CC BY
11
УДК 514.75
М. В. Кретов1
1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия [email protected]
Комплексы гиперболических параболоидов
В трехмерном аффинном пространстве исследуются комплексы (трехпараметрические семейства) ГП3 гиперболических параболоидов. Получены геометрические свойства одного из подклассов рассматриваемого многообразия фигур.
Ключевые слова: гиперболический параболоид, аффинное пространство, конгруэнция, комплекс, многообразие, репер, система уравнений Пфаффа, характеристическое многообразие, фокальное многообразие, индикатриса вектора.
Отнесем комплекс ГП3 гиперболических параболоидов к реперу Я = {Л, е1, е2, е3}, который характеризуется следующим образом: Л — вершина гиперболического параболоида [1], векторы е1 и е2 сопряжены и лежат в главной плоскости образующего элемента, вектор е3 направлен по оси параболоида, конец Р вектора е1 + е2 лежит на гиперболическом параболоиде. При этом уравнение гиперболического параболоида q согласно [1] будет иметь вид
(х1 )2 -(х2 )2 - х3 = 0. (1)
Поступила в редакцию 30.01.2018 г. © Кретов М. В., 2018
Принимая формы со1, со2, со3 за независимые первичные, согласно [2] запишем систему уравнений Пфаффа многообразия ГПЭ в виде
1 1 1 /->1 1 3 т-чЭ ]
со. = Г с , соЭ = Г Э с , с1 = Г 1 с ,
Э Т-гЭ ] 2 Т->2 ] 1 2 т-т1 ] /г,\
со2 = Г 2с , юЭ = Г Эс , с2 — с1 = Г 2с , (2) где 1, 1, к, ... = 1, 2, Э (по 1 не суммировать!).
Определение 1. Комплексом ГПЭ гиперболических параболоидов назовем комплекс ГПЭ, если индикатрисы векторов ех и е2 неподвижны, а координатный вектор еЭ описывает линии с касательными, параллельными ему.
Теорема 1. Многообразия ГПЭ существуют и определяются с произволом одной функции трех аргументов.
Для комплекса ГПЭ имеем
ёЛ = с1е1 + а>2е2 + с3еЭ, ёе1 = ёе2 = 0 , ёеЭ = со\еЭ. Так как dëi = со^ё], то
1 2 2 1 Э 1 Э 2 п
с°\ = с2 =с = с2 = с = соЭ = ю2 = соЭ = 0 . Обозначим Г^ = а , Г|2 = /, Г|Э = у, тогда система уравнений комплекса ГПЭ гиперболических параболоидов запишется в виде
1 2 2 1 Э 1 Э 2 п
с =ю2 = с =с2 = с =сЭ =с2 = сЭ = 0,
с =асо1 +/о)2 +уэ3. (Э)
Исследуя систему уравнений (Э) согласно [Э], убеждаемся
в том, что комплексы ГПЭ гиперболических параболоидов существуют и определяются с произволом одной функции трех аргументов.
М.В. Кретов
Обозначим через Ai — концы векторов ei, Mi — текущие точки координатных прямых (А, ei), а через M3+i — текущие точки соответственно координатных плоскостей (А, вх, в2), (А, в1, ё3) и (А,в2,ё3). Из системы уравнений (3) и деривационных формул репера R следует, что
1 2 з 1 2 з
dA1 = 0в1 + со в2 + со в3, dA2 = 0в1 + со e2 + со в3, dA3 = ю1в1 + ю2ё2 + (асэ1 + рсо2 +(1 + у^Св ,
dM1 = о)2ё2 + соъё3, dM2 = со1ё1 + соъё3, (4)
dM3 = со1ё1 + а>2ё2, dM4 = соъё3, dM5 = а>2ё2, dM6 = с1ё1.
Анализируя формулы (4), получаем следующую теорему.
Теорема 2. Комплексы ГП3 обладают следующими геометрическими свойствами:
1) точки координатных прямых (А, ei) описывают конгруэнции плоскостей, параллельных координатным плоскостям
- - _ ''в? _ (А,вг+1 ,вг+2 Л где в + 3 = в-
2) точки координатных плоскостей (А, в^^, в..), i Ф у , описывают линии с касательными, параллельными координат-
_ _ 'в/_ ным векторам вк (к Ф i Ф . ), вг+3 = вг
Для исследуемого трехпараметрического семейства гиперболических параболоидов по методике, изложенной в работах [4; 5], легко найти характеристическое и фокальное многообразия образующего элемента.
Теорема 3. Характеристическое многообразие гиперболического параболоида, описывающего комплекс ГП3, состоит
из одной точки N с координатами--, и - —.
2у 2у у
Доказательство следует из системы уравнений
- 2 х1 + ax3 = 0, 2 x2 + ßx3 = 0, 1 + yx3 = 0.
Замечание. Если координаты точки N удовлетворяют уравнению a2 - ß2 + 4у = 0, то фокальное многообразие [4] гиперболического параболоида состоит из этой точки, в противном случае фокальное многообразие образующего элемента является пустым.
Список литературы
1. Комиссарук А. М. Аффинная геометрия. Минск, 1977.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Труды Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
3. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
4. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в и-мерном проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1974. Вып. 6. С. 113—133.
5. Кретов М. В. Комплексы конусов // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 45—49.
M. Kretov1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo ul., Kaliningrad, 236016, Russia [email protected]
Complexes of hyperbolic paraboloids
Submitted on January 30, 2018
In a three-dimensional affine space, complexes (three-parameter families) of hyperbolic paraboloids are studied. Geometric properties of one of the subclasses of the considered variety of figures are obtained.
Keywords: hyperbolic paraboloid, affine space, congruence, complex, manifold, frame, Pfaffian system of equations, characteristic manifold, focal variety, indicatrix of a vector.
M.B. KpeTOB
References
1. Komissaruk, A.M.: Affine geometry. Minsk (1977) (in Russian).
2. Laptev, G.F.: Differential geometry of imbedded manifolds. Group theoretical method of differential geometric investigations. Tr. Mosk. Mat. Obs. GITTL, Moscow. 2, 275—382 (1953) (in Russian).
3. Malakhovsky, V. S.: Introduction to the theory of external forms. Kaliningrad (1978) (in Russian).
4. Malakhovsky, V., Makhorkin, V.: Differential geometry of varieties of hyperquadrics in n-dimensional projective space. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 6, 113—133 (1974) (in Russian).
5. Kretov, M. V. Complexes of cones. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 43, 45—49 (2012) (in Russian).
