Коммутативные алгебры Лейбница Пуассона полиномиального роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.572

КОММУТАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ

ЛЕЙБНИЦА — ПУАССОНА ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА1

© 2012 С.М. Рацеев2

В работе рассматриваются коммутативные алгебры Лейбница — Пуассона, которые являются обобщениями алгебр Пуассона. Показано, что рост любого многообразия коммутативных алгебр Лейбница — Пуассона V над произвольным полем либо ограничен полиномом, либо не ниже экспоненциального с показателем 2. Показана конечная базируемость многообразий коммутативных алгебр Лейбница — Пуассона полиномиального роста в случае основного поля нулевой характеристики. Также приводится многообразие коммутативных алгебр Лейбница — Пуассона почти полиномиального роста.

Ключевые слова: алгебра Пуассона, коммутативная алгебра Лейбница — Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

Введение

На протяжении всей работы, если это специально не оговорено, основное поле К считается произвольным. Определим коммутативную алгебру Лейбница — Пуассона следующим образом. Алгебру А = А(+, ■, {, }, К) над полем К назовем коммутативной алгеброй Лейбница — Пуассона, если А(+, ■, К) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, А(+, {, }, К) — алгебра Лейбница с операцией умножения {,} и для любых а,Ь,с € А выполняются правила:

{а ■ Ь,с} = а ■ {Ь, с} + {а, с}- Ь, {с, а ■ Ь} = а ■ {с, Ь} + {с, а} ■ Ь. При этом алгебра Лейбница А(+, {, }, К) над полем К определяется тождеством

{{x, У}, = {{x, у} + {х, {yz}},

то есть правое умножение на элемент алгебры является дифференцированием. Если в алгебре Лейбница выполнено тождество

{х,х} = 0, (2)

то она является алгеброй Ли, то есть любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.

хРабота частично поддержана грантом РФФИ 10-01-00209-а.

2Рацеев Сергей Михайлович (RatseevSMarambler.ru), кафедра информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета, 432700, Российская Федерация, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42.

Из сказанного следует, что если в коммутативной алгебре Лейбница — Пуассона выполнено тождество (2), то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. В дальнейшем под фразой "алгебра Лейбница — Пуассона" будет подразумеваться коммутативная алгебра Лейбница — Пуассона.

В данной работе исследуются алгебры Лейбница — Пуассона полиномиального роста. В частности, будет показано, что такие алгебры наследуют ряд свойств ассоциативных алгебр, которые подробно изучены в работах [1; 2].

Договоримся опускать скобки {,} при их левонормированной расстановке, то есть

{{{xl,x2},xз}, ...,хп} = {хЬх2, ..., %п}-

Пусть Ь(Х) — свободная алгебра Лейбница с умножением [,], где X = = {х1,х2,...} — счетное множество свободных образующих. Пусть также Г(X) — свободная алгебра Лейбница — Пуассона. Обозначим через Рп пространство в Г(X), состоящее из полилинейных элементов степени п от переменных х1,...,хп, а через Р^ пространство полилинейных элементов степени п в свободной алгебре Лейбница Ь(Х).

Предложение 1. Базис пространства Рп состоит из всех элементов вида

хкг • ... • хкг • {хгх , ..., хг3 } • ... • {х]г , ..., х]г }, (3)

для каждого из которых выполнены следующие условия:

(г) г > 0, к1 < ... < кг;

(гг) каждая из переменных х1 ,...,хп встречается в (3) ровно один раз;

(ггг) каждый множитель {х^1 ,...,х^д},..., {х^1 ,...,х^} в (3) левонормирован и имеет длину ^ 2;

(г у) множители в (3) упорядочены по длине: в ^ ... ^ Ь;

(у) если два соседних множителя в (3), являющиеся скобками {, }, имеют одинаковую длину

... • {хр1, ..., хрв } • {хд1, ..., } • ...,

то р1 < д1.

Доказательство. Понятно, что пространство Рп является линейной оболочкой элементов вида (3) с условиями (г)-(у). Для доказательства линейной независимости данных элементов рассмотрим следующие конструкции алгебр Лейбница и алгебр Лейбница — Пуассона.

Пусть Ль — некоторая алгебра Ли с умножением [, ]. Определим на множестве Л = Ль х Ль операции + и [, ] следующим образом:

(хь х2) + (У1, у2) = (х1 + У1, х2 + у2), (4)

[(х1, х2), (У1, У2)] = ([х1, У1], [х2, У1]) ,

где (х1,х2), (У1,У2) € А. Нетрудно проверить, что полученная алгебра Л будет являться алгеброй Лейбница.

Пусть Л — некоторая алгебра Лейбница с умножением [, ] над полем К. Пусть V1,V2,... — линейный базис пространства Л над К. Рассмотрим коммутативное кольцо полиномов К [VI ^2,...]. Скобки {,} для элементов VI определим как умножение в Л: {vi,vj} = \01,г0у ]. Распространим скобки {, } на все К [VI ^2,...], используя линейность и правила (1). Построенная таким образом алгебра будет являться алгеброй Лейбница — Пуассона, которую обозначим через ЬРБ(Л).

Покажем линейную независимость элементов вида (3) с условиями (г)-(у). Предположим, что для некоторого N данные элементы линейно зависимы. То-

гда будет выполнено нетривиальное линейное соотношение вида

У ] °-kl...kr i1...is...ji...jt xki • ■■■ • xhr • {xii, ■■■, xis } • ••• • {xji, ■■■, xjt} = 0,

где не все коэффициенты поля K равны нулю. Выберем такое максимальное значение r, при котором ak1...kri1...is...j1...jt = 0. После подстановки вместо переменных xk1 ,...,xkr единицы получаем линейное соотношение

У ] fti1...is...j1...jt {xi1 , ■■■, xis } • ■■■ • {xj1 , ■■■, xjt } = 0, (5)

в котором не все f3i1...is...j1...jt равны нулю. В (5) выберем слагаемое с максимальным количеством множителей вида

{■■■}• ■■■ Ч-}

относительно операции • и ненулевым коэффициентом в. Без ограничения общности можно считать, что данное слагаемое имеет такой вид:

{x1, ■ ■■, xa1 } • {xa1 +1? ■■■,xa1+a2 } • ■■■ • {xa1+...+ak—1 + 11 ■■■, xn},

где n = N — r. Пусть UTn — алгебра верхнетреугольных матриц порядка n, [UTn] — алгебра Ли с операцией коммутирования [,]. Пусть Un = [UTn] х [UTn] — алгебра Лейбница с операциями (4). Рассмотрим алгебру Лейбница — Пуассона LPS(Un). В равенстве (5) сделаем такую подстановку:

xi ^ (0,еИ), x2 ^ (ei2, 0), ■ ■■, xa1 ^ (ea1-1,a1 ),

xa1 + 1 ^ (0, ea1 + 1,a1+l), xa1+2 ^ (ea1 + 1,a1+2, 0), ■■■, xa1+a2 ^ (ea1+a2-1,a1+a2, 0),

xa1 + ... + afc_1 +1 * (0, ea1 + ... + afc_1 + 1,a1 + ...+afc_ 1 + 1 ), xa1+...+ak-1+2 ^ (ea1 + ... + ak-1 + 1,a1+...+ak-1+2, xn ^ (en—1,n, 0)

где eij — матричные единички. В результате получится, что в алгебре Лейбница — Пуассона LPS(Un) элемент

(0, e1a1 ) • (0, ea1 + 1,a2 ) • ■■■ • (0, ea1 + ... + ak-1 + 1,n )

равен нулю, что, конечно же, не так. Противоречие. Предложение доказано.

1. Собственное подпространство в Pn

Обозначим через Гп подпространство в Pn, являющееся линейной оболочкой элементов вида

{xi1 ,:nxis }• ■■■ • {xj1, ■■■, xjt}, s > 2, ■■■, t > 2. (6)

Тогда из сказанного выше следует, что базисом пространства Гп будут являться все элементы вида (6) с условиями (ii)—(v) из предложения 1.

Предложение 2. Для любого натурального числа n будет выполнено равенство

n

dim Pn = 1 + °n • dim rk, (7)

k=2

где Ck — число сочетаний из n по к.

Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница — Пуассона (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографиях [1; 3]). Пусть Id(V) — идеал тождеств многообразия V. Обозначим

Pn(v) = рп/(рп n Id(v)), r„(v) = Г„/(Г„ n Id(v)),

C„(V) = dim Pn(V), Yn(V) = dim T„(V), Yn = dim Г„.

Предложение 3. Пусть элементы

un(x!,...,xn), s = l,...,Yn, (8)

образуют базис пространства Гп, n ^ 0. Тогда полилинейные элементы от переменных xi,...,xn вида

X ' • • x' • uk (x • x • )

•Ьц ■■■ -bln-k ...I (9)

к = 0,...,n, s = l,...,Yk, ii <...<in-k, ji <...<jk,

будут образовывать базис пространства Pn.

Доказательство. Сначала покажем, что элементы вида (9) линейно независимы в Pn. Предположим противное. Пусть выполнено нетривиальное линейное соотношение

У ] aki...jkxil • ... • xin-k • us (xji ,...,xjk) = (10)

Выберем такое минимальное значение к, при котором ак^ jk = 0. Подставим в этом случае вместо переменных х^1 ,...,х^п_к единицу. Тогда из (10) будет следовать такое нетривиальное линейное соотношение:

1к

^ ^вяик (xjl,..., xjk) = 0, я =1

где не все /3 я равны 0, что противоречит линейной независимости элементов (8) при п = к.

Далее, так как число элементов вида (9) равно числу 1 + П=2 СП • 1к, то с учетом равенства (7) получаем, что элементы (9) образуют базис пространства Рп. Предложение доказано.

Предложение 4. Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница — Пуассона и пусть элементы

ип (х1,..., хп), в = 1,...,7п^), (11)

образуют базис пространства Гп^), п ^ 0. Тогда

(г) полилинейные элементы от переменных х1, ... , хп вида

х ... х ик (х , ... , х ) , к = 0,...,п, в = 1, ...,7к (V), ¿1 <...<гп-к, 31 <...<3к, будут образовывать базис пространства Рп (V);

(гг) _ Cn(V) = 1 + £п=2 Ск • ).

Доказательство. (г) Доказательство линейной независимости элементов вида (12) аналогично доказательству линейной независимости элементов вида (9) в предложении 3. Поэтому остается показать, что любой элемент из Рп(V) линейно выражается через элементы вида (12). Пусть ](х1 ,...,хп) € Рп(V).

(12)

Дополним элементы (11) при п = к до базиса пространства Г к, к = 0, ...,п:

пП;(х1,..,хк), (хл,...,хк), в = 1,...,7Й(У), Ь = 1,...,чк - Чк(У).

Тогда из предложения 3 следует, что элемент I(хх,...,х„) представим в виде следующей линейной комбинации:

I(х1,..., хп) = ак1---3кх®1 • ... • • пк (х31 ,...,х3к)+ (13)

+ ^ ^ вк1---экх®1 • ... • х^п-к • уг(х31 ,...,хок).

0<к<п, (V),

Предположим, что в равенстве (13) хотя бы один из элементов ^ не равен нулю. Выберем такое минимальное значение к, при котором [З^^ ^ = 0. Подставим вместо переменных х^1 ,...,х^п_к единицу. Получим равенство

1к 1к--1к (V )

1 (1,...,хЛ ,...,хзк е°пк (х31, хЭк )+ 6^к(х31 ,...,х3к ), (14)

8=1 1=1

где не все § равны 0. Так как правая часть равенства (14) принадлежит Гк(У) и не все равны 0, то элементы вида (11) не являются базисом пространства Гп(У) при п = к. Противоречие.

Пункт (и) следует из пункта (г). Предложение доказано.

Предложение 5. Пусть У — некоторое многообразие алгебр Лейбница — Пуассона. Тогда

(г) если 72к (У) = 0 для некоторого к ^ 1, то 7п(У) = 0 для любого п ^ 2к; (и) если 72к+1(У) = 0 для некоторого к ^ 1, то 72П+1(У) = 0 для любого п ^ к;

(ггг) если 72к+1(У) = 0 для некоторого к ^ 1 ив многообразии У выполнено полилинейное тождество

{х1, У1} • {х2, У2} • ... • {хк+1, Ук+1} = 0,

то 7п(У) = 0 для любого п ^ 2к + 1.

Доказательство. (г) Пусть 72к (У) = 0 для некоторого к ^ 1. Индукцией по п покажем, что 7п(У) = 0 для любого п ^ 2к с очевидной базой п = 2к.

Пусть п > 2к и моном I € Гп. Покажем, что I € 1с!(У). Пусть с! — максимальная длина скобки {, } в элементе I:

/ = ... • {х11,..., х1Л} • ...

Если с! =2, то п — четное число и п ^ 2к + 2. Поэтому I € 1с!(У), так как если вычеркнуть скобку {х^1, х^2} в элементе I, то полученный элемент по предположению индукции принадлежит 1с!(У).

Если же ! > 2, то элемент I можно получить из элемента

д ... • {у,хъ3,..., xid} • ...

с помощью подстановки у ^ {х^1 ,х^2}. Так как д € 1с!(У) по предположению индукции, то I € 1с!(У).

(гг) Пусть 72к+1(У) = 0 для некоторого к ^ 1. Как и в предыдущем пункте, для доказательства равенства 72П+1(У) = 0 для любого п ^ к используем индукцию

по п.

Пусть n> k и моном f G Г2П+1- Пусть d — максимальная длина скобки {, } в элементе f. Тогда возможны следующие случаи.

1. d = 3. Тогда число скобок {,} длины 3 в элементе f может быть только нечетным. Если такая скобка одна, то f имеет следующий вид:

{xjl , Xj2 } ' ••• ' {xjs-1 , Xjs } ' {xil , Xi2 , Xi'3 }

Тогда f G Id(V), так как по предположению индукции

{xj3 ,xj4 } ' ••• ' {xjs-i ,Xjs } ' {xii ,Xi2 ,Xi'3 } G Id(V )•

Если в элементе f не менее трех скобок {,} длины 3

f ••• ' {xil , Xi2 , Xi3 } ' {xjl , Xj2 , Xj3 } ' {xSl , XS2 , XS3 } ' •••,

то f можно получить из элемента

g = ••• ' {yi,xi3 } ' {У2 ,xj3 } ' {xsi ,XS2 ,XS3 } ' •••

с помощью подстановок yi ^ {xil ,xi2}, y2 ^ {xj1 ,Xj2}. Так как g G Id(V) по предположению индукции, то f G Id(V).

2. d ^ 4. Тогда элемент f можно получить из элемента

••• ' {y, xi4 , •••,Xid } ' •••

с помощью подстановки y ^ {xil ,xi2 ,xi3}. Поэтому f G Id(V).

Доказательство пункта (iii) аналогично доказательству пунктов (i) и (ii). Предложение доказано.

Обозначим через B линейную оболочку элементов (не обязательно полилинейных) свободной алгебры F (X) вида

{xil, •••, xis } ' ••• ' {xjl, •••, xjt } s ^ 2 •••,t ^ 2 При этом, в частности, Гп = B П Pn, n = 1, 2,...

Предложение 6. Пусть V — многообразие алгебр Лейбница — Пуассона над бесконечным полем K. Тогда идеал тождеств Id(V) порождается элементами из множества тождеств B П Id(V). Если char K = 0, то Id(V) порождается системой полилинейных тождеств из множества

U(r„ П Id(V ))•

n>1

Доказательство. Пусть ](х\, ...,хп) G /¿(V) и поле К бесконечно. Можно считать, что полином ](хх, ...,хп) является полиоднородным полистепени (ш\, ..., тп), имеющий следующий общий вид:

f (xi, •••,xn) = ^ ••• akl-

kl = 0 kn=0

■ knxk '

m2 mn

Elk' [H - E akl.

■ kn xk2 '

kl=0

Vk2 = 0 kn=0 ml

{•••}

{•••}

— ^ ] x\l ' gkl (x1, •••, xn) •

kl=0

• '{•••} = (■■•A =

k

x

n

k

x

n

Пусть s — наибольшее значение ki, 0 ^ к\ ^ mi, при котором gs(xi,..., xn) = 0. При этом степень переменной xi в элементе gs строго меньше, чем в элементах gi, -,gs-i.

В элементе f (xi,...,xn) сделаем подстановку xi ^ (1 + xi):

s / kl \

f (1 + xi,...,xn) = ( ^2jClki xi I • gki (xi,...,xn).

ki = 0 V i=0 /

При этом правую часть последнего равенства можно представить в виде суммы h(xi,..., xn) + gs(xi, ...,xn), где каждое слагаемое в h(xi,...,xn) имеет строго большую степень переменной xi, чем степень переменной xi в gs(xi, ...,xn). В силу бесконечности поля K элемент gs(xi,...,xn) G Id(V). Применяя тот же алгоритм относительно переменной xi в элементе gs(xi, ...,xn) и т. д., получаем, что f (xi, ...,xn) является следствием системы тождеств из множества B П Id(V).

Если char K = 0, то (учитывая, что любое тождество из Id(V) является следствием системы тождеств из множества BnId(V)) очевидно, что любое тождество многообразия V является следствием системы полилинейных тождеств из множества B П Id(V). Предложение доказано.

2. Многообразия полиномиального роста

Теорема 1. Для многообразия алгебр Лейбница — Пуассона V над произвольным полем следующие условия эквивалентны:

(i) последовательность {cn(V)}n^i ограничена полиномом;

(ii) для некоторого m ^ 2 в V выполнены полилинейные тождества

{xi,...,xm} = 0, (15)

{xi,yi} • ... • {xm,ym} = 0; (16)

(iii) найдется такое число N, что для любого n > N будет выполнено равенство 7n(V) = 0;

(iv) найдется такое число N, что для любого n ^ N будет выполнено равенство

N

Cn(V) = 1 + Е°n • Yk(V). (17)

k=2

Доказательство. Пусть выполнено условие (i). Рассмотрим линейно независимые элементы в Pn вида

xil • ... • xip • {xjl , xj2 } • ... • {xjq-l , xjq }, (18)

где {ii,..., ip, ji,..., jq} = {1,...,n}, ii < ... < ip, ji < ... <jq. Так как число данных элементов равно 2п-1, то они линейно зависимы в Pn(V) для некоторого n. Поэтому в Pn(V) нетривиальная линейная комбинация элементов (18) равна нулю. Выберем в данной линейной комбинации слагаемое с минимальным количеством скобок {,} и ненулевым коэффициентом. Подставив во все линейное выражение единицу вместо переменных, стоящих вне скобок {, } данного слагаемого, получим тождество (16).

Далее, рассмотрим линейно независимые элементы в Pn вида

■ ■■■ ■ xip ■ {Xjx , ■■■, xjq },

где ■■■,ip,j1, ■■■jq} = {!,■■■,n}, ii < ■■■ < ip, ji < ■■■ < jq. Рассуждая аналогичным образом, как выше, получаем, что в V выполнено тождество (15). Поэтому из (i) следует (ii).

Пусть выполнено условие (ii). Тогда для любого n > (m — 1)2 будет выполнено равенство Yn(V) = 0, поэтому из (ii) следует (iii).

Импликация (iii) ^ (iv) следует из пункта (ii) предложения 4.

Импликация (iv)^ (i) очевидна. Теорема доказана.

Теорема 2 Если char K = 0, то произвольное многообразие алгебр Лейбница — Пуассона полиномиального роста допускает конечный базис тождеств.

Доказательство. Пусть многообразие алгебр Лейбница — Пуассона V имеет полиномиальный рост. Тогда из теоремы 1 следует, что найдется такое четное число N > 2, что для любого n > N будет выполнено равенство Yn(V) = 0. При этом тождества из Гп П Id(V) = Гп, n > N, являются следствиями тождеств Г^ П Id(V) = Г^ (предложение 5). Учитывая предложение 6, многообразие V задается конечной системой тождеств из множества

N

U(rfc П Id(V))■

k=0

Теорема доказана.

Следующая теорема является обобщением аналогичного результата для случая многообразий алгебр Пуассона ([4]).

Теорема 3. Пусть V — нетривиальное многообразие алгебр Лейбница — Пуассона над произвольным полем. Тогда

(i) либо cn(V) > 2n—1 для любого n,

(ii) либо найдется такой многочлен степени N > 0 из кольца Q[x], что для любого n > N будет выполнено равенство

cn(V) = aN nN + ■■■ + a1n + a0, aN = 0^

Доказательство. Пусть рост многообразия V не ограничен полиномом. Тогда из теоремы 1 следует, что либо все элементы вида

{xi^^^x^, m = 1, 2, ■■■, либо все полилинейные элементы вида

{xi,yi} ■ ■■■ ■{xm,ym}, m = 1, 2, ■■■, не принадлежат идеалу тождеств многообразия V. Поэтому в любом случае

Y2m(V) > 1, m = 0,1, 2, ■■■ Следовательно, учитывая пункт (ii) предложения 4, получаем такое неравенство:

>(V) Cnk = 2n

-y2k _ on—1

n

0<2k<n

Пусть теперь рост многообразия V ограничен полиномом. Учитывая теорему 1, пусть N — максимальное число, при котором YN (V) > 0. Тогда для любого

c

п ^ N будет выполнено равенство (17), то есть найдется такой многочлен степени N ^ 0 с рациональными коэффициентами, что для любого п ^ N

сп(У) = ак пк + ... + а1п + а0, ак = 0.

Теорема доказана.

3. Многообразие почти полиномиального роста

Пусть характеристика основного поля К равна 0. Пусть Л — бесконечномерная алгебра Грассмана с единицей и умножением Л. Введем в алгебре Л операции • и {, } следующим образом:

а • Ь = ц(а Л Ь + Ь Л а), {а, Ь} = а Л Ь — Ь Л а, а,Ь € Л.

Полученная алгебра (Л, +, •, {,}) будет алгеброй Пуассона, которую обозначим через О. В работе [5] показано, что многообразие уат(О), порожденное алгеброй О, является почти полиномиальным, причем идеал тождеств алгебры О порождается тождеством {х1, х2, хз} = 0.

Пусть также иТ2 — алгебра верхнетреугольных матриц с умножением Л над произвольным полем К. Рассмотрим алгебру Пуассона и2 = [иТ2] Ф К с операциями

(а + а) • (Ь + в) = (ва + аЬ) + ав, {а + а, Ь + в} = [а, Ь], а,Ь € иТ2, а, в € К, где [а, Ь] = а Л Ь — Ь Л а.

В работе [4] показано, что рост многообразия уат(и2) является почти полиномиальным, а идеал тождеств алгебры и2 порождается тождествами

{{х1, х2}, {хз, х4}} = 0, {х1,х2} • {хз, хд} = 0.

В работе [4] также показано, что многообразие алгебр Пуассона У имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда О € У и и2 € У. Из данного критерия следует, что существует только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста: уат(О) и уат(и2).

Обозначим через Ь^2(Х) подалгебру в свободной алгебре Лейбница Ь(Х), каждый элемент которой является линейной комбинацией мономов степени ^ 2.

Предложение 7. Пусть Ль — некоторая ненулевая алгебра Лейбница с умножением [, ] над бесконечным полем К. Рассмотрим векторное пространство

Л = Ль Ф К,

в котором определим операции • и {,} следующим образом:

(а + а) • (Ь + в) = (ва + аЬ) + ав, { а + а, Ь + в } = [а, Ь ] , а, Ь € Ль , а, в € К.

Тогда полученная алгебра (Л, +, •, {},К) будет являться алгеброй Лейбница — Пуассона, причем будут выполнены следующие условия:

(г) 1!(Ль) = 1!(Л) П Ь-^2(Х) и в алгебре Л выполнено тождество {х1,х2} • • {хз ,хд} = 0;

(гг) Гп(Л) = Рь(Л) = Рпь(Ль) для любого п ^ 2, где равенства приведены с точностью до изоморфизма векторных пространств;

(iii) для любого n выполнено равенство

п

Cn(A) = 1 + ^3Ck ■ dim PL(Al).

k=2

Поэтому

Доказательство. Очевидно, что алгебра (А, +, •, {},К) является алгеброй Лейбница — Пуассона, в которой выполнено тождество {х\, Х2} • {хз, Х4} = 0. При этом пункт (г) следует из того, что если / € Ь^(Х), то ] € /¿(АП) тогда и только тогда, когда ] € /¿(А).

(гг) Заметим, что из пункта (г), в частности, следует, что /¿(А)ПР^ = /¿(Ап)П ПР^ для любого п > 2. Поэтому

Р^(АЬ) = Р^/(ЩАЬ) П Р£) = Р^/(/^А) П Р%) = Р^(А).

Далее, обозначим через /¿({х1,х2}^{хз,х4}) идеал тождеств в свободной алгебре Лейбница — Пуассона Е(X), порожденный элементом {х1, х2}-{хз, Х4}. Очевидно, что для любого п выполнено равенство

Гп = Рп © /¿({Х1,Х2} • {хз,х4}) П Г„. Гп(А) =Г„/(/¿(А) П Гп) =

= РП © /¿({Х1,Х2} • {хз, Х4}) П Гп =

= /¿(А) П (РП © /¿({Х1, Х2} • {хз, Х4}) П Гп) =

= РП © /¿({Х1,Х2} • {хз, Х4}) П Гп =

= (/¿(А) П РП) © (/¿({Х1, Х2} • {хз, Х4}) П Гп) =

- РП/(/¿(А) П РП)= РП(А). Пункт (ггг) следует из пункта (гг) и предложения 4. Предложение доказано.

Рассмотрим двумерную алгебру Лейбница Ь2 над полем К с базисом а, Ь и таблицей умножения [а, Ь] = а, [а, а] = [Ь, Ь] = [Ь, а] = 0. Обозначим через А2 алгебру Лейбница — Пуассона ¿2 © К, построенную с помощью предложения 7.

Теорема 4. Пусть характеристика основного поля К равна нулю. Для алгебры Лейбница — Пуассона А2 верны следующие утверждения. (г) Полилинейные тождества

{хьх2} • {хз,х4} = 0, {х1, {х2,хз}} = 0 (19)

порождают идеал тождеств алгебры А2 .

(гг) Рост многообразия гаг(А2), порожденного алгеброй А2, является почти полиномиальным, причем для любого натурального п выполнено равенство

Сп(А2)= п • 2п-1 - п +1.

(ггг) Базис полилинейной компоненты Рп (А2) состоит из элементов вида

хгг • ... • хг3 • {х]1, ..., х]ь }, (20)

где {гъ ..., г8,31, ...,п} = {1, ...,п}, гл < ... < г8, п < ... < Эг.

Доказательство. Понятно, что в алгебре А2 выполнены тождества (19). Покажем, что базис полилинейной компоненты Рп (А2) состоит из элементов вида (20).

Из тождеств (19) следует, что rn(A2) является линейной оболочкой элементов вида

{Xi,Xl, ...,Xi, ...,Xn}, i =1,...,n, (21)

где Л означает, что элемент отсутствует. При этом данные элементы являются линейно независимыми в rn(A2 ). Действительно, предположим, что для некоторого n ^ 2 в алгебре A2 выполнено нетривиальное тождество

n

"^Jai{xi,xl, ...,Xi, ...,Xn} = О, ai e K.

i=l

Пусть для некоторого j выполнено aj = О. Подставим вместо переменной Xj скобку {yo,yl}. Тогда, с учетом тождества {xi, {x2,x3}} = О, в алгебре A2 будет выполнено тождество {yo,yl,Xl, ...,Xj, ...,xn} = О. Но данное тождество не выполнено в алгебре A2, что показывает проверка {a, b, ... , b} = a.

Из сказанного следует, что, с учетом предложения 4, для алгебры A2 выполнены пункты (i) и (iii), при этом

nn

Cn(A2) = 1 + X) en ■ Yk(V) = 1 + X cn ■ k = n ■ 2n-1 - n +1. k=2 k=2

Пусть W — некоторое собственное подмногообразие в var(A2). Тогда из предложения 6 следует, что элементы (21) линейно зависимы в rn(W) для некоторого n ^ 2. Поэтому, как показано выше, в многообразии W выполнено тождество {xi, ..., xm} = О для некоторого m. Также в многообразии W выполнено тождество {xi, X2} ■ {x3, X4} = О, поэтому из теоремы 1 следует, что рост многообразия W ограничен некоторым полиномом. Теорема доказана.

Литература

[1] Drensky V. Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra. Singapore: Springer-Verlag, 2000.

[2] Drensky V., Regev A. Exact behaviour of the codimention of some P.I. algebras // Israel J. Math. 1996. V. 96. P. 231-242.

[3] Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. M.: Наука, 1985.

[4] Рацеев С.М. О многообразиях алгебр Пуассона полиномиального роста // Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова. Казань: КФУ. 2011. С. 156-157.

[5] Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras // Transactions of the American Mathematical Society. 2007. № 10 (359). P. 4669-4694.

Поступила в редакцию 12/Л/2012; в окончательном варианте — 12/Л/2012.

COMMUTATIVE LEIBNIZ — POISSON ALGEBRAS OF POLYNOMIAL GROWTH

© 2012 S.M. Ratseev3

In this paper we study commutative Leibniz — Poisson algebras. We prove that a variety of commutative Leibniz — Poisson algebras has either polynomial growth or growth with exponential not less than 2, the field being arbitrary. We prove that every variety of commutative Leibniz — Poisson algebras of polynomial growth over a field of characteristic 0 has a finite basis for its polynomial identities. Also we construct a variety of commutative Leibniz — Poisson algebras with almost polynomial growth.

Key words: Poisson algebra, commutative Leibniz — Poisson algebra, variety of algebras, growth of variety.

Paper received 12/////2012. Paper accepted 12/ZZ7/2012.

3Ratseev Sergey Mihaylovich (RatseevSMarambler.ru), the Dept. of Information Security and Control Theory, Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, 432700, Russian Federation.