Идентификация частоты смещенного синусоидального сигнала Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЧАСТОТЫ СМЕЩЕННОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА

С.В. Арановский Научный руководитель - д.т.н., профессор А.А. Бобцов

Статья посвящена проблеме идентификации неизвестной частоты смещенного синусоидального сигнала y (t) = <j0 + о sin(c t + ф). Предлагается подход оценки частоты смещенного синусоидального сигнала, который является робастным относительно неучтенных возмущений, присутствующих в измерении полезного сигнала. В отличие от существующих аналогов, подход позволяет контролировать время оценки неизвестной частоты со , причем его размерность существенно меньше. Возможности алгоритма могут быть легко распространены на случай сигнала, состоящего из нескольких гармоник.

1. Введение

В статье рассматривается проблема идентификации частоты ш синусоидального сигнала y(t) = о 0 + о sin(c t + ф) для любых неизвестных постоянных значений а0 , о,

ф. Проблема идентификации частоты синусоидального сигнала является важной проблемой, находящей различные применения в теоретических и инженерных дисциплинах (см., например, [1]). В частности, такая проблема возникает в задачах компенсации возмущающих воздействий, имеющих периодическую составляющую. Например, данная задача широко распространена для объектов управления, описываемых дифференциальным уравнением вида x = Ax + Bu + Dy,

где y(t) = о0 + о sin(c t + ф) - неизвестное возмущение. Если частота возмущающего воздействия известна, то проблема является тривиальной, и для ее решения можно использовать широко распространенный метод внутренней модели (см., например, [2]). Также следует отметить, что решение данной проблемы имеет большое значение для практики. Данные задачи встречаются в системах активной виброзащиты [3], в системах самообучения траекторного движения мобильных роботов [4, 5] и т.д. Если частота возмущающего воздействия неизвестна, то решение задачи его компенсации представляет собой достаточно сложную задачу, и одним из способов является идентификационный подход, рассматриваемый в данной статье.

На сегодняшний день можно выделить множество различных подходов, посвященных идентификации неизвестной частоты синусоидальной функции о sin(c t + ф) (см., например, [6-15]). Отметим, что широко известные алгоритмы идентификации параметра ш > 0 не ограничены изучением случая одной синусоиды [6-8]. В частности, в статьях [13, 14] рассматривается проблема идентификации частоты смещенного синусоидального сигнала, а в работах [9-12] опубликован общий случай гармонического сигнала, представляющего собой сумму n синусоидальных компонентов с различными частотами. Однако в большинстве работ, посвященных синтезу алгоритмов идентификации частоты в непрерывном времени, не обсуждается или отсутствует теоретическое обоснование увеличения быстродействия параметрической сходимости, что, в свою

очередь, также можно отнести к нерешенным задачам идентификации частот периодических сигналов.

Предлагаемый в данной статье алгоритм идентификации имеет динамический порядок, равный трем, что улучшает наиболее известные результаты, опубликованные в работах [9-14]. В работах [10-14] минимальная размерность динамического порядка алгоритма идентификации равна четырем, а в [9] размерность алгоритма достигает девятого порядка. Также предлагаемый в данной статье алгоритм идентификации, в отличие от [6-14], позволяет контролировать скорость сходимости настраиваемого параметра (оценки частоты сигнала y(t) = 00 + о sin(< t + ф) ) и обладает робастными свойствами относительно неучтенных возмущений, присутствующих в измерении полезного сигнала. Кроме того, данный подход может быть легко расширен на случай сигнала, состоящего из нескольких гармоник.

2. Постановка задачи

Рассмотрим измеряемый сигнал вида

y(t) = а0 + а sin(<t + ф), (1)

представляющий собой смещенную синусоиду с неизвестными смещением о0 и амплитудой о, неизвестной частотой ш и неизвестной фазой ф. Сформулируем цель управления как решение задачи синтеза алгоритма идентификации, обеспечивающего для любых о0, а, фи ш > 0 выполнение условия

lim |<-<€(t )| = 0, (2)

t^<x>

где <(t) - текущая оценка параметра ш .

3. Основной результат

Известно, что для генерирования сигнала (1) можно использовать дифференциальное уравнение вида

№ = -ш2у(г) = е у(г), (3)

где е = -ш2 - постоянный параметр.

Лемма. Введем в рассмотрение вспомогательный фильтр второго порядка

'&1(г ) = & 2(^ ),

< &2(г) = -2а?2(1) - а2& (г) + у(г), (4)

&(г) = ?1( г)

или

&(г) = -Ц- у(г), (5)

(Р + а)2

где р - оператор дифференцирования и число а > 0. Тогда дифференциальное уравнение (3) может быть представлено в виде

у (г) = 2а?(г) + а 2&(г)+е&(г) + в у ( г), (6)

где в у ( г) - экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми

начальными условиями.

Доказательство леммы приведено в приложении 1.

Замечание 1. Результат данной леммы может быть расширен для того случая, когда сигнал состоит из нескольких гармоник:

1=1

В этом случае выражение (3) может быть заменено на следующее:

у(2п) = е„у(2п - 2)+вп-1У(2п-4)+...+е2 у+01.У,

причем

п(*2 + ©2) = *2п -е^2п-2 -...-е252 -е1 = *2п -е(*). 1=1

В качестве вспомогательного фильтра в этом случае используется фильтр порядка 2п -1:

^) = 7-"Т2П-ГУ(Х)'

(Р + а)2п 1

а выражение (6) имеет вид

у (г) = а(р)д(г) + е(р)? (г) = 2 (г) + V г (г )е е,

где а(р) = р(р + а)2п-1 - р2п, у(г) = со/{^(2п-2), д(2п-4),д(2п-6),..., &&, д), 2(г) = а(р)д(г) и ее = со/{еп, еп-1,..., е2, е1).

Замечание 2. Поскольку экспоненциально затухающая функция времени в у (г) = (*)/(* + а)2) зависит от параметра а, то с увеличением значения а можно ускорять процесс сходимости в у (г) к нулю.

Теперь на базе результатов леммы построим схему идентификации неизвестного параметра е . Сначала предположим, что функция у (г) измеряется. Тогда, пренебрегая экспоненциально затухающим слагаемым в у ( г), запишем идеальный алгоритм идентификации следующим образом

е< г) = 2( г)(е - §(г)) = к& (г) 2 (г) - к&2 (г)€ г), ©(г) = , (7)

где функция 2(г) = у( г) - 2а<&( г) - а2(&( г) и число к > 0.

В следующем утверждении показывается работоспособность идеального алгоритма идентификации (7) для достижения цели (2).

Утверждение. Пусть алгоритм идентификации неизвестного параметра е имеет

вид

€ г) = к& 2( г)(е-€ г)),

где число к > 0, а функция д(г) является решением дифференциального уравнения

(4). Тогда цель вида (2) будет выполнена. Доказательство утверждения приведено в приложении 2.

Замечание 3. При расширении алгоритма на случай сигнала, состоящего из нескольких гармоник, выражение идеального алгоритма идентификации (7) заменяется на

ё( г) = ку (г)уг ( г)(е - €) = ку(г)(у (г) - 2 (г)) - ку(г)ут (г)€,

где к > 0, а остальные обозначения имеют тот же смысл, что и в замечании 1.

Замечание 4. Из уравнения (П2.7) следует (см. доказательство утверждения), что при увеличении коэффициента к функция (§(г) будет быстрее сходится к параметру е . Последнее означает, что, изменяя коэффициент к в алгоритме идентификации (7), можно уменьшать или увеличивать скорость сходимости настраиваемого параметра к истинному значению.

Замечание 5. Из уравнения (П2.7) следует, что система (П2.2) экспоненциально устойчива. Последнее гарантирует робастные свойства алгоритму идентификации по отношению к внешним возмущениям.

Однако по условиям задачи измеряется только сигнал у{1), но не его производные. Для вывода реализуемой схемы идентификации рассмотрим переменную

г(г) = §«) - (I) у(г). (8)

Дифференцируя уравнение (8), получаем:

X (О = 6(0 - кс;(0 у( О - к; ( Оу (Г) =

= к;(0(у( 0 - 2а<&(0 - а2с( 0) - к;2(0б( 0 - к;(0у(0 - к;(Оу (0 = (9)

= к;( 0(-2а;(0 -а2;(0) - к;2(0$( 0 -к;(0у( 0 .

Из уравнений (8), (9) получаем реализуемый алгоритм идентификации вида

X(0 = к;(0(-2а;(0-а2;(0) - к;2(0Ф) -к;(0у(0 , (10)

6(0 = х(0+к;(0у(0, (11)

'?1( 0 = ; 2 (0,

< ; 2 (0 = -2а; 2(0 - а2 ; (0 + у(0, (12)

;( 0 = ?1( 0.

4. Пример

Для иллюстрации работоспособности алгоритма (10)—(12) рассмотрим задачу идентификации частоты смещенного синусоидального сигнала без возмущений и с

возмущением. На рис. 1 и 2 представлены графики настройки параметра (§(0 для смещенного синусоидального сигнала y(t) = 2 + sin 2 t. Графики компьютерного моделирования иллюстрируют, что с увеличением коэффициента к настраиваемый параметр 9(t) сходится быстрее к истинному значению 9 (см. замечание 2).

_i_i_

О 5 10 15

t, сек.

Рис. 1. График функции 9(t) для а = 1 и к = 10

о -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

О 2 4 6 3 10

сек.

Рис. 2. График функции §(Г) для а = 2 и к = 50

Проведем моделирование для алгоритма, расширенного на случай двух гармоник в сигнале (идентифицируемый сигнал у(^) = 2Бт3^ + 3cos I, истинные значения параметров 61 = -9 и 62 = -10 ). На рис. 3 и 4 представлены графики настройки параметров

) и €2 (^).

О ■10 -20 -30 -40

0 5 10 15 20

X, сек

Рис. 3. График настройки параметра $2(Г) 5

о

-5

-10

-151-'-1-!-

0 5 10 15 20

сек

Рис. 4. График настройки параметра ¡^(Г)

Рис. 5. График функции 9(г) для а = 1 и к = 10

На рис. 5 представлен график настройки параметра 9(г) для подверженного возмущению 0.2вт10 г смещенного синусоидального сигнала у(г) =-3 + 2б1п4 г + 0.2вт10г. График компьютерного моделирования иллюстрирует сохранение свойств робастности относительно неучтенных возмущений (см. замечание 3).

Замечание 6. Следует отметить, что функциональность алгоритма оценки при наличии внешнего возмущения сохраняется лишь при выполнении условия малости амплитуды возмущающего воздействия относительно амплитуды оцениваемого сигнала. Действительно, если амплитуда действующего возмущения сравнима с амплитудой оцениваемого сигнала, то алгоритм не сможет «выбрать», какой именно сигнал должно оценивать. Таким образом, ошибка оценивания зависит от отношения амплитуд возмущения и оцениваемого сигнала - чем оно меньше, тем точнее оценка.

5. Заключение

В статье была рассмотрена задача идентификации частоты синусоидального сигнала у(г) = а0 + а 8т(ш I + ф) для любых неизвестных постоянных значений а0, а, ф,

ш > 0. Был синтезирован алгоритм идентификации (10)-(12). Данный алгоритм, в отличие от известных аналогов [6-15]:

• обладает устойчивой работой при наличии неучтенных возмущений, присутствующих в измерении полезного смещенного синусоидального сигнала;

• позволяет за счет увеличения коэффициента к ускорять процесс сходимости оценки 9(г) к 9 (см. замечания 1 и 2, а также пример);

• имеет наименьший динамический порядок по сравнению с [9-14];

• может быть распространен на сигнал, состоящий из нескольких гармоник.

Приложение 1

Доказательство леммы. Переходя к изображениям Лапласа для уравнения (3), получаем

,У(,) = -^9У(*)+2а^У(*) + (П1.1)

(^ + а)2 (^ + а)2 (^ + а)2

где ^ - комплексная переменная, У = Ь{ у (г)} - образ Лапласа сигнала у (г), а полином В^) обозначает сумму всех членов, содержащих ненулевые начальные условия.

Из уравнения (П1.1) находим

2 2

у«е у(^)+2ар +а2 р у^)+8 у (П1.2)

(р + а)2 (р + а)2

где экспоненциально затухающая функция времени 8у (') = ^{О^)/^ + а)2} определяется ненулевыми начальными условиями. Подставляя (5) в уравнение (П1.2), получаем

у (') = 2а;(') + а2; (') + 9; (') + 8 у ('), что и требовалось доказать.

Приложение 2

Доказательство утверждения. Рассмотрим ошибку оценивания параметра 9 следующего вида

0(') = 9-0('). (П2.1)

Дифференцируя уравнение (П2.1), имеем

0 = 9 - €г) = 0 - к;2 (09(О = -к;2(^)9(0 . (П2.2)

Решая дифференциальное уравнение (П2.2), получаем

0(0 = 0('0)е (Ш, (П2.3)

где функция

г

у('Л) = 2(т)^т . (П2.4)

'0

Очевидно, что в силу гурвицевости полинома (р + а)2, функция £"(') будет иметь вид

;(0 = о0 + о зт(ш' + ф) + А, (П2.5)

где о0, о и ф некоторые постоянные коэффициенты, зависящие от параметров сигнала у( 0 = о 0 +о sm(шt + ф) и числа а, а А - экспоненциально затухающая составляющая, обусловленная переходным процессом. Пренебрегая слагаемым А и дифференцируя (П2.5), получаем

;( 0 = ош cos(ш' + ф).

Подставляя ;(') = ош cos(ш' + ф) в (П2.4), имеем

г

'0) =

0

Y(t,t0) = J(& 2(x)dx = о 2ш2 J (cos(ox + ф))2 dx = (П2.6)

а V t а V t0 а 2o2sin(2ot + 2ф) а 2o2sin(2o t0 + 2ф)

+-;-—--^-0-— = Y ot + Yi(t,to),

2 2 4ш 4ш

где функция

а2 o2t0 ä2o2sin(2o t + 2ф) а2 o2sin(2o t0 + 2ф)

=2 2. , ob —2„2,

, ч о Ш t0 Yi(t, t0) =--- +2 4ш 4ш

—2 2

_ а ш

ограничена для любого t, а число y 0 = ■

2

Подставим (П2.6) в (П2.3):

e(t) = 0(t0)e~kY0°e_kYl(t't0). (П2.7)

Из уравнения (П2.7) следует, что lim 0 = 0, а, следовательно, Ш^) = ^0(t) ^ш^) при t ^ да. Утверждение доказано.

Литература

1. Clarke D.W. On the design of adaptive notch filters // Int. J. Adapt. Control. - 2001. - V. 15. - P. 715-744.

2. Уонем М. Линейные многомерные системы: Геометрический подход. - М.: Наука, 1980.

3. Никифоров В.О., Гутнер И.Е., Сергачев И.В. Система активной виброзащиты: разработка, результаты испытаний и перспективы развития // Мехатроника, автоматизация и управление. - 2004. - №2.

4. Lyamin A.V., Shiegin V.V., Bobtsov A.A. Path-following and Adaptation of Wheeled Mobile Robots for Motion Along Unknown Paths // 29th International Symposium on Robotics. Birmingham, 1998. - P. 211-214.

5. Бобцов А.А., Дударенко Н.А., Лямин А.В. Траекторное управление двухприводным роботом с использованием методов адаптации и самообучения. / Мобильные роботы и системы: Материалы научной школы-конференции. - М.: Изд-во Московского университета, 2000. - С. 114-126.

6. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica. - 1997. - V. 33. - P. 2213-2221.

7. Hsu L., Ortega R., Damm G.A globally convergent frequency estimator // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1999. - V. 46. - P. 967-972.

8. Mojiri M. and Bakhshai A.R. An Adaptive Notch Filter for Frequency Estimation of a Periodic Signal // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2004. - V. 49. - P. 314-318.

9. Marino R. and Tomei R. Global Estimation of Unknown Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - V. 47. - P. 1324-1328.

10. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - V. 47. - P. 1188-1193.

11. Obregon-Pulido G., Castillo-Toledo B. and Loukianov A. A. Globally Convergent Estimator for ^-Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - V. 47. -P. 857-863.

12. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameter's identification of poly-harmonic function // 15 th IF AC World Congress on Automatic Control. Barcelona, Spain, 2002.

13. Бобцов А. А., Кремлев А.С. Адаптивная идентификация частоты смещенного синусоидального сигнала // Известия вузов. Приборостроение. - 2005. - №4. - С. 22-26.

14. Hou M. Amplitude and frequency estimator of a sinusoid // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2005. - V. 50. - P. 855-858.

15. Дьяконов В. MATLAB 6.0, учебный курс. - СПб: Питер, 2001.