Конечно - элементная модель расчета пространственных конструкций из материалов с усложненными свойствами Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНОЛОГИИ И ОБОРУДОВАНИЕ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

УДК 539.3

A.А. Трещев, советник РААСН, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-54-58, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),

B.Г. Теличко, канд. техн. наук, доц., (4872) 45-70-46, katranv@yandex. ru (Россия, Тула, ТулГУ),

А.Н. Царев, асп., (4872) 35-54-58, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ), П.Ю. Ходорович, магистрант, 8-920-767-00-21, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ МАТЕРИАЛОВ С УСЛОЖНЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Рассматривается модификация объемного конечного элемента в форме тетраэдра для расчета пространственных конструкций. Выведена матрица жесткости для конечного элемента в форме тетраэдра с тремя степенями свободы в узле. Построена модель решения задачи определения НДС толстой цилиндрической оболочки.

Ключевые слова: оболочка, анизотропия, ортотропия, напряженно-деформированное состояние, разносопротивляемость, конечный элемент.

Расчет плит и оболочек ведется, как известно, на базе прикладных технических теорий, позволяющих перейти от трехмерной задачи к двумерной, что существенно упрощает как математическую, так и чисто вычислительную процедуру. Очевидно, что реализация подобного подхода, в основе которого лежит исследование поведения срединной поверхности плиты или оболочки, в МКЭ обусловливает появление специфических конечных элементов. В большинстве случаев для построения матриц, характеризующих такие элементы, используются соответствующие соотношения теории плит и оболочек, основанные на априорных гипотезах об

изменении напряженно-деформированного состояния по толщине. Имеется целый ряд таких теорий, отличающихся характером и степенью обоснованности вводимых допущений. Наиболее распространенными из них являются теория тонких пластин и оболочек Кирхгофа-Лява, средней толщины С.П.Тимошенко, Э.Рейсснера и т.д.. Однако не все плиты и оболочки, применяемые в строительстве можно отнести к классу тонких или средней толщины, во-первых, из-за их геометрических размеров, во-вторых, из-за существенной неоднородности материала и его нелинейного поведения, наличия арматуры, трещин и т.д. Более того, с точки зрения МКЭ каждый конечный элемент, являясь частью системы, должен рассматриваться как отдельная конструкция в ее составе, соотношение его геометрических размеров должно отвечать требованиям, при которых допустимо использование кинематических и статических гипотез.

Перечисленные особенности деформирования пространственных конструкций могут быть учтены только с привлечением аппарата общей трехмерной теории с использованием всей совокупности компонент напряжений и деформаций. Поэтому, необходим комплексный подход, сочетающий с одной стороны часть гипотез технической теории изгиба, с другой - соотношения общей механики. Основой такого подхода могут служить специальные конечные элементы, построенные на базе стандартных объемных элементов, но учитывающие особенности аппроксимации геометрии и перемещений по толщине.

1. Математическая модель конечного элемента

Рассмотрим объемный конечный элемент в виде тетраэдра (рис.1) с 4-мя узлами в вершинах [1].

/ "

х

Рис. 1. Конечный элемент в виде тетраэдра

Вектор-столбец узловых перемещений ьго элемента имеет вид

где каждый из векторов представляется тремя проекциями

{Ы}(к) = к)42 )4? ) }= {икЧ™к}•

Аналогичную структуру имеет вектор узловых сил

(4 = к(1) {4(2) {*}(3) {44)},

(2)

где

{R}(k> = R k) R< k) R3k)}.

Связь между векторами (1) и (2) {r}- = [K]- {q}- осуществляется с помощью матрицы жесткости [K ]-, которая имеет блочную структуру

>f [к](i2) [K](i3) [K]<4>~

[к g [к ](2» [к f [к ](4>

[K f [к ](з2) [к f [к ](з4)

[к $ [к ](? [к Е> [к ](4>

а типовой блок определяется по формуле

[к ], =

(3)

[кj) = jJJ([я](j V [D][B](k) dV .

V

(4)

Для того чтобы построить матрицы для элемента, необходимо выразить перемещения точек внутри элемента через перемещения его узлов,

т.е. установить зависимость {и} = [С]{ы}г- = [С](1) [С](2)...[С](к)...[С](п) ]{ы}г-.

Матрица интерполяционных функций для тетраэдра будет иметь четыре блока по числу узлов

[с ]=[[С ](1) [С ](2) [С ](3) [С ](4)

(5)

каждый из которых равен [С](к) = ЕзСк (х, у, z), где Е3 - единичная матрица третьего порядка.

Закон изменения перемещений и, V и ю по области элемента примем в виде линейных функций координат, т.е.

u (x, y, z) = a 1 +a 4 x + a 7 y + аю z; v(x, y, z) = a 2 +a 5 x + a § y + ац z; w(x, y, z) = a 3 +a 6 x + a 9 y + a 12 z.

(6)

Отметим, что функции (6) обеспечивают неразрывность перемещений на границе между элементами. Для определения 12-ти неизвестных коэффициентов имеются 12 условий по общему числу компонент узловых перемещений (4 узла по 3 перемещения в каждом). Например, и(Х1,У1,Zl) = «1 =а 1 +а4Х1 +а7У1 +аюZl и т.д. Учитывая очевидные соотношения

С (х, у, z) + С 2 (х, у, z) + С з (х, у, z ) + С 4 (х, у, z ) = 1;

х, у, z ) Х1 + С 2( х, у, z ) х 2 + С з ( х, у, z ) х 3 + С 4( х, у, z ) х 4 = х;

С1( x, у, z) у1 + С 2(x, y, z) у 2 + С з(x, у, z) у з + С 4(x, y, z) у 4 = у;

С1( х, у, z ) Z1 + С 2 (х, у, z ) z 2 + С з( х, у, z ) z 3 + С 4( х, у, z ) z 4 = z, после преобразований получим

С1(ху,zУ " 1 1 1 1 " -1 1 ~

С 2 ( х y, z ) х1 х2 хз х 4 < х

С з(х у, z ) у1 у2 уз у 4 у

С4 (х, у, z) _ z1 z 2 z з z 4 _ z

Откуда найдем

С1( x, У, z )

1

6VJ

(а1 + ¿1 х + с у + z);

1

С2 (x, y, z) = 777 (а2 + Ь2 х + С2 у + ^2z ); 1

Сз(x,у,z)

6V/• 1

(аз + Ьз х + С3 у + dз z);

С4 (х, у, z) =-(а4 + ¿4 х + С4 у + ^4 z ),

где

х2 у2 z 2 1 у 2 z 2 х2 1 z2

а1 = det хз уз z3 ; ¿1 = - det 1 уз ; С1 = - det хз 1 z3

х4 у4 z 4 1 у 4 z 4 х4 1

а 6^ = det

х2 у2 1

^ = - det хз уз 1,

х4 у4 1

1 х1 у1

1 х 2 у 2

1 х з у з

1 х 4 у 4

z1 z 2 z з

z 4

- шесть объемов тетраэдра.

(7)

(8)

(9)

Физический смысл выражений (9) заключается в том, что каждая из зависимостей представляет собой отношение объема соответствующего заштрихованного тетраэдра с вершиной в данной точке к объему всего конечного элемента (рис. 1), т.е.

г „л ^234 г г ч ^т134

С1(x, y, z) = —::—, С 2(x, у, z) "

Vг

VI

п Vm124 ^ ,, „\ Vm123

Сз(х,у,z) = ——,С4(х,у,z) -

(10)

V!

V!

где

V

т 234

(а1 + ¿1 х + С1 у + z) (а 2 + ¿2 х + с 2 у + d 2 z)

, ^т134 =

V

6

(а з + ¿з х + С3 у + dз z)

т124

, V

6

(а 4 + ¿4 х + с 4 у + d 4 z)

т123

66 Функции, определенные соотношением (10), называют объемными L-координатами и являются нормализованными координатами для тетраэдра. Таким образом,

(11)

^ = С1(x, y, z); L2 = С 2(x, у, z);

Lз = С з (х, у, z); L4 = С 4 (х, у, z).

Значения L-координат находятся в интервале 0-1, они удовлетворяют требованиям

Г1, j = к;

Lj (хк, ук) ЧЛ . 7 (12)

3 10, j * к.

При этом из четырех L-координат только три являются независимыми, поскольку они связаны между собой выражением

L1 + L2 + L3 + L4 = 1. (13)

Далее L-координаты будут использоваться для интерполяции узловых перемещений в область тех конечных элементов, которые отображаются на тетраэдр.

Каждый из четырех блоков матрицы деформаций запишем так

В ](к) =[Ф Ск (х, у, z) = -±

' ¿к 0 0

0 Ск 0

1 0 0 dk

6Уг Ск ¿к 0

0 dk Ск

_dк 0 ¿к

(к = 1,2,3,4). (14)

Матрицу, осуществляющую связь между напряжениями и деформациями при объемном напряженном состоянии запишем в общем виде для анизотропного материала [о]=[Оу ](причем Оу = Djj), где ^ у=1,...,6.

При этом будем исходить из предположения, что эта матрица постоянна в пределах элемента.

Подставив (14) и матрицу [О] в выражение (4) и осуществив интегрирование, получим типовой блок матрицы жесткости элемента в виде

110

тетраэдра. Т.к. все компоненты матрицы [В](к^(14) являются независимыми от координат постоянными величинами, то интеграл в (4) заменяется выражением

[К V)

1

36^

К11 К12 К13

К 21 К 22 К 23

К 31 К 32 К 33

(15)

Распределенные объемные силы, вектор-столбец которых {Оу }= \XyYyZy}, приводятся к эквивалентным узловым силам, вектор

которых имеет блочную структуру {Ру } = {[Ру }(1) {Ру }(2) {Ру }(3) {Ру }(4) }, причем каждый блок содержит компоненты вдоль осей х, у, z и равен {Ру }(*) = №) Р2(? Р3(у)}. Очевидно имеем

{Ру }(к) = ЖСк (X У, г){Оу \dxdydz. (16)

Уг

2. Вычисление матрицы [D] для анизотропного разносопротив-ляющегося материала.

Для конкретизации структурной анизотропии материала исследуемой оболочки примем ортотропное тело. Тогда общие уравнения упругости для ортотропного разносопротивляющегося материала и соответствен-

но матрицы [А]=р-1] примем в соответствии с гипотезами [2]:

К }=[Акт }, к т = 1,2,....,б),

(17)

где

" ¿11 А12 А13 0 0 0 " £1 '

А21 А22 А23 0 0 0 В 2 5 2

[Акт ] = А31 0 А32 0 А33 0 0 А44 0 0 0 0 , к}=■ В 3 В 4 5 3 5 4

0 0 0 0 ^55 0 В 5 5 5

0 0 0 0 0 А66 _ £ 6, я 6

(18)

е11 = (А1111 + В1111а11 )°11 + [А1122 + В1122 (а11 +а 22 )]а 22 + + [А1133 + В1133 (а11 +а зз )]^зз; е22 = [А1122 + В1122 (а11 + а 22 )]а11 + (А2222 + В2222а 22 )а 22 + + [А2233 + В1133 (а 22 +а 33 )]а33;

е33 = [А1133 + В1133 (а11 + а 33 )]а11 +(А2222 + В2222 (а 22 +а 33 ))& 22 + [А3333 + В3333а 33 ]а33;

е12 = (а1 212 + В1212л^2а12)т12; е13 = (а1 313 + В1313л^2а13)т13; е23 = (а2323 + В2323Л^а 23 23.

+

>

ии

-0,25

При этом константы для ортотропного тела вычисляются следующим образом:

= (1'' Е+ +1./ £А7)/ 2; ВШк = (1 /Е+к -1 /)/ 2;

М1Е)+ ^1Е1) 2; % = М1Е) Е1)

(1/4+1/^)-

(1/£,+ +1/£," + 1/£У)-2(а

Вии = 42(1/Е+ -И Еу)-

ии 0,125-72

(20)

[!/£/" +!/£} -!/£," -1/£~

где

3. Расчет НДС толстой цилиндрической оболочки

Рассмотрим пример расчета толстой цилиндрической оболочки (рис. 2), опертой по контуру и загруженной равномерно распределенной нагрузкой.

Рис. 2. Конструкция и расчетная схема оболочки

Исходные данные для расчета принимались следующие: размеры в плане оболочки 2000x700 мм, высота подъема 350 мм, внутренний радиус 250 мм. Характеристики материала оболочки приведены в работе [2]. Интенсивность равномерно распределенной нагрузки д варьировалась от 0 до 200 кПа. Расчет велся с помощью метода конечных элементов в сочетании с методом "переменных параметров" упругости. Результаты расчета пред-

ставлены на рис. 3-5.

I--1

О .160Е-03 .321Е-03 .481Е-03 .642Е-03

.802Е-04 .241Е-03 .401Е-03 .562Е-03 .722Е-03

Рис. 3. Распределение вертикальных прогибов б оболочке щ м

при нагрузке ц = 200 кПа

о

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Величина нагрузки в долях от максимальной нагрузки д=200 кПа

Рис. 4. Величина вертикального прогиба щ м в зависимости от значения равномерно распределенной нагрузки с[

0?75Х10

0.6Х10"3

0.45Х10-

0?ЗХ10"3

0.15Х10":

Проведенные авторами исследования напряженнодеформи-рованного состояния толстой цилиндрической оболочки из разносопро-тивляющегося анизотропного материала показали, что пренебрегать учетом явления разносопротивляемости при расчете толстых оболочечных элементов конструкций нельзя, так как это может привести к значитель-

ным погрешностям в определении параметров напряженно-деформированного состояния.

Разработанная авторами вычислительная модель приобретает особую актуальность в связи с широким распространением анизотропных разносопротивляющихся материалов в строительных конструкциях, авиастроении и технологическом оборудовании и в отсутствии надежной теории для расчета конструкций из таких материалов.

Материалы статьи могут быть полезны для специалистов в области прогнозирования поведения конструкций, а также для выполнения проектировочных и проверочных расчетов.

Список литературы

1. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики. / С.Ф. Клованич, Библиотека журнала "Свгг геотехшки", 9-ый выпуск. Запорожье: Издательство журнала "Свгг геотехшки", 2009. 400 с.

2. Трещев, А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения: монография / А. А. Трещев; РААСН, ТулГУ. М.: Изд-во ТулГУ, 2008. 264 с.

A.A. Treschev, V. G. Telichko, A.N. Tsarev, P. Y. Khodorovich

A MODEL FOR DETERMINING STRESS-STRAIN STATE THICK CYLINDRICAL SHELLS FROM DIFFERENT RESISTANT MATERIALS.

A modification of three-dimensional finite element in the form of a tetrahedron for calculating three-dimensional structures. We derive a stiffness matrix for a finite element in the form of a tetrahedron with three degrees of freedom at the node. A model of the problem of determining stress-strain state thick cylindrical shell.

Key words: shell, anisotropy, orthotropy, stress-strain state, different resistance, finite element.

Получено 28.09.12