Активный статистический анализ систем с теоретическими моделями проведением машинного эксперимента Текст научной статьи по специальности «Математика»

Remnev Kirill Sergeevich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Pilipenko Olga Vasilievna, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Orel, State University — EducationScienceProduction Complex,

Osipova Elena Vitalievna, postgraduate, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Larina Marina Victorovna, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 004.021

АКТИВНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ ПРОВЕДЕНИЕМ МАШИННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Г.В.Панфилов, С.В.Недошивин, А. А. Лазарев

Рассмотрены подходы к планированию, проведению и обработке результатов активного статистического машинного эксперимента для анализа исходных исследуемых систем, имеющих построенную теоретическую (детерминированную) модель. Обоснованы возможности проверки адекватности этой модели, углубленного изучения ее функционирования, учета воздействия на нее изменяющихся контрольных и случайных факторов.

Ключевые слова: статистическое моделирование, машинный эксперимент, многофакторный планируемый эксперимент, контрольные и случайные факторы.

1. Область и особенности применения машинных эксперимен-

тов.Метод моделирования с использованием машинных экспериментов может быть использован как для изучения стохастических систем, так и для решения детерминированных задач [1-3].

Принятую в данной работе терминологию, область применения и возможные варианты машинных экспериментов можно рассмотреть на примере рис. 1. Исследуемый объект, основные параметры проектирования, изготовления или функционирования которого необходимо установить, будем называть исходной исследуемой системой (ИИС). Основную совокупность методов исследования можно классифицировать на теоретические и экспериментальные. При решении как теоретических, так и экспериментальных задач широко применяют методы моделирования [4,5].

При теоретическом методе решения, в соответствии с рис. 1, стро-

ится детерминированная модель (ДМ) исходной исследуемой системы, называемая также математической моделью и представляющая собой систему исходных уравнений совместно с принятыми граничными и начальными условиями. В ряде случаев для углубленного теоретического изучения исследуемого процесса применяют (рис. 1) детерминированные машинные эксперименты (ДМЭ) и статистические машинные эксперименты (СМЭ).

В частности, для реализации ДМЭ, используемых при решении детерминированных моделей, построенных с использованием метода конечных элементов, разработаны типовые программные продукты, такие, как MSC.Marc фирмы«MSC.Software» и ABAQUS\Standartкомпании «Dassault-Systemes». Данные программы являются универсальными, однако для них процесс подготовки данных является трудоемким и требует специальной подготовки пользователя. Из специализированных «облегченных» программных продуктов можно выделить Deform 3Dкомпании «ScientificFor-mingTechnologiesCorporation» и QForm 2D\3Dкомпании ООО «Квантор-Форм».

___________> >________

Планирование, проведение и обработка результатов статического машинного эксперимента СМЭ с СМ иис

Планирование,

проведение и

обработка результатов

детерминированного

машинного

эксперимента

ДМЭ с ДМ ИИС

Рис. 1. Возможные варианты машинных экспериментов

99

Основной идеей, которая используется для решения ДМ методом статистического моделирования, т. е. СМЭ, является замена этой детерминированной модели эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики которой приближенно совпадают с результатом решения детерминированной модели. Конкретно, в результате проведения СМЭDMполучают серию частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых тем или иным методом позволяет получить сведения о поведении реального объекта. Для получения таких массивов широко используют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных частных значений некоторой случайной величины в установленном диапазоне с заданным распределением вероятностей. Таким образом, реализация построенной модели со статистической обработкой полученных результатов носит название машинного эксперимента [6].

Статистическое моделирование натурных экспериментов, т. е. проведение соответствующего (рис. 1) статистического машинного экспери-мента(СМЭ СМ ИИС), является весьма сложной задачей. Основная проблема при этом заключается в установлении и формализации связей между определенными комбинациями частных значений варьируемых факторов и соответствующими значениями выходных параметров. Для решения этой проблемы могут быть использованы следующие приемы:

- установление необходимых геометрических соотношений (если это возможно);

- использование необходимой априорной информации из литературных и других источников;

- проведение комплекса простых, но доступных экспериментов;

- применение метода искусственных нейронных сетей и др.

2. Сущность и возможности машинных экспериментов. Как отмечено ранее, сущность моделирования ИИС сводится к предварительному построению для исследуемых процессов некоторого детерминиро-ванногоили стохастического алгоритма, моделирующего поведение и взаимодействие элементов этой системы. Другими словами это называют соответственно построением детерминированной модели или статистической модели (СМ) исследуемой системы. Далее планируется детерминированный машинный эксперимент или статистический машинный эксперимент с учетом случайных воздействий (входных и присущих самой систе-ме),которые реализуются с использованием программно-технических средств ЭВМ.

В частности,статистический машинный эксперимент с теоретической (детерминированной) моделью [7] проводится с целью получения углубленной информации о параметрах процесса функционирования рассматриваемого объекта (ИИС).

Теоретические (детерминированные)модели имеют то преимуще-

ство, что они непосредственно описывают физические свойства ИИС. Коэффициенты уравнений теоретических моделей представляют собой независимые параметры элементов этой системы (внутренние параметры исследуемого объекта) или некоторые комбинации этих параметров, а зависимые переменные - фазовые координаты системы. Указанные модели позволяют осуществлять имитационное моделирование процесса функционирования ИИС во времени, детально изучать изменение фазовых координат в зависимости от внешних воздействий (возмущающих и управляющих), анализировать устойчивость системы, качество переходных процессов, эффективность функционирования в условиях случайных внешних воздействий, близких к реальным, т. е. оценивать ее функциональную работоспособность и выполнения технических требований к системе.

Но теоретические модели сложных технических объектов представляют собой системы нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка (обычно не ниже 30-го порядка). Однократное решение такой системы уравнений на современных ЭВМ требует значительных затрат машинного времени (десятки и даже сотни минут). При этом следует учитывать, что исследования многих объектов носят ярко выраженный оптимизационный характер. Однако оптимизационные алгоритмы требуют выполнения множества операций, количество которых может достигать чисел второго и третьего порядков, причем на каждой итерации решается исходная система дифференциальных уравнений. Поэтому решение такой задачи характеризуется огромными затратами машинного времени. Затраты машинного времени можно значительно сократить, если на этапе оптимизации параметров использовать экспериментальную факторную математическую модель.

Экспериментальные статистические модели (СМ), в отличие от теоретических, не используют физических законов, описывающих происходящие в объектах процессы, а представляют собой некоторые формальные зависимости выходных параметров от внутренних и внешних параметров исследуемого объекта.

Уже отмечалось, что экспериментальная факторная модель может быть построена на основе проведения экспериментов непосредственно на самом техническом объекте (натурный эксперимент) либо вычислительных экспериментов на ЭВМ с теоретической (детерминированной) моделью. Однако физические эксперименты требуют огромных затрат материальных и временных ресурсов, поэтому их выполняют обычно в тех случаях, когда сложность этих систем и условия их функционирования не позволяют надеяться на требуемую точность их математического описания теоретическими методами.

Также преимуществом статистических машинных экспериментов перед натурными является возможность полного воспроизведения условий эксперимента, что при проведении реальных опытов часто бывает пробле-

матичным, а иногда и невозможным. Важным достоинством перед натурными является простота прерывания и возобновления статистических машинных экспериментов, что позволяет применять последовательные и эвристические приемы планирования, которые также могут оказаться нереализуемыми в экспериментах с реальными объектами. При работе с машинной статистической моделью всегда возможно прерывание эксперимента на время, необходимое для анализа результатов и принятие решений об его дальнейшем ходе (например, о необходимости изменения значений параметров статистической модели).

Недостатком статистических машинных экспериментов является то, что часто возникают трудности, связанные с наличием корреляции в выходных последовательностях, т.е. результаты одних наблюдений зависят от результатов одного или нескольких предыдущих, и поэтому в них содержится меньше информации, чем в независимых наблюдениях.

В зависимости от поставленных целей рассматриваемого моделирования имеются различные подходы к планированию, проведению и обработке результатов машинного эксперимента. Эффективность статистических машинных экспериментов с детерминированными моделями существенно зависит от выбора плана эксперимента, так как именно план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования.

3. Планирование машинных экспериментов. Основная задача планирования машинных экспериментов - получение необходимой информации об исходной исследуемой системе при ограничениях на ресурсы (затраты машинного времени, памяти и т. п.). Частные задачи планирования машинных экспериментов - уменьшение затрат машинного времени на моделирование, увеличение точности и достоверности результатов моделирования, проверка адекватности модели и т. д.

При построении плана эксперимента необходимо помнить, что целями проведения СМЭ для ДМ являются либо получение зависимости выходных параметров от факторов для выявления особенностей изучаемого процесса функционирования детерминированной системы, либо нахождение таких комбинаций значений факторов, которые приводят к экстремальным значениям соответствующих выходных параметров.

При применении системного подхода к проблеме планирования СМЭ для решения детерминированных моделей можно выделить две составляющие планирования: стратегическое и тактическое планирование.

3.1. Стратегическое планирование статистических машинных экспериментов. Стратегическое планирование ставит своей целью обеспечение возможности получения необходимой информации об ДМ ИИС с помощью статистического машинного эксперимента, реализованного на ЭВМ, с учетом ограничений на ресурсы. При стратегическом планировании СМЭ для анализа детерминированных моделей ИИС возникает целый

ряд проблем, взаимно связанных как с особенностями функционирования моделируемого объекта, так и особенностями машинной реализации статистической модели и обработки результатов эксперимента. В первую очередь к таким относятся проблемы: построения плана машинного эксперимента; наличия большого количества факторов; многокомпонентности выходных параметров; стохастической сходимости результатов машинного эксперимента; ограниченности машинных ресурсов на проведение эксперимента.

Серьезная проблема стратегического планирования машинных экспериментов возникает при наличии большого количества факторов. Если факторы являются количественными, а выходной параметр связан с факторами некоторой функцией, то в качестве метода обработки результатов эксперимента может быть выбран регрессионный анализ. Когда при моделировании требуется полный факторный анализ, то проблема большого количества факторов может вызвать отсутствие практического решения. Достоинством полных факторных планов является то, что они дают возможность отобразить полную поверхность функции отклика, если количество варьируемых факторов невелико. Преодолеть указанные трудности можно переводом части менее интересующих исследователя варьируемых факторов в контрольные и поддержанием их на неизменном уровне в течение всего эксперимента либо тщательным планированием и проведением дробного факторного эксперимента.

Следующей проблемой стратегического планирования машинных экспериментов является многокомпонентная функция отклика. В машинном эксперименте с различными возможными вариантами статистической модели детерминированной системы на этапе проектирования этой модели часто возникает задача, связанная с необходимостью изучения большого числа выходных параметров. Эту трудность в ряде случаев можно обойти, рассматривая машинный эксперимент со статистической моделью, имеющей много выходных параметров, как несколько машинных экспериментов, в каждом из которых исследуется только один выходной параметр.

Существенное место при планировании машинных экспериментов с моделями, реализуемыми статистическими методами на ЭВМ, занимает проблема стохастической сходимости результатов СМЭ. Эта проблема возникает вследствие того, что целью проведения конкретного статистического машинного эксперимента при анализе ДМ ИИС является получение на ЭВМ количественных параметров функционирования ИИС с помощью машинной статистической модели. В качестве таких параметров наиболее часто выступают генеральные средние некоторых распределений, для оценки которых используют выборочные средние, найденные путем многократных прогонов детерминированной модели на ЭВМ. При этом, чем больше выборка, тем больше вероятность того, что выборочные средние приближаются к выборочным распределений. Сходимость выборочных

средних с ростом объема выборки называется стохастической сходимостью, поэтому последняя определяет обоснованность и достаточность используемых объемов выборки.

При стратегическом планировании машинных экспериментов можно выделить следующие этапы:

- построение структурной модели;

- построение функциональной модели.

При этом структурная модель выбирается из того, что должно быть сделано, а функциональная - из того, что может быть сделано.

Структурная модель плана эксперимента характеризуется числом варьируемых факторов и числом уровней каждого фактора. Число элементов в случае проведения полного факторного эксперимента N = дк, где к -число факторов эксперимента; д - число уровней I -того фактора, г = 1, к . Под элементом понимается структурный блок эксперимента, определяемый как простейший эксперимент в случае одного фактора и одного уровня.

Функциональная модель плана эксперимента N0 определяет количество элементов структурной модели, т. е. необходимое число различных информационных точек. При этом, как отмечалось ранее, функциональная модель может быть полной и неполной. Функциональная модель называется полной, если в оценке выходного параметра участвуют все элементы, т. е. N0 = Nc, и неполной, если число реакций меньше числа элементов, т. е. N0 < Nc. Основная цель построения функциональной модели - нахождение компромисса между необходимыми действиями при машинном эксперименте (исходя из структурной модели) и ограниченными ресурсами на решение задачи методом моделирования.

Таким образом, использование при стратегическом планировании машинных экспериментов структурных и функциональных моделей плана позволяет решить вопрос о практической реализуемости модели на ЭВМ, исходя из допустимых затрат ресурсов на моделирование ИИС.

3.2. Тактическое планирование статистических машинных экспериментов. Тактическое планирование представляет собой определение способа проведения каждой серии испытаний СМЭ, предусмотренной планом эксперимента. Тактическое планирование связано с вопросами эффективного использования выделенных для эксперимента машинных ресурсов и определением конкретных способов проведения испытаний СМЭ в соответствии с планом эксперимента, построенном при стратегическом планировании.

Тактическое планирование СМЭ связано, прежде всего, с решением следующих проблем:

- определением начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата при моделировании;

104

- обеспечением точности и достоверности результатов моделирования;

- уменьшением дисперсии оценок параметров процесса функционирования моделируемых систем;

- выбором правил автоматической остановки процесса моделирования в случае необходимости.

Как уже отмечалось, одной из проблем тактического планирования СМЭ является оценка точности и достоверности результатов моделирования при заданном числе реализаций (объеме выборки) или необходимость оценки требуемого числа реализаций при заданных точности и достоверности результатов моделирования ИИС.

С проблемой выбора количества реализаций при обеспечении необходимых точности и достоверности результатов тесно связана проблема дисперсии полученных частных значений. В настоящее время существуют методы, позволяющие при заданном числе реализаций увеличить точность оценок, полученных на СМЭ, и, наоборот, при заданной точности оценок сократить необходимое число реализаций при статистическом моделировании. Эти методы используют априорную информацию о структуре и поведении моделируемой ИИС и называются методами уменьшения дисперсии. При подходе к уменьшению дисперсии задача состоит в специальном построении моделирующего алгоритма ДМ ИИС, позволяющего получить положительную корреляцию, например, за счет управления генерацией случайных величин.

Еще одной проблемой, возникающей при тактическом планировании СМЭ, является выбор правил автоматической остановки модельного эксперимента. Простейший способ решения данной проблемы - задание требуемого количества реализаций или длины интервала моделирования. Однако такой детерминированный подход не всегда эффективен, т. к. в его основе лежат достаточно грубые предположения о распределении выходных переменных, которые на этапе тактического планирования являются неизвестными. Другой способ - задание доверительных интервалов для выходных переменных и остановка прогона машинной модели при достижении заданного доверительного интервала.

При практической реализации введение в статистическую модель правил остановки и операций вычисления доверительных интервалов увеличивает машинное время, необходимое для получения одного вычисленного значения при статистическом моделировании.

4. Особенности построения статистического машинного эксперимента при детерминированной модели исходной исследуемой системы. Различают и планируют эксперименты пассивные и активные. Планируемый активный эксперимент при прочих равных условиях точнее и информативнее, а иногда и дешевле пассивного. В статистическом машинном эксперименте, в отличие от физического, нет никаких ограничений на

выбор варьируемых факторов и характер их изменения. Поэтому обычно всегда машинные эксперименты реализуются как активные. В дальнейшем будут рассматриваться в основном вопросы, связанные с планированием активных машинных экспериментов.

В частности, под структурой ДМ при планировании для нее СМЭ следует понимать вид математических соотношений между варьируемыми факторами хг и выходными параметрами уу. Структуру модели обычно

выбирают, исходя из анализа априорной информации об объекте с учетом назначения и последующего использования полученной статистической модели. Задача определения искомых параметров статистической модели полностью формализована и решается методами регрессионного анализа.

Если с помощью СМЭ исследовать ДМ без учета ошибок и погрешностей, присущих натурным экспериментам, то можно получить весьма полезную регрессионную зависимость выходных параметров только от варьируемых факторов как ориентир, к которому следует стремиться при планировании, подготовке, проведении и обработке результатов натурных экспериментов. Однако очевидно, что при этом вычислительные значения выходных параметров будут отличаться от значений, которые могут быть получены при проведении натурных экспериментов.

При построении экспериментальной статистической факторной модели (как при планируемом натурном, так и при машинном экспериментах) объект моделирования (ИИС)принято представлять в видесхемы «черного ящика» (рис. 2), на вход которого подаются некоторые переменные X (варьируемые факторы) и V (контрольные факторы), а на выходе можно наблюдать и регистрировать переменные У (выходные параметры). Кроме того, на объект воздействует переменная Е (комплекс случайных неконтролируемых и неуправляемых факторов).

Так, при фиксированной комбинации варьируемых факторов хг и проведении натурных повторных (параллельных) опытов значения выходных параметров у у могут несколько отличаться друг от друга за счет:

- некоторых изменений (в определенных пределах и по какому-либо закону или случайно) контрольных факторов Ук при недостаточно точной их фиксации;

- действия случайных факторов ет (обладающих вероятностными свойствами), которое часто предполагается неизменным во времени.

В отличие от натурных статистических экспериментов, в машинных экспериментах ошибки характерны только для определяемых значений

выходных параметров у у. Если исходить из того, что детерминированная

модель дает точное описание физических свойств исследуемого технического объекта, то значения функций отклика будут содержать только совокупную случайную ошибку (см. рис. 2). Она в большинстве случаев скла-

дывается, как уже отмечалось, из колебаний в отдельных опытах фиксируемых значений контрольных и случайных факторов. При этом не рассматриваются случаи анализа с учетом систематических и грубых ошибок, возникающих по вине экспериментаторов или из-за неудовлетворительной подготовки техники и используемых измерительных приборов.

V

, I

■ > Объект исследования

Рис. 2. Схема объекта исследования при построении экспериментальной факторной модели

При активном планируемом многофакторном машинном эксперименте с детерминированной моделью учет влияния указанных «плавающих» контрольных и случайных факторов на соответствующие выходные параметры целесообразно осуществлять раздельно и поэтапно.

Вначале устанавливается влияние на выходные параметры тех контрольных факторов, которые при функционировании исследуемого объекта могут менять свои значения в определенных небольших пределах. Для этого необходимо с помощью СМЭ получить уравнения регрессии в виде

% = У(х I, Vк ), (!)

где у - вычислительное (полученное с помощью СМЭ) среднее выходного параметра; х1 - комплекс варьируемых факторов; Vk - набор незначительно изменяющихся контрольных факторов.

При построении матрицы планирования для каждой ее строки (определенной комбинации варьируемых факторов) предусматривается необходимое (иногда достаточно большое при достаточном машинном ресурсе) количество параллельных вычислительных опытов. Приведенная в качестве примера матрица планирования (табл. 1) предусматривает проведение полного СМЭ для трех факторов, варьируемых на двух уровнях. В качестве аппроксимирующего полинома принята линейная модель со всеми эффектами взаимодействий варьируемых факторов. Результирующие значения выходных параметров усредняют по 5 параллельным опытам.

При проведении этих параллельных опытов предварительно путем генерирования случайных чисел (методом Монте-Карло) в предполагаемых диапазонах изменения по определенным законам распределения получают комплекс частных значений тех контрольных факторов, которые

107

Е

предусмотрены в детерминированной модели в качестве постоянных коэффициентов и параметров, а при подготовке и планировании СМЭ установлена вероятность их колебаний. Количество сгенерированных распределений должно соответствовать числу контрольных изменяющих свои значения факторов , а распределение каждого фактора должно состоять из количества частных значений, равного принятому числу параллельных опытов (см. табл. 1). Если предположить, что в планируемом СМЭ таких колеблющихся контрольных факторов установлено 3, то для нахождения результатов параллельных опытов в табл. 1 следуетвоспользоваться вспомогательной табл. 2, составляемой для каждой строки матрицы планирования, т. е. для каждой комбинации варьируемых факторов. Сгенерированные для одной строки матрицы планирования частные значения контрольных факторов можно оставить неизменными и для других строк, но целесообразно использовать другие варианты генераций случайных чисел (не меняя интервалов варьирования и законов распределения).

Таблица 1

Матрица планирования для СМЭ, учитывающего действие

изменяющихся контрольных факторов на выходные параметры

№ п/п *0 *1 *2 *3 *1*2 *1*3 *2 *' *1*2 Уи У2 і У3 і У4 і У5 і Уі

1 + - - - + + + - У11 у21 у31 У41 У51 У1

2 + + - - - - + + у12 у22 у32 у42 у52 У 2

3 + - + - - + - + у13 у23 у33 у43 у53 У 3 *32

4 + + + - + - - - У14 у24 у34 У44 у54 У 4

5 + - - + + - - + У15 у25 у35 у45 У55 У 5 $5

6 + + - + - + - - У16 у26 у36 У46 у56 У 6 $62

7 + - + + - - + - у17 у27 у37 у47 у57 У 7

8 + + + + + + + + У18 у28 у38 у48 у58 у8 $8

Таблица 2

Вспомогательная таблица для установления комбинаций частных значений распределений изменяющихся 3-х контрольных факторов в случае 5-ти параллельных опытов в каждой строке матрицы планирования

Любая ]-я комбинация варьируемых факторов Изменяющиеся контрольные факторы для ]-й комбинации варьируемых факторов

Номер частного значения в ^ распределении *4 У2 ■ уз ■

Сгенерированные частные значения соответствующих контрольных факторов

1 ^1 у2 ]1 Ъ ]1

2 У1] 2 У2 ■ 2 У3 ■ 2

3 У1]3 У2 ■ 3 У3 ]3

4 У1] 4 У2 ■ 4 4 со

5 ^■5 У2 ] 5 у3 ]5

Затем, при непосредственно вычислительных действиях, для каждой строки матрицы планирования (см. табл. 1) значения соответствующей комбинации варьируемых факторов и комбинации полученных частных значений (см. табл. 2) изменяющихся контрольных факторов подставляют (вместо констант) в детерминированную модель и получают в параллельных опытах скорректированные значения выходных параметров с учетом действия нестабильных контрольных факторов. Потом рассчитывают построчные средние выходных параметров и построчные дисперсии. Последующий вывод уравнений регрессии (1) и проверки соответствующих статистических гипотез производится по известной схеме обработки результатов натурных многофакторных планируемых (активных) экспериментов.

Учет действия случайных факторов на результаты СМЭ ДМ более проблематичен, особенно если отсутствует обстоятельная априорная информация об ИИС. Очевидно, что при отсутствии данных о законе распределения и границах интервала суммарной случайной ошибки указанное действие целесообразно искать в виде аддитивной добавки (см. рис. 2) к полученным скорректированным средним значениям выходного параметра в каждом вычислительном опыте.

Наиболее просто это сделать при ограниченной физической экспериментальной проверке адекватности полученной статистической модели.

Такие натурные эксперименты целесообразно планировать и проводить при тех же комбинациях факторов, что и в СМЭ, а обработку полученных результатов проводить классическим математическим аппаратом планируемого многофакторного эксперимента, также с проверкой соответствующих статистических гипотез. При этом матрица планирования формально может отличаться от матрицы, представленной в табл. 1, количеством параллельных опытов. В общем виде уравнения регрессии натурных экспериментов имеют вид

У = У(Х, Ч, ет ). (2)

В зависимости от назначения (поставленных задач исследования) подготовка, проведение и статистическая обработка результатов физического (натурного или модельного) эксперимента может производиться с определенными отличительными особенностями. Так, в случае необходимости проверки адекватности детерминированной (теоретической) модели следует соответствующими организационно-техническими мероприятиями свести к минимуму влияние на выходные параметры изменяющихся контрольных факторов и, по возможности, случайных факторов ет . В случае необходимости углубленного изучения функционирования исходной исследуемой системы указанные действия на выходные параметры надо приближать к реальным.

Имея статистически обоснованные уравнения регрессии (в одном и том же диапазоне варьирования факторов), полученные при проведении машинных экспериментов (1) инатурных экспериментов (2), представляется возможным определить разницу между расчетными значениями выходных параметров при каждой комбинации варьируемых факторов, которая будет обусловлена действием на объект только случайных факторов:

Ду/(ет/) = У/ -У]. (3)

Это позволит оценить уровень действия случайных факторов на функционирование ИИС.

Указанные действия случайных факторов можно оценить точнее, принимая вычисленные для каждой комбинации варьируемых факторов величины ДУ ■ как значения выходных параметров в так называемом условном планируемом многофакторном эксперименте. При этом указанные выходные параметры рассчитываются несколько по-другому и обозначаются ДУ ■ . В каждой строке матрицы планирования (табл. 3) этого условного эксперимента в столбцы с результатами параллельных опытов заносятся вычисленные разности между результатами параллельных опытов в

натурном эксперименте уп/, где п - число параллельных опытов и у/ -вычислительное (с помощью СМЭ) среднее выходного параметра для ка-

ждой строки матрицы планирования табл. 1:

4% (еш] ) = Уп] - У ]. (4)

Так, при количестве натурных параллельных опытов п = 3 матрица планирования условного многофакторного эксперимента будет выглядеть следующим образом.

Таблица 3

Матрица планирования условного многофакторного эксперимента, учитывающего действие случайных факторов на выходные параметры

№ п/п x Х1 x2 x3 X1X2 X1X3 X2 X3 X1X2 X3 ДУи ДУ2 j ДУ3 j ДУ;

1 + - - - + + + - ДУ11 Ду21 Ду31 ДУ1 *12

2 + + - - - - + + Ду12 Ду22 <N СП ^У < ДУ 2 S2

3 + - + - - + - + Ду13 Ду23 Ду33 ДУ3 S32

4 + + + - + - - - ДУ14 Ду24 Ду34 ДУ 4 S42

5 + - - + + - - + ДУ15 Ду25 Ду35 ДУ 5 S52

6 + + - + - + - - ДУ16 Ду26 Ду36 ДУ 6 S62

7 + - + + - - + - Ду17 Ду27 Ду37 Ду 7 S72

8 + + + + + + + + ДУ18 Ду28 Ду38 ДУ 8 S82

Наличие результатов параллельных опытов, осредненных значений выходного параметра и построчных дисперсий позволяют, как и ранее, с помощью классического математического аппарата обработки результатов физического планируемого многофакторного эксперимента получить требуемое уравнение регрессии

em = ДУ (xi ) • (5)

Результирующее уравнение регрессии, описывающее функционирование исходной исследуемой системы с детерминированной моделью и найденное с помощью статистического машинного эксперимента с учетом возможных воздействий на эту систему, получим из уравнений (1) и (5) в следующем общем виде:

У = У + em = У(xi, vk ) + Ду (xi ) • (6)

Данное уравнение, полученное решением уже в развернутом виде, может быть приведено к канонической форме, а может быть оставлено в виде указанной суммы, весьма полезной для дальнейшего изучения и совершенствования исходной исследуемой системы.

Список литературы

1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: учеб. для вузов. М.: Высшая школа, 2009. 343 с.

2. Тарасик В .П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов. М.: Наука, 1997. 600 с.

3. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем. Л.: Машиностроение, 1988. 233 с.

4. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М.: Мир, 1978. 308 с.

5. Максимей И.В. Имитация моделирования на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988. 232 с.

6. Литвинов В.В. Методы построения имитационных систем. Киев: Наукова Думка, 1991. 120 с.

7. Дворецкий С.И., Погонин В.А., Схиртладзе А.Г. Моделирование систем: учеб. для студентов высш. учеб. заведений. М.: Академия, 2009. 327 с.

Панфилов Геннадий Васильевич, д-р. техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Недошивин Сергей Владимирович, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Лазарев Алексей Алекксеевич, студент, av31213 ayandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ACTIVE STATISTICAL ANALYSIS OF SYSTEMS WITH THEORETICAL MODELS FOR THE CONDUCT OF MACHINE EXPERIMENT

G. V. Panfilov, S. V. Nedoshivin, A.A. Lazarev

Approaches for the planning, realization and processing of the results of active statistical machine experiment for the analysis of original research under study systems with built theoretical (deterministic) model. There have been substantiated the possibility to check the adequacy of this model, in-depth study of its functioning, the accounting impact of changing the control and random factors.

Key words: statistical modeling, machine experiment, multifactor planning the experiment, control and random factors.

Panfilov Gennadiy Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, [email protected]. Russia, Tula, Tula State University,

Nedoshivin Sergey Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, A rchon80a,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Lazarev Aleksey Alekseevich, student, av31213ayandex.ru, Russia, Tula, Tula State University