CC BY
9
С. Ю. Волкова, Ю. И. Попов
2. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос. Калининград, 1983.
3. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Ч. 1. Калининград, 1980.
4. Норден А. П., Тимофеев Г. Н. Инвариантные признаки специальных композиций многомерных пространств // Изв. вузов. Математика. 1972. № 8. С. 81—89.
5. Столяров А. В. Условие квадратичности регулярной гиперполосы // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 9. Калининград, 1978. С. 93—101.
6. Попов Ю. И., Столяров А. В. Специальные классы регулярных гиперполос. Калининград, 1992.
S. Volkova, Yu. Popov
FIELDS OF FUNDAMENTAL AND EQUIPPED OBJECTS OF COEQUIPPED HYPERSTRIP OF PROJECTIVE SPACE
The giving normally s-coequipped hyperstrip 6'Нт in a frame of 1st order Ri is given and the existence theorem of hyperstrip 6'Нт is proved. The fields of Norden — Timofeev's planes [4] and fields of geometrical objects in differential neighborhoods of 2nd and 3rd order of hyperstrip 6'Нт are constructed.
УДК 514.75
Н. В. Виноградова, М. В. Кретов
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
КОМПЛЕКСЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПАРАБОЛОИДОВ
В трехмерном аффинном пространстве рассматриваются комплексы (трехпараметрические семейства) эллиптических параболоидов. Показано, что такие комплексы существуют. Найдены геометрические свойства исследуемых многообразий.
Ключевые слова: эллиптический параболоид, аффинное пространство, комплекс, многообразие, репер,
вершина параболоида, вектор, форма, система уравнений Пфаффа, индикатриса, характеристическое многообразие, фокальное многообразие, конгруэнция, деривационные формулы, асимптотические линии.
Отнесем комплекс П 3 эллиптических параболоидов к реперу Я = {А, ё^}, /,], к, ... = 1, 2, 3, который геометрически характеризуется следующим образом: вершина репера совмещена с вершиной эллиптического параболоида, векторы ё1 и ё2 сопряжены и лежат в касательной плоскости эллиптического параболоида в его вершине, вектор ё3 направлен по главному диаметру образующего элемента так, чтобы концы P1 и P2 соответственно векторов ё1 + ё3 и ё2 + ё3 лежали на параболоиде q.
Уравнение эллиптического параболоида q в репере Я согласно [1] принимает вид:
(X1)2 + (X2)2 -X3 = 0. (1)
Принимая формы в1 = <, в2 = о2, в3 = < за независимые первичные, запишем систему уравнений Пфаффа комплекса П 3 в виде:
<< = Авк, <2 = А2квк, <2+< = в2квк, <3 = ав1 + в, (2)
< = в + ув2, о3 = 0 (по / не суммировать!).
Комплексы П 3 существуют с произволом четырех функций трех аргументов [2].
Определение 1. Комплекс П 3 эллиптических параболоидов, в котором индикатрисы векторов ёi описывают линии с касательными, параллельными вектору ё1, а точка Р1 принадлежит характеристическому многообразию [3], назовем комплексом П3.
Согласно определению 1, система уравнений Пфаффа комплекса П3 примет вид:
Н. В. Виноградова, М. В. Кретов
О = -в1 -в3, О = Лв2, 1 2 (3)
233223
о3 = о = о = о2 = о3 = о2 = о3 = 0.
Комплексы П3 существуют с произволом одной функции одного аргумента [2].
Теорема 1. Характеристическое многообразие [3] эллиптического параболоида, ассоциированного с комплексом П3, состоит из трех объектов: координатной прямой (А, е3), точки Р1 и вершины эллиптического параболоида при Лф-1, а при Л = -1 в характеристическое многообразие добавляется еще один объект: координатная прямая (А, е2).
Доказательство. Характеристическое многообразие эллиптического параболоида д, являющегося образующим элементом комплекса П3, задается следующей системой уравнений:
- (X1)2 + X1 = 0, ЛХ1X2 + X2 = 0, - (X1)2 + X1X3 = 0, (4)
откуда следует утверждение теоремы.
Теорема 2. Фокальное многообразие [3] эллиптического параболоида д, ассоциированного с комплексом П3, состоит из двух объектов: точки Р1 и вершины эллиптического параболоида д.
Доказательство теоремы следует из того, что фокальное многообразие эллиптического параболоида, описывающего комплекс П3, задается системой уравнений, состоящей из уравнения (1) и системы уравнений (4).
Теорема 3. Комплекс П3 обладает следующими геометрическими свойствами:
1) концы А1 и А2 координатных векторов е1 и е2, каждая текущая точка координатной оси (А, е2) описывают конгруэнции (двухпараметрические семейства) в координатной плоскости (А, е1, е2);
2) каждая текущая точка координатной прямой (А, е1) и конец А3 координатного вектора е3 описывают комплексы в
координатной плоскости (А, е1, е2) и в параллельной ей плоскости соответственно;
3) координатная плоскость (А, ё1, ё2) неподвижна. Доказательство. Обозначим текущие точки координатных прямых (А, ё1) и (А, ё2), координатной плоскости (А, ё1, ё2)
соответственно через Mi (X). Из системы (3) и деривационных формул репера Я следует, что
йА1 =-в3ё1 +в2ё2,
йА2 = (в1 +Лв2) ё1 +в2ё2
(5)
dA3 = (в1 + в3) e1 + 0%, dM 1 = (dx1 +01 - х1в1 - х1в3) e + в2ё dM 2 = (в1 +Àx 2в2) e1 + (dx2 + в2) e
22,
dM 3 = (dx1 +01 - x101 - x103 +Ax2 в2) e1 + (dx2 +02) e2.
Продифференцировав равенства (5) и пытаясь найти асимптотические линии соответствующих поверхностей, убеждаемся в справедливости теоремы.
Список литературы
1. Комиссарук А. М. Аффинная геометрия. Минск, 1977.
2. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.
3. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 6. Калининград, 1974. С. 113—133.
N. Vinogradova, M. Kretov COMPLEXES OF ELLIPTIC PARABOLOIDS
In three-dimensional affine space complexes (three-parametrical families) of elliptic paraboloids are considered. It is shown that such complexes exist. Geometrical properties of researched varieties are found.
