Компьютерное моделирование и исследование явления радиоактивного распада Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЯВЛЕНИЯ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Горбань А. Н.

Горбань Анатолий Николаевич / ОогЬап ЛпМоЫу Шко1аеугсЬ - учитель физики, Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Червоновская средняя общеобразовательная школа-детский сад Нижнегорского района Республики Крым, заслуженный учитель Автономной Республики Крым, с. Новоивановка, Нижнегорский район, Республика Крым

Аннотация: в статье описан один из возможных способов создания компьютерной модели явления радиоактивного распада, позволяющий при помощи средств современных информационно-компьютерных технологий виртуально провести и детально исследовать распад и, опираясь на результаты этого эксперимента, установить статистический характер (вероятностную природу) закона радиоактивного распада. Статья будет полезна как для средней, так и высшей школы как пример моделирования конкретного физического явления. Статья может быть базовой для проведения лабораторной (практической) работы в учебных заведениях, изучающих физику и компьютерные технологии (программирование). Ключевые слова: явление радиоактивного распада, закон радиоактивного распада, период полураспада, компьютерная модель радиоактивного распада, программа радиоактивного распада.

В 1903 г. Резерфорд, исследуя со своими сотрудниками преобразования радиоактивных веществ, пришел к выводу, что их активность со временем уменьшается. Экспериментально было установлено следующее:

1) Активность пропорциональна массе радиоактивного вещества.

2) Для одного и того же радиоактивного вещества наблюдается снижение активности в 2 раза через строго определенный промежуток времени, причем это время не зависит от состояния вещества, давления, температуры и любых других его параметров. Для характеристики скорости снижения активности радиоактивного вещества были введены понятия периода полураспада Г-времени, на протяжении которого распадается половина из имеющегося в начале количества радиоактивных атомов.

3) Скорость снижения активности у разных радиоактивных веществ разная.

Совместно с Фредериком Содди Э. Резерфорд экспериментально установил

зависимость, согласно которой в образце со временем происходит уменьшение количества радиоактивных атомов. Она имеет следующий вид:

N=N0-2 " т (1)

где N0 - начальное количество атомов;

Т - период полураспада;

1 - промежуток времени от начала наблюдения;

N - количества атомов, оставшихся спустя время 1.

Формулу (1) называют законом радиоактивного распада. Следует иметь в виду, что в микромире, где объекты одного сорта по всем своим свойствам абсолютно одинаковы и их в принципе невозможно отличить друг от друга, действуют статистические, т. е. возможные законы, в соответствии с которыми распад конкретного атома является случайным событием, которое невозможно предусмотреть. Атомы ни в каком смысле не «стареют» в процессе своего существования. Для них существует лишь понятие среднего времени жизни т (т=1,447^, но не существует понятия возраста. По аналогии можно заметить, что

подобная ситуация имела бы место для среднего возраста человека, если бы люди не старели, а погибали только от несчастных случаев [1, с. 209].

Критерием истины, как известно, является практика. Это в полной мере касается физики как экспериментальной науки. В условиях, когда по понятным причинам повторить опыты Резерфорда в не специализированном учебном заведении, а значит, экспериментально доказать или опровергнуть теоретически выведенную зависимость

N = N0 ■ 2 т невозможно, особую ценность для более глубокого и наглядного изучения явления радиоактивного распада имеет компьютерный эксперимент, с помощью которого можно смоделировать это явление. Для его проведения необходимо создать компьютерную модель радиоактивного распада и программу и, проведя ряд виртуальных экспериментов, исследовать, как соблюдается радиоактивный закон распада при разных начальных условиях.

Построение компьютерной модели проводится в соответствии с общепринятыми этапами моделирования:

1. Постановка задачи. Дано определенное количество радиоактивных атомов N (Ы >1 , целое число) с периодом полураспада Т . Найти: сколько атомов М останется после каждого периода полураспада с 1-го по 10-й включительно.

2. Построение модели. Распад или нераспад радиоактивных атомов - это события случайные и равновозможные, которые могут произойти с каждым атомом за время периода их полураспада. Если в соответствие с этими событиями поставить генерированную ПК случайным и равновозможным образом последовательность целых чисел, в которой четное число будет интерпретироваться как не распад радиоактивного атома, а нечетное - как факт его распада, то это дает возможность создать компьютерную модель явления радиоактивного распада и с помощью ПК всесторонне исследовать его.

3. Разработка алгоритма. Блок-схема алгоритма исследования явления радиоактивного распада для 10 периодов полураспада, записанного с помощью базовых структур, может иметь следующий вид:

Рис. 1. Блок-схема алгоритма

Примечание: N - начальное количество радиоактивных атомов;

М - количество радиоактивных атомов, оставшихся спустя промежуток времени, равный целому числу периодов полураспада (Т , 2Т , 3Т, ..., 107);

Т: = Т + 1 - счетчик количества периодов полураспада;

I: = I + 1 - счетчик количества радиоактивных атомов;

М: = М +1 - счетчик, подсчитывающий количество радиоактивных атомов из всего начального их количества N , которые не распались за время текущего периода полураспада Т;

А: = Случайное целое число - действие, которое обеспечивает генерацию ПК целого случайного числа;

А - Четное - условие четности числа А (если А - четное, т. е. выполняется указанное условие, то это интерпретируется в алгоритме как не распад I -го атома и при выполнении этого условия срабатывает счетчик М: =М + 1);

Т < 10 - условие, ограничивающее время 10-ю периодами полураспада;

№ = М - действие, обеспечивающее исследование на распад количества радиоактивных атомов М , оставшихся спустя промежутки времени, кратные Т , 2Т , 3Т , ..., 10 Т;

М: = 0 - действие, «обнуляющее» счетчик не распавшихся атомов М: = М + 1 перед началом очередного циклического их исследования на распад.

4. Создание, настройка и тестирование программы на языке программирования (например: QBASIC, TurboPASCAL или другом), проведение компьютерного эксперимента.

Блок-схема приведенного выше алгоритма, записанная на языке QBASIC, т. е. программа, будет иметь следующий вид:

10 REM zacon_radioactivnogo_raspada {Заголовок}

20 CLS {Очистка экрана}

30 INPUT N {Ввод исходного количества радиоактивных атомов N}

40 PRINT "t, nT", "M" {Вывод заголовков колонок результатов}

50 RANDOMIZE {Запуск генератора случайных чисел}

60 T=T+1 {Счетчик количества периодов полураспада}

70 M=0; {«Обнуление» счетчика не распавшихся атомов перед началом

следующего периода полураспада} 80 FOR I=1 TO N {Перебор атомов в цикле с 1-гопо N-ный}

90 A=FIX(65533*RND(1)) {Генерация случайного целого числа А в

диапазоне [0,65533]} 100 IF A/2=A\2 THEN M=M+1 {Условие четности числа А и счетчик

М=М+1 не распавшихся атомов} 110 NEXT I {Переход к исследованию на распад следующего 1-го атома} 120 PRINT T; " T ", M {Вывод результатов}

130 N=M {Количество не распавшихся (оставшихся) атомов}

140 IF T<10 THEN GOTO 60 ELSE 150 {Ограничение для количества

периодов}

150 END {Конец программы}

Открыв файл QBASIC.EXE интегрированной среды QBASIC и набрав в нем приведенную выше программу, настроив и протестировав ее, можно провести виртуальный эксперимент по исследованию явления радиоактивного распада. Соответствующая программа на языке TurboPASCAL будет иметь такой вид:

program zacon_radioactivnogo_raspada; {Заголовок}

uses crt; {Использование модуля функций и процедур CRT}

var {Раздел описания переменных}

T,A: integer; {Т - счетчик периодов полураспада, А - случайное число} N,I,M: real; {N - исходное количество атомов, I - счетчик атомов, М -

количество не распавшихся атомов} begin {Начало раздела операторов}

ClrScr; {Очистка экрана}

Readln(N); {Ввод исходного количества радиоактивных атомов N}

Writeln('n,M'); {Вывод заголовков колонок результатов}

Randomize; {Запуск генератора случайных чисел}

for T:=1 to 10 do {Цикл с 1-го по 10-ый периоды полураспада Т}

begin {Начало составного оператора}

while I<N do {Проверка условия при входе в цикл}

begin {Начало составного оператора}

A:=random(65534); {Генерация случайного целого числа А в

диапазоне [0,65533]} if A mod 2=0 then {Условие четности числа А}

M:=M+1; {Подсчет не распавшихся атомов}

I:=I+1; {Переход к исследованию следующего I-го атома} end; {Конец составного оператора}

Writeln(T,'T',M:2:0); {Вывод результатов}

N:=M; {Количество не распавшихся (оставшихся) атомов}

M:=0; {«Обнуление» счетчика не распавшихся атомов перед

началом следующего периода полураспада} I:=0; {«Обнуление» счетчика текущего числа атомов перед началом

следующего периода полураспада} end; {Конец составного оператора}

readkey;

{Задержка экрана}

end. {Конец раздела операторов и всей программы}

5. Выполнение программы. Какое же количество радиоактивных атомов надо ввести в программу, чтобы получить достаточную статистическую точность эксперимента?

Как известно из основ статистики, статистическую точность эксперимента в процентах определяет так называемая относительная ошибка А, которая находится по формуле

_ А= = (2)

где N - среднее количество атомов в опыте [1, 213]. Поэтому возникает вопрос: какое количество радиоактивных атомов необходимо ввести в программу, чтобы получить достаточную статистическую точность при исследовании виртуального радиоактивного распада?

Для ответа на этот вопрос надо учитывать, что при изучении явления радиоактивного распада в лабораторных условиях достаточно 0,01 мг (1 0 _8кг) вещества [1, 680]. Поскольку количество атомов (молекул) может быть вычислено по формуле: N = jj'Na (где m - масса вещества, NA -число Авогадро, M -молярная (атомарная) масса), то, подсчитав, например, количество атомов в 0,01 мг 2 получим:

,, 1 0 " 8 кг ■ 6, 0 2 ■ 1 0 2 3 моль " 1 _ .,16

N --;-~2,6 ■ 10 .

кг моль

При числах такого порядка из-за ограниченной тактовой частоты ЦП ПК время обработки данных будет неприемлемо большим, поэтому можно ограничиться исследованием явления при N порядка 107, что уже позволит выяснить характер явления радиоактивного распада. При этом время обработки данных программой будет приблизительно 5 мин, а относительная ошибка А, вычисленная по формуле (2), незначительной.

Введя N о =16777216 (224) и 16 384 (214) и выбрав 0 в качестве аргумента функции Rаndomize (возможно выбрать любое число из интервала от -32768 до 32767) в QBASIC, получим такие результаты:

Таблица 1. Результаты виртуального распада при N 0 =16777216 (224) и 16 384 (214)

? 16777216 ? 16 384

nT M nT M

1T 8388722 1T 8193

2T 4193922 2T 4152

3T 2095942 3T 2067

4T 1048511 4T 1049

5T 524898 5T 523

5T 262566 6T 261

7T 31125 7T 127

8T 65895 8T 65

9T 32969 9T 25

10T 16457 10T 14

Чтобы вычислить статистическую точность эксперимента достаточно провести еще, например 5 виртуальных серий радиоактивных распадов, введя для экономии времени расчетов начальное количество радиоактивных атомов N 0 =1000000 и выбрав -2, -1, 0, 1 и 2 (возможно любое число из диапазона от -32768 до 32767) в качестве аргумента Rаndomize. Время обработки программой этих данных при их

вводе будет приблизительно 20 секунд для каждой серии, общее время всех 5 серий -не более чем 8-10 мин, с учетом времени для первой серии - не более чем 15 мин. Получим такие результаты:

Таблица 2. Результаты 5 серий радиоактивных распадов при начальном количестве радиоактивных атомов N 0 =1000000

? 1000000 ? 1000000 ? 1000000 ? 1000000 ? 1000000

? -2 ? -1 ?0 ?1 ?2

nT M nT M nT M nT M nT M

1T 498550 1T 500296 1T 499693 1T 500494 1T 499139

2T 249309 2T 250225 2T 250529 2T 250091 2T 249245

3T 124885 3T 124715 3T 125342 3T 125298 3T 124505

4T 62433 4T 62292 4T 62341 4T 62914 4T 62111

5T 31326 5T 31077 5T 31084 5T 31490 5T 31324

6T 15782 6T 15623 6T 15316 6T 15711 6T 15656

7T 7888 7T 7798 7T 7759 7T 7909 7T 7871

8T 33916 8T 3947 8T 3892 8T 3914 8T 3970

9T 1935 9T 1968 9T 1926 9T 1943 9T 2035

10T 950 10T 973 10 951 10T 944 10T 1036

Результаты виртуального компьютерного эксперимента, проведенного в среде Turbo PASCAL, будут аналогичными полученным в QBASIC, а именно:

Таблица 3. Результаты виртуального компьютерного эксперимента в среде Turbo PASCAL

?

16384 nT M 1T 8184 2T 4115 3T 2063 4T 1000 5T 488 6T 231 7T 128 8T 63 9T 31 10T 15

? 16777216 nT M 1T

8388501 2T

4194366 3T

2097048 4T

1047527 5T 524057 262372 131480 65774 32927

6T 7T 8T 9T

10T16539

?1000000 ?1000000 ?1000000 ?1000000

nT M nT M nT M nT M

1T 1T 1T 1T

500498 500687 498823 500536

2T 2T 2T 2T

250469 250244 249112 220055

3T 3T 3T 3T

125262 125050 124366 125540

4T 62305 4T 62592 4T 62182 4T 62817

5T 31097 5T 31499 5T 31135 5T 31434

6T 15589 6T 15687 6T 15521 6T 15836

7T 7815 7T 7864 7T 7773 7T 8028

8T 3905 8T 3908 8T 3921 8T 3938

9T 1959 9T 1947 9T 1965 9T 2039

10T 988 10T 987 10T 980 10T 1045

?1000000 nT M 1T

499687 2T

250245 3T

125476 4T

62924 5T

31650 6T

15828 7T 7882 8T 3920 9T 1924 10T 951

Используя возможности ТП Excel, по экспериментально полученным результатам (Таблица №1) можно построить график зависимости количества оставшихся радиоактивных атомов N (ось ординат) от времени t радиоактивного распада в периодах полураспада T (ось абсцисс), т. е. экспериментальную графическую зависимость N = f (N0 t)=f (N0, nT) для первой серии (N0=16777216), экспортировав в Excel данные, полученные в результате виртуального эксперимента в среде QBASIC (анализ результатов, полученных в Turbo PASCAL, проводится аналогично). График будет иметь следующий вид:

Рис. 2. График радиоактивного распада

Полученный график полностью совпадает с графиком экспоненциальной функции

' _£ '

N = N0 ■ 2 т и тем, который можно построить в УП GRAN1, приняв: N 0 =1 усл. ед., а в диалоговом окне f + (ввод выражения зависимости) ввести: у(х)=2л(-х); A = 0; B = 10), что подтверждает правильность работы программы и реальность полученных результатов.

Анализируя полученные результаты, можно прийти к выводу № 1: количество остающихся атомов после каждого периода полураспада уменьшается приблизительно в два раза (что и должно наблюдаться, т.к. это вытекает из определения периода полураспада). Причем это отношение тем точнее равняется 2, чем большее количество атомов исследуется. Этот вывод подтверждается расчетами как с использованием данных первой серии распадов при N0 =16777216

(224): IHLHHH =1,999973;

8388722 „„„,„„ 4193922

=2,000209; -=2,000968 и т. д., так и данных

2095947 "

8388722 4193922

других проведенных серий.

Чтобы сравнить, как зависит от начального количества атомов относительная погрешность е между количеством атомов, оставшихся во время проведения виртуального эксперимента ^ксп, от их теоретического количества N,^., вычисленного по формуле (1), необходимо импортировать полученные данные из

таблицы №1 в ТП Excel и вычислить е по формуле: е= ^ WTeop N'

■100%

В результате получим таблицы № 4 и № 5 с такими результатами:

Число периодов полураспада N N теоретическое N N комп.эксперим £, % £ ср, %

0 16384 16384

1 8192 8193 0,012207

2 4096 4152 1,367188

3 2048 2067 0,927734

4 1024 1049 2,441406

5 512 523 2,148438 4,244385

6 256 261 1,953125

7 128 127 0,781250

8 64 65 1,562500

9 32 26 18,75000

10 16 14 12,50000

Таблица 5. Значение погрешностей е и еср при N0=16777216

Число периодов полураспада N N теоретическое N N комп.эксперим £, % £ср, %

0 16777216 16777216

1 8388608 8388722 0,00136

2 4194304 4193922 0,00911

3 2097152 2095947 0,05746

4 1048576 1048511 0,00620

5 524288 524898 0,11635 0,199864

6 262144 262566 0,16098

7 131072 131125 0,04044

8 65536 65895 0,54779

9 32768 32969 0,61340

10 16384 16457 0,44556

Анализируя данные таблиц № 4 и № 5, можно прийти к выводу № 2: относительная погрешность г, т. е. расхождение между теоретическими и экспериментальными данными тем меньше, чем большее исходное количество радиоактивных атомов задействовано в виртуальном радиоактивном распаде.

Как уже было отмечено, в статистике точность исследований определяют

относительной ошибкой Д, которая находится по формуле Л= где N - среднее

количество атомов в опыте. Чтобы провести более детальный количественный анализ полученных результатов последних 5-ти серий (таблица №2), необходимо их также экспортировать в ТП Excel и, используя его возможности, вычислить относительную ошибку Д этих серий экспериментов для каждого момента времени t, кратного периоду полураспада T. В результате получим следующую таблицу:

Таблица 6. Значения относительной ошибки А при N0 =1000000 для периодов полураспада

с 1-го по 10-й

1 пТ -^к.эксп(~2) -^к.эксп(-1) -^к.эксп(~°) -^к.экспС1) -^к.эксп(2) Относительная ошибка Д,%

0 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000

1 498550 500296 499693 500494 499139 0,14

2 249309 250225 250529 250091 249245 0,20

3 124885 124715 125342 125298 124505 0,28

4 62433 62292 62341 62914 62111 0,40

5 31326 31077 31084 31490 31324 0,57

6 15782 15623 15316 15711 15656 0,80

7 7888 7798 7759 7909 7871 1,13

8 3916 3947 3892 3914 3970 1,60

9 1935 1968 1926 1943 2034 2,26

10 950 973 951 944 1036 3,21

Анализируя результаты можно прийти к выводу № 3: относительная ошибка исследований тем меньше, чем большее количество радиоактивных атомов исследуется.

Учитывая выводы № 1, № 2 и № 3 можно с уверенностью утверждать: закон

_£

радиоактивного распада N = N0 ■ 2 т имеет вероятностную природу (статистический характер), т. к. расхождение между теоретическими расчетами и результатами виртуального компьютерного эксперимента тем меньше, чем больше радиоактивных атомов (ядер) принимает участие в радиоактивном распаде.

Список литературы

1. Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. М. Наука,1980.

СТРАТЕГИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИИ И ПРОВЕДЕНИЯ УРОКОВ ОБОБЩАЮЩЕГО ПОВТОРЕНИЯ С УЧЕТОМ ПРОВЕДЕННОЙ ДИАГНОСТИКИ ПРОБЕЛОВ УЧАЩИХСЯ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ БАЗОВОГО И ПОВЫШЕННОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ Куркина И. П.

Куркина Инна Павловна - учитель, Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 14 пгт Ильское, Северский район, Краснодарский край

Аннотация: в статье анализируются основные направления подготовки и проведения уроков обобщающего повторения с учетом диагностики пробелов учащихся. Ключевые слова: анализ, мониторинг, обобщающее повторение, подготовка к ЕГЭ.

Одним из направлений при подготовке к государственной итоговой аттестации является организация повторения. Опыт проведения ЕГЭ убеждает в необходимости разработки технологий, позволяющих целенаправленно организовать повторение