Компенсация гармонического возмущения Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. - 15-е изд., перераб. - М.: Наука, 1976. -608 с.

8. Тимошенко С.П., Джеймс Г. Механика материалов. - Пер. с англ. - М.: Мир, 1976.

- 672 с.

9. de Jongh F.M., van der Hoeven P. Application of a Heat Barrier Sleeve to Prevent Synchronous Rotor Instability //Proceedings of the 27th Turbomachinery Symposium. -1998.

- Р. 17-26.

Фёдоров Александр Евгеньевич — Санкт-Петербургский государственный политех-

нический университет, аспирант,

[email protected]

Григорьев Борис Семёнович — Санкт-Петербургский государственный политех-

нический университет, доктор технических наук, профессор, [email protected]

УДК 681.513.675

КОМПЕНСАЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ А.А. Бобцов, А.А. Пыркин, С.А. Колюбин, К.П. Рогожина, М.В. Слинченкова

Статья посвящена развитию методов компенсации входных гармонических возмущений по измерениям выходной переменной объекта. Предлагается подход компенсации гармонического возмущения неизвестной частоты, действующего на линейный объект управления. В работе рассматривается задача компенсации возмущения для линейного объекта с любой относительной степенью. Ключевые слова: идентификация частоты, компенсация возмущения, управление по выходу.

Введение

В работе предлагается алгоритм компенсации параметрически неопределенного гармонического возмущения, действующего на линейный стационарный объект управления. Имеется ряд работ, посвященных управлению в условиях неизвестной частоты с возмущающего воздействия w(t) = äsin(ct + ф0) по измерениям только выходной

переменной и сигнала управления. В предлагаемой статье развиваются подходы, опубликованные в [1-3]. В статье [1] для линейного устойчивого объекта с известными параметрами предлагается компенсирующий возмущение регулятор размерности (2n+6). Полученный в [1] алгоритм сложен в реализации, и для его построения требуется много вычислений, а также знание нижней границы параметра с гармонического возмущающего воздействия. В [1] предполагается, что линейный объект управления имеет единичную относительную степень, допущение такого рода сужает применимость алгоритма [1] для более широкого класса систем. В развитие подхода [1] в работе [2] предлагается регулятор размерности (n+4), обладающий более простой структурой (по сравнению с [1]) и не предусматривающий при своем построении знания нижней границы параметра с . Однако в [2], также как и в [1], относительная степень объекта управления равна единице, а параметры самого объекта являются известными. В [3] предложен алгоритм компенсации гармонического возмущающего воздействия для случая параметрически неопределенного, но строго минимально фазового линейного объекта. Алгоритм, предложенный в [3], проще по структуре и меньше по размерности по сравнению с опубликованными в [1, 2]. Также следует отметить, что, в отличие от [1, 2], в [3] предполагается, что объект управления может быть неустойчивым, а его параметры неизвестны (в [1, 2] рассматривались только асимптотически устойчивые объекты с известными параметрами).

В этой статье будет предложен алгоритм компенсации параметрически неопределенного гармонического возмущения, действующего на линейный объект управления, относительная степень которого, в отличие от [1-3], может быть любой. Размерность предлагаемого регулятора равна (n+3).

Постановка задачи

Как и в работах [1, 2], рассмотрим линейный объект вида

¿(t) = Fz(t) + g(U(t) + w(t)), y(t) = hTz(t), (1.1)

где вектор переменных состояния z(t) е Rn не измеряется, U(t) - скалярный сигнал управления, y(t) - скалярная регулируемая переменная. Входное возмущение w(t) представлено в виде функции w(t) = g sin(c t + ф0),

включающей в себя синусоиду с неизвестными амплитудой g , частотой с и фазой ф0. Наряду с моделью вход-состояние-выход (1.1), рассмотрим модель вход-выход

вида

y(t) = (u (t) + w(t)), (1.2)

a( P)

где p = d / dt; a(p) = pn + an-1pn-1 +... + axp + a0 и b(p) = bmpm +... + b1p + b0, где m < n , -

соответствующие полиномы, полученные в результате перехода от модели вход-состояние-выход к модели вход-выход,

= h( PI - F )-g.

a( P)

Рассмотрим следующие допущения относительно системы (1.1), (1.2). Допущение 1. Будем полагать, что измеряются только сигналы y(t) и U(t) . Допущение 2. Коэффициенты матриц F , g и h известны.

Допущение 3. Пара (F , g) полностью управляема, пара (F , h Т) полностью наблюдаема.

Допущение 4. Полином a(p) гурвицев.

Допущение 5. Полином b(p) не имеет корней ± jc , где с - частота возмущающего воздействия.

Сформулируем цель управления как решение задачи синтеза алгоритма, обеспечивающего при любых начальных состояниях объекта выполнение условия

lim y (t) = 0. (1.3)

t

Синтез закона управления

Очевидно, что цель (1.3) будет достигнута при законе управления U (t) = -w(t).

Однако переменная w(t) не измеряется. Таким образом, требуется построить устройство оценки неизвестного возмущения w(t). Представим уравнение (1.2) в виде

y (t) = и (t) + w(t), (2.1)

где

u(t) = b(P) U (t) , w(t) = Ь^ w(t) . a(P) a(P)

Так как переменная имеет синусоидальную форму, то с учетом допущений 4 и 5 справедливо соотношение

w(t) = L ■ w(t + —) + s1, о

где L =

b(j°)

- положительный коэффициент передачи, — = arg b(jс) < 0 - фазовый

a(j°)

а{]а)

сдвиг, - экспоненциально затухающая составляющая [4]. Следовательно, если пренебречь экспоненциально затухающей составляющей , переменная м>(1) также имеет синусоидальную форму. Пренебрегая экспоненциальной составляющей , выберем и (V) следующим образом:

й(0 = --1 •*(' С (2.2)

Ь со

где функция W(t) - оценка переменной w(t), L =

b(jC)

a(jm)

- оценка коэффициента L ,

b(jcc) ,

— = arg--оценка фазового сдвига —, со - оценка частоты о .

a(ja))

Замечание 1. В силу того, что функция sin( х) имеет период 2п, значение оценки фазы — целесообразно определять в диапазоне (-2п; 0]. В этом случае будет справедливо соотношение

— = —0 + 2п ■ к,

где —0 е (-2п; 0] - остаток от деления — на 2п, к - целое число. При выполнении соотношений

сс = о , W(t) = w(t), L = L и — = —0 (2.3)

получим

-л ч 1 — ч 1 ^ —пч 1 ^ — 2п ,ч 1 , — ч

м (t) = — ww(t =--w(t =--w(t- —---к) =--w(t-—) = - w(t),

L ос L о L оо L о

где к - целое число периодов синусоидального возмущения. Таким образом, закон

о

управления вида (2.2) обеспечивает полную компенсацию возмущения и достижение цели управления (1.3). Далее требуется построить устройство оценки, обеспечивающее выполнение соотношений (2.3).

Идентификация возмущения

Будем решать задачу идентификации параметров неизвестного возмущения. Временно предположим, что сигнал w(t) = asin(0 t + ф0) измеряется. Известно, что для генерирования сигнала w(t) можно использовать дифференциальное уравнение вида

^Г1 = о w(t) = 0w(t), (2.4)

dt

где в = -о2 - постоянный параметр. Основываясь на работе [5], рассмотрим лемму. Лемма. Введем в рассмотрение вспомогательный фильтр второго порядка

'¿(t) = g2(t),

< ¿&2 (t) = -2ад2 (t) - а2д1 (t) + а2w(t), S(t) = ft(t)

Ж(5) 2 в Ж(^) + 2 Ж(5) +( \ , (2.7)

или

а2

Я($) = 7^2"(О, (2 5)

(Р + а)2

где р - оператор дифференцирования и число а > 0 . Тогда дифференциальное уравнение (2.4) может быть представлено в виде

м>(г) = - д(г) + д(г)+-0- вд(г) + ^ (г), (2.6)

а а

где еу (г) - экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми

начальными условиями.

Доказательство. Переходя к изображениям Лапласа для уравнения (2.4), получаем

1 п ^г \ 2а5 + а2 ч В(я) -—т в Ж(5) + --— Ж(5) + —а

(5 + а)2 (5 + а)2 (5 + а)2

где 5 - комплексная переменная, Ж(5) = Ь{"(г)} - образ Лапласа сигнала "(г), а полином П( 5) обозначает сумму всех членов, содержащих ненулевые начальные условия. Из уравнения (2.7) находим

"(г) = т-^ в"( г) + 2ар + — г) + еу (г), (2.8)

(р + а)2 (р + а)2

, ч Г 5) \

где экспоненциально затухающая функция времени е (г) = Ь <-- >■ определяется

у I (5 + а)2 ]

ненулевыми начальными условиями. Подставляя (2.5) в уравнение (2.8), получаем

"(г) = - д(г) + д(г)+-1 вд( г) + 5у ( г), а а

что и требовалось доказать.

Наблюдатель сигнала "(г) = а$т(<п г + ф0) построим на основе уравнения (2.5):

"(г) = - д(г) + д(г)+в(г)д(г), (2.9)

а а

где в(г) - оценка неизвестного параметра в. Для синтеза идентификатора неизвестного параметра в введем новую переменную - измеряемый сигнал вида г(г) = д( г) = а2г) - 2 ад (г) - а2д( г).

Пренебрегая экспоненциально затухающим членом, для модели (2.6) имеем

* (г) = вд(г). (2.10)

Построим адаптивный наблюдатель для сигнала (2.10)

*(г) = в(г) д(г),

где г(г) - оценка сигнала г (г), а в(г) - настраиваемый параметр, одновременно являющийся оценкой параметра в .

Утверждение. Пусть параметр в(г) настраивается следующим образом:

в(г) = кд(г)( г (г) - *(г)), (2.11)

тогда Нш

в( г) -в

= 0.

Доказательство. Рассмотрим ошибку

в = в-в. (2.12) Дифференцируя (2.12), получаем

в = в - в = 0 - кд(г - )) = -кд(вд-вд) = -кдв . (2.13) Рассмотрим функцию Ляпунова вида

V = — (2.14)

Дифференцируя (2.14) с учетом уравнения (2.13), получаем

V = -2kg2V. (2.15) Интегрируя (2.15), имеем

V (t) = V (t0)e-kr(t, t0), (2.16)

t t где функция y(t, t0) = \g2(r) dr и y(t, t0) = lim \д2(т) dr ^w . Из уравнения (2.16) легко

t0

показать, что lim

t -^w

#(г) - в = 0. Утверждение доказано.

Замечание 2. Из доказательства утверждения можно показать, что, увеличивая коэффициенты к и а в алгоритме (2.5), (2.9), (2.10), (2.11), можно увеличить скорость

сходимости параметра в(г) к в. Однако алгоритм (2.11) технически нереализуем, так как содержит неизмеримый сигнал г (г) = а2 "(г) - 2ад&(г) - а2д(г) , и, следовательно, (2.11) имеет вид

3(г) = кд(г)(г (г) - г(г)) = кд(г )(а2 "(г) - 2ад(г) - а2д(г) - 0(г )д(г)) . (2.17)

Чтобы получить реализуемый алгоритм, представим уравнение (2.1) в виде у (г) - и (г) = "(г). (2.18)

Тогда для (2.5) имеем а2

д(г) = 7--2 (у(г) - и (г)).

(Р + а)2

Подставляя в (2.17) уравнения (2.9) и (2.18), получаем

3(г) = ка2д(г)(у(г) - и(г) - "(г)). (2.19)

Частоту гармонического возмущения найдем из (2.4):

<(г) = ^ .

Реализуемый закон управления

Для реализации закона управления (2.2) временно будем полагать, что синусоидальный сигнал w(t) измеряется. Построим закон управления в виде

U (t) = -Wu (p)w(t) = -(kp + kdp)w(t), (2.20)

где Wu (p) = kp + kdp - линейный оператор. Так как w(t) имеет синусоидальную форму, то

U (t) = -1 Wu (ja )| w(t +arg W {JC0)) + s2, (2.21)

a

где |WU (jm)| - коэффициент передачи, arg Wu (ja) - фазовый сдвиг, s2 - экспоненциально затухающая составляющая. Пренебрегая экспоненциальной составляющей s2, выберем коэффициенты kp и kd в (2.20) так, чтобы уравнение (2.21) было эквивалентно (2.2) при выполнении (2.3):

Коф)|=4.

arg Wu (ja) = -Ф

kp + jkäa = 1

L о

arg(kp + jkd=

kp 2 + (KSc)2 =

iL

k„

p

kp 2 + (К®) kd

= cos (-—), 0

kp 2 + (ко)2

= sin (-—p)

. _ cos —с

kp ="T'

К =-

sin (p

оо L

Перепишем (2.20) в реализуемой форме:

и (г) = -(кр )+кл -¿(г)).

Наблюдатель сигнала м>(г) построим на основе уравнения (2.6):

*(г) = -д(г) + д(г)в{г )д(г).

а а

Для расчета коэффициентов Ь и ф воспользуемся следующим алгоритмом. Рассмотрим частотную передаточную функцию

W (ja) =

b sm + bm ,sm-1 + ...hs1 + b0

m m—1 1 0

sn + a sn 1 + ... aS + a0

n—1 1 0

s=о

А(о) + jß(rn) С (о) + jD(rn)

= Р(о) + jQ(rn), (2.22)

где

2i<m 2i+1< m

А(о) (-1)^* , В(о) = 2 (-1)ib2i+1

о

i=0

2i<n-1

i=0

2i +1<n-1

C(о) = 2 (-1)

a2i°

D(ffl) = 2 (-1)

a2i +1о

, 2i +1

i = 0,1, 2, к,

i=0

i=0

р(о) = А(о)С(о) + В(о)D(g) Q(ß) = В(о)С(о) - А(о)D(rn)

С2 (о) + D2 (о) Из (2.22) выразим искомые функции

L(ö) = W(jrn)\ = ylР2(о) + Q2(о) ,

С2 (о) + D2 (о)

—О) =

P(ö) Ч Л

- arccos—если Q(^) < 0, L(rn)

- 2п + arccos Р(ш), если Q(w) > 0. L(rn)

В силу того, что обеспечено равенство lim e(t)-в = 0, справедливы соотношения

(2.3), и, как следствие, закон управления (2.2) обеспечивает цель управления (1.3). Таким образом, получен регулятор, решающий задачу компенсации неизмеряемого параметрически неопределенного гармонического возмущения, со следующей структурой:

и (Г) = -(кр ■ ) + к, ■ IV(Г)), Щ) = - ^ ^) + ?(Г) + \ в(1 )д(1),

а

а

* (Г ) = а £ ) + ? (, ) + 0 ^ Ц ),

а а

008 р -кр = —[—> гДе Ь ф 0,

, БШ рр „ -

к, = --—-, где с- ф 0, Ь ф 0,

(2.23)

Ь =

со ■ Ь Ь (]£>')

(р = а^

а (

Ь (

а (С С) = .^^О,

0 (?) = кагд{1)(^ (Г) - и (Г) - )),

) =

а

(Р + а)

-(7С) - и(?)),

и (г) = Ь(р1 и (Г).

а (р)

Пример

Для иллюстрации работоспособности алгоритма управления (2.23) рассмотрим задачу стабилизации линейного стационарного объекта управления, описываемого уравнением

у(!) = ■

р+1

-(и ( 0 + м>( 0).

(р + 2)( р + 3)( р + 4) ^

Рассмотрим возмущающее воздействие вида w(t) = бш^) , для которого справедливы соотношения с = 1, Ь « 0,049, р « -0,245 . Закон управления (2.23) обеспечивает

со — 1, Ь — 0,049, р —^ -0,245 , кр — 20, ка — 5 . На рис. 1-4 представлены результаты моделирования замкнутой системы.

(ЗД 1

0.3

0.6

0.4

0.2

1

50

О 10 20 30 40

Рис. 1. Переходный процесс для СС^) при возмущающем воздействии = бш^) ,

к = 1000 , а = 1

5 10 15 20 25 30 35

Рис. 5. Временная диаграмма для СС(г) при возмущающем воздействии

Щ) = 3 Бт(4г + 5) , к = 1000 , а = 2

5 10 15

Рис. 7. Временная диаграмма для a(t) при возмущающем воздействии

w(t) = 3 sin(4t + 5) , к = 1000 , а = 10

y(t)

0.04 0.03 0.02 0.01 0

■0.01 -0.02 -0.03 -0.04

t

20

5 10 15

Рис. 8. Временная диаграмма для _y(t) при возмущающем воздействии

w(t) = 3 sin(4t + 5) , к = 1000 , а = 10

Рассмотрим возмущающее воздействие вида w(t) = 3sin(4t + 5), для которого справедливы соотношения а = 4, L « 0,033 , ф « -1,5. Закон управления (2.23) обеспечивает а ^ 4, L ^ 0,033, ф ^-1,5, кр ^ 2,36, kd ^ 7,65 . На рис. 5-8 представлены результаты моделирования замкнутой системы.

Заключение

В статье предложен алгоритм компенсации (2.23) параметрически неопределенного гармонического возмущения, действующего на линейный объект управления (1.1). В развитие результатов [1-3] допускалось, что относительная степень объекта управления может быть любой, что, в свою очередь, расширяет область применения предложенного результата.

Литература

1. Marino R., Santosuosso G.L., Tomei P. Robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency // Automatica. - 2003. - V.39. - P. 1755-1761.

2. Alexey Bobtsov, Artem Kremlev. Adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency // 16th IFAC World Congress, Prague, 2005.

3. Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // АиТ. - 2008. - №7.

4. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Учеб. пособ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 616 с.

5. Арановский С.В., Бобцов А.А., Кремлев А.С., Лукьянова Г.В. Робастный алгоритм идентификации частоты синусоидального сигнала // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2007. - №3. - С. 1-6.

Бобцов Алексей Алексеевич

Пыркин Антон Александрович

Колюбин Сергей Александрович

Рогожина Ксения Петровна

Слинченкова Мария Владимировна

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, [email protected]

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]