О классе конечных нильпотентных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЭМАТЫКА

УДК 512.44

В.И. Гойко

О КЛАССЕ КОНЕЧНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП

Возьмем счетное множество классов Фиттинга и возьмем множество В всех таких конечных разрешимых групп, у которых инъекторы, построенные относительно этих классов Фиттинга, нормальны в самой группе. Докажем, что построенный класс В содержит класс всех конечных нильпотентных групп. Очевидно, что класс В не вырождается в класс всех конечных нильпотентных групп.

Все рассматриваемые группы и классы групп берем из класса всех конечных групп. 1. Класс Фиттинга Б - это такой непустой класс конечных групп, для которого выполняются условия: а) если О е Б и N - нормальная подгруппа в О, то N е Б; б) если М и N - нормальные подгруппы в О и М е Б, N е Б, то MN е Б.

Подгруппа Н группы О называется Б-инъектором [1], если для любой субнормальной подгруппы V группы О пересечение Н П V е Б является Б-максимальной подгруппой группы V.

Подгруппа V группы О называется достижимой в группе О, если V содержится в некотором нормальном ряде группы О.

Подгруппа М группы О называется Б -максимальной подгруппой в О, если М е Б, и из условий М с N с О, N е Б всегда следует, что М = N.

Лемма 1.1. Пусть К - подгруппа группы О, g - произвольный элемент из О, Н - Б-инъектор

группы К. Тогда Н 8 - Б-инъектор в группе К 8.

Доказательство. Из изоморфизма Н = Н 8 следует, что Н 8 е Б. Возьмем V - произвольную

достижимую подгруппу в группе К. Рассмотрим пересечение Н 8 П V 8. Очевидно, что V 8 - достижимая

подгруппа в группе К 8 . Допустим, что Н 8 П V 8 с Ь, где Ь - Б-максимальная подгруппа в группе V 8.

По лемме Гашюца (см. лемму 3.2 в [2]) теперь получим, что Н П V с Ьх , где х = g 1. Так как

Ьх е Б, то получили противоречие с допущением. Значит, Н8 П V 8 является Б-максимальной

подгруппой группы V 8 . Лемма доказана.

Лемма 1.2. Пусть К - нормальная подгруппа группы О, Н - Б-инъектор группы К. Тогда

справедливо: О = N с (Н) К.

Доказательство. Пусть g - произвольный элемент из О. Из включения Н с К следует, что

Н 8 с К 8 = К. В силу леммы 1.1 получаем теперь, что Н8 - Б-инъектор группы К. Подгруппы Н

и Н 8 сопряжены в К с помощью элемента к е К, т. е. Нк = Н 8 . Отсюда получаем, что

Н = kg 4 Н gk 1 = ^к)4 Н ^к4). Значит, gk 1 е ^ (Н). Отсюда: g е ^ (Н) к. Следовательно,

g е N а (Н) К. Поскольку g - произвольный элемент из О, то О = N а (Н) К. Лемма доказана.

Лемма 1.3. Б-инъектор подгруппы Ф (О) - является нормальной подгруппой в группе О. Доказательство. Пусть Н - Б-инъектор подгруппы Ф (О). Применяя лемму 1.2, получаем:

О = N с (Н) Ф (О). Поскольку N с (Н) Ф (О) = N с (Н), то О = N с (Н). Лемма доказана.

Лемма 1.4. Пусть К - нормальная подгруппа группы О, Н - Б-инъектор группы О. Тогда К П Н - Б-инъектор группы К.

Доказательство. Введем обозначение: К П Н = Ь. Тогда Ь - нормальная подгруппа в Н. Отсюда следует, что Ь е Б. Пусть V - произвольная достижимая подгруппа группы К. Так как К - нормальная подгруппа в О, то всякая достижимая подгруппа в К является достижимой подгруппой и в группе О. Тогда Н П V является Б-максимальной подгруппой в группе V. Из очевидного равенства Н П К П V = Н П V теперь получаем, что Н П К является Б-инъектором группы К. Лемма доказана.

Теорема 1.5. Пусть К - достижимая подгруппа группы О, Н - Б-инъектор группы О. Тогда К П Н - Б-инъектор группы К.

Доказательство. Поскольку К - достижимая подгруппа в О, то К входит в некоторый нормальный ряд группы О: К = К и с К и+1 с . . . с К с К 0 = О. Применяя лемму 1.4, получим: К П Н = Н есть Б-инъектор группы К! ,

К 2 П (К П Н) - Б-инъектор группы К 2.

Поскольку К 2 с К , то получаем, что К 2 П Н есть Б-инъектор группы К 2. Рассуждая аналогичным образом и далее, получим, наконец, что К и П (К и_1 П Н) есть Б-инъектор группы К = К. Следовательно, в силу того, что К с К п1, теперь получаем, что К П Н есть Р-инъектор группы К. Теорема доказана.

2. Возьмем счетное множество классов Фиттинга {Б х, Б 2, . . ., Fи, . . .}. Обозначим через В множество всех таких конечных разрешимых групп, которые имеют инвариантные Б г -инъекторы для всех I = 1, ... , п, ... Очевидно, что если Б г есть примарные формации, то класс

В является классом всех конечных нильпотентных групп.

Лемма 2.1. Пусть Р есть Б-инъектор конечной разрешимой группы О, Н - подгруппа

группы О такая, что Н з N с (Р). Тогда Н = N с (Н).

Доказательство. Возьмем произвольный элемент п из (Н). Тогда Н = Н. Теперь из

включений Р с N (Р) и N а (Р) с Н (последнее имеет место по условию) получаем, что Р с Н.

Значит, Р с Н = Н. Поскольку Р и Р " - это два Б-инъектора группы О, то по теореме 1 из [1] существует такой элемент И из Н, что И 1 (Р) И = Р. Отсюда (пИ) 1 Р (пИ) = Р. Тогда получим, что пИ е N (Г) с Н. Значит, пИ е Н и п е Н. Следовательно, N (Н) с Н. Поскольку обратное включение очевидно, то и получаем равенство: N 0 (Н) = Н. Лемма доказана. Пусть N - класс всех конечных нильпотентных групп. Теорема 2.2. Справедливо включение: N с В.

Доказательство. Пусть О ^ < 1 > и О е N. Тогда все максимальные подгруппы группы О нормальны в О. Допустим, что существует Б-инъектор Н группы О, не являющийся нормальной

подгруппой в О. Тогда N а (Н) ^ О. Пусть М - максимальная подгруппа группы О, которая содержит (Н). По лемме 2.1 имеем, что М = (М). Но из того, что М является нормальной

подгруппой в О, получаем, что О = N 0 (М). Полученное противоречие завершает доказательство.

Теорема доказана.

Теорема 2.3. Класс В является классом Фиттинга.

Доказательство. Покажем выполнимость условий (а) и (б) в определении класса Фиттинга.

а) Пусть О е В. Тогда -инъекторы Нг группы О нормальны в О (I = 1, 2, ..., п). Пусть

N - нормальная подгруппа в О. По лемме 1.4 имеем, что Н -П N есть ^-инъектор группы N. Кроме того, очевидно, что Н г П N - нормальная подгруппа в N. Значит, N е В.

б) Возьмем подгруппы М < О, N < О такие, что М, N е В. Пусть Н г, К г- - Б- инъекторы групп М и N соответственно. Тогда в силу определения класса В имеем, что Нг < М, Кг < N. Покажем, что Н г < М№ Возьмем в группе MN произвольный элемент х. Тогда х = тп. Рассмотрим следующее равенство:

(Н г )тп = (тп) 1 Н , (тп) = (Н г)п .

Теперь поскольку М < О, п е О, то (Н г)п с M. Кроме того, (Н г)п является Б-инъектором в М. По лемме Гашюца (см. лемму 3.2 в [2]) в группе М найдется такой элемент у, что будет выполняться равенство: (Нг )" = (Нг)у . Теперь ввиду того, что Нг < М, получим равенство:

(Н г )п = Н ¿ . Итак, (Н г )х = Н г . Следовательно, Н г < MN. Аналогично рассуждая, показываем, что К < MN. Тогда Н г- К < MN. Покажем далее, что Н i К1 является Б г. -инъектором группы MN. В самом деле, из включений Н . е ¥ ; , К г. е Б . , из условий Н ■ < MN, К ■ < MN и в силу того, что Б . - класс Фитинга, получаем, что Н . К . е Б . . Далее пусть V - произвольная достижимая подгруппа группы ММ Рассмотрим ряд:

V = V о < VI < . . . V п_1 < V п < MN.

Поскольку Б г- - класс Фиттинга и Н г К г П V п < MN, то Н г К г П V п е Б г- . Далее так как подгруппа Н . К . П V п1 входит в Н . К . П V и является нормальной в ней, то Н г К г П V п_] е Б г . Продолжая аналогичные рассуждения и дальше, получим, наконец, что Н г; К г П V е Б г . Покажем теперь, что Н г К г П V является Б г -максимальной подгруппой в группе МК Допустим противное, т. е. Н г- К П V с Т с V и Т е Б г- . Теперь из условий Т П М < Т и Т е Б г получим, что Т П М с Н г . Значит, Т П М с Н г П V. Аналогично показываем, что Т П N с К г П N. Следовательно, (Т П М) (Т П N с (Н г П V) (К г- П V). Далее из предположения, что Н гК. ПVс Т, следует, что (Нг П V) (К г. П V) с (Т П М) (Т П ЭД. Отсюда теперь следует равенство: (НП V) (К П V) = (Т П М) (Т П ]\). Допустим, что Н г. К г. П V с (Т П М) (Т П N = = (Н П V) (КП V). Но так как (Н г. П V) (КП V) с Н г. К г. П V, то получаем противоречие. Значит, Н . К . П П V з (Т П М) (Т П N = Т. Последнее противоречит предположению о включении Н ■ К . П V с Т. Итак, Н . К . П V является Б . -максимальной подгруппой в группе V. Значит, Н г К г является Б г -инъектором группы ММ Поскольку, кроме того, выше доказали, что

Н . К . < MN, то и получаем, что MN е В. Показали, что В - класс Фиттинга. Теорема доказана.

3. Определение. Подгруппа N группы О называется Б-достижимой в группе О, если для каждого Б-инъектора Р группы О пересечение N П Р есть Б-инъектор в группе N.

В силу теоремы 1.5 ясно, что каждая достижимая подгруппа группы О является Б-достижимой подгруппой группы О.

Теорема 3.1. Пусть все максимальные подгруппы разрешимой группы О являются Б-достижимыми в группе О. Тогда Б-инъектор группы О - нормальная подгруппа в О.

Доказательство. Пусть Р - произвольный Б-инъектор группы О. Допустим, что Р не

является нормальной подгруппой в О. Тогда N 0 (Г) Ф О. Значит, существует максимальная

подгруппа М группы О такая, что М з (Г). Отсюда следует теперь, что М з Р. По условию: М - Б-достижимая подгруппа группы О. Значит, М П Р - Б-инъектор группы М. Поскольку Р с М, то Р - Б-инъектор группы М. Далее, пусть х - произвольный элемент группы О. Тогда Р ж - Б-инъектор группы О. Следовательно, М П Р ж - Б-инъектор группы М. Тогда в силу теоремы 1 из [1] получаем, что существует такой элемент т из М, что Р т = М П Р ж . Отсюда Р т = Р ж . Значит, Р ж с М и Р с М у , где у = х 1. Последнее включение справедливо для любого элемента х из М. Значит, Р с Мс. Теперь в силу леммы 1.2 получаем соотношение:

О = MGNG(F) с МСМ = М. Получили очевидное противоречие. Теорема доказана.

Будем в дальнейшем символом F обозначать локальную формацию Фиттинга (т. е. F одновременно локальная формация и класс Фиттинга).

Теорема 3.2. Пусть ExtFF = F, F з N и пусть F - F-инъектор группы G, N < G и все максимальные подгруппы разрешимой группы G являются F-достижимыми в G. Тогда FN/N есть F-инъектор группы G/N.

Доказательство. Если G е F, то теорема выполняется тривиально. Пусть G g F. Предположим, что FN/N не является F-инъектором группы G. Очевидно, что FN/N е F. В силу теоремы 3.1. имеем, что F < G. Тогда FN/N с R/N, где R/N - некоторый F-инъектор группы G/N. Пусть RG -

наибольшая нормальная подгруппа в R. Ясно, что F с RG . Рассмотрим следующие возможные случаи.

1. R с G. Если теперь допустить, что R е F, то F = R, и из равенства FN/N = R/N получаем требуемое утверждение. Полагаем теперь, что R g F. Поскольку I R I < I G I, то по индукции для R теорема выполняется: FN/N есть F-инъектор группы R/N. Но R/N е F. Следовательно, FN/N = R/N.

2. R = G. Допустим, что F = RG . Тогда R/F является R-главным фактором и, кроме того, нефраттиниевым F-эксцентральным. Значит, существует максимальная F-абнормальная подгруппа S

F

в группе G, (S Ф G), которая дополняет R/F в группе R, т. е. SF = R, S П R = F. Кроме того, SR = R.

F

Но R с Rg = F с S. Отсюда получаем, что S = R. Противоречие. Полагаем теперь, что

F с Rg . (1)

В силу того, что F является F-гиперцентральной подгруппой в группе R, все максимальные F-абнормальные подгруппы группы R покрывают R-главные факторы от 1 до F.

FF

Отсюда получаем, что F с A (R). Теперь с применением [3] получаем, что A (R) е F. Следовательно,

F

F = A (R). (2)

2.1. Допустим, что N - минимальная нормальная подгруппа в G. Поскольку G/N е F и G g F,

F F

то G - минимальная нормальная подгруппа в G и т. к. G - разрешима, то G - абелева группа.

F

Теперь в силу теоремы 21.10 из [4] получаем, что все дополнения к G в G являются F-нормализаторами и, кроме того, ясно, что эти дополнения есть максимальные F-абнормальные подгруппы группы G. Теперь с учетом формулы (2) легко видно, что F - максимальная F-абнормальная подгруппа группы G. Отсюда имеем, что FN = G. Значит, FN = R, и поэтому FN/N = R/N.

2.2. N не является минимальной нормальной подгруппой в G. Возьмем G - главный фактор N/Nj. Тогда в силу изоморфизма (G/Nj )/(N/Nj) = G/N, включений N/Nj е F, G/N е F и условия теоремы получим, что G/N е F. Если N - минимальная нормальная подгруппа в G, то рассуждения проводим аналогично пункту 2.1. Пусть N не минимальная нормальная подгруппа в G. Возьмем G - главный фактор N /N . Ясно, что G/N е F, и дальше рассуждаем аналогично вышеприведенному. Наконец, возьмем G - главный фактор N к_г /N t, где N t - минимальная

нормальная подгруппа в G (k > 1, N j = N, если k = 1), G/N к е F. Все дополнения M к подгруппе N t

в группе G являются максимальными F - абнормальными подгруппами группы G и, очевидно,

M е F. В силу формулы (2) теперь ясно, что F = M, и поэтому M < G. Отсюда следует, что F = RG .

Последнее равенство противоречит формуле (1 ). Теорема доказана.

Литература

1. Fischer, B. Injektoren endlicher auflösbarer Gruppen / B. Fischer, W. Gaschutz, B. Hartley // Math. Zeitschr. 102, 1967. - P. 337-339.

2. Гойко, В.И. Характеристические классы подсистем конечных алгебраических систем / В.И. Гойко - Гомель, ГГТУ им. П.О. Сухого, 2005.

3. Селькин, М.В. О влиянии максимальных подгрупп на формационное строение конечных групп / М.В. Селькин // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1975. - С. 151-163.

4. Шеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков - М.: Наука, 1978.

Summary

Take countable set of Fitting classes F; (i = 1, . . . , n , . . .) and take the set of all finite solvable groups in which F; -injektors are normal in groups (i = 1, . . , n , . . .). Had prooved thah

this class is the class of Fitting and this class containing class of all nilpotent groups. The conditions of normality of the injectors in finite solvable groups are investigating.

Поступила в редакцию 05.12.05.

УДК 512.542

Е.А. Задорожнюк

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ^-ЭКВИДИСТАНТНЫМИ МИНИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ

Все рассматриваемые нами в данной работе группы конечны. Все определения и обозначения стандартны и соответствуют принятым в [1].

Напомним, что цепь

G = G0 з G1 з ... з Gn = H

называется (G - Н)-цепью (с индексами |GI-1:G,|). Если при этом Gj является максимальной подгруппой в Gi-1 для любого I > 0, то указанная цепь называется максимальной (G - Н)-цепью. Длиной данной цепи называется число отличных от группы H членов цепи. Группа G удовлетворяет условию Жордана-Дедекинда относительно цепей, если для любой ее подгруппы H все максимальные (G - Н)-цепи имеют одну и ту же длину, обозначаемую l [G/H] (см., например, [2]). Понятно, что условие Жордана-Дедекинда эквивалентно следующему: все максимальные (G - 1)-цепи имеют одну и ту же длину. Очевидно, что условие Жордана-Дедекинда является решеточным и наследственным для подрешеток решетки всех подгрупп группы G.

Пусть теперь p - некоторое фиксированное простое число. Тогда мы будем говорить, что подгруппа H группы G p-эквидистантна в G, если в любой максимальной (G - ^-цепи имеется одно и то же число индексов, делящихся на p. И это число мы будем обозначать символом lp [G/H].

Целью данного работы является изучение групп, у которых все их минимальные подгруппы p-эквидистантны.

Имеет место следующая

Лемма 1. Пусть K - p-эквидистантная подгруппа в группе G. Тогда любая подгруппа H группы G, содержащая подгруппу K, является p-эквидистантной в G, группа K является p-эквидистантной в H, причем справедлива формула

lp [G/K] = lp [G/H] + lp [H/K].

Доказательство. Рассмотрим максимальную (G - К)-цепь, проходящую через H:

K = Go < Gl < ... < Gj = H < Gj+i < ... < GJ+n = G.

Пусть в этой цепи число индексов, делящихся на p, равно m. Зафиксируем часть этой цепи от H до K. Пусть в (H - К)-цепи число индексов, делящихся на p, равно к. Тогда в любой (H - K)-цепи число индексов, делящихся на p, равно m - к. Итак, группа H является p-эквидистантной в G.

Если зафиксировать часть цепи от G до H, то, рассуждая аналогично, получим, что и в любой максимальной (H - К)-цепи число индексов, делящихся на p, одно и то же. Таким образом, имеет место формула

lp [G/K] = lp [G/H]+ lp [H/K].

Лемма доказана.

Лемма 2. Если группа G p-сверхразрешима, то каждая ее подгруппа p-эквидистантна в G.

Доказательство. Из p-сверхразрешимости группы G для любой максимальной подгруппы M группы G имеет место в точности одна из следующих возможностей:

1) |gm = p;

2) |GM| - p'-число.