-сверхразрешимых групп является насыщенной, то Р X Ф (О). Тогда ввиду леммы 18.3 [3]
Р = С0 (Р) = Ор (О) = Е (О).
Таким образом, Р - единственная минимальная нормальная р-подгруппа группы О. Ясно также, что |Р| Ф р.
Пусть М - максимальная подгруппа группы О, не содержащая Р. Понятно, что Р П М = 1, поэтому О = [Р] М. Пусть 2Ч - подгруппа простого порядка q из М. Рассмотрим группу Б = [Р] 2Ч. Ясно, что
1Р [О/1] = 1р [М/1Ч] + 1.
Ввиду леммы 4 имеем
1Р [О/Р1Ч] = 1р [М/1^.
Но тогда
1р [О/29] = 1р [О/Р1] + 1. С другой стороны, ввиду леммы 1 имеем
1р [О/1,] = 1р [О/Р1] + 1р [Р1,}1],
т. е.
1р = 1,
что означает, что подгруппа 2С1 является максимальной в группе Б.
Предположим, что в группе Б существует неединичная нормальная подгруппа Р1, порядок которой меньше порядка группы Р. Тогда
г, < Р1< б,
что противоречит максимальности подгруппы в группе Б.
Итак, Р является единственной минимальной нормальной подгруппой в группе Б. Понятно также, что Р является минимальной нормальной подгруппой и в группе Т = [Р] Н, где Н - любая подгруппа группы М. Тогда Н является максимальной подгруппой в группе Т.
Предположим, что порядок группы М делится на простое число р. Пусть 2р - группа порядка р группы М. Так как 2р является максимальной подгруппой в группе Р!р, а индекс 2р в Р2р равен р, то |Р| = р. Противоречие.
Покажем, что порядок группы М не делится на 2. Предположим, что это не так, и пусть 12 - группа порядка 2 в М. Поскольку 12 < Р!2, то Р22 - группа Шмидта. Значит, ввиду [4, 243] = р. Противоречие. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть р-разрешимая группа О не является р-сверхразрешимой и О = [Р] М, где Р - нециклическая минимальная нормальная подгруппа группы О, являющаяся ее силовской р-подгруппой, причем Р = СО (Р) = Ор (О) = Е (О), М - р-сверхразрешимая подгруппа нечётного порядка, каждая нетривиальная подгруппа которой действует неприводимо на Р.
Пусть I - произвольная подгруппа простого порядка группы Р. Докажем, что подгруппа I является р-эквидистантной в группе О. Допустим, что существует максимальная (О - 1)-цепь, не проходящая через группу Р. Тогда в группе О найдется такая максимальная подгруппа Т, что
г с Т и Р X Т.
В этом случае
О = РТ и Т П Р = 1.
Но
1 ф I с Т П Р.
Противоречие.
Значит, все максимальные (О - г)-цепи проходят через подгруппу Р, и пусть
г < Р1 < ... < Рк = Р < ... < Рп = о -
одна из них. Если |Р| = рг, то в этой цепи г индексов, делящихся на р, I является р-эквидистантной в группе О.
Пусть теперь I - произвольная подгруппа простого порядка , группы О, не входящая в подгруппу Р. Тогда , ф р, и поэтому I содержится в некоторой холловской р'-подгруппе группы О. Рассмотрим произвольную максимальную (О - !)-цепь, проходящую через подгруппу М для некоторого х у О:
Ъ < ... <М < О.
В любой максимальной цепи такого вида имеется только один индекс, делящийся на р, а именно: ОМ = |Р|.
Рассмотрим теперь произвольную максимальную (О - !)-цепь, не проходящую через подгруппу М для всех х у О:
I = М0 < М1 < ... < Мк < Мк+1 < ... < М = О, в которой все М содержатся в группе М для некоторого х у О, где I у {0, ... к}, а для любого I = к + 1, ..., / не содержатся в М для любого г у О. Это означает, что р | М| для любого I = к +1, ..., /. Тогда ввиду [1, 21] (М,)р = Р П М - силовская р-подгруппа в группе М, где I = к + 1, ..., /. Так как (М,)р аМ,, то ввиду [5, 221] в группе имеются холловские р'-подгруппы. Пусть (М)р - одна из них. Тогда
м = [М п Р] (М)
Так как (М)р действует неприводимо на Р, то в Р нет такой собственной подгруппы Рь что (М)р с ЫО (Р1). Значит, так как (М,)р = Р П М, а М„ то Р П М, = Р, т. е. М, = [Р] (М)^ Понятно, что индексы \М{М-\\ для любого / = 1, ..., к на р не делятся. Для любого , = к + 2, ..., / индексы
I», ^ I М |[Р](М-)И IР1)/| |Рп(М-1)р| )р|
М : М, , = -1—— =-р— =-р---— =-р—
г г-1 |М-1| |[Р](М-1)р,| |Р П (М)р,| I р I|(М-1)р,| |(М-1)р,|
также не делятся на р. Так как
|мк+11 мм^)р| |Р| |(мк+1)р| |Р| |(мк+1)р|
I Mk+1: Mk | = '
I Mk | | Mk | | Рn(Mt+i)J |MJ | Mkl
то в рассмотренной выше максимальной (G - ,2)-цепи только один индекс делится на р.
Таким образом, любая минимальная подгруппа группы G, не входящая в подгруппу P, также является p-эквидистантной. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть G - р-разрешимая группа. Тогда в том и только в том случае любая минимальная подгруппа P группы G является p-эквидистантной в G, когда либо группа G является р-сверхразрешимой, либо G - такая не р-сверхразрешимая группа, что G = [P] M, где P - нециклическая минимальная нормальная подгруппа группы G, являющаяся ее силовской р-подгруппой, причем P = CG (P) = Op (G) = F (G), M - р-сверхразрешимая подгруппа нечётного порядка, каждая нетривиальная подгруппа которой действует неприводимо на P.
Доказательство вытекает из леммы 2 и теоремы 2.
Литература
1. Doerk, К Finite Soluble Groups / K. Doerk, T. Hawkes - Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992. - 892 p.
2. Schmidt, R. Subgroup lattices of groups / R. Schmidt - Berlin-New York: de Gruyter, 1994. - 572 p.
3. Шеметков Л. А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба - М.: Наука, 1989. - 256 с.
4. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков - М.: Наука, 1978. - 272 с.
5. Gorenstein, D. Finite Groups / D. Gorenstein - New York: Harper and Row (reprinted by Chelsea), 1980. - 527 p.
Summary
The main object of this paper is described the structure of a p-soluble group in which every minimal subgroup is p-equidistant in this group.
Поступила в редакцию 22.02.06.
УДК 517.925.51
Н.В. Кожуренко
О СТАРШЕМ ПОКАЗАТЕЛЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ, СУММИРУЕМЫМИ СО СТЕПЕНЬЮ И ВЕСОМ
Рассмотрим линейную дифференциальную систему
x = A(t)x, x e Rn, t > 0, (1)
с кусочно-непрерывной ограниченной матрицей коэффициентов A такой, что ||A(t )| < M < при всех t > 0. Наряду с системой (1) рассмотрим возмущенную систему
y = A(t)y + Q(t)y, y e Rn, t > 0 (2)
с кусочно-непрерывной ограниченной матрицей возмущений Q, удовлетворяющей условию
t+1
интегральной ограниченности [1, 252], т. е. неравенству J|Q(t)|g?t < Се < +» при всех t > 0,
