КОМПЬЮТЕРНАЯ ПОДДЕРЖКА РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ВОПРОСЫ ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ

DOI: 10.18137ZRNU.HET.22.05-06.R067 УДК 372.851:378.147

Антропова Г.Р., Матвеев С.Н.,

Набережночелнинский институт Казанского федеральногоуниверситета Шакиров Р.Г.,

Набережночелнинский государственный педагогическийуниверситет

Компьютерная поддержка решения вероятностных задач из истории математики

История теории вероятностей изобилует научно-популярными фактами, которые с успехом можно использовать в обучении математике и теории вероятностей. Например, в описании понятия «вероятность», которое имеет различные интерпретации (частная вероятность, геометрическая, байесовская и апостериорная вероятность и др.). В статье рассматриваются возможности применения приложений системы компьютерной алгебры GeoGebra для упрощения громоздких вычислений сложных вероятностных моделей. Нами представлен пример вычислений, связанных с байесовской вероятностью обновления условных вероятностей гипотез с использованием формулы полной вероятности. Этот прием опирается на теорему Байеса или, как ее еще называют, формулу Байеса. Это одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, связанная с именем английского математика Томаса Байеса (1701-1761). Первым в 1812 году ее современную формулировку опубликовал французский математик и физик Пьер-Симон Лаплас, который развивал эту теорию в дальнейшем.

Метод нашел применение в различных видах деятельности человека - наука, инженерия, философия, медицина, спорт и право. Например, в теории финансов теорема Байеса используется для оценки риска кредитования по-

■ 1л л4 «й V?' о ,

г- * А - г

шр > ® * / .

^'Щ л/'1

•-01 {\1 4 -

э «ж - щ %

-Зй' __

V - С. I

ч 1 '/■• ' ■ ■■ ¿-Г- *

л« Ы йй

Ч ЦО .'Щщу

А4^

- А! {>. I Г.Ч *

§ <

Щу ЪС ^

тенциальных заемщиков, а в медицине - для определения точности результатов тестов и вероятности того, что у данного пациента имеется потенциальное заболевание. Сторонники математического моделирования мышления предполагают, что в нашем мозге сознательно и бессознательно работают алгоритмы Байеса, когда мы воспринимаем что-либо, размышляем и принимаем решения.

С точки зрения обучения математике актуальными представляются задачи, основанные на научно-популярных утверждениях, которые могут быть проверены с помощью байесовской теории,

и их решение на основе приложений различных систем компьютерной алгебры. На наш взгляд, вероятностные задачи проверки простых гипотез позволяют наглядно продемонстрировать идею обновления вероятности гипотез: достоверность вашего убеждения зависит от того, насколько оно объясняет существующие факты. Чем больше вариантов объяснения фактов, тем менее достоверно ваше личное убеждение [6; 7]. С целью подтверждения работы алгоритма обновления гипотез предлагаем рассмотреть популярную задачу теории вероятностей: «Студент идет на экзамен, зная 20 билетов

© Антропова Г.Р., Матвеев С.Н., Шакиров Р.Г., 2022

W/

АНТРОПОВА ГЮЗЕЛЬ РАВИЛЬЕВНА Российская Федерация, город Набережные Челны

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, Набережночелнинский институт Казанского федерального университета. Сфера научных интересов: общая педагогика и история педагогики, психология, математика, информационные технологии в преподавании математики. Автор более 55 опубликованных научных и учебно-методических работ, учебных и развивающих пособий. Электронная почта: [email protected]

GYUZEL R. ANTROPOVA Naberezhnye Chelny, Russian Federation

Ph.D. of Pedagogical Sciences, Associate Professor at the Department of Mathematics, Naberezhnye Chelny Institute of Kazan Federal University. Research interests: general pedagogy and history of pedagogy, psychology, mathematics, information technology in teaching mathematics. Author of more than 55 published scientific and educational works, educational and developmental manuals. E-mail address: [email protected]

МАТВЕЕВ СЕМЕН НИКОЛАЕВИЧ

Российская Федерация, город Набережные Челны

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Набережночелнинский институт Казанского федерального университета. Сфера научных интересов: геометрия и топология, общая педагогика и история педагогики, психология, математика, информационные технологии в преподавании математики. Автор более 60 опубликованных научных и учебно-методических работ, учебных и развивающих пособий. Электронная почта: [email protected]

SEMEN N. MATVEEV

Naberezhnye Chelny, Russian Federation

Ph.D. of Physico-mathematical Sciences, Associate Professor at the Department of Mathematics, Naberezhnye Chelny Institute of Kazan Federal University. Research interests: geometry and topology, general pedagogy and history of pedagogy, psychology, mathematics, information technology in teaching mathematics. Author of more than 60 published scientific and educational works, educational and developmental manuals. E-mail address: [email protected]

0

JM

1 ¿i

i ^

J

ft

ШАКИРОВ РАФИС ГИЛЬМЕГАЯНОВИЧ Российская Федерация, город Набережные Челны

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, физики и методик их обучения, Набережночелнинский государственный педагогический университет. Сфера научных интересов: педагогика, математика, информационные технологии в преподавании математики. Автор более 25 опубликованных научных и учебно-методических работ, учебных и развивающих пособий. Электронная почта: [email protected]

RAFIS G. SHAKIROV

Naberezhnye Chelny, Russian Federation

Ph.D. of Physico-mathematical Sciences, Associate Professor at the Department of Mathematics, Physics and Methods of their Teaching, Naberezhnye Chelny State Pedagogical University. Research interests: pedagogy, mathematics, information technology in teaching mathematics. Author of more than 25 published scientific and educational works, educational and developmental manuals. E-mail address: [email protected]

Аннотация. Рассматривается реализация формулы полной вероятности и байесовской вероятности в системе компьютерной алгебры GeoGebra на основе популярной вероятностной задачи, содержание которой затрагивает вопрос корректности педагогического оценивания. Предложена компьютерная поддержка в решении математических задач, позволяющая обучающимся прийти к более глубокому пониманию изучаемого раздела теории вероятностей. Представлены результаты экспериментального проектирования комплекса заданий в рассматриваемой системе в рамках изучения математических дисциплин: теория вероятностей, алгебра, геометрия. Делается вывод о роли подобных компьютерных программ как необходимого интегрирующего звена в преподавании вузовских курсов естественно-математических и общетехнических дисциплин, имеющих эмпирическую основу.

Ключевые слова: Вероятность события, гипотеза, условная вероятность, формула Байеса, верифицируемость, система компьютерной алгебры GeoGebra.

Abstract. The implementation of the formula of full probability and Bayesian probability in the GeoGebra computer algebra system is considered on the basis of a popular probabilistic problem, the content of which touches on the issue of the correctness of pedagogical assessment. Computer support in solving mathematical problems is offered, which allows students to come to a deeper understanding of the studied section of probability theory. The results of experimental design of a set of tasks in the system under consideration in the framework of the study of mathematical disciplines: probability theory, algebra, geometry are presented. The conclusion is made about the role of such computer programs as a necessary integrating link in the teaching of university courses of natural-mathematical and general technical disciplines that have an empirical basis.

Keywords: Event probability, hypothesis, conditional probability, Bayes formula, verifiability, GeoGebra Computer Algebra System.

КОМПЬЮТЕРНАЯ ПОДДЕРЖКА РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ ИЗ ИСТОРИИ

МАТЕМАТИКИ

из 25. Каким ему лучше зайти в аудиторию: первым или четвертым, если выбранные до него билеты не возвращаются? В каком случае вероятность взять выученный билет будет больше?».

Попробуем ответить на вопросы с педагогической точки зрения: допустима ли такая схема проведения экзамена с позиций объективности выставляемой оценки; возможно ли, что экзамены для обучающихся обладают заведомо математически противоречивыми исходами; возможно ли, что предлагаемая схема фальсифицируема с точки зрения равновозмож-ности событий? С точки зрения педагогических измерений шанс сдать экзамен не должен зависеть от очередности его сдачи студентами [1; 3; 10]. Иначе экзамены надо отменять.

Рассмотрим ответы на поставленные вопросы на основе принципа верификации сходной более общей математической задачи с использованием компьютерной поддержки (GeoGebra) [4] с учетом некоторых сведений из истории вероятностей [6; 9]. Поскольку данная задача популярна и рассматривается во многих задачниках по теории вероятностей, ее варианты приводят многие интернет-издания, мы кратко остановимся на математическом инструментарии решения.

Пусть некоторое событие А может произойти лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий Н, называемых гипотезами и образующих полную группу. Заранее неизвестно, какое из этих событий произойдет. Требуется найти вероятность события А.

По определению: Н1 + Н2 + ... + + Нп = О , где О - достоверное событие, тогда событие А можно представить в виде:

А = = А(Н + Щ + ...+ Н) = = АН + АЛЧ + ...+ АН ,

12 п

где в правой части равенства сумма несовместных событий, так как

(АН)(АН) = А(НН) = А0 = 0,

тогда

р (а) = £а • и, =

,=1

= ХР(и,)■ рв, (А).

,=1

Получили формулу полной вероятности:

РИ = ХР(И,Р (А).

к=1

Прейдем к решению приведенной задачи. Пусть событие А - студент сдал экзамен выбрав знакомый билет.

Если наш гипотетический студент зайдет на экзамен первым, 20 4

то Р ( А ) =-= —. Если он зай-

и 25 5

дет вторым, то о первом студенте можно выдвинуть две гипотезы:

Н1 - взял знакомый нашему студенту билет, Н2 - взял невыученный билет. Тогда по формуле полной вероятности находим:

р(и1 )=4; р(и2)=1; Ри1 (А)=|4; Ри2 (А)=§;

р (а)=419+12°=4.

5 24 5 24 5

Если наш студент зайдет третьим, то относительно первых двух студентов можно предположить: гипотеза Н1 - взяли два выученных нашим студентом билета, Н2 - взяли один знакомый, один незнакомый билет, Н3 - взяли два невыученных билета, тогда:

р( )= С2° = _20^2!23! = 19; V 1 С225 21-18! 25! 30

Р(И ) = СС = 2°• 5-2!23! = 10, 1 2> С225 25! 30'

/ \ с2 5' 2-23' 1 р (из ) = С- = =

1 3 С225 2!-3! 25! 30

Ри, (а) = 13; Ри2 (а)=23;

Ри3 (А)= 23'

Вычисляем по формуле полной вероятности:

ы л 19 18 10 19

Р (А) =---+---+

30 23 30 23

20 = 12 = 4 30 23 = 15 = 5'

Если наш студент зайдет четвертым, то относительно обучающихся, зашедших до него, необходимо рассмотреть следующие гипотезы: Н взяли 4 - I выученных билета и t - 1 неврученных билета, где t принимает значения от 1 до 3. Тогда

р (и )==

С

25

115

р (и2 )= с20 -с = 19

С

25

С1 • с 2 Р (и3 )= С20 4

С

25

->0 ,^3

46 1

276;

С0 С3 1 Р (и4 ) = = -Ц

1 4' С235 230

Используя формулу полной вероятности находим:

57 17 19 18

Р (А) =---+---+

у ' 115 22 46 22

1 19 20 = 4

276 22 230- 22 = 5 '

Видно, что во всех четырех рассмотренных случаях вероятность получить выученный билет одна и та же, то есть «обмануть удачу» нельзя. Тогда возникает вопрос: а может «везение» улыбнется студенту, если он зайдет на экзамен в числе последних? Но в этом случае может случиться, что оставшихся выученных билетов для него будет меньше.

Приведем общее решение подобных задач, так как оно интересно не только студентам, но и преподавателям, с точки зрения объективности выставляемой оценки. Итак, студент выучил т билетов из общего количества - п, предполагаем, что т < п. Требуется найти вероятность успеха студента, если он заходит на экзамен к-тым, где к < п, где т и п, к можно рассматривать как натуральные параметры.

Реализация формулы полной вероятности в рекуррентной форме определяется формулами:

Р(И, )= Ст Сп

т п-т

к—1

рн, (а) =

С — + t — к п +1 — к

р (4=2^ -+t—к

t=1 Сп

п +1 — к '

где

t = 1, к и

к — t < —, t — 1 < п — —,. к < п.

Реализацию полученной рекуррентной формулы проведем в системе компьютерной алгебры Geogebra (Рисунок 1). Опишем ход выполнения работы. Инструментом «Ползунок» разместим на полотне четыре ползунка с именами к, т, п, £ для динамического задания соответствующих величин. Через панель «Настройки» зададим свойства ползунков: минимальное значение - 0, максимальное значение - 50, шаг - 1, для ползунка I минимальное значение - 1, максимальное значение - к, шаг - 1. Затем в строке ввода разместим выражение нахождения слагаемых искомой суммы:

Р^ = (пОг(ш, к - и пСг(п - ш, t - 1)) / пСг(п, к - 1) (т + t - к) / (п + 1 - к).

Следующим шагом в данной строке введем выражение для нахождения последовательности слагаемых, воспользовавшись командой «Последовательность, выражение, переменная, начальное значение, конечное значение»: fk = Последовательность ((пСг(ш, к - ^ пСг(п - ш, t - 1)) / пСг(п, к - 1) (ш + t - к) / (п + 1 - к), t, 1, к).

После чего в той же строке введем выражение нахождения полной вероятности как сумму членов последовательности:

Сумма^к)

и также выражение нахождения вероятности гипотез по формуле Байеса:

Последовательность^к / Р, к, 1, 1)

Приступим к вычислениям: как «удача» нашего студента позволяет ему оценивать И( действия его одногруппников по отношению к нему. В общем случае вычисления достаточно объемные. Воспользуемся составленной нами программой, в которой мы можем легко менять параметры т, п, к. Допустим, изменяем к - очередность входа на экзамен при неизменных величинах т, п (см. Рисунки 2 и 3).

Итак, вероятность «успеха» студента неизменна, но «помощь» од-ногоруппников возрастает - вероятность уменьшить количество его выученных билетов снижается.

Изменяем т - число выученных билетов при неизменных к, п (см. Рисунки 4 и 5).

Таким образом, верификация утверждения алгоритма обновления гипотез по формуле Байеса подтверждается и реализуется достаточно легко с применением выбранной системы компьютерной алгебры. На наш взгляд, также представляет интерес задача с вероятностью «невезения». Однако в каждой ситуации необходимо помнить крылатое изречение: «Существует три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика» (Г. Ла-бушер, М. Твен).

Итак, можем констатировать, что проектирование подобного комплекса задач будет полезным средством в образовательной среде для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса и формирования информационных компетенций средствами математики, а также для организации научно-исследовательской деятельности обучающихся. Рассматриваемая система GeoGebra является эффективным инструментом в реализации компьютерной поддержки решения математических задач: вычислительных задач по теории вероятностей и математической стати-

стике, в конструктивных задачах геометрии, например, в построении эволюты и эвольвенты [4] и многих других. Предложенная компьютерная поддержка системы в решении математических задач позволяет обучающимся прийти к более глубокому пониманию раздела теории вероятностей или любого другого раздела математики. При этом информатика выступает как инструмент формирования учебно-познавательных компетенций. На наш взгляд, использование подобных программных продуктов для решения прикладных задач принесет пользу не только студентам педагогических вузов, но и преподавателям математики.

С точки зрения формирования у студентов требуемых образовательным стандартом компетенций, нами проведено экспериментальное проектирование комплекса заданий в рассматриваемой системе в рамках изучения математических дисциплин: «Теория вероятностей», «Алгебра», «Геометрия». Задания разработаны для студентов 2 курса Набережночел-нинского государственного педагогического университета по программе подготовки бакалавров по направлению 44.03.05 «Педагогическое образование», профили «Математика» и «Информатика»). Проанализировав существующие учебные программы, можно заметить, что наблюдается некоторая разобщенность математических дисциплин и дисциплин из цикла «Информатика и программирование». Преподавание этих дисциплин ведется в разных семестрах и на разных курсах, либо эти дисциплины осваиваются параллельно, но без должной интеграции. Для нас очевидно, что интегрирование этих дисциплин должна осуществляться с первых курсов.

Одним из элементов интеграции выступает аппарат вычислительной информатики и специализированных компьютерных программ. Подобные программы, используемые на заняти-

то есть:

КОМПЬЮТЕРНАЯ ПОДДЕРЖКА РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ ИЗ ИСТОРИИ

МАТЕМАТИКИ

Рисунок 1. Вычисление вероятности выбора студентом выученного билета

ам 0 -»•"им Л- > 0 © -4 \ — •!• -ПК ГЭС 0, =

м к

о к-1 I ■ » 0

о м» 1

о - I

о 1-4 1 - = О

(Л«»» А рнм Р I

Г » Су*мм{П() у

с + и^йСГ^™..««™----м.>) *—^ 1 (вИИКИМ1 ««т)яи од««»*» о отвели отпоим) у'

Рисунок 2. Вероятности гипотез при к = 5

- О X

И * !ЭСГ Ч =

*

0 0

о ■ - » ™ Я 1 0

о 1 0

о 1-4 3 ж

Р — Суима[Ги> 1

— е.*

к^рййвби^^^Псивдвытсшипь ^. к, 1,1 ^ ^^^^^^^^^^^^^ _ ( 0.«5?!гКК 0-01116») Ь05 0 М91ИИ в ЗЭЗ?ИЯ1 0М5№72№| ЫМГ101М» 11(111111 :

+

Рисунок 3. Вероятности гипотез при к = 15

Рисунок 4. Вероятности гипотез при т = 10

Рисунок 5. Вероятности гипотез при т = 15

ях по информатике, реализую- ходимым интегрирующим зве- основу. Систему СеоСеЬга в силу

щие методы высшей алгебры ном в преподавании вузовских ее доступности можно использо-

и математического анализа, те- курсов естественно-математиче- вать в качестве первоначального

ории вероятностей и математи- ских и общетехнических дисци- инструментария в рамках реали-

ческой статистики, служат необ- плин, имеющих эмпирическую зации этих требований.

КОМПЬЮТЕРНАЯ ПОДДЕРЖКА РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ ИЗ ИСТОРИИ

МАТЕМАТИКИ

ЛИТЕРАТУРА

1. Антропова Г.Р., Матвеев С.Н. Математическая статистика как инструмент организации экспериментальной деятельности студентов и управления качеством образов// Информационные технологии. Автоматизация. Актуализация и решение проблем подготовки высококвалифицированных кадров (ИТАП-2016): Сб. материалов Международной научно-практической конференции, Набережные Челны, 16 мая 2016 года; под ред. Л.А. Симоновой, С.К. Савицкого. Набережные Челны: Набережночелнинский институт (филиал) ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», 2016. С. 39-46.

2. Антропова Г.Р., Матвеев С.Н. Математическое обеспечение в организации экспериментальной деятельности студентов педагогических вузов и вузов физической Культуры // Педагогико-психологические и медико-биологические проблемы физической культуры и спорта. 2016. Т. 11, № 1. С. 114-120. DOI: 10.14526/01_1111_86

3. Антропова Г.Р., Матвеев С.Н. Математическое обеспечение организации экспериментальной деятельности преподавателя // Проблемы и перспективы информатизации физико-математического образования: материалы Всероссийской научно-практической конференции, Елабуга, 14 ноября 2016 года. Елабуга: Елабужский институт (филиал) ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», 2016. С. 210-212.

4. Антропова Г.Р., Матвеев С.Н., Шакиров Р.Г. Реализация некоторых задач дифференциальной геометрии в программе GeoGebra // Высшее образование сегодня. 2020. № 6. С. 58-63. DOI: 10.25586/RNU.HET.20.06.P.58

5. Галиакберова A.A., Галямова Э.Х., Матвеев С.Н. Методические основы проектирования цифрового симулятора педагогической деятельности // Вестник Мининского университета. 2020. Т. 8, № 3(32). С. 2. DOI: 10.26795/23071281-2020-8-3-2

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для студентов вузов. 13-е изд,, перер. М.: Высшее образование, 2006. 575 с.

7. Голованов В. Теорема Байеса: из-за чего весь сыр-бор? / Сайт Habr. URL: https://habr.com/ru/post/404633/ (дата обращения: 22.03.2022).

8. Матвеев С.Н., Сиразов Ф.С. Использование системы компьютерной алгебры Maxima в изучении конечных проективных прямых II Высшее образование сегодня. 2015. № 2. С. 72-75.

9. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. 2-е изд., испр. М.: Айрис-пресс, 2005. 252 с.

10. Matveev 5., Antropova G., Chernova N,, Evgrafova O. Key factor analysis influencing the learning activity motivation with first-year and second-year university students. 13th International Technology, Education and Development (INTED 2019). Valencia, Spain, 11-13 March, 2019. P. 1757-1762. DOI: 10.21125/inted.2019.0507

REFERENCES

1. Antropova G.R., Matveev S.N. Matematicheskaya statistika kak instrument organizatsii eksperimental'noy deyatel'nosti studentov i upravleniya kachestvom obrazov [Mathematical statistics as a tool for organizing experimental activity of students and image quality management], Informatsionnye tekhnologii. Avtomatizatsiya. Aktualizatsiya i reshenie problem podgotovki vysokokvalifítsirovannykh kadrov (ITAP-2016): 5b. materialov Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii, Naberezhnye Chelny, May 16, 2016; ed. L.A. Simonova, S.K. Savitsky. Naberezhnye Chelny: Naberezhnye Chelny Institute (branch) ofthe Kazan (Volga Region) Federal University. P. 39-46. (in Russian).

2. Antropova G.R., Matveev S.N. Matematicheskoe obespechenie v organizatsii eksperimental'noy deyatel'nosti studentov pedagogicheskikh vuzov i vuzov fizicheskoy Kul'tury [Mathematical support in the organization of experimental activities of students of pedagogical universities and universities of physical culture]. Pedagogical and psychological and medical and biological problems of physical culture and sports. 2016. Vol. 11, No. 1. P. 114-120. (in Russian). DOI: 10.14526/01_1111_86

3. Antropova G.R., Matveev S.N. Matematicheskoe obespechenie organizatsii eksperimental'noy deyatel'nosti prepoda-vatelya [Mathematical support for the organization of experimental activity of a teacher], Problemy i perspektivy infor-matizatsii fíziko-matematicheskogo obrazovaniya: materialy Vserossiyskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii, Yela-buga, The 14th of November, 2016. P. 210-212.

4. Antropova G.R., Matveev S.N. Shakirov R.G. Realizatsiya nekotorykh zadach differentsial'noy geometrii v programme GeoGebra [Realization of some problems of differential geometry in the GeoGebra program]. Higher education today. 2020. No. 6. P. 58-63. (in Russian). DOI: 10.25586/RNU.HET.20.06.P.58

5. Galiakberova A.A., Galyamova E.Kh., Matveev S.N. Metodicheskie osnovy proektirovaniya tsifrovogo simulyatora ped-agogicheskoy deyatel'nosti [Methodological foundations of designing a digital simulator of pedagogical activity], Vest-nik Mininskogo universiteta. 2020. Vol. 8, No. 3(32). P. 2. (in Russian). DOI: 10.26795/2307-1281-2020-8-3-2

6. Gmurman V.E. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika: uchebnoe posobie dlya studentov vuzov [Probability theory and mathematical statistics], Moscow: Vysshee obrazovanie, 2006. 575 p. (in Russian).

7. Horgan J. (2016) Bayes's theorem, touted as a powerful method for generating knowledge, can also be used to promote superstition and pseudoscience. Available at: https://blogs.scientificamerican.com/cross-check/bayes-s-theorem-what-s-the-big-deal/(date oftheApplication: 5.05.2022). (in Russian).

8. Matveev S.N., Sirazov F.S. Ispol'zovanie sistemy komp'yuternoy algebry Maxima v izuchenii konechnykh proektivnykh pryamykh [Using the Maxima computer algebra system in the study of finite projective lines]. Higher education today. 2015. No. 2. P. 72-75. (in Russian).

9. Pis'mennyy D.T. Konspekt lektsiy po teorii veroyatnostey i matematicheskoy statistike [Lecture notes on probability theory and mathematical statistics], Moscow: AJRIS-press, 2005. 252 p. (in Russian).

10. Matveev S., Antropova G., Chernova N. Key factor analysis influencing the learning activity motivation with first-year and second-year university students. 13th International Technology, Education and Development Conference (INTED2019). Valencia, Spain, ll-13th ofMarch 2019. P. 1757-1762. DOI: 10.21125/inted.2019.0507