Об осцилляционных свойствах решений систем типа Эмдена-Фаулера Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.9 ББК 22.161.6 Г 13

Газиева С.Дж.

Старший преподаватель кафедры высшей .математики и системного анализа Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, тел. (8772) 52-51-51 Мирзов Дж.Д.

- , -

дики преподавания .математики факультета .математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-05 Такахо О.Дж.

Старший преподаватель кафедры высшей .математики и системного анализа Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, тел. (8772) 52-51-51

Об осцилляционных свойствах решений систем типа Эмдена-Фаулера

(Рецензирована)

Аннотация

Даются необходимые и достаточные условия для наличия на положительной полуоси свойства колеблемости всех правильных решений или стремления компоненты решения к бесконечности (нулю) у системы типа Эмдена-Фаулера.

Ключевые слова: двумерная нелинейная система типа Эмдена-Фщ’лера, правильные решения, ос.

Gazieva S.J.

Senior Lecturer of Department of the Higher Mathematics and System Analysis, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 52-51-51 Mirzov J.D.

Candidate of Physics and Mathematics, Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-05 Takakho O.J.

Senior Lecturer of Department of the Higher Mathematics and System Analysis, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 52-51-51

On oscillatory properties of the Emden-Fowler type system solutions

Abstract

This paper fins the necessary and sufficient conditions which give the existence of all the regular solutions, or tendency of the solution component to infinity (zero) on a positive half-axis of oscillation property for the Emden-Fowler system of differential equations.

Keywords: two-dimensional nonlinear system of the Emden-Fowler type, regular solutions, oscillatory properties.

Введение

В настоящей статье будем рассматривать двумерную нелинейную дифференциальную систему типа Эмдена-Фаулера

u' = (-1)-1 a{ (t)|u3-i|Л> sign u3-i (i = 1,2), (1)

где Д > 0, а{: Е-+ ^ (г = 1,2) локально суммируемые функции.

В работе [1] доказана

Теорема 1. Пусть Д ■ Д < 1 и для некоторого к е {1,2}

< +<*>.

|ак (г)йг = +«>, |а3_к (г)йг < +«>. (2)

Тогда для колеблемости всех правильных решений системы (1) необходимо и достаточно, чтобы

+1Л1 I г

Iа3_к(г)| |ак (х)йх

4^3-,

йг = +». (3)

В статье [2] установлена

Теорема 2. Пусть Д ■ Д > 1 и для некоторого к е {1,2} имеет место (2). Тогда для колеблемости всех правильных решений системы (1) необходимо и достаточно, чтобы

\Дк

Iак(г)| |а3_к Шт

йг = +<*>. (4)

Все необходимые понятия и определения можно найти в работах [3-5].

Рассматривая теоремы 1 и 2, возникает естественный вопрос: чем являются условия (3) и (4) для системы (1) в случае, когда

ДД = 1? (5)

Ответу на этот вопрос посвящена данная статья.

Основные результаты

Определение. Пусть к е{1,2}. Скажем, что система (1) обладает свойством Ок (Рк), если каждое ее правильное решение и1(г), и2(г) является колеблющимся, либо ик (г)(и3_к (г)) стремится к бесконечности (нулю) при г ^ +<^.

Теорема 3. Пусть выполняется (5) и для некоторого к е {1,2} имеет место (2). Система (1) обладает свойством Ок тогда и только тогда, когда справедливо (4).

Доказательство. Сначала докажем достаточность.

Пусть и1(г), и2(г) - правильное решение системы (1), не являющееся колеблющимся. Тогда в силу (2) и (4)

(_1)к _1и1(г) ■ и2(г) > 0 (6)

при достаточно больших значениях г . Отсюда получаем

\ Д \ Д

и (г)| = ак (г)|из_к (г)| к^ (г)| =_аз_к (г)|ик (г)| _к (7)

в некоторой окрестности + те. Покажем, что Иш |ик (г)| = +<*>.

г 1 1

Допустим, что это не так. Тогда из первого равенства (7) следует, что щ_к (г) ^ 0

0

при г ^ +—, а поэтому из второго равенства (7) вытекает

К_к (г)| = |аъ_к (т)|ик (т)|Лл_к йт > \ик (г)|^ |аъ_к (т)йт.

г г

Поэтому

\Л

М^ > \ик М + \ик (го )|ЛЛ |ак (т)| |а3_к (№

Iл л

го V т ;

где г0 достаточно большое число. Отсюда имеем

йт,

\ л,

Iак(г)| |аз_к(т)йт

г У

йг < +—,

что противоречит (4). Достаточность доказана.

Теперь докажем необходимость. Пусть нарушается (4). Рассмотрим множество

с, < и < с, а ,,(т)йт< (_1)к_1 и ,, < с^' \а

г > 0, 0 < с1 < ик < с2, с1Лз_к |а3_к (т)йт < (_1)к 1 и3_к < сЛк |а3_к (т)йт.

г г

На этом множестве, в силу (1), соблюдаются неравенства

/+~

К1 < сЛЛ'Л ак (г)| |аз_к (т)йт

+— \Л

, _ сЛз_‘аз_к(г) < (_1)к_1из_к < _с1Лз_каз_к(г).

У

Следовательно, по теореме 4.2 из [4] система (1) имеет решение и1(г), и2(г), обладающее свойством

Иш ик (г) = с е (с1, с2).

г

Теорема доказана полностью.

Теорема 4. Пусть выполняется (5) и для некоторого к е {1,2} имеет место (2). Система (1) обладает свойством Рк тогда и только тогда, когда справедливо (3).

Доказательство. Сначала докажем достаточность. Если и1(г), и2(г) есть правильное решение системы (1), не являющееся колеблющимся, то при больших значениях г соблюдается неравенство (6), а поэтому имеют место соотношения (7). Покажем, что

Иш и3_ к (г) = 0.

г ^+—

Если допустить, что Иш |и3_к (г)| = с > 0, то из (7) будем иметь

г 1 1

г (т 'Л

К_к (г)| < К_к М _ слл |а3_к (т) |ак МЖ

г0 \ г0 )

йт

при г > г0, где г0 достаточно большое число. Последнее неравенство при г ^ +— вступает в противоречие с (3). Достаточность доказана.

Докажем необходимость. Пусть нарушается (3). Подберем г0 настолько большим,

чтобы имело место неравенство

t fт

Ja3-k(т) Jak (s)ds

t f т ^ Лз-, 1

ak (s)ds dт< 2

3-k

t0 V t0 У

и рассмотрим решение u1(t), u2(t) системы (1), определяемое начальными условиями

uk (t0) = 0 u3-k (t0) = (-1)k-1.

Легко проверяется, что

t 1

О й uk (t) й \ak Шт, 2 < (-1)k-1u3-k (t) й 1

t0

при t > t0. Теорема доказана полностью.

Замечание 1. Если Л= Л = 1 , то свойство Ok эквивалентно свойству Pk. В противном случае эквивалентности может не быть, даже если имеет место (5). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему

u[ = |u2|1/Л sign u2, u2 =-b(t) |u1 |Л sign u1. (8)

Если Л > 1 и b(t) = , 1 +ln t , , то система (8) обладает свойством O,, но не обла-t1+\ln t ]1+Л 1

1 + Л1п t

Т+^ШТ]

вом P1, но не обладает свойством O1.

дает свойством P1. Если же 0 < Л < 1 и b(t) = ^, то система (8) обладает свойст-

Замечание 2. Если Л = Л = 1= а1(г), а2(г) = а(г), то из теоремы 3 (теоремы 4) вытекает основное утверждение из [6].

Примечания:

1. Мирзов Дж.Д. О колеблемости решений системы нелинейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9, № 3. С. 581-583.

2. Mirzov J.D. Ability of the solutions of a system of nonlinear differential equations to oscillate // Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR. 1974. Vol. 16, Iss. 4. P. 932-935.

3. Kiguradze I.T., Chanturia T.A. Asymptotic Properties of Solutions of Nonautonomous Ordinary Differential Equations. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1993. 331 pp.

4. . .

решений систем нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Майкоп: Адыгея, 1993. 132 с.

References:

1. Mirzov J.D. On the oscillation of solutions of the system of nonlinear differential equations // Differential Equations. 1973. Vol. 9. No. 3. P. 581-583.

2. Mirzov J.D. Ability of the solutions of a system of nonlinear differential equations to oscillate // Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR. 1974. Vol. 16. Iss. 4. P. 932-935.

3. Kiguradze I.T., Chanturia T.A. Asymptotic Properties of Solutions of Nonautonomous Ordinary Differential Equations. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1993. 331 pp.

4. Mirzov J.D. Asymptotic properties of solutions of nonlinear nonautonomous ordinary differential equations. Maikop: RIPO «Ady-gheya», 1993. 132 pp.

5. Mirzov J.D. Asymptotic Properties of Solutions of Systems of Nonlinear Nonautono-mous Ordinary Differential Equations. Serie: Folia Facultatis Scientiarum Naturalium Uni-versitatis Masarykianae Brunensis. Mathe-matica. Brno: Masaryk University, 2004. Vol. 14. 177 pp.

6. . . -

O1 // -

венного университета. Сер. Естественноматематические и технические науки. 2007. Вып. 1 (98). C. 11-12. URL:

http://vestnik.adygnet.ru

5. Mirzov J.D. Asymptotic Properties of Solutions of Systems of Nonlinear Nonautono-mous Ordinary Differential Equations. Serie: Folia Facultatis Scientiarum Naturalium Uni-versitatis Masarykianae Brunensis. Mathe-matica. Brno: Masaryk University, 2004. Vol. 14. 177 pp.

6. Mirzov J.D. On equations with O1 property // The Bulletin of the Adyghe State University. Series Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2007. Iss. 1 (98). P. 11-12. URL: http://vestnik.adygnet.ru