CC BY
34
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 198-200
УДК 539.3.6
КИНЕМАТИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНТИНУАЛЬНО-ДИСКРЕТНОЙ МНОГОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ
© 2011 г. Х.П. Культербаев
Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х.М. Бербекова, Нальчик
Поступила в редакцию 16.06.2011
Рассматриваются кинематически возбуждаемые поперечные колебания многопролётной балки с присоединёнными сосредоточенными массами при учёте инерционных сил вращения. Получена математическая модель колебаний, основу которой составляют три системы дифференциальных уравнений. Первая система описывает колебания континуальных участков балки, вторая и третья - линейные и угловые перемещения дискретных сосредоточенных масс. Найдена вектор-функция перемещений при гармонических возмущениях опор. Изучено влияние сдвига фаз гармонических возмущений одинаковой частоты на коле -бания.
Ключевые слова: кинематически возбуждаемые колебания, дискретно-континуальная система, гармонические возмущения, сдвиг фаз.
1. Введение
Рассматривается установившийся режим поперечных колебаний балки (рис. 1) в виде кон -тинуально-дискретной системы, состоящей из участков, каждый длиной I/ (/ = 1, 2,..., п), площадью поперечного сечения Б/ , осевым моментом инерции поперечного сечения 3/ , из материала с модулем упругости Е и плотностью р, при коэффициенте линейно-вязкого трения п. На балке расположены сосредоточенные массы М/ (/ = 1, 2,..., N N = п +1) с осевыми моментами инерции I/ относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Балка поддерживается упругими опорами с коэффициентами жесткости С/ и демпферами с соответствующими коэффициентами линейновязкого сопротивления |1. В продольном направлении балка растягивается силой Р. Источниками ко -лебаний балки являются перемещения опор 2/(0-
Положения континуальных участков определяются с помощью вектор-функций векторного и скалярного аргументов и(х, і), соответствующих смещениям балки в поперечном направлении. Используется локальная система пространственных координат X/ [0, /], і = 1, 2, ..., п.
Движения сосредоточенных масс являются плоскопараллельными с полюсом в центре масс. Положения сосредоточенных масс определяются линейными координатами у(^), отсчитываемыми по вертикали от положения статического равновесия. Математическая модель поперечных колебаний будет в виде трех систем дифференциальных уравнений. Первая из них описывает континуальные участки
В о и"" - Ри" - И о и" + т о и + пт о и = 0,
х е (0, I), t > -да . (1)
Здесь и далее значок ° означает операцию поэлементного перемножения векторов, так что с = = а о Ь ^ ск = акЬк; т - вектор погонных масс пролетов балки, т- = pSj; В - вектор жесткостей балки на изгиб, В- = Ё^; И - вектор осевых моментов инерции распределенной массы на единичной длине, Я- = рЗ-, 0 - нуль-вектор. В левой части уравнения в порядке следования слагаемых учтены силы упругости, осевая продольная сила, силы инерции вращающейся массы, силы инерции от линейных перемещений, силы линейно-вязкого трения.
Вторая система является совокупностью обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих вертикальным движениям множества дискретных масс:
М о у + ^М о (у - Ъ) + с о (у - ъ) + Ь (и) = 0,
t > -да. (2)
Первое слагаемое в левой части соответствует инерционной силе, второе учитывает дисси-
Рис. 1
пативные силы, третье - упругие силы в гибких опорах, четвертое - поперечные силы в сечениях балки слева и справа от сосредоточенных масс.
Третья система уравнений состоит из обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих вращательные движения сосредоточенных масс:
I о ф + а[ о ф + d(u) = 0. (3)
Здесь о - коэффициент вязкого трения при вращении масс. Первое слагаемое учитывает момент сил инерции вращающейся массы, второе - момент сил сопротивления, третье - изгибающие моменты в сечениях балки слева и справа от сосредоточенной массы.
Задача о собственных значениях и функциях (ъ(0 = 0), порождаемая системой (1)-(3), подробно рассмотрена в [1].
2. Кинематически возбуждаемые колебания при гармонических возмущениях
Возмущения ъ(^ являются гармоническими с разными частотами Юк, амплитудами ак и начальными фазами ак:
-к (0 = аке>(к 1 = Лке , Лк = а—,
Xк = /Юк, к = 1,2,...,У. (4)
Здесь Лк - комплекснозначные амплитуды, образующие вектор А.
Уравнения (1) -(3) с учетом (4) имеют общее решение
и(х, t) = Н(х, X )z(t), X = (X1, X 2,..., X N )Т,
х е (0, I), t > -гс>, (5)
где Н(х, X) - матрица передаточных функций, элементы которой суть реакции пролетов балки на единичные гармонические возмущения опор. Например, И]к(х1 , Xк) является комплексной амплитудой колебаний --го пролета балки при автономном гармоническом единичном возмущении к-й опоры £к ^) = ех к и имеет вид
]Хг , Хк) = а-Х + В]кС°8 а-Х +
+ С^Ь Ь-х + Э-к СИ Ь-х (6)
Здесь Л]к, В]Ъ, С]к, Э-к - постоянные интегри-
рования, которые являются элементами прямоугольной матрицы Е размерности 4«хМ Граничные условия и условия сопряжения участков балки дают матричное уравнение для их определения
СЕ = Г.
Матрицы С и Г формируются процедурами преобразований при подстановке (4)-(6) в систему
(1)-(3).
Представление (5) позволяет рассмотреть три типа вынужденных колебаний: непериодические негармонические; периодические негармонические; гармонические. При гармонических колебаниях (ю1 = Ю2 = ... = Юу) изучено влияние сдвига фаз возмущений на амплитуду колебаний.
Функции амплитуд аи(х) для конкретной трехпролетной стальной балки из двутавров двух типов представлены кривыми на рис. 2. В первом случае все возмущения синфазные, ¥ = (0, 0, 0, 0), форма колебаний - почти прямая линия. Во втором случае возмущения с четными и нечетными номерами имеют сдвиг фаз п/2, ¥ = (п/2, 0, п/2, 0). Поэтому в упругой линии появляются существенные кривизны, приводящие к повышению внутренних сил в сечениях балки. В третьем случае нечетные и четные возмущения находятся в противофазе, ¥ = (п, 0, п, 0). Амплитуды колебаний меньше, чем в предыдущих случаях. Но при этом повышается кривизна изогнутой оси балки, что увеличивает изгибающие моменты в сечениях и, как следствие, опасность таких колебаний.
Общий вывод состоит в том, что сдвиг фаз возмущений существенно влияет на амплитуды и формы изогнутой оси, а следовательно, и на прочность балки.
Рис. 2
Список литературы
1. Культербаев Х.П., Чеченов Т.Ю. Свободные ко -лебания континуально-дискретной многопролетной балки при учете инерционных сил вращения // Наука, техника и технология XXI века (НТТ - 2009): Матер. IV Междунар. научно-технич. конф. Нальчик, КБГУ 2009. С. 313 -317.
KINEMATICALLY EXCITED OSCILLATIONS OF CONTINUOUS-DISCRETE MULTISPAN BEAMS
Kh.P. Kulterbaev
Cinematically excited transverse oscillations of multi-span beams with attached concentrated masses are analyzed, taking into account the inertia of rotation. The mathematical model of oscillations is presented, which is based on three systems of differential equations. The first system describes the vibration of the continual parts of the beam, and the second and the third ones describe linear and angular displacements of the discrete concentrated masses. The vector-function of the displacements during the harmonic disturbances of the supports is determined. The effect of a phase shift of harmonic perturbation of the same oscillations frequency is studied.
Keywords: kinematics excited oscillations, discrete-continual system, harmonic disturbances, the phase shift.
