CC BY
26
УДК 519. 24
КОМПЛЕКСНЫЙ МАШИННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ МОДЕЛЬЮ
С.В. Недошивин
Разработаны способы проведения машинных (модельных) статистических экспериментальных исследований технологических процессов, описываемых детерминированной системой исходных уравнений. Указанные исследования могут базироваться на теории активного планируемого факторного эксперимента и на теории пассивного множественного регрессионного анализа.
Ключевые слова: детерминированная модель технологического процесса, статистический активный машинный эксперимент, машинный эксперимент на основе множественного корреляционно-регрессионного анализа.
1. Правила и алгоритм проведения активных статистических модельных экспериментов. Метод моделирования с использованием статистических условных экспериментов может быть использован как для изучения стохастических систем, так и для повышения точности и достоверности результатов решения теоретических задач, содержащих детерминированные системы исходных уравнений [1-3].
Основной идеей, которая используется для решения указанных систем методом статистического моделирования, является замена этой детерминированной модели некоторой эквивалентной стохастической системой, выходные характеристики которой приближенно совпадают с результатом решения детерминированной модели. Такое моделирование часто называют статистическим машинным экспериментом (СМЭ). При этом, как и в натурных многофакторных экспериментальных исследованиях, пользуются схемой так называемого «черного ящика».
При физической и математической постановке теоретической задачи с детерминированной моделью принимают комплекс допущений и упрощений, однозначно фиксирующих ряд параметров исследуемого процесса, а также часто используют константы, которые в реальных процессах изменяются в некоторых небольших, обычно приблизительно известных пределах. При проведении натурных статистических экспериментальных исследований (в частности, планируемого многофакторного эксперимента) их классифицируют как контрольные факторы, которые во всех проводимых опытах стараются поддерживать на одном и том же уровне.
При планировании активных СМЭ представляется возможным учитывать изменения этих контрольных (по схеме «черного ящика») факторов и прочих констант детерминированной модели. В дальнейшем указанные контрольные факторы и константы будем называть «плавающими» кон-
трольными факторами. Технически данный учет целесообразно осуществлять за счет реализации дополнительных серий условно параллельных опытов, в которых комбинация варьируемых факторов остается неизменной, а меняются только численные значения «плавающих» контрольных факторов [1]. Введение указанных условно параллельных опытов позволит получить построчные дисперсии, а следовательно, формально переводит выходные параметры в случайные величины и обеспечивает возможность проведения проверок всех статистических гипотез, присущих натурному планируемому многофакторному эксперименту.
Такой подход позволяет учитывать влияния указанных «плавающих» контрольных и чисто случайных факторов на соответствующие выходные параметры раздельно и поэтапно.
Вначале устанавливается влияние на выходные параметры тех контрольных факторов, которые при функционировании исследуемого объекта могут менять свои значения в определенных небольших пределах. Для этого необходимо с помощью СМЭ получить уравнения регрессии в виде
% = , ^), (1)
где у - модельное (полученное с помощью СМЭ) среднее выходного параметра; х1 - комплекс варьируемых факторов; - набор «плавающих» контрольных факторов.
При построении матрицы планирования для каждой ее строки (определенной комбинации варьируемых факторов) предусматривается необходимое (иногда большое при достаточном машинном ресурсе) количество параллельных вычислительных опытов. Так, в частности, приведенная в качестве примера матрица планирования (табл. 1) предусматривает проведение полного СМЭ для трех факторов, варьируемых на двух уровнях. В качестве аппроксимирующего полинома принята линейная модель со всеми эффектами взаимодействий варьируемых факторов.
Результирующие значения выходных параметров в каждой строке усредняют по 5 параллельным опытам, соответствующим лишь различным комбинациям «плавающих» контрольных факторов.
При проведении этих параллельных опытов предварительно путем генерирования случайных чисел (методом Монте - Карло) в предполагаемых диапазонах изменения по определенным законам распределения получают комплекс частных значений «плавающих» контрольных факторов, которые предусмотрены в детерминированной модели в качестве постоянных коэффициентов и параметров. Количество сгенерированных распределений должно соответствовать числу «плавающих» контрольных факторов , а распределение каждого указанного фактора должно состоять из количества частных значений, равного принятому числу параллельных опытов (в табл. 1 их 5).
Таблица 1
Матрица планирования для СМЭ, учитывающего действие «плавающих» контрольных факторов на выходные параметры
№ Х0 Х1 Х2 Х3 Х1Х2 Х1Х3 Х2 Х3 Х1Х2 Х3 Уи У2 ] У3 ] У4 ] У5 ]
1 + - - - + + + - У11 У 21 У31 У41 У51 У\
2 + + - - - - + + У12 У22 У32 У42 У52 ~У 2
3 + - + - - + - + У13 У23 У33 У43 У53 У3
4 + + + - + - - - У14 У24 У34 У44 У54 У 4
5 + - - + + - - + У15 У25 У35 У45 У55 У 5
6 + + - + - + - - У16 У26 У36 У46 У56 У 6
7 + - + + - - + - У17 У27 У37 У47 У 57 У 7 «72
8 + + + + + + + + У18 У28 У38 У48 У58 У8 «82
Если предположить, что в планируемом СМЭ таких «плавающих» контрольных факторов установлено 3, то для нахождения результатов параллельных опытов в табл. 1 следует составить вспомогательную табл. 2. Такая таблица составляется для каждой строки матрицы планирования, т. е. для каждой комбинации варьируемых факторов.
Таблица 2
Вспомогательная таблица для установления комбинаций
частных значений распределений 3 «плавающих» контрольных факторов в случае 5 параллельных опытов в каждой строке матрицы планирования
Любая ]-ая комбинация варьируемых факторов Изменяющиеся контрольные факторы для ]-й комбинации варьируемых факторов
№ частного значения в распределении У2 - У3 -
Сгенерированные частные значения соответствующих контрольных факторов
1 4-1 У2-1 У3-1
2 У1 - 2 У2 - 2 У3 ] 2
3 У1 - 3 У2 -3 У3 -3
4 У1 - 4 У2 - 4 У3 ] 4
5 У1 - 5 У2 -5 У3-5
Затем при непосредственно вычислительных действиях для каждой строки матрицы планирования (табл. 1), значения соответствующей комбинации варьируемых факторов и комбинации полученных частных значений «плавающих» контрольных факторов (табл. 2) подставляют (вместо констант) в детерминированную модель и получают в параллельных опытах скорректированные значения выходных параметров с учетом действия «плавающих» контрольных факторов. Потом по результатам параллельных опытов рассчитывают построчные средние значения выходных параметров и построчные дисперсии. Последующий вывод уравнений регрессии (1) и проверки соответствующих статистических гипотез производится по известной схеме обработки результатов натурных многофакторных планируемых (активных) экспериментов.
Для проверки адекватности полученных уточняющих модельных уравнений регрессии, учитывающих «плавающие» контрольные факторы, следует провести весьма ограниченное количество натурных экспериментов в разных точках плана и обосновать полученные уравнения регрессии.
Важной характерной особенностью этой первой серии натурных проверочных экспериментов является то, что при ее подготовке необходимо, по возможности, соответствующими организационно-техническими мероприятиями максимально исключить влияние случайных факторов.
В этом случае сопоставление результатов функционирования чисто
детерминированной системы исходных уравнений у = у(хг), модельных
у = у(х г, ) и натурных (первой серии) уравнений регрессии у = у(хг-, ),
где у - натуральное среднее выходного параметра, позволит оценить качество полученных модельных уравнений регрессии, учитывающих влияние «плавающих» контрольных факторов.
Сравнительный анализ адекватности моделей, который может быть произведен по средним значениям выходных параметров модельного и натурного экспериментов или по дисперсиям отклонений частных значений модельных выходных параметров от среднего значения выходного параметра натурного эксперимента, малоэффективен. Наиболее обстоятельным представляется установление теоретического закона распределения одномерных числовых массивов соответствующих выходных параметров и более детальное сопоставление количественных статистических характеристик этих распределений. Наиболее просто выполнить такой сравнительный анализ в случае нормального закона распределения. Тогда количественные статистические показатели можно сравнительно оценить по группам, включающим показатели: центра группирования, рассеивания частных значений относительно центра группирования и формы распределения.
Повышение качества полученной статистической модели
у = у(х 1, ) может быть достигнуто последующим изменением интервалов
изменения и смещением границ используемых «плавающих» контрольных факторов, а также обоснованным расширением их количества.
Учет действия чисто случайных факторов на результаты СМЭ более проблематичен, особенно если отсутствует обстоятельная априорная информация об исследуемом процессе. Очевидно, что при отсутствии данных о законе распределения и границах интервала возможных значений суммарной случайной ошибки, влияние случайных факторов целесообразно искать в виде совокупной аддитивной добавки к полученным скорректированным (за счет учета «плавающих» факторов) средним значениям выходного параметра в каждом вычислительном опыте. В этом случае потребуется провести вторую ограниченную серию натурных экспериментов, отличительной особенностью которых от первой серии является то, что они должны проводиться в условиях, приближенно соответствующих производственной реализации исследуемого технологического процесса.
В общем виде уравнения регрессии второй серии натурных экспериментов имеют вид
у = у(х1 , Vк, ет К (2)
где ет - набор случайных факторов, оказывающих действие на выходной параметр.
Имея статистически обоснованные уравнения регрессии (в одном и том же диапазоне варьирования факторов), полученные при проведении машинных экспериментов (1) с детерминированной моделью и натурных экспериментов второй серии (2), представляется возможным определить разницу между расчетными значениями выходных параметров при каждой комбинации варьируемых факторов, которая будет обусловлена действием на объект только случайных факторов
Ауу (ет ) = уу - у]. (3)
Это позволит оценить уровень действия случайных факторов на исследуемый технологический процесс.
Указанные действия случайных факторов можно оценить точнее, принимая вычисленные для каждой комбинации варьируемых факторов величины Дуу, как значения выходных параметров в так называемом условном планируемом многофакторном эксперименте. Так, при количестве натурных параллельных опытов п = 3 матрица планирования такого условного многофакторного эксперимента будет выглядеть следующим образом.
При этом указанные выходные параметры рассчитываются несколько по-другому и обозначаются Ду .
В каждой строке матрицы планирования (табл. 3) этого условного эксперимента в столбцы с результатами параллельных опытов заносятся вычисленные разности между результатами параллельных опытов в натурном эксперименте уп]-, где п - число параллельных опытов, и Уj - модельное (вычисленное с помощью СМЭ) среднее выходного параметра для каждой строки матрицы планирования табл. 1
АУщ (ещ ) = У^ - Уj. (4)
Наличие результатов параллельных опытов, осредненных значений выходного параметра и построчных дисперсий позволяют, как и ранее, с помощью классического математического аппарата обработки результатов натурного планируемого многофакторного эксперимента получить требуемое уравнение регрессии
ет = Ау (хI). (5)
Результирующее модельное уравнение регрессии, описывающее исследуемый технологический процесс и полученное с помощью статистического машинного эксперимента с учетом возможных воздействий на эту систему, получим из уравнений (1) и (5) в следующем общем виде
У = У + ет = У(Х, Vк) + АУ (Х). (6)
Таблица 3
Матрица планирования условного многофакторного эксперимента, учитывающего действие случайных факторов на выходные
параметры
№ х0 Х1 х2 х3 Х1Х2 Х1Х3 Х2 Х3 Х1Х2 Х3 АУ^ АУ2 j АУ3 j Аyj
1 + - - - + + + - АУ11 АУ21 АУ31 АУ1 S?
2 + + - - - - + + АУ12 АУ22 АУ32 АУ 2 52
3 + - + - - + - + АУ13 АУ23 АУ33 АУ3 s2
4 + + + - + - - - АУ14 АУ24 АУ34 АУ 4 S22
5 + - - + + - - + АУ15 АУ25 АУ35 АУ5 S¡
6 + + - + - + - - АУ16 АУ26 АУ36 АУ 6 S22
7 + - + + - - + - АУ17 АУ27 АУ37 Ау 7 St
8 + + + + + + + + АУ18 АУ28 АУ38 АУ8
Блок-схема проведения комплексного СМЭ по исследованию технологических процессов, представленных детерминированными моделями;
цифры в кружках: 1 -учет влияния «плавающих» контрольных факторов; 2 - приближенный учет влияния случайных факторов;3 - уточненный учет влияния случайных факторов
Данное уравнение, полученное решением уже в развернутом виде, может быть приведено к канонической форме, а может быть оставлено в виде указанной суммы, весьма полезной для дальнейшего изучения и совершенствования исходной исследуемой системы. Качество этого уравнения и достоверность рассчитываемых по нему результатов можно повысить, если обе серии натурных экспериментов проводить не в ограниченном количестве, а во всех точках модельного плана, представленного, в частном случае, в табл. 1.
Сущность и последовательность действий при проведении данного анализа схематично представлена на рис.
2. Правила и алгоритм проведения статистических модельных экспериментов на основе множественного корреляционно-регрессионного анализа. В ряде случаев анализа исследуемых процессов с детерминированными моделями, более эффективный результат может дать статистический машинный эксперимент, в котором обработка модельных результатов производится на основе математического аппарата классического множественного корреляционно-регрессионного анализа.
Следует отметить, что данный тип СМЭ с указанными моделями возможно и целесообразно использовать, когда исследуемая детерминированная модель позволяет за относительно непродолжительное время осуществить необходимое большое количество вычислительных циклов, присущих разработанной методике статистического моделирования. Ее преимущества по отношению к прочим алгоритмам статистического машинного эксперимента выявляются, если:
- известно, что варьируемые факторы имеют специфические законы распределения частных значений в выборках и эта особенность должна быть учтена при получении модельных результатов, т. е. при выводе и статистическом обосновании (с помощью соответствующих критериев) искомых выборочных уравнений регрессии;
- требуется высокий уровень достоверности получаемых результатов, что обеспечивается большим количеством модельных опытов, проводимых через малые шаги счета, на которые разбиваются интервалы варьирования каждого фактора;
- в исследуемой детерминированной модели (системе исходных функциональных уравнений, подлежащих совместному решению) нет констант, которые также целесообразно варьировать, но в небольших диапазонах, превращая их в «плавающие контрольные факторы» [4], а саму детерминированную модель - в стохастическую, что позволяет при обработке результатов условных опытов использовать алгоритм планируемого многофакторного эксперимента.
Разработанная методика подготовки и проведения СМЭ с детерминированными моделями на основе использования математического аппарата множественного корреляционно-регрессионного анализа содержит следующие основные этапы.
Как и в альтернативных вариантах статистического машинного эксперимента, первый этап предлагаемого варианта [4] заключается в выборе результативных признаков (выходных параметров), установлении комплекса (факторов-признаков) варьируемых факторовх (/ = 1...п) и обосновании возможных диапазонов их изменения. Область факторного пространства целесообразно оформлять в виде следующей в табл. 4.
Таблица 4
Область факторного пространства _
№ п/п Наименование варьируемого фактора Обозначение фактора Единица измерения Возможный диапазон изменения
1 Первый фактор Xi мм xmin Xmax •Л-1 • • • .Ai
2 Второй фактор x2 град (°С) xmin Xmax X2 • •• X2
• • • • • • • • • • • • • • •
n К-й фактор xn кг xmin xmax xn ••• xn
Аналогично использованию математического аппарата планируемого многофакторного эксперимента [4], на этом этапе с помощью генератора случайных чисел (метод Монте - Карло) по присущему каждому фактору закону распределения в обоснованных предварительно возможных диапазонах варьирования получают числовые массивы частных значений
этих факторов х/ (} = 1...т). Данные выборки каждого фактора оформляют в виде отдельных столбцов таблицы исходных данных (табл. 5), в которой каждая строка представляет собой условия проведения каждого модельного опыта, соответственно количество строк соответствует объему указанных частных выборок и общему количеству модельных опытов. При этом, учитывая состоятельность выборочных оценок, для получения более достоверных результатов, в отличие от варианта с использованием методики планируемого многофакторного эксперимента и независимо от числа варьируемых факторов, количество модельных опытов (вычислительных циклов) целесообразно делать большим (до т = 500...1000).
Числовые данные каждой строки подставляют в детерминированную теоретическую модель и рассчитывают соответствующие частные
значения выходных параметров ук (к = 1.../), которые оформляют в виде
последних столбцов указанной табл. 5.
Таблица 5
Таблица модельных опытов
№ опыта Варьируемые факторы х{ Выходные параметры у]к
Х1 х2 ... хп У1 У2 ... У1
1 Х1 х2 ... х1 Лп у1 у2 ... У}
2 Х1 х2 ... х 2 п У12 У22 ... У2
... ... ... ... ... ... ... ... ...
т хт Л1 хт х2 ... хт п У1т т У2 ... Ут
Если детерминированная модель содержит величины, представленные в виде некоторых констант при физической постановке (т. е. введении определенных допущений и упрощений, позволяющих получить решение системы уравнений, составляющих эту детерминированную модель), то они в предлагаемой методике в случае необходимости включаются в расчетные циклы, как обычные факторы со своими столбцами, но варьируются в относительно малых диапазонах.
Если таких констант нет или их нецелесообразно варьировать, то, в отличие от СМЭ на базе планируемого многофакторного эксперимента, в предлагаемой методике не требуется проведения каких-либо искусственных действий для превращения результатов статистического машинного эксперимента с детерминированной моделью в случайные величины, и сформированная указанным образом таблица исходных данных формально является аналогом результатов натурного многофакторного эксперимента.
Список литературы
1. Советов Б.Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: учеб. для вузов. М.: Высшая школа, 2009. 343 с.
2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов. М.: Наука, 1997. 600 с.
3. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем. Л.: Машиностроение, 1988. 233 с.
4. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Лазарев А. А. Активный статистический анализ систем с теоретическими моделями проведением машинного эксперимента // Известия Тульского государственного университета. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 5. С. 98 - 112.
Недошивин Сергей Владимирович, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
MODEL EXPERIMENTAL STUDY OF PROCESSES PRESENTED A DETERMINISTIC SYSTEM OF INITIAL EQUA TIONS
S. V. Nedoshivin
The methods of the machine (model) statistical experimental studies of processes described by deterministic equations of the original system. These studies are based on the theory of planned activities factorial experiment and theory of passive multiple regression analysis.
Key words: the deterministic model of the process, the active statistical machine computer experiment based on a multiple regression analysis.
Nedoshivin Sergey Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, archon80@ mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
