CC BY
9Р01:10.25586/RNU.HET.20.06.P.58 УДК 372.851:378.147
Г.Р. Антропова, С.Н. Матвеев, Р.Г. Шакиров,
Набережночелнинский институт (филиал) Казанского федерального университета
Реализация некоторых задач дифференциальной геометрии в программе СеоСеЬга
Набережночелнинский институт (филиал) Казанского федерального университета
Введение
Реализация принципа наглядности является необходимым инструментом изучения и преподавания геометрии на всех ступенях школы.
Не в последнюю очередь это относится к конструктивным задачам дифференциальной геометрии. Тем более что некоторые из них предусматривают весьма трудоемкие вычисления. Поэтому решение этих задач в ручном режиме, то есть путем расчетов, дается обучающимся с трудом. Наглядность в обучении конструктивной геометрии не только облегчает усвоение учебного материала, но и обеспечивает де-
монстрацию преобразований, позволяющих раскрыть свойства геометрических объектов.
В наши дни существуют как никогда прежде широкие возможности для наглядного решения конструктивных задач не только элементарной, но и высшей геометрии [5]. Эти возможности опираются на использование в учебном процессе информационно-коммуникационных технологий.
Перспективным направлением является применение в изучении и преподавании математики систем компьютерной алгебры, представляющих собой прикладные про-
граммы выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме. В настоящее время имеется несколько десятков систем компьютерной алгебры разного уровня, в том числе Derive, MuPAD, Mathcad, Maple, Mathematica, MATLAB, которые нашли широкое применение среди научных работников и инженеров, преподавателей, аспирантов и студентов [2]. Выбор конкретной системы компьютерной алгебры, применимой в учебном процессе, диктуется содержанием математических и педагогических задач и уровнем подготовки пользователей. В контексте настоящей статьи эти системы рассматриваются как средство реализации информационно-коммуникационных технологий в сфере образования [3, 7].
Информационные технологии обучения с разумным привлечением специальных компьютерных систем и программного обеспечения являются необходимым инструментом информатизации образования. Результативность их применения зависит прежде всего от содержания используемого комплекса учебно-практических заданий и адекватного выбора компьютерной системы моделирования. Поэтому весьма актуальной представляется задача разработки эффективной системы учебно-практических и учебно-познавательных заданий в курсе
© Антропова Г.Р., Матвеев С.Н., Шакиров Р.Г., 2020
W/
ГЮЗЕЛЬ РАВИЛЬЕВНА АНТРОПОВА
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики Набережночелнинско-го института (филиала) Казанского федерального университета. Сфера научных интересов: педагогика, математика, информационные технологии в образовании. Автор более 50 опубликованных научных работ. Электронная почта: [email protected]
СЕМЕН
НИКОЛАЕВИЧ МАТВЕЕВ
кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики Набереж-ночелнинского института (филиала) Казанского федерального университета. Сфера научных интересов: педагогика, математика, информационные технологии в образовании. Автор 52 опубликованных научных работ. Электронная почта: [email protected]
как школьной, так и высшей математики.
Рассмотрим некоторые возможности решения математических задач с использованием свободно распространяемой динамической математической программы GeoGebra, которые, на наш взгляд, не нашли еще отражения в имеющихся в распоряжении педагогов учебно-методических материалах.
В практике изучения и преподавания геометрии общего среднего образования наиболее широко распространены такие бесплатно распространяемые интерактивные программы, как The Geometer's Sketchpad (Живая математика) и GeoGebra. Сравнение этих двух программ показывает, что возможности GeoGebra шире. Например, в отличие от GeoGebra система The Geometer's Sketchpad не предусматривает построение графика параметрически заданной функции. GeoGebra предлагает более удачное компьютерное сопровождение задач алгебры, начал анализа курса средней школы и начал высшей математики вузовской программы. Немаловажно и то, что эта программа является одной из наиболее широко распространенных, не случайно она переведена на 39 языков.
Мы также сопоставили программу GeoGebra с интерактивной геометрической системой Cinderella, которая используется преимущественно в вузах. Сопоставительный анализ показал, что эти две программы близки по своим возможностям. Однако использование системы Cinderella является более сложным, поскольку доступно лишь для студентов, владеющих навыками программирования.
Из практики использования программного продукта GeoGebra
Программа GeoGebra предназначена прежде всего для решения задач школьного курса геометрии: в ней можно создавать всевозможные чертежи из точек, векторов, отрезков, прямых, строить графики элементарных функ-
РАФИС ГИЛЬМЕГАЯНОВИЧ ШАКИРОВ
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики Набе-режночелнинского института (филиала) Казанского федерального университета. Сфера научных интересов: педагогика, математика, информационные технологии в образовании. Автор более 20 опубликованных научных работ. Электронная почта: Shakirov53@ gmail.com
В контексте информатизации образования рассматриваются возможности интерактивной динамической математической программы GeoGebra для изучения и преподавания конструктивных задач дифференциальной геометрии, а также начал математического анализа. Показаны преимущества этой программы. Приведены конкретные примеры ее использования. Обоснован вывод, что реализация компьютерной поддержки изучения математики позволяет учащимся прийти к более глубокому пониманию учебно-программного материала и лучшему освоению учебно-познавательных компетенций.
Ключевые слова: принцип наглядности, конструктивные задачи дифференциальной геометрии, информационные технологии обучения, системы компьютерной алгебры, динамическая математическая программа GeoGebra.
In the context of education informatization, the possibilities of the interactive dynamic mathematical program GeoGebra for studying and teaching constructive problems of differential geometry, as well as the beginnings of mathematical analysis, are considered. The benefits of this program are shown. Concrete examples of its use are given. The conclusion is substantiated that the implementation of computer support for the study of mathematics allows students to come to a deeper understanding of the educational program material and a better development of educational and cognitive competencies.
Key words: principle of visualization, constructive problems of differential geometry, information technology of training, computer algebra systems, dynamic mathematical program GeoGebra.
Наступает эпоха доминирования в образовании новых информационных технологий
ций [1]. К тому же эти конструкции можно динамически изменять варьированием некоторого параметра, входящего в уравнение, а также строить перпендикулярные и параллельные заданной прямой линии, серединные перпендикуляры, биссектрисы углов, касательные, определять длины отрезков, площади многоугольников и др. Все эти возможности позволяют решать любую задачу на построение (с помощью линейки и циркуля) конструктивной геометрии. Кроме того, она также применима во многих других задачах вузовского курса геометрии.
С этой точки зрения рассмотрим некоторые возможности решения некоторых конструктивных задач дифференциальной геометрии в программе GeoGebra. Обратимся к теории кривых, где наиболее часто встречаются задачи на построение эволюты и эвольвенты. Их практическое применение можно найти в теории зубчатых зацеплений.
Рассмотрим сначала прямую задачу.
Пример 1. Построить эволюту. Краткие сведения: если задана кривая у уравнением у: г = г (?) такая, что в каждой точке ее кривизна не равна нулю: Щ) Ф 0, то ее эволюта у определяется уравнением у: г = г (?) + р V, где р = 1/к(Т) есть радиус кривизны, а V - орт нормали кривой у в ее точкеМ(?). Используя теорию кривых курса дифференциальной геометрии, можно
г (г')2 г
получить, что pv = 4 г [к, г'].Тогда (гТ'к)
уравнение эволюты в прямоугольной системе координат К = {?, ], к} примет вид:
г г (г')2 г г у : г = г (г) - г [г', к ]• (г'г"к)
Полученное уравнение позволяет записать уравнение эволюты как плоской кривой заданной параметрически:
, х'2 + /2 , х'2 + у'2
г = г — у -, у = у — х-•
х'у" — х"у' х'у" — х"у'
Эволюта явно заданной эвольвенты определяется уравнением:
,1 + у'2 - , ч 1 + у'2
г = х — у -— > У = у(х) +-— •
у У
Воспользуемся приведенными уравнениями для построения эволюты в системе ОеоОеЬга, например для эллипса, заданного параметрическими уравнениями (рис. 1).
Программа позволяет строить эволюту практически любой кривой: достаточно в представленной реализации изменить уравнение кривой.
Реализация рассматриваемых задач в программе GeoGebra возможна по меньшей мере двумя способами. Первый из них основан на использовании возможности программы построения параметрически заданных функций, а второй основан на применении инструмента «Локус». Заметим, что полученные модели позволяют проводить динамическую интерпретацию кривых: перемещение точки по эволь-
Рис. 1. Динамическая модель эволюты эллипса (составлена авторами)
Рис. 2. Динамическая модель эвольвенты окружности (составлена авторами)
венте индуцирует след перемещения точки по эволюте.
Рассмотрим обратную задачу.
Пример 2. Построить эвольвенту. Краткие сведения: эвольвентой кривой у называется кривая у, для которой данная кривая у является эволютой. В технических приложениях эвольвенту кривой у понимают как множество концов отрезков касательных кривой у, отложенных от точек касания, длины которых убывают на величину, равную приращению дуги кривой у.
Если кривая задана в естественной параметризации у: у = г (5), то уравнение эвольвенты этой кривой примет вид:
г (л) = у(я) - (я - я0)г'^
или в координатах запишется следующим образом:
Jx(s) = ~(s) + (s0 - s)x'(s), 1 y(s) = Xs) + (so - s)У'(s) где s0 - произвольная постоянная, определяемая некоторой начальной точкой на у: У = У (s).
Из (4) уравнение эвольвенты для произвольной параметризации запишется в виде:
^ У(t) с ~
r(t) = ~(t) - - I | ~(u) | du. (t)|J to
Проведем процедуру моделирования эвольвенты (рис. 2) с помощью приведенных уравнений в системе GeoGebra, например окружности:
~ Jf (t) = 2 cos t, ~' [g(t) = 2 sin t.
Используя уравнение (6), получаем
_ Jv(t) = 2(cos t +1 sin t), ~ 1w(t) = 2(sin t -1 cos t).
Рассмотрим некоторые редко используемые возможности применения системы GeoGebra в школьном курсе математики [6].
Известно, что понятие функции, исследования функций, понятие производной функции традиционно являются одним из наиболее сложных разделов школьной математики. Между тем именно этот раздел имеет принципиальное значение как для самой математики, так и для ее приложений. Поэтому для эффективного усвоения данной тематики обучающимся средней школы необходимо использование наглядных геометрических иллюстраций. Система GeoGebra предоставляет качественные графические возможности для реализации этой идеи. Однако, кроме прямого применения стандартных процедур, имеются и другие,
а ——' ----- ^
В Л V ГЭС 0. —
1 • Г(х) - «¡*(х> =Л/ V I * * ;
• - <1*5- 096) © \ ■ —
\ Г
о В-МАМА»
- (0.96. 1*5) \ N К 1
+ 8МА- 1
-4 » 4 Ч ч г 1 ! \ 1
\
]
ж / 1 Й .
** г
,____ а о.
■ | —• г ' % *
Рис. 3. Построение графика обратной функции в СвоСвЬга при помощи команды «Локус» (составлено авторами)
мало практикуемые, например применение команды «Локус» (рис. 3). Наглядность различных процедур при решении одной задачи позволяет качественно изучить графические и анимационные модели математических объектов.
Обычно локус в GeoGebra строится так. Сначала активируется инструмент «Локус», затем последовательно реализуются щелчки левой кнопкой мыши сначала по точке А,
а затем по зависимой от нее точке В. Точку В можно задавать через строку ввода.
Выводы
Рассматриваемая система GeoGebra является эффективным инструментом компьютерной поддержки изучения математических задач, в частности графической интерпретации ряда основных понятий эволюты и эвольвенты. Предо-
ставляемая программой GeoGebra компьютерная поддержка освоения учебно-программного материала по математике позволяет обучающимся прийти к более глубокому пониманию изучаемого раздела математического анализа, конструктивной геометрии или любого другого раздела курса математики, при этом информатика выступает как инструмент формирования учебно-познавательных компетенций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Антропова Г.Р., Матвеев С.Н., Шакиров Р.Г. Реализация некоторых задач геометрии средствами информационно-коммуникационных технологий при работе с иностранными студентами // Диалог культур в контексте образовательной деятельности: сб. материалов Всероссийской науч.-практ. конф. (11 декабря 2019 г.). Набережные Челны: Издательство Набережночелнинского государственного педагогического университета, 2019. С. 27-32.
2. Захарова И.Г. Информационные технологии в образовании: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. М.: Академия, 2003. 192 с.
3. Костин А.В., Костина Н.Н., Миннегулова Е.О. Использование имитационных технологий при подготовке будущих учителей // Мир науки. 2016. Т. 4, № 1. 1^1.: http://mir-nauki.com/PDF/19PDMN116.pdf (дата обращения: 20.03.2020).
4. Красильникова В.А. Использование информационных и коммуникационных технологий в образовании: учеб. пособие. Оренбург, 2012. 291 с.
5. Матвеев С.Н., Антропова Г.Р. Организация спецкурса по геометрии средствами информационных технологий (в подготовке бакалавров) // Мир науки. 2017. Т. 5, № 2. URL: http://mir-nauki.com/PDF/33PDMN217.pdf (дата обращения: 20.03.2020).
6. Матвеев С.Н., Матвеева Е.С. О приложениях GeoGebra в некоторых задачах алгебры и начал анализа // Образование и культура: сб. материалов междунар. науч.-практ. конф. (10 марта 2020 г.). Набережные Челны: Издательство Набереж-ночелнинского государственного педагогического университета, 2020. С. 166-170.
7. Матвеев С.Н., Сиразов Ф.С. Использование системы компьютерной алгебры Maxima в изучении конечных проективных прямых /// Высшее образование сегодня. 2015. № 2. С. 72-75.
LITERATURA
1. Antropova G.R., MatveevS.N., ShakirovR.G. Realizaciya nekotory'x zadach geometrii sredstvami informacionno-kommunikacionny'x texnologij pri rabote s inostranny'mi studentami // Dialog kul'tur v kontekste obrazovatel'noj deyatel'nosti: sb. materialov Vserossijskoj nauch.-prakt. konf. (11 dekabrya 2019 g.). Naberezhny'e Chelny': Izdatel'stvo Naberezhnochelninskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta, 2019. S. 27-32.
2. Zaxarova I.G. Informacionny'e texnologii v obrazovanii: ucheb. posobie dlya stud. vy'ssh. ped. ucheb. zavedenij. M.: Akademiya, 2003. 192 s.
3. Kostin A.V., Kostina N.N., Minnegulova E.O. Ispol'zovanie imitacionny'x texnologij pri podgotovke budushhix uchitelej // Mir nauki. 2016. T. 4, № 1. URL: http://mir-nauki.com/PDF/19PDMN116.pdf (data obrashheniya: 20.03.2020).
4. Krasil'nikova V.A. Ispol'zovanie informacionny'x i kommunikacionny'x texnologij v obrazovanii: ucheb. posobie. Orenburg, 2012. 291 s.
5. Matveev S.N., Antropova G.R. Organizaciya speczkursa po geometrii sredstvami informacionny'x texnologij (v podgotovke bakalavrov) // Mir nauki. 2017. T. 5, № 2. URL: http://mir-nauki.com/PDF/33PDMN217.pdf (data obrashheniya: 20.03.2020).
6. Matveev S.N., Matveeva E.S. O prilozheniyax GeoGebra v nekotory'x zadachax algebry' i nachal analiza // Obrazovanie i kul'tura: sb. materialov mezhdunarodnoj nauch.-prakt. konf. (10 marta 2020 g.). Naberezhny'e Chelny': Izdatel'stvo Naberezhnochelninskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta, 2020. S. 166-170.
7. MatveevS.N., SirazovF.S. Ispol'zovanie sistemy' komp'yuternoj algebry' Maxima v izuchenii konechny'x proektivny'x pryamy'x // Vy'sshee obrazovanie segodnya. 2015. № 2. S. 72-75.
Наш город Набережные Челны
