CC BY
16
УДК 517.958:57 МСК 92С05
Компьютерное моделирование формирования состояний гидратированного электрона
А. В. Волохова*, Е. В. Земляная*, В. Д. Лахно^, И. В. Амирханов*, И. В. Пузынин*, Т. П. Пузынина*
* Лаборатория информационных технологий Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, Московская область, Россия, 141980 ^ Институт математических проблем биологии РАН ул. Институтская, д. 4, Пущино, Московская область, Россия, 142290
В работе рассмотрена динамическая модель полярона, описываемая системой трёх нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями. Проведённое сопоставление численных результатов с теоретическими оценками подтверждает корректность разработанной вычислительной схемы и компьютерной реализации. Выполнено численное исследование процесса формирования фотовозбуждённых электронов в воде. Показано, что модель обеспечивает адекватное воспроизведение имеющихся экспериментальных данных.
Ключевые слова: гидратированный (сольватированный) электрон, поляронное состояние, конечно-разностная схема.
1. Введение
Свободные фотовозбуждённые электроны (сольватированные, гидратирован-ные электроны) экспериментально наблюдаются при лазерном облучении жидкостей в ультрафиолетовом диапазоне. В силу действия дипольного момента между электронами и молекулами воды формируется поляронное состояние. При взаимодействии молекул воды с фотовозбуждённым электроном образуется поле, способствующее ещё более сильному их притяжению к друг другу, что, в свою очередь, ещё более усиливает поле. Таким образом, под действием облучения вода переходит в особое состояние, характеризуемое специальными физическими и химическими свойствами. Экспериментальное исследование динамических процессов при формировании поляронных состояний в воде проводят путём лазерного сканирования в инфракрасном диапазоне. В [1] были получены данные интенсивности поглощения света поляризованной водой с течением времени. Целью нашего исследования являлось расчётное воспроизведение экспериментальных данных из [1] в рамках математической модели динамики поляронных состояний в сферически-симметричном случае [2].
2. Постановка задачи
Мы использовали модификацию динамической модели, предложенной Давыдовым А. С. и Энольским В. З. [3], основанную на трансляционно-инвариантной теории полярона Ландау-Пекара [4]. Соответствующая система уравнений имеет следующий вид:
* 2т I + * + 2 т ^ ^ аъ ахА е х
Ф(х, г) = о,
а2
ах^^х, г) = в(х, г), (1)
а2 а 2
дё + + ш
п( А 2 \Ф(х, ¿)|2
<д(х, ъ) = —ш -.
Статья поступила в редакцию 27 сентября 2013 г. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты 12-01-000396, 13-01-00595, 13-07-00256).
Здесь т = 2,692, е = 1,81, 7 = 2,145, ш = 1 — обезразмеренные параметры модели, roo — масштабирующий множитель для перехода к размерным величинам
Г00
— \Доо —
Л
105
1, 5244 ■ 2,42
1-7
165;
(2)
to — 1/шо — 1/(1, 5246 ■ 1012)с
too = to/tAo; ¿АО = 2,42 ■ 10 Граничные условия:
<р(0, i) = 0, <р'(го, i) = 0, ^(0, i) = 0, ф(то, i) = 0, 6(0, i) = 0, 6(то, i) = 0. (3)
Интеграл энергии рассчитывается по формуле
(í) — ¿ /
дф(х, t)
дх
2 dx - ^ Í У(х,¿) |^(Х,t)|2 dx.
e I x
(4)
3. Метод численного исследования 3.1. Вычислительная схема
Для численного решения система дифференциальных уравнений (1) заменяется системой разностных уравнений на равномерной дискретной сетке. В результате подстановок известных конечно-разностных формул мы получаем систему конечно-разностных уравнений, для численного решения которой мы реализовали алгоритм, подробно описанный в [2] и позволяющий при заданных начальных условиях на каждом временном слое последовательно вычислять 0(х, ¿"), (р(х, ¿™) и ф(х, ¿™) в узлах дискретной сетки по х.
3.2. Стационарные решения
Система (1) имеет стационарные, т.е. не зависящие от времени решения, удовлетворяющие задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
* - 2rnA + 2т Г-00 dx2 £ х
Ф(х) — 0,
d2 , , Ф2(х) — Ф(х) —--^,
d х2 х
(5)
0 < х < то,
с граничными условиями и с условием нормировки:
( Ф(0) — 0, Ф(0) — 0, I Ф(то) — 0, Ф'(то) — 0,
Ф2(х^х — 1.
(6)
Можно показать, что при использовании начальных условий для системы (1) в виде:
"Ф(х, í)lí=0 = Ф* (cos(Afc^/4) + ísin(Afc^/4)),
(7)
^ — (,) = 0,
X OI t=o
где Ф&, А^ — решение стационарной задачи с числом узлов к, интеграл энергии W является не зависящим от времени,
Ф2 д
в(х, Í)|í=0 — - ф-, ^ в(х, Í)
246 Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2014. С. 244-247
Поэтому для проверки корректности вычислительной схемы были проведены тестовые расчёты с использованием в качестве начальных условий результатов решения стационарной задачи, которая, в свою очередь, решалась на основе ньютоновской итерационной схемы [5].
В результате расчётов было установлено, что интеграл энергии и формы кривых решений системы (1) не изменяются в течение физически значимого интервала времени Ттах (в безразмерных величинах Ттах ~ 1). Это подтверждает корректность вычислительной схемы и её СН—Н реализации.
3.3. Сравнение с теоретической оценкой
Согласно теоретическим оценкам [6] значение интеграла энергии, соответствующее основному стационарному состоянию полярона, равно
т * р4
№ (то) = -0,163 - с2, (8)
п2
где с = 0,552, т* = 2,692т0, т0 — масса электрона в вакууме. С учётом Е = е2/ а = 27, 2 эВ, где а = П2/(т0 • е2) — боровский радиус, теоретическая оценка даёт № (то) = —3,637. Согласно нашим расчётам № = —3, 638. Следовательно, рассчитанные в рамках нашей модели значения № (то) вполне согласуются с теорией.
4. Численные результаты и выводы
Для воспроизведения экспериментальных данных начальные значения волновой функции рассчитывались следующим образом:
Ф(х,0) = (2/ж)3'4 (1/ а3/2) ехр(-х2/а2). (9)
Здесь параметр а является подгоночным.
Необходимо было получить значения интенсивности поглощения света водой,
вычисляемые по формуле [6]: 1(П, ¿) = 4П27^/ (¿)2 - П2)2 + 4П27^ , где для
воды 78 = 0,38 эВ, а П имеет физический смысл частоты света сканирующего лазера, на которой происходит поглощение света гидратированным электроном.
Расчёты проводились для двух различных значений П: 1, 984 эВ и 1, 512 эВ. На рис. 1 показан результат совмещения экспериментальных данных из [1] и расчётных кривых.
Рис. 1. Экспериментальные и расчётные графики интенсивности I(£) при
П = 1, 984 эВ, а = 0, 7955 (слева) и при П = 1, 984 эВ, а = 0, 9 (справа)
Расчётные данные представлены гладкой кривой, а экспериментальные — зубчатой. Можно заметить, что кривые не согласуются только на начальном участке графика. Указанное расхождение требует уточнения метода расчёта 1(П, t), что является предметом дальнейших исследований.
Таким образом, показано, что в рамках рассмотренного подхода удаётся адекватно воспроизвести результаты эксперимента по формированию фотовозбужденных электронов в воде под действием лазерного облучения в ультрафиолетовом диапазоне. Модель может быть использована для дальнейших расчётов и прогнозов при изучении динамики поляронных состояний как в водной среде, так и в иных конденсированных средах.
Литература
1. Long F. H., Lu H., Eisenthal K. B. Femtosecond Studies of the Presolvated Electron: An Excited State of the Solvated Electron // Physical Revew Letters. — 1990. — Vol. 64, No 12. — Pp. 1469-1472.
2. Mathematical Modeling of the Evolution of Polaron States / I. V. Amirkhanov, E. V. Zemlyanaya, V. D. Lakhno et al. // Journal of Surface Investigation: X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques. — 2011. — Vol. 5, No 1. — Pp. 60-64.
3. Давыдов А. С., Энольский В. З. Трёхмерный солитон в ионном кристалле // ЖЭТФ. — 1981. — Т. 81. — С. 1088-1098. [Davydov A.S., Enolsky V.Z. Three-Dimensional Soliton in an Ionic Crystal // JETP. — 1981. — Vol.81, No3(9). — Pp. 1088-1098. ]
4. Пекар С. И. Исследования по электронной теории кристаллов. — М.: Гостехиз-дат, 1951. [Pekar S. I. Investigations on the Electron Theory of Crystals. — Moscow: Gostekhizdat, 1951. ]
5. Обобщённый непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей / И. В. Пузынин, И. В. Амирханов, Е. В. Земляная и др. // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1999. — Т. 30, № 1. — С. 210-262. [The Generalized Continuous Analogue of Newton's Method for the Numerical Investigation of Some Nonlinear Quantum - Field Models / I. V. Puzynin, I.V. Amirkhanov, E. V. Zemlyanaya et al. // PEPAN. — 1999. — V. 30, No1. — Pp. 210-262. ]
6. Lakhno V. D. Dynamical Polaron Theory of the Hydrated Electron // Chemical Physics Letters. — 2007. — Vol. 437. — Pp. 198-202.
UDC 517.958:57 MSC 92C05
Numerical Simulation of the Hydrated Electron Formation
A. V. Volokhova*, E. V. Zemlyanaya*, V. D. Lakhnot, I. V. Amirkhanov*, I. V. Puzynin*, T. P. Puzynina*
* Laboratory of Information Technologies Joint Institute for Nuclear Research 6, Joliot-Curie str., Dubna, Moscow region, Russia, 141980 f Institute of Mathematical Problems of Biology RAS 4, Institutskaja str., Pushchino, Moscow region, Russia, 142290
We consider the dynamic polaron model on the basis of a system of three nonlinear partial differential equations with appropriate initial and boundary conditions. Agreement of our numerical results with theoretical estimations confirms the correctness of numerical algorithm and computer code. A numerical simulation of formation of photo-excited electrons in water has been carried out. We show that the model provides a reasonable agreement with experimental data.
Key words and phrases: hydrated (solvated) electron, polaron state, finite-difference scheme.
