Комбинация крыла с фюзеляжем, обладающая минимальным сопротивлением при сверхзвуковых скоростях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том I

1970

№ 1

УДК 629.735.33.015.3 : 533.695.12

КОМБИНАЦИЯ КРЫЛА С ФЮЗЕЛЯЖЕМ, ОБЛАДАЮЩАЯ МИНИМАЛЬНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

Рассматривается вариационная задача о комбинации крыла с фюзеляжем, обладающей минимальным сопротивлением при заданных подъемной силе, продольном моменте и объеме. Предполагается, что толщина крыла обращается в нуль на заданных сверхзвуковых передних и задних кромках. В случае тонкого фюзеляжа вариационная задача решается методом последовательных приближений. В первых двух приближениях эта задача сводится к некоторым вариационным задачам для изолированного крыла. При этом поверхность фюзеляжа в области сопряжения с крылом строится по линиям тока около изолированного крыла минимального сопротивления. Третье приближение отличается от второго дополнительной деформацией поверхности фюзеляжа.

1. Рассмотрим обтекание комбинации крыла со сверхзвуковыми кромками и фюзеляжа, расположенного для определенности в схеме «низкоплан». Через переднюю и заднюю кромки крыла (включая его подфюзеляжную часть) проведем переднюю и заднюю характеристические поверхности. Нас будет интересовать только часть комбинации, расположенная в образованном этими поверхностями объеме ґ (т. е. продолжением фюзеляжа вверх по потоку является цилиндр, параллельный вектору скорости набегающего потока).

Будем считать, что поверхность комбинации б' близка к некоторой цилиндрической поверхности в, образующая которой параллельна вектору скорости набегающего потока. Уравнение поверхности б' запишем в виде

Здесь Ф (у, z) = 0 — уравнение поверхности G; xyz— декартова система координат (фиг. 1); ось х направлена вдоль вектора скорости набегающего потока; g(х, у, z)—расстояние по внешней нормали между поверхностями G' и G.

Поверхность G состоит из цилиндра, проходящего через некоторое заданное сечение фюзеляжа, и части плоскости у = 0, ограниченной кромками крыла. Предполагается, что функция g {х, у, г) и производные от нее являются малыми величинами и при выводе основных соотношений оставляются только члены первого порядка малости. При этом предположении задачу обтекания и вариационную задачу

можно сформулировать на поверхности G. Косинусы углов между вектором п' внешней нормали к G' и осями координат равны cos п'х — —gx, cos п'у = cos пу,

cos n'z = cos nz, где n — внешняя нормаль к G.

Условие непротекания поверхности G' можно представить в виде

где <р — потенциал возмущенной скорости, отнесенный к скорости набегающего потока; 5— часть поверхности б, ограниченная проекцией О' на й по нормали п.

Избыточное давление р, отнесенное к скоростному напору д, равно

Ю. Л. Жилин

Ф (У, z) — g (*, у, г) Уф2у 4- ф2 = 0.

dtp _ — ёх на поверхности 5,

(1.1)

р = — 2<рх-

(1.2)

С учетом малых первого порядка создаваемые избыточным давлением сопротивление X, подъемная сила У и продольный момент М равны

х = <l JjpgxdS. (13>

S

р cos пу dS, М •= — q J Jxp cos пу dS, (1.4)

« s

где положительным считается момент на пикирование.

<ПЩ[

Фиг. 1

Введем поверхностную координату т, отсчитываемую в плоскости д:=соп81 по касательной к поверхности О. Тогда любой интеграл по 5 можно представить в виде

х»

ЦfdS=j>d%§fdx,

5 ДГ,

где /—произвольная функция; х=х1(т) и х = х2 СО —'соответственно уравнения передней и задней „кромок* поверхности 5.

При постановке вариационной задачи наложим на поверхность О' некоторые дополнительные геометрические условия. Потребуем, чтобы толщина крыла обращалась в нуль на части передних и задних кромок крыла, выступающих из фюзеляжа. Это условие для каждого сечения крыла г=сопв1 можно представить в виде

л-з

^ «/-«г = 0 при 1 г | (1.5)

где индексы и ,—“ относятся соответственно к верхней и нижней поверхностям крыла; 2/? и 2/?]—ширина фюзеляжа и размах крыла.

Потребуем также, чтобы полный объем, ограниченный поверхностью О’, был заданной величиной. Это условие эквивалентно заданию объема

^ = //^5,

заключенного между поверхностями С и О. Интегрируя по частям последнее уравнение, запишем его в виде

У—ф(х£ \х=^ — Х£ 1Х=Х1) d X = — | dS. (1.6)

Будем также считать заданным интеграл

Д У = — я ^^ ^ (х)сое пу йБ, (1.7)

где 7 (т) — некоторая заданная функция.

Величина ДУ равна подъемной силе, вычисленной с весовой функцией к(т), действующей на всю поверхность О' или на часть ее. В дальнейшем условие (1.7) является вспомогательным.

Сформулируем вариационную задачу: при заданной поверхности 5 требуется найти такую функцию g, чтобы сопротивление (1.3) достигало минимального значения при выполнении условия (1.5) и заданных значениях левых частей уравнений (1.4), (1.6) и (1.7). Так как условие непротекания (1.1) не нарушается при прибавлении к функции ^ произвольной функции от т, можно считать, что поверхность фюзеляжа проходит через некоторое заданное сечение. Для получения необходимого условия минимума составим функционал

ф = // [Рёх +()ч + ^2-«+ *5 1Г)Р сое пу + 2 Х3 (т)4- 2Х4 xgx] </5,

л

где X* — постоянные и переменный множители Лагранжа, соответствующие условиям (1.4) — (1.7).

Первая вариация от Ф равна

8Ф = [Р + 2Х3 (х) -]- 2Х4] 5gx ^5 -р ^ ^ [ёх 4" (Х-1 + Х2 х + ХБ 7) сое пу] Ьр йБ,

“я з

где вариация давления Ьр возникает вследствие вариации 8gx формы поверхности О'.

Для нахождения интегральной связи между Ър и Ьgx воспользуемся теоремой обратимости, которую представим в виде

§§Р1<*2(13 = Рг «1 ЛБ,

$ *

где а] и рх — угол наклона элемента поверхности 61 к вектору скорости и давление в прямом потоке; а2 и ра—те же величины при обтекании поверхности б2

обратным потоком.

Полагая

“1=8£*. Р1=*Р и а2=-[^ + (Х1+ Х2л; + Х51Г)со8лу], (1.8)

имеем

8Ф = // [р - Л + 2 хз М + 2Х4*] 5^ ЛЯ.

а

Отсюда следует, что необходимым условием достижения минимума сопротивления является выполнение на поверхности 5 условия

Р — Р2 + 2Х3 (т) + 2 Х4 х = 0. (1.9)

Это условие обобщает результаты работы [1]. Так как р и р« зависят от g через (1.1), (1.8) и решение волнового уравнения, то условие (1.9) нужно рассматривать как некоторое уравнение для функции g при решении вариационной задачи прямым методом. Сложность этого метода заключается в том, что вариационная задача решается совместно с задачей обтекания. Перейдем от прямого метода к обратному (2] — [Б]. Для этого введем потенциал ф2 обтекания поверхности С?2 (18) обратным потоком и потенциал комбинированного потока <Рк = ф + Ъ- Тогда из уравнений (1.1), (1.2), (1.8) и (1.9) следует, что на поверхности 5

—(Х,+Х2 л: + Х5 7)008 пу и = Х8 (т) + Х4 х. (1.10)

оп ох

Заметим, что в уравнения (1.10) не входит функция g. Дифференцируя по х, сведем их к следующей задаче Коши:

-3—’ *Рк хх — Тк хх — ^4 на 5.

ап

В области Р, ограниченной передней и задней характеристическими поверхностями и поверхностью 5, решением задачи Коши является <рКЛл. = Х4. Дважды интегрируя по х, представим решение в виде

к == Х| у Х2 ху -(- Х4 + * н- (у, г) + V {у, г). (1.11)

Из волнового уравнения следует, что внутри области £) функции |1 и ч должны удовлетворять уравнениям

Др. = 0 и Дч = Х4

(1.12)

где Д —оператор Лапласа, р —котангенс угла Маха.

Область О (фиг. 2) ограничена контуром 1и который является проекцией на плоскость х = 0 линии I пересечения передней и задней характеристических поверхностей, и контуром 12 — проекцией поверхностей 5 на ту же плоскость. Согласно (1.10), на контуре /2 должны выполняться граничные условия

^=0 и = — Х5 7 (т) соз пу. дп дп

(1.13)

Потенциал фк обращается в нуль на линии I. Поэтому уравнения (1.11)—(1.13) определяют фк с точностью до функции ц(М- Эта функция должна быть выбрана так, чтобы выполнялось условие (1.5).

Если известен потенциал фк, удовлетворяющий уравнениям (1.11) — (1.13), то для нахождения поверхности тела минимального сопротивления необходимо решить задачу Гурса для потенциала ф в объеме Это связано с тем, что на задней характеристической поверхности потенциал фк равен ф. При этом любое решение уравнений (1.11)—(1.13) [т. е. при любой функции ц(/,)] является решением вариационной задачи, в котором вместо дополнительного условия (1.5) толщина крыла равна нулю на одной из кромок и равна заданной функции на другой.

2. При постановке вариационной задачи для комбинации крыла с фюзеляжем опустим условие (1.7), т. е. положим Х5 = 0. Покажем, что эту задачу в случае тонкого фюзеляжа можно приближенно свести к двум вариационным задачам для изолированного крыла той же формы в плане.

Предположим, что решена вариационная задача (назовем ее задачей № 1) для изолированного крыла при дополнительных условиях (1.4)—(1.6) при Х5=0. Обозначим соответствующие этой задаче функции ц и V через щ и VI (ниже индексы «1» и «2» при функциях ц, V и фк относятся к задачам № 1 и 2). Функции Щ и VI удовлетворяют уравнениям (1.12) в области О + фюзеляж и граничным условиям (1.13) при Яй = 0 на всей поверхности крыла, включая его подфюзеляжную часть /4. Представим

ФУНКЦИИ ф„, Ц. И V В ВИДе фк = ф1 к + X р,' + V', [X = М-1 + МЛ V = VI + V'.

Тогда в области И функции р.' и V' удовлетворяют уравнению Лапласа и следующим граничным условиям на контуре /2:

дц' дп'

др-1

дп

дц' дп ду' дп

дч'

дп

д^і

• 0 на крыле;

(2.1)

= — --А- на фюзеляже (на /3). дп

Вычислим расход жидкости, течение которой в области £) описывается потенциалами ц/ и V', через контур Із. Применяя теорему Гаусса—Остроградского и используя (1.12), (1.13) и (2.1), получим '

д|л'

дп

дп

(2.2)

где а — площадь поперечного сечения фюзеляжа.

Отсюда видно, что течение от потенциала ц' аналогично течению от мультиполей, а от потенциала V — течению от источника, если задан объем комбинации (Х1Ф 0). Это обстоятельство определяет разный порядок функций |х' и V7 в случае Я4 Ф 0.

В первом приближении функции |х' и V можно считать тождественно равными нулю в области £>, что эквивалентно построению поверхности фюзеляжа по линиям тока около изолированного крыла минимального сопротивления, полученного из решения задачи № 1. Оценим точность этого приближения при IX'’ (/1) = 0, предполагая, что поперечные размеры фюзеляжа имеют порядок Я. Из уравнений (1.12) и граничных условий (1.13) (Я5 = 0) следует, что вблизи начала координат функции щ и VI разлагаются в ряд Тейлора, в котором из-за симметрии области Б относительно оси у отсутствуют линейные члены по у и г. Поэтому правые части уравнений (2.1) имеют порядок Я/?, где Я — порядок А; (т. е. порядок постоянных множителей Лагранжа Л,1, Я2 и Я4). При ^4^0 функция V' имеет порядок Я/?21пЯ вблизи фюзеляжа и Я/?2 вдали от него (предполагается, что поперечные размеры области £> порядка единицы). Члены такого же порядка отброшены в потенциале <рк. При этом в величине сопротивления отбрасываются члены порядка Я2 Я2. В случае Я4 = 0 (вариационная задача без задания объема) функции ц' и V имеют порядок Я Я2 вблизи фюзеляжа и Д4 вдали от него, а в величине сопротивления отбрасываются члены порядка Я2 Я3-

Для получения более точного решения при ф 0 необходима дополнительная деформация поверхности крыла и фюзеляжа, что связано с интерференцией источников, расположенных на фюзеляже и крыле в случае 0 ф 0.

Сформулируем вариационную задачу № 2 для изолированного крыла: требуется найти поверхность крыла заданной формы в плане, обладающего минимальным сопротивлением при выполнении условий (1.5) и (1.7). Функцию у(т) в условии (1.7) положим равной нулю всюду за исключением верхней подфюзеляжной части крыла /4(—при // == 0+). В этом случае, согласно (1.11)—(1.13),

<Ргк = х\ъ(у. 2)+ ^2(,У> г)>

где функции и ч2 удовлетворяют уравнению Лапласа в области И + фюзеляж и граничным условиям у^п = 0 на всем крыле, „ = Х67(г) на /, и ч!л = 0 на остальной части крыла.

Постоянную Х5 выберем из условия

Я

—Л

Положив [X = [*1 + 1*2 + Н-з, V = 4- *2 + *3. ?к = ?1К + 9гк + 'Рак. <Рз к = ■*!»* + ^з>

для гармонических в области О функций 1x3 и имеем на /2 следующие граничные условия:

др-з ' дч3

-д— = -зг- = 0 на крыле;

а * а * (24)

(и + (хг), -щ- = — (VI + *2) на фюзеляже (на /3).

При данном выборе постоянной Хб из (2.2) и (2.3)

/-£-*-1-5-*-*

*3 ^3

т. е. течение от потенциалов |х3 и Vз аналогично течению от мультиполей. Во втором приближении (|х3 =^з = 0) поверхность фюзеляжа строится по линиям тока около изолированного крыла, полученного из решения задач № 1 и 2. Так как правые части уравнений (2.4) имеют порядок Я Я, то точность этого приближения такая же, как и в первом приближении в случае Я4 = 0. Третье приближение можно получить из второго при помощи дополнительной деформации поверхности фюзеляжа, что соответствует размещению на нем дополнительных мультиполей. Краевая задача (2.4) решается при нулевых значениях функций |х3 и Vз на контуре к. Далее решается задача Гурса для потенциала ф3, равного фзк на задней характеристической поверхности и равного нулю на передней. Приближенное решение задачи Гурса можно представить в виде

Фз=-*((*з+-Т^) + °(ХЯ3). (2-5)

где Ь — корневая хорда крыла.

Из уравнений (2.4) видно, что это приближенное решение не приводит к дополнительной деформации поверхности крыла по сравнению со вторым приближением. При этом для нахождения дополнительной деформации фюзеляжа нет необходимости решать краевую задачу для функций Цз и Гз: правые части уравнений (2.4) можно определить из решения задач № 1 и 2. В третьем приближении в потенциале <рк не учитываются члены порядка % Я3 вблизи фюзеляжа, а в сопротивлении отбрасываются члены порядка Я2 У?4.

3. Выше было показано, что в первых двух приближениях вариационная задача для комбинации крыла с тонким фюзеляжем сводится к некоторым вариационным задачам для изолированного крыла. В том случае, когда объем комбинации не задан, поверхность оптимального фюзеляжа строится по линиям тока около изолированного крыла, обладающего минимальным сопротивлением при заданной подъемной силе и продольном моменте.

В том случае, когда задан объем комбинации, для получения достаточно глубокого минимума необходимо решить задачу № 2. Здесь результаты настоящей работы обобщают и уточняют известное правило площадей. Если площади ст над и под крылом различны, то задача № 2 сводится к решению соответствующих вариационных задач для симметричного и антисимметричного обтекания изолированного крыла, т. е. срединная поверхность крыла дополнительно деформируется по сравнению с крылом, обладающим минимальным сопротивлением при заданной подъемной силе и моменте В этом смысле имеет место интерференция между объемом комбинации и подъемной силой. При одинаковой площади о задача № 2 сводится к вариационной задаче для симметричного изолированного крыла, и срединная поверхность крыла дополнительно не деформируется.

* *

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Jones R. The minimum drag of thin wings frictionless flow, JAS, vol. IS, № 2, 1951.

2. Никольский А. А. О телах вращения с протоком, обладающих минимальным внешним сопротивлением в сверхзвуковом потоке. Сборник теоретических работ по аэродинамике. Оборонгиз, 1957.

3. К о г а н М. Н. О телах минимального сопротивления в сверхзвуковом потоке газа. ПММ, т. XXI, вып. 2, 1957.

4. Ж и л и н Ю. JI. Крылья минимального сопротивления. ПММ, т. XXI, вып. 2, 1957.

5. Жигулев В. Н., Жилин Ю. JI. О телах минимального волнового сопротивления. ПММ, т. XXIII, вып. 6, 1959.

Рукопись поступила 4/IV 1969 г.