Колебаний балки под действием движущейся и осциллируещей нагрузки на слоях разной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВИЖУЩЕЙСЯ И ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ НАГРУЗКИ НА СЛОЯХ РАЗНОЙ ТОЛЩИНЫ

© 2013 г. А.И. Бушинский

Бушинский Артем Игоревич - аспирант, факультет механики, Bushinsky Artem Igorevich - Post-Graduate Student, Faculty математики и компьютерных наук, Южный федеральный of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Ruse-mail: [email protected]. sia, 344090, e-mail: [email protected].

Проведен анализ колебаний балки под действием поперечной движущейся нагрузки в докритическом режиме скоростей (скорость волн в балке меньше, чем скорость волн сдвига в слое). Определяются критические скорости нагрузок. Исследуется равномерное движение гармонически изменяющейся и постоянной поперечной нагрузки вдоль балки на упругом слое. Показано, что резонанс происходит, если скорость нагрузки равна групповой скорости волн в балке. Необходимым условием возникновения резонанса является возможность распространения волн в балке.

Ключевые слова: упругий слой, движущаяся поперечная нагрузка, критическая скорость, балка Эйлера-Бернулли, эквивалентная жесткость, дисперсионное уравнение.

In this paper the vibrations of a beam due to a moving lateral load in the subcritical velocities case (wave velocity in the beam is less than shear wave velocity in the layer) are analyzed. The critical velocities of loads are determined. The uniform motion of harmonically varying and constant load along an elastic beam is investigated. It is shown that resonance take place if the load velocity is equal to the group velocity of waves in the beam, therefore the necessary condition for the resonance is the possibility of wave propagation in the beam.

Keywords: elastic layer, moving lateral load, critical speed, Euler-Bernoulli beam, equivalent stiffness, dispersion equation.

Поведение сжатого вдоль оси железнодорожного рельса под действием постоянной нагрузки впервые изучено в работе [1], в которой использовалась модель балки на винклеровском основании, и дополнено в статье [2], где рассматривалась модель балки на упругом полупространстве. В [1, 2] введены понятия непрерывно сваренного рельса, в котором сжимающие осевые силы обусловлены повышением температуры. Теоретически показано, что сжимающие напряжения могут уменьшить критическую скорость рельса до пределов рабочих скоростей современных высокоскоростных поездов. Оба исследования связаны с вертикальными вибрациями рельса под действием вертикальной постоянной нагрузки. В [3] рассматривается задача по нахождению установившихся поперечных колебаний сжимаемой вдоль оси балки, лежащей на упругом полупространстве, под действием движущейся поперечной нагрузки и осцилляций. С этой работой будут сравниваться полученные результаты.

Цель данной работы - анализ колебаний рельса под действием поперечной движущейся нагрузки в

докритическом режиме скоростей (скорость волн в балке меньше, чем скорость волн сдвига в слое). Существуют два типа движущихся поперечных нагрузок. Нагрузка, создаваемая поперечным клингелов-ским движением, возникающим из-за конусообразного профиля колес поезда. Оно периодично; нагрузка, создаваемая этим движением, изменяется также периодично. Второй тип нагрузки возникает, если два параллельных рельса находятся близко друг к другу и поезд движется по одному из них. Тогда поле деформаций, порожденное движущимся поездом, будет выступать в качестве постоянной поперечной нагрузки для другого рельса. Обе нагрузки относительно малы, но при определенных скоростях динамическое усиление колебаний рельса может стать большим [3].

Чтобы определить критические скорости, исследовалось равномерное движение гармонически изменяющейся поперечной нагрузки вдоль балки на упругом слое (когда частота нагрузки равна нулю, имеет место особый случай постоянной нагрузки). В рамках модели может быть показано, что поперечные вибрации балки не связаны с вертикальными и продоль-

ными вибрациями, и поэтому поперечные вибрации могут рассматриваться независимо.

При рассмотрении модели использовалось понятие равносильной жесткости [4]. В виде функции от фазовой скорости волн в балке была получена и исследована поперечная жесткость слоя. С помощью выражений для равносильной жесткости начальная трехмерная задача сведена к одномерной задаче колебаний балки на двумерном упругом основании с жесткостью, зависящей от частоты и длины волны. В этом случае установившееся перемещение балки под действием движущейся нагрузки находится в виде обычного интеграла, зависящего от волнового числа в балке. Скорости нагрузки, при которых интеграл расходится, являются критическими (резонансными). Показано, что резонанс происходит, если скорость нагрузки равна групповой скорости волн в балке, поэтому необходимым условием для возникновения резонанса является возможность распространения волн в балке. Критические скорости, связанные с клингеловским движением (гармонически меняющаяся нагрузка), получаются меньшими, чем критические скорости постоянной нагрузки.

Постановка задачи на слое

Рассматривается гармонически меняющаяся нагрузка Ре-1°*, движущаяся вдоль балки Эйлера-Бернулли шириной 2a на слое толщиной И (рис. 1).

P*=exp(-1 Qt)

x= a2t

2a

z

i

y1v

x1u

V

z1w

Рис. 1. Изучаемая модель и система координат

Допускается, что напряжения на границе контакта равномерно распределены по ширине балки, сдвиговые перемещения поверхности слоя равны поперечным перемещениям балки.

Модель взаимодействия балки и рельса описывается уравнениями движения слоя и балки [3], а также граничными условиями и условием совместности:

Р-

а 2u а/2

|V2U + (X + |)V(V- U),

2ат 23 (х, y,0, /) =

а 2v0 а/2

+ 2EI

а 4v 0 ах4

+ N

а 2v 0 ах2

- Pe -Q/ S( х -а/)

х H (а -| y|),

т1з(х, У,0,/) = ^зз(х, y,0,/) = 0, U (х, y, h,/) = 0,

(1)

(2)

(3)

М2( х,0,0, /) = V 0(х,/), (4)

где X и ^ - параметры Ламе для слоя; р - массовая плотность; т - масса балки на единицу длины (погон-

ная масса); И - толщина слоя; Е - модуль Юнга; 21 -поперечный момент инерции; N - сжимающая осевая сила; а - скорость нагрузки; О - частота нагрузки; Н(г) - функция Хевисайда; 5^) - дельта-функция Дирака; V0 - поперечное перемещение балки.

Решение уравнения (1) может быть представлено в виде

Л = УФ + Ух"ф, (5)

где Ф& у, z, ^ - скалярный потенциал; у(х,у,/Д) -векторный потенциал. Из уравнения (1) с помощью (6) получим

л^ 1 д2Ф л_ 1 а2ш

аф = —р— , Ау = —Р"

С1 д2 ■ ' (6)

У-у = 0, (7)

где Сь (Х + 2|о)/р и СТ = д/ц/р - скорости волн

сжатия и сдвига соответственно. Уравнение (7) называется калибровочным [5].

Вывод интеграла поперечного перемещения балки

Введем подвижную систему координат *1 = х - а/.

Чтобы получить выражение для установившихся поперечных колебаний балки, используем прямое преобразование Фурье по горизонтальным пространственным координатам в подвижной системе координат:

{/ (кЪ 8 (кЪ *2, г)} = т

= Ц {Ф( хь у, г), у(хи у, z)}e(^<-klXl —(8)

да

ку (кх) = ¡V 0( х^-*1*1 ахх.

—да

Применим преобразования Фурье (8) к уравнениям (3), (6), (7). Получим систему дифференциальных уравнений и граничных условий

1 / ^ 83 — %1 + ^

2iki f + ^ik2g3 -а|т) + iki(ikig2 -ik2gl)} = 0,(9)

f а f ag ^ 2ik2 f-"d iklg3-^4 + ik2 (iklg 2 - ik2 gl )

= (hyDy- pP)?ln(ak2)

2=0 (10)

X(Q + aki)

У У

2 ( *2 -f + 2|

|ak2

^ + i^(klg2 - k2 gl Ж

аг2 аг JJ

= 0,

2=0

ik1f + ik2 g3 -ik2f - ikig3 +

аг

Ogi}

аг J.

(11)

f + iklg2 - ik2gl

2=h

-f3 + ikigi + k g2 = 0, аг

аг2

(Q + aki)2 ,2,2 1 - ki - k-

C2

f = 0,

h

0

г = h

0

h

m

х

0

+

2-

5 2 g

dz где

2

(Q + gkj)2 ,2,2 -—1--k - k2

CT

л

g - 0, 2

(13)

Dy (kL, Q + akL) = -ш(р + akL )2 + 2EILkL4 - Mj2. Решение этой системы будем искать в виде

f - Aich (zRl ) + A2sh(zRL ),

gj - Bych(zRt ) + B2jsh(zRT ), j - 1,2,3,

где Rl и RT определяются из (13)

(14)

RL,T -.

k2 - (Q + gk1)2

T 2 :

cl,t

-А aJ а,

B13 - Ав13/ А, Bi3 - АB13/А. А- ch (hRT )RT :

|k 2 4RT Rl2 (k

4r2 R2 (k4 - 2R 2 k2 + R 4)+r 4 (- 2k4 + R4 )+k 8

0+r4 (-

xsh(hRr )sh(hRL)+RrR

lL

-5k8 + 8RTk6 -R4(2k4 + R^)]x

x ch (hRT )ch (hRL) + 4RTRLk >2

k 6 - RT2 k 4 - RT4 k 2 + R^ ]

Aa - -2ik2R}ch (hRT ) x x k2 k4 + Rt2 (r2 - 2k2 )]ch(hRT )ch (hRL) -

+rtrl

-k4 + R2(2k2 -r})

sh(hRT )ch (hRL) [

(16)

аb21 - rt x

где k2 = kj2 + k2.

Подставляя общий вид решения (14) в уравнения (9)-(12), получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов {Ab A2, B1b B2i, Bi2,

B22, B13, B23}:

Sj3 Rt + ik^i + ik2 B22 = 0, B23 RT + ik1B11 + ik2 B12 = 0,

2ikjRLA2 + ik2RTB23 + (-RT - kj2)Bi2 + k2kjBji = 0, 2ik2 RlA2 +(- ikjRf )B23 + (RT + k22) Bji + + (- k2ki )Bi2 = Hy,

(k2 + r2) Ai + (-2ik2 RT )B2i + 2ikiRTB22 = 0, ikLch (hRL) Ai + ikish(hRL) A2 +

+ (-RTsh(hRT)) Bi2 + ik2ch (hRT )Bi3 +

+ (-RTch (hRT)) B22 + ik2 sh(hRT )B23 = 0, ik2ch (hRL) Ai + ik2 sh(hRL) A2 +

+ RTsh(hRT)Bii + RTch(hRT)B2i - (15)

- ikich(hRT )Bi3 - ikLsh(hRT )B23 = 0, RLsh(hRL )Ai + RLch (hRL A -

- ik2ch(hRT)Bii - ik2sh(hRT )B2i +

+ ikich (hRT )Bi2 + ikish(hRT )B22 = 0,

где Hy = L (h^Dy-P)^.

ц ^ ^ ak2

Решение системы (15) получено методом Крамера с помощью программного пакета Maple. Имеем A = А

x |(k8 + 2k} (k} - k})((k} - k} )2 + 2k}k2) + R2k6 + + 4k}RTR}(k2 -r}) + RT4k2(-k} + k} -

-R2))ch(hRT)2 -k}k6 +

+ 4k} R2 R}(-k 2 + r}) - k} R^ k 4 + k} R4(k 2 + R2) x sh(hRL) + RtRl x

x [(k 2 (-5k]1 + k 1) + R2 k 2 (3k} - k}) + R4 (kj2 - k}) +

+ RT)ch(hRT)sh(hRL) + 4k}(k4 -r})

sh(hRT)

А b - ik]sh(hRT) x

x k2 [- k6 + 4RTRL2 (-k2 + RT)-R;}k4 + R4k2 + rT

x sh(hRL )sh(hRT) + RtRl x

5k6 - 3R2k4 -R4k2 -r6 ]ch(hRT )ch(hRL) + + 4RtRl (- k 6 + R;4k 2

Применим преобразование Фурье (10) к (4). Полу-

чим

1 ^

hy - — Jv(k],k2,0)dk}.

(17)

Чтобы получить уравнение для поперечных колебаний балки на слое, применяем условие совместности (17). Используя решение (16), получим

, *2,0) =- ) + ) ^

Ап

А о - ch (hRT )Rt x

k Csh(hRT)sh(hRL) + RTRLDch(hRT)ch(hRL) + + 4RTRLk1F ,

A - [k1 r8 -(3k}k1 -4k2RL)R6 --k1 (8k]2R_i + (2k2 - 3k2)k2)Rt4 -

-k4(k}k1 -4k2RL)R2 + k2k8]ch(hRT)2 +[-4R2Rl:

x (k4 -2R}k4 + r4)-k8 -R4(R4 -2k4)]k2, B - [-k1 (2k]2 + 3k})R4 + k6(8k} + k|)RT} -

(18)

- (Я2 - 3^22)-5kl2k6 х

х ей )ек (ИКЬ) + 4k12 - k - k 4я2 + R6 + k 6

С = ^4 - k2 + Я^ ) + Я^ (-2k4 + Я^ ) + k8,

Д = ^ 8 + 8Я^ 6 - Я^ (2k4 + Я^ ),

F = k6 - Я^4 - Я&2 + Я|.

Подставляя (18) в условие совместности (17) и используя выражение для получаем уравнение, опи-

+

x

x

x

2

сывающее установившиеся изгибные колебания в балке на упругом слое под действием движущейся нагрузки, преобразованное по Фурье:

(hyDy — р]

h =-l2Lx

y

122 (kl, ^ + =

= J

Ash(hRL) + BRTRLsh(hRT) sin(ak2)

dk>

2-

(19)

A0 ak2 Введем поперечную эквивалентную жесткость

слоя [3]

X L (kl, ^ + aki) = -

2лц

(20)

122 (ki, ^ +

и подставим выражение для Dy. Тогда (19) примет вид

(21)

К =-

Р

— т(о + ак1 )2 + 2Е1ьк4 — Ж2 + % ^ ,0 + ак1) Применяя обратное преобразование Фурье по к1 к (21), получаем выражение для установившегося поперечного перемещения балки

V °(*1) = Р х

2л

да

х ¡

Jkixi

(22)

-dki.

> — ш(0 + ак1 )2 + 2Е/£к14 — Лк2 + % (к1,О + ак1) Уравнение (22) по виду совпадает с уравнением для поперечного перемещения из [3], но у нас Хъ определена для слоя, а не для полупространства, как в [3].

Эквивалентная поперечная жесткость слоя

Для анализа поперечного перемещения балки (22), полученного ранее, необходимо изучить поперечную эквивалентную жесткость (20) слоя, пропорциональную 122(кь ю). Делая замену и переходя к новой переменной интегрирования ^ = к2 /Ц, получаем

¡22 = 2х

А*к(МЯщ) + БКЧЯщъЦЫК^) зт(А%)

ТО

х J

А,

oe

M = к1й, K = kia,

где K, M - безразмерные волновые числа волн в балке.

Для построения интеграла I22 и, соответственно, XL(Vph) выясним характер поведения подынтегральной функции IF для различных значений фазовой скорости волн в балке Vph. Для этого при K=0,5 и М=1 построены с помощью программного пакета Maple графики при Vph /CT = 0,1, Vph /CT = 0,5,

Vph/Ст = 0,9 (так как рассматривается докритиче-

ский режим) (рис. 2).

Таким образом, из вида IF можно сделать вывод, что это - осциллирующая и быстро убывающая функция без особенностей на всем промежутке интегрирования при Vph < Ст .

Для нахождения численных значений xL(Vph) написана программа в программном пакете Maple и построен график (рис. 3), отражающий зависимость поперечной эквивалентной жесткости от отношения фазовой скорости волн в балке к скорости волн сдвига в слое при K=0,5 и M=1.

Рис. 2. 1Р при К=0,5, М=1

Из рис. 3 видно, что при фазовых скоростях волн меньших, чем скорости волн сдвига, в слое волны не возникают, и поведение слоя статично.

dE, = 2 J /Fd^, KE 0

Рис. 3. Эквивалентная поперечная жесткость слоя при К=0,5, М=1

Критические скорости поперечной нагрузки

Вернемся к уравнению (22), описывающему установившееся поперечное перемещение балки на слое. Нашей целью является определение критических скоростей нагрузки, при которых амплитуда установившихся колебаний балки У0^) стремится к бесконечности.

Если знаменатель подынтегрального выражения (22) имеет простой вещественный нуль, то интеграл ограничен. В случае кратного вещественного нуля интеграл становится неограниченным. Скорости, при которых знаменатель подынтегрального значения будет иметь кратный вещественный нуль, будут критическими. Поэтому, чтобы определить критические

то

—да

(23)

скорости, надо найти скорости нагрузки а, при которых уравнение

(к1, а) = -т(О + ак1 )2 + 2Е1ьк4 - Ык^ + + Х ь (к1, О + а^) = 0 имеет кратный вещественный ноль. Уравнение (23) эквивалентно системе уравнений

Д(к1, ю) = -та 2 + 2Е1ьк14 - Ж2 +хь (к1, ю) = 0.

дк

= а, (25)

ю=О+ак1

где ю(к^ - решение дисперсионного уравнения D(k1, ю)=0. Уравнение (25) определяет критические (резонансные) скорости нагрузки. Физически предполагается, что динамическое усиление происходит, если

групповая скорость

дю dkl

волны, порожденная нагруз-

кой, равна скорости нагрузки а.

На рис. 4 кривая дисперсии ю(^) изображена для разных значений N . Параметры балки и слоя: коэффициент Пуассона для слоя v=0,3; коэффициент Ламе для слоя ц=3,27 107 Н/м2; плотность слоя р=1,96-103 кг/м3; погонная масса на единицу длины m=108,5 кг/м; ширина балки 2a=1,6 м; толщина слоя h=1,6 м; модуль Юнга для балки E=2,06•1011 Н/м2; поперечный момент инерции балки 2 1^7,18-Ш-6 м4. Параметры балки представляют реальную железнодорожную колею (рельсы и деревянные шпалы).

Исходя из рис. 4, можно сделать вывод, что для выбранных параметров поперечные волны могут распространяться в балке, только если сжимающая сила больше некоторого значения N , которое приблизительно равно 0,87 Н;Г (в отличие от [3], где N получилось равным примерно 0,6 ^г). При увеличении толщины слоя сжимающая сила, необходимая для распространения волн в балке, уменьшается. И наоборот, при уменьшении толщины слоя значение N увеличивается. Критическая сжимающая сила связана со статическим продольным прогибом балки. Кривая дисперсии, нарисованная при N = - касательная к оси ю=0.

Определим критические скорости постоянной и гармонически меняющейся поперечной нагрузки, равномерно движущейся вдоль балки для различных значений фазовой скорости Урь Как упоминалось ранее, динамическое усиление происходит, когда «ки-

нематический инвариант» будет касательной к дисперсионной кривой. Для постоянной нагрузки «кинематический инвариант» имеет вид ю=акь для гармонически изменяющейся - ю= □+ ак1.

(24)

ю = О + ак1

Первое уравнение в системе (24) называется дисперсионным для поперечных волн в балке на слое. Второе отражает отношение между частотами ^ нагрузки и ю волны, порождаемой этой нагрузкой. Эти частоты, согласно эффекту Доплера, не равны. Каждая вещественная пара корней (ю , к1 ) системы (24), * *

состоящая из частоты ю и волнового числа к1 волны, порождаемой нагрузкой, в то же время является точкой пересечения дисперсионной кривой D(k1, ю)=0 и прямой ю= □+ак1 («кинематический инвариант» [6]) на плоскости (ю, к). Ясно, что система будет иметь кратный корень лишь тогда, когда «кинематический инвариант» касается дисперсионной кривой. Условие касания может быть записано в виде

5ю

Рис. 4. Дисперсионные кривые поперечных волн балке на слое при различных сжимающих силах и различной толщине слоя

В данной работе рассматривается специальный тип гармонически изменяющейся нагрузки, связанной с поперечным движением Клингеля. В этом случае частота нагрузки пропорциональна скорости поезда и «кинематический инвариант» может быть записан в

виде ю=^+к^а, где q = 2у/га ; у - скат профиля колеса; г - радиус колес; 8 - расстояние между рельсами. На рис. 5 изображено геометрическое решение системы (25) в случае резонанса. Параметры балки и слоя такие же, как и на рис. 4 (у=0,05; г=0,45 м; 8=1,435 м (д=0,39)).

3 -|

2 - /// I I ' / ¡1^

ш а

1 - \ \ .- • ' \

.• \ L——-

ак.

■h=l.i

- 4=0 - -

— h= 1

q=0 39

-h= 1.4

Рис. 5. Дисперсионные кривые при различной толщине слоя и «кинематический инвариант» в случае критической скорости при постоянной и гармонически меняющейся нагрузке

Таким образом, при одинаковых параметрах среды критические скорости в модели со слоем больше, чем в модели с полупространством; критическая скорость поперечной нагрузки (как постоянной, так и гармони-

чески меняющейся) уменьшается, когда сжимающая сила увеличивается. Более того, так как поперечные волны могут распространяться в балке, только когда осевая сжимающая сила больше, чем сжимающая сила N , резонанс в системе имеет место, только если N > Мсг. С увеличением толщины слоя критические скорости уменьшаются.

Литература

1. Kerr A.D. The continuously supported rail subjected to an

axial force and moving load // International J. of Mechanical Sciences. 1972. № 14. P. 71.

2. Labra J.J. An axially stressed railroad track on an elastic

continuum subjected to a moving load // Acta Mechanica. 1975. № 22. P. 113.

3. Metrikine A.V., Dieterman H.A. Lateral vibrations of an

axially compressed beam on an elastic half-space due to a moving lateral load // European J. of Mechanics. A/Solids. 1999. № 18. P. 147.

4. Dieterman H.A., Metrikine A. V. The equivalent stiffness of a

half-space interacting with a beam. Critical velocities of a

Поступила в редакцию

moving load along the beam // European J. of Mechanics. A/Solids. 1996. № 15. P. 67.

5. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. Amster-

dam, 1973. 436 с.

6. Весницкий А.И. Волновые эффекты в упругих системах

// Волновая динамика машин. М., 1991. С. 15.

7. Metrikine A.V., Dieterman H.A. Steady-state displacements

of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load // European J. of Mechanics. A/Solids. 1997. № 16. P. 295.

8. Metrikine A.V., Dieterman H.A. Three-Dimensional Vibra-

tions of a Beam on an Elastic Half-Space: Resonance Interaction of Vertical-Longitudinal and Lateral Beam Waves // J. of Applied Mechanics. 1997. № 64. P. 951.

9. Kononov A. V., WolfertA.M. Load motion along a beam on a

visco-elastic half-space // European J. of Mechanics. A/Solids. 2000. № 19. P. 361.

10. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical handbook for Scientist

and engineers. N.Y., 1961. 1130 p.

11. Metrikine A. V., Popp K. Steady-state vibrations of an elastic

beam on a visco-elastic layer under moving load // Archive of Applied Mechanics. 2000. № 70. P. 399.

12. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания

и волны в упругих телах. М., 1981. 283 с.

3 декабря 2012 г.