Колеблемость решений дифференциальной системы типа Эмдена-Фаулера Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.91 ББК 22.161.61 С 92

Схаляхо Ч.А.

- ,

высшего военного училища (военный институт) имени СМ. Штеменко, тел. 88612681456, e-mail: [email protected]

Тугуз Н.С.

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры общих математических и естественно-ночных дисциплин филиала Майкопского государственного технологического университета в п. Яблонов-ском, тел. (771) 98-1-63, e-mail: [email protected]

Колеблемость решений дифференциальной системы типа Эмдена-Фаулера

(Рецензирована)

Аннотация

Приводятся достаточные условия колеблемости всех правильных решений системы дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фщ’лера, обобщающие и уточняющие результаты ранее опубликованных работ в журнале «Дифференциальныеуравнения».

Ключевые слова: колеблемость, система дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фщ’лера,

.

Skhalyakho Ch.A.

Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor of Mathematics and Physics Department of Krasnodar S.M. Shtemenko Military Higher Institution (Military Institute), ph. 88612681456, e-mail: [email protected]

Tuguz N.S.

Candidate of Pedagogy, Assistant Professor of General Mathematic and Natural Science Disciplines Department of Branch of Maikop State Polytechnic University in the settlement of Yablonovsky, ph. (771) 98-1-63, e-mail: [email protected]

Variability of solutions of Emden-Fowler type differential system

Abstract

The paper discusses sufficient conditions for variability of all correct solutions for system of Emden-Fowler type equations, generalizing and specifying the results of works published previously in journal «The Differential Equations».

Key words: variability, system of Emden-Fowler type differential equations, a correct solution.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фаулера

u[(t) — a1 (t)| u2 (t)|' sign u2 (t) , u2 (t) — a2 (t)| u1 (t)|' sign u1 (t) , (1)

где ''I — œmt > 0 (/ — 1,2), aj : [0,+^]—— R (i —1,2) - локально суммируемые функции,

кроме того

'l ' '2 — 1 • (2)

Определение 1. Решение (ui, м2) системы (1), заданное на некотором бесконечном промежутке [?о ,+то), называется правильным решением, если

зир£| и (^)|: ^ > г} > 0 при г > г0

i=1

Определение 2. Правильное решение (и1,и2) системы (1) называется колеблющимся, если каждая его компонента имеет последовательность нулей, сходящуюся к + ~, и неколеблющимся - в противном случае.

В данной заметке приводятся достаточные условия колеблемости всех правильных решений системы (1), обобщающие и уточняющие результаты работ [1-3].

Пусть [а, Ъ] некоторый отрезок из промежутка [о,+~], а с некоторое число из интервала (а, Ъ). Положим

А(г) = - sign (с - г) |а2 (s)ds, а < г < Ъ .

Р1(г) = Р1 (г) = А(г),

с

Рк(г) = А(г) + Л |а*^)|Рк-1(^)|*+Я1 ds , к = 2,3,... , а < г < с,

(3)

Рк (г) = А(г) + Л2 |а1 ф Рк-1(^>

1 +

ds , к = 2,3,... , с < г < Ъ .

(4)

Теорема 1. Пусть соблюдается условие (2) и а1 (г) > 0 при г е (а, Ъ) . Пусть, далее, существуют числа с е (а, Ъ), т > 0 и натуральное число к такие, что

где

2 т

1+Л

с.

| (Л2 а1(г)

[а2 (г) + Л2та1 (г)]+

-^г >у,

т

2 т Ъ ( а Л [а2 (г) + Л2та1 (г)]+ )лг > „

2 т ] (12а1(г)-----------------------)а > У ’

у = 2п

Рк(г)

(1 + Л,!) б1п

+ т

п 1+ Л

-1

[х(г)]+ = шах{0, х(г)},

(5)

функции Рк и р* заданы соответственно равенствами (3) и (4).

Тогда компонента и любого ненулевого решения системы (1) имеет нуль на отрезке [а, Ъ].

Следствие 1. Пусть соблюдается условие (2) и а1(г) > 0 при г е (а, Ъ) . Пусть,

с

г

с

а

с

далее, существуют числа с е (а, Ь), т > 0 и натуральное число к такие, что

a2 (t) <Гmay (t) при a < t < b ,

1+Г V Г\ Рк (t )|1+/tl ay (t) - a2 (t)

2m Г f ^|jPkW| dt >Y,

a \Pk (t)|+ +m

2m

1+Г2

Г2 Pl(t) )t (N 1 ()t cf < +

P*(t) 1+Г + m

dt > Y,

где число y и функции pk и p*k заданы соответственно равенствами (5), (3) и (4). Тогда компонента щ любого ненулевого решения системы (1) имеет нуль на отрезке [a, b].

Теорема 2. Пусть соблюдается условие (2) и существуют последовательности

a )+Гт, (bn )+Гт, (cn )+Гт, m )+Гт,

для которых при любом значении n выполняются условия

an < bn , lim an =+oo, cn e (an, bn) , mn > 0, n = 1,2,... , ai (t) > 0 при t e (an, bn h

П——+^

2(mn)(Г«1 (t) - [> +rmnai(tа )dt > Y .

J |Pnk (t)| 1 + ™

an \pnk (1) 1 mn

где

2(mn^ )гЛ(0-[Гnai(t)] )dt > Y.

^ |Pnk (t) + mn

An (t) = - sign(Cn -1) JÜ2 (s)ds , an < t < bn,

t

Pn1(t) = P*i(t) = An (t)

Pnk (t) = An (t) + Г Ja1( s)\Pnk-1( s)\+rds , k = 2A... , an < t < cn , (6)

t

t 1 Г

P*k(t) = An(t) + Г2 Ja1(s)P*k-1(s)|+ ds , k = 2,3v.. , Cn < t < bn , (7)

c

c

у - число, определенное равенством (5). Тогда любое правильное решение системы (1) является колеблющимся.

Следствие 2. Пусть соблюдается условие (2) и существуют последовательности

(ап )П=1, (Ь„ )П=1, (сй ) П=1, (тп )П=1,

для которых при любом значении п выполняются условия

ап < ьп , Нш ап =+oo, спе ^ Ъп), т > а п = 1,2,..., а1(0 > 0 при Iе (ап, ьп),

П——+^

- а2(^) <А^т па1(1) при I е (ап,Ъп) ,

Т+Т VТ 1р к (0|1+Т а, (0 - а2 (1)

2(тпу+Т [ ц-1/пк1у1 ^ >Г>

П а \РпкО)+ + тп

г1Т ЪТ1Р*„к (*)1 Т а1 (Г) - а2 (Г)

2(тп У+Т \ 21 , 4 ,+, 2() * > Г,

с \РЛ О) + тп

где число у и функции рк и р*„к заданы соответственно равенствами (5), (6) и (7). Тогда любое правильное решение системы (1) является колеблющимся.

Примечания:

1. Схаляхо Ч.А. О нулях решений одной двумерной дифференциальной системы на конечном промежутке // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 6. С. 1080-1083.

2. . .

знакопеременными правыми частями // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 10.С. 1736-1747.

3. . . // -

ренциальные уравнения. 1993. Т. 29, № 2. С. 232-239.