К устойчивости объекта, движущегося вдоль периодически неоднородной упругой направляющей Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 531.36:534.1

К УСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕКТА, ДВИЖУЩЕГОСЯ ВДОЛЬ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ

© 2008 г. С.Н. Веричев

Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

8. [email protected]. ги

Поступила в редакцию 30.04.2008

Исследуется влияние силы тяжести на устойчивость объекта, движущегося вдоль периодически неоднородной упругой направляющей. Показывается, что учет данной силы не влияет на устойчивость системы, однако приводит к появлению линейного резонанса.

Ключевые слова: устойчивость объекта, упругая направляющая, линейный резонанс.

При равномерном движении объекта по периодически неоднородной направляющей, ее жесткость в точке контакта изменяется периодически во времени [1]. Следовательно, колебания движущегося по направляющей объекта эквивалентны его колебаниям на пружине с периодически изменяющейся во времени жесткостью. Такая ситуация, очевидно, может привести к параметрической неустойчивости колебаний объекта. Для анализа условий возникновения данной неустойчивости рассматривается равномерное движение массы по безграничной балке на упругом основании, жесткость которого описывается выражением к (х) = ку (1 +

+ ц С08(хх)), Х = 2^ /1, где ку — средняя жесткость основания, I — пространственный период неоднородности, % — волновое число

неоднородности, ц << 1 — безразмерный малый параметр (см. рис. 1). С учетом силы тяжести массы Р = mg, уравнения движения для рассматриваемой системы имеют вид д 2и д4и ди ( Л

Рр + к (х)и = °

дХ дх дХ

[и I=

д и " д2 и '

VI _ д х _ х=Уг 1 д 1 х=Уг

= 0

(1)

и = ип,

\х=Уі 0'

ЕІ

д 3и ~дхГ

= - т

mg,

ііш и = 0.

їх-VI

Здесь и0(ґ), и и(х,І) - вертикальное отклонение массы и поперечное смещение балки соответственно; Е - модуль Юнга; р и I - погонная плотность материала балки и момент инерции сечения балки на поворот; Е - площадь поперечного сечения балки; ^ - малая вязкость

основания; 8 (...) - дельта функция. и (х, І ), и0 (І )

x=Vt

Рис. 1. Равномерное движение массы вдоль балки, лежащей на периодически неоднородном основании

Рассмотрим систему без диссипации V ^ = 0 .

Для анализа системы (1) используем метод последовательных приближений, тогда искомое решение может быть представлено в виде

и (х, І) = и ' (х, І) + ци ' (х, І) +... и0 (І )=и00) (І)+^и01) (І)+...

х = УІ

В нулевом приближении (ц = 0) задача сводится к движению массы вдоль балки, лежащей на однородном основании [2]:

Я 2u(0) я 4u(0)

pF--------— + EF

dt2

dx4

+ kfu(0) = 0, [u(0) ]

(0) "| =

x=Vt

,(0)

= u

du(0) d2u(0)

dx dx2

x=Vt L

0 I 1 (0) со 1

0 1 d u x=Vt

= 0

2„ (0)

d 2u

dt2

-mg,

lim u(0) = 0.

|x-Vt| ^да

(3)

dt2

[u W ] x

dx4

du(1) 1 ^2s i

Vt dx x=Vt dx2

,0)

= u01),

EI

3,0)

d3u

dx3

,(i)

= -m

cos (^x ), = 0

d 2u01)

dt

lim u ’ = 0 .

\x-Vt| ^да

линейного резонанса. Случай (5) детально исследован в работе [4]. Рассмотрим случай (6) введя малую расстройку ц5 << О:

О + /л5

х = -

V

(7)

Чтобы получить уравнения первого приближения для и (1)(х, /) и и((1) (^), необходимо подставить (2) в (1) и собрать все члены, пропорциональные ц:

л 2и 0) л4и0)

рР + Е1 + к и(1) = —к и(0)

Будем искать решение исходной системы в виде, который подобен решению нулевого приближения с той лишь разницей, что амплитуды колебаний рассматриваются как медленно меняющиеся функции времени и пространственной координаты, а частоты колебаний допускают некую расстройку:

и0(/) = Л(ц(У( (°+ц5) + В(ц/)еи (°+ц5) +

+ С(ц/) + ци01)(^), (8)

'е,Жп+ц5) С+Л1(цхЦ)вк (и—х) +

+ С^+2 (цх, ц/)в'к2 (и—х) )

+ е,хп+ц5) С+т (цх, ц/)е'к (и—х) + + С+2(цх, ц/)е'к (и—х) )

+ СС+1(цх, ц/ ^ (и—х) +

+ СС2(цх, цОе^' (и—х), х > V/ ; *°+ц5) х) +

u( x, t) = |J.u(1)( x, t) +

(4)

Таким образом, для исследования исходной задачи (1) сначала необходимо получить решение для невозмущенной системы (3). Полученные выражения для и(0)(х,/) и и((0)(/) необходимо подставить в систему (4), в которой эти решения связаны с неоднородностью и являются возмущающими. Используя рассуждения и преобразования, описанные в [3, 4], получим, что условия возникновения резонанса в рассматриваемой системе имеют вид

V ^ = 2О, (5)

V X = О, (6)

где О есть собственная частота массы, движущейся по балке на однородном основании. При выполнении условий (5) и/или (6) решение первого приближения превысит решение нулевого приближения. Как следствие, ряды (2) будут расходящимися. Таким образом, мы должны сделать вывод, что метод последовательных приближений в том виде, который был использован, становится неприменим. Прежде чем приступить к модификации метода, отметим, что условие (5) аналогично условию параметрического резонанса в системе, описываемой уравнением Матье [5-7], в то время как условие (6), вызванное учетом силы тяжести, по-видимому, соответствует случаю классического

(Vt-x)

e ..........

+ C^(^x, цt)e,k4(yt-x) )b

+ e-*^) (;B1(^x,^t)e,kB

+ CB2 (|xx, ^t)e'k (Vt-x) )

+ CC1 (|ox, ц)elk> (Vt-x) +

+ CC2(^x, цt)elkC (Vt-x), x < Vt,

'A ,B,C

где k1 , 2 3 4 есть корни дисперсионного уравнения -pF (Q- kV )2 + Elk4 + kf = 0 [3, 4]. Поиск решения в таком виде даст возможность, путем учета медленной зависимости амплитуд от времени и пространственной координаты, избежать нарастания решения первого приближения (см. [6, 7]). Подставляя (8) в (1) и приравнивая слагаемые порядка ц0, получим систему алгебраических уравнений, представленную в приложении 1. Решение полученной системы выполняется вне зависимости от выбора амплитуд C^ ,

СВ] и С-С]. Приравнивая члены порядка ц1, получим

• для x > Vt:

d2u(1) d4u(1)

—^ + EI--------4

dt dx

pf4^~+EI^+f(1) =

= - kf cos (%x)e't(n+uS) (CA1 (mx, ut) + C+2 (ux, ut)e'k2 (Vt-x) -

•kA (Vt - x)

x=Vt

x=Vt

x=Vt

x=Vt

x=Vt

- kf cos (;x)e

- it (E+uS)

(+f 1(ux,ut )e

ik1B (Vt - x)

+ C(2 (ux, -t)e*2 sVt ic) -- kf cos (;x)(Ct+1 ()x, ut)e‘k'(Vt- +

+ CC2 (ux, ut)e*2 (V- k -

2pF (Vkf +E)

4iEI (kf )3 8Ca1

8(ux )

+ it (E + uS ))

8(ut)

exp (ikA (Vt - x )c

2pF (VkA + E) 4iEI (k2A )3 8Ca2

8(ux )

+ it (E + uS)) -

8 (ut)

exp (ikA (Vt - x )+

2pF (Vkf -E)

4iEI (kf )3 8Cb1

8(ux )

- it (E + uS ))

8C+

8 (/ut) exp (ikf (Vt - x )-

2pF (Vkf -E) 4iEI (kf )3-^Cf2-

- + SC+

8(ut)

exp (ik2 (Vt - x)-

8c:

8(ux )

!-it (E + uS)) -

^ 8C+Г)-^ k )3 f(ux) x exp (ikC (Vt - x)) -

2ip™C8C5)+ш

x exp (ikC (Vt - x) ;

• для x < Vt.

r 82u« rr84u(1) , о

pF—— + EI-----— + kfu (1) =

-kf cos(;x) e~‘t(n+uS) (C-1 (ux,ut) e,kj (Vt-x) + + C(2 (u x, ut)eik4(Vt-x) -- kf cos (;x) (C- ()x, ut)e

eik3C (Vt-x) _

+ CC2

( x, t e

ikC (Vt - x )

і дС і з fC

(^ du-)

exp(ikA (V?-x)+it(E+uS)) -

2pF (/kA +e)

,■ Cl

8(ut)

-SC-,

+4iEI

щ>(і88 (Vt-x-+it(E+ uS) -

84,

Л

+Ш

8C-8(ux)

8C-1 8(ux)

^ -E)i 8(7)+^

x:exp(kf (Vt - x)-it (E+ uS))

W-^ ^^+SC=H (kf ^

: exp(kf (Vt-x)-it(E+ uS)

W 8fC;t)+40 (8c )dC-x)jexp(ik4' (V - *)>

2ipFVk4

8C--

C

• для x = Vt .

[u ],

uw I = 0,

Jx=Vt

(11)

8u(1) = ea(n+us)

8x Vt = x

8CA1 _ + 8CA2

8CA1 8Ca-2

- e

it(Q-uS)

8 ( x ) 8 ( x )

+

J x=Vt

f +dCf_г_ _dCf1_ 8Q2 ^

8 ( x) 8 ( x ) 8 ( x ) 8 ( x)

8( x) 8( x)

(9)

8 ( x ) 8 ( x ) 8 ( x ) 8 ( x )

; (12)

8t2

8x

= - kf cos (;x)e‘t(n+uS) (CA1 (u (, u-)e'k (V- x) ■ + CA2 (u x, u-(e‘k4 (п-x) -

^,(1)

8 u

8x

= 2ieit(E+uS)

kA^4^ + kA 8C+2

1 8(ux) 2 8(ux)

- kA^4^ - kA 8Ca2

8(u x ) 8(u x )

x

+

+

+

+ Tie

-it (E+ uS)

8C-

kf

- kf ^BT

_(u x )

в _+fl + kf 8CB2 - kf 84fl

_(u x) 2 _(u x) 3 _(u x)

kC iSCc^+E _+C 2

+ 2i

- _(jux) 2 _(ux)

-kC-84^ - kC _CcT

8 ( x) 4 8 ( x )

(1)

(Vt, _) = Uо (-),

EI

3,(1)

83u

p

+e

it(Q+uS)

8x3

-E

-TmE

r_8A_ _(u-)

-SA

-(kTA )T _Ca2

_________(kA )T 8Ca1 -

_(ux) 3 _(vx)

+e

-it(Q+uS)

TmE

-(kf )T _CBt

8B cR

і—T—\ + Sf 8( t)

(kTp +

dt

+3EI

■(84 )T

+3EI

8 )T 84:41 + ^1 ' _(ux)

лґ’’- ''Л

84(iE Ix )k (kf )

kJx=Vt 8C+ 8 f

+3EI

(kC )T £+h+(8+ ) _++

8( x)

8 )T _CB2

'' f^x)

(kf )T

8 ( x )

]

' J x=Vt

С \T 8CCl

(kf )T +

8( x)

Л

8 ( x )

TpF (Vkp -Q)і i -8C+T{-SC+T

8(u+)

+

8C

84+

f1 +SC f1

(13)

(H)

Л* ^ 8(u)

+pF (V8f ддс+т,+s+^

p (vA +4 fo

TpF (VkA +E

+4iEI

8C

B1 = о,

+4iEr

8(ux)

SC

C+BT = о.

-sc-,

+ 4iEI

(kA 13

_(ux)

+ = о.

8C~

дСт- -S+-"

_(ux)

_(u-)

TpF (V8f -E^

+4E (kA )3-8C-\=о,

8(ux)

+4iEI

8C-' = о.

TpF (VkB -EV

8(ux)

8C-

=о,

8+Ст _(u-)

8Cc-

_( u- ) sc;,

TipFVkf

TipFVkf

TipFVk'A

^iEI °'

4iEI 8 )3 sd=о

-4iEI (k++ = о,

V 3 ' 8(ujx)

3 8C-

4iEI (k+C )^_+\ = о. (1б)

^XL ' (15)

Нашей целью является недопущение нарастания во времени решения первого приближения. Для этого необходимо потребовать равенства нулю всех вынуждающих сил, которые могут привести к резонансу. На систему балка-масса действуют два типа сил: распределенные, стоящие в правой части уравнений (9) и (10), и сосредоточенные, входящие в граничное условие (15) («момент сил», действующий в точке контакта, см. (13), не может активировать вертикальных колебаний массы). Рассмотрим вначале распределенные силы, входящие в (9) и (10). Очевидно, что силы, описываемые последними четырьмя слагаемыми в правых частях этих уравнений, являются резонансными, так как они пропорциональны собственным волнам

в балке вида exp (±iQt)ехр(&12д4 (Vt - x]^. Следовательно, мы должны потребов ать, ч-обы эти слагаемые равнялись нулю, т.е.:

2pF +4 fo-*4 ш (k Щт0

8( t) 4 8( x)

Исак, мы потребовали зануления распределенных сил, которые привели бы к нарастанию колебаний! балки. Оставшиеся распределенные силы, однако, также могут привести к резонансу в случае, если в точке контакта их частота совпадет с ±(E + uS). Если амплитуды этих сил окажутся отличными от нуля, то система войдет в резонанс за счет совпадения частоты вынуждающей силы, действующей на массу, с собственной частотой колебаний массы на балке. Силы, частота которых в точке контакта отлична от

±(E + uS), являются нерезонансными и могут быть отброшены при дальнейшем анализе (см. [5-7]). Таким образом, считая соотношения (16) выполненными и учитывая только те слагаемые в правых частях (9) и (Ю), частота которых при

x = Vt совпадает с ± (E + uS ), получим

• при x > Vt .

8 Tu (1) 8 4u (1)

pF ^ т +EI ^ 4 + kfu<x> = - kf cos (;x)x

8t2

8x

(Cc, (ux, u-)ek (Vt x)+c+ T (ux, u-)eikT (Vt x));(17)

• при x ^ Vt.

T, _Tu(1) 84u(1) .

pF _ „ + Ы _ , -j kk

,(l)

8t2

8x

= -Sf cos (;x) c

8-ux) о’ xfCl (ux, u- )eikC {Vt-x)+ CCt(u x, u-)eikC(Vt-x)) (,s)

x

Решение этих уравнений будем искать в виде суперпозиции

(19)

u(1) = u(1) — u (o d

free forced

,(1)

где и/огсеа есть вынужденное решение уравнений (9), (10), описывающее влияние периодической неоднородности основания балки на волновое поле, генерируемое движущейся и колеблющейся массой. Это решение имеет вид

• при х > VI:

41^ = ^ |Ои (/X И У'°^ +0:21 (Е0+

+е‘хх 10+12 (/их, /У^+С^ (их, /у°(и-х) ; (20)

• при х < VI:

u(1) _ JX*

forced

=ei; і—-, (ux, u )eikC(Vt-x)+C-Tl (ux, u )

ikC(Vt-x)

+e

EI

Su®

free

_X

+m^S- = eit( ^J-TmE

dt

8A

Г----------

_(u-)

-SA + 3EI

(8A +(kA З2

c+A(

_(ux) _(ux)

_C-2

'J x=Vt

sc.

8C-1

_(ux) _(ux) _(ux)

-(kA)(

_—A-2

_(ux)

+e

---(О— uS)

2?»+4

+e

+3EI

'J x=Vt

-it(Q+uS)

(kB ї 8+X+(kf )T KX -8 I-+

_в

- —x—г—SB

8( t)

TmE

_B с о

i —;—г -—SB

8( t)

8C+.

■(kf)

_—-(

+ iEIei;

'■'J x=Vt

'\Cc—x)

C+ + ^Cll^

_(ux)^j

+ (k— +X)! C+2l -(k— +X)! 4Cll -(k— + X) C+21 ^ ■

'2 X ) C+22

Поскольку оба слагаемых, стоящие в фигурных скобках в правой части уравнения (22) являются резонансными (имеют частоту, близкую к собственной частоте колебаний массы), мы должны потребовать, чтобы эти слагаемые обратились в нуль, т.е. необходимо выполнение

+rne-iXX kk— -х) —Си+(k— -;)

-(k3— X) C-12 - (kC-X);—C22 1 . (TT)

•X=Vt

следующих условий:

( (

-TmE

8A —г-SA

\

8 ( t)

+ 3EI

(kA )T 8—1 '1 ' 8(ux)

8 ( x)

-EI (- (klB - X ) C(+l + - (kf - X ) C2+2 -(kf - X ) C21 - (kf - X ) C22 = 0 '

- -

2mE

_B xn

- ——г — SB

\

8 ( t

+ 3 EI

B \( 8Cf+l

(kf )

8( x

Константы С0, j = 1,2 приведены в приложении 2.

Подставляя (19) и выражения для и (^гсеЛ в граничное условие (15), получим:

(kf )2^+fI-

(kB )( 8CB( (4) 8(uix)

- EI ( (k1A + X) Cl+l + - (kT1 + X ) Cl+2 -: (k3 + x) Cll- - (kA + x) Cl())

= 0. (23)

A "'O

-A x)) -P^

-Pfx^

))

Уравнения (16) и (23) представляют собой достаточные условия ненарастания решения первого приближения.

Будем искхть решение этих уравнений (совместно) в следующем виде:

с+ж (ux, fa)=CAW exp ( м (qf CA2 (мx м)=CA 20 exp ( м (qf

с+В1 (м x, м)=с+В10 exp ( м (qf

C+B2 (мx м) = C+B20 exp ( м (qf

CC1 ( мX, м] = CC10 exp ( м (q1

CC2 ( мx, м] = CC20 eXp ( м (q2

CA1 ( м x м) = CA10 exp (м (qf

CA2 (м ^ м)=CA 20 exp (м (qf

CB1 (м x, № ] = CB10 exp (м (q3

CB2 (м x, м t) CB 20

exp (м (qo t

CC1 (мx, мt )= CC10 exp (м (q3C

CC2 (f^X, C^) = CC20 eXp (м (?4 t

A (м^) = A0exp^st), В(мt)= B0exp(мst),

C (мt) = C0 exp (м st). (24)

~PB2X )),

C

-Pl X)),

■P( x

P3Ax) )

p1x pIx ) P4 X

P3C x) P4Cx)

+

—

Устойчивость системы определяется характеристическими показателями 5 (неустойчивость имеет место, когда 5 имеет положительную действительную часть).

Чтобы получить характеристическое уравнение по отношению к 5 используем выражения (1.3)—(1.6). Подставляя (24) в эти выражения, получаем соотношения, представленные в приложении 3 (см. уравнения (3.1)). Принимая это во внимание и подставляя (24) в (16) и (23), получим следующую систему алгебраических уравнений относительно А0, В0 и С0:

[О5-д)& А0+QзCo = 0

[(й + 5)02 Б0 + = 0

ІЕІ (ССі (кС ) + СС2 (к2 ) — с-1 (кС )

-СС2 (кС )3

+ mg = 0.

ние, что

ражения для вертикального смещения массы (8) дают

іґ (0+/ид)

+ Б0е

-іґ (0+/ид)

+

+ С0 + ии01) (Ґ). (30)

Поскольку вышеописанная процедура гарантирует, что член и01) (ґ) не растет во времени, мы

Е+ /д

можем заключить, что при % = -

V

д Ф 0

(25)

с константами Qj, j = 1,4, представленными в приложении 3. Для нахождения А0, В0 и С0

необходимо еще одно уравнение. Это уравнение следует из уравнения (1.7), где представлены

г ±г?Ю+ ид) ^

члены, не зависящие от 01 е . Собирая

эти члены, получим

(26)

Согласно уравнениям (24), принимая во внима-

чС - рСу = чС - РС^ = чС - РСУ = чС - рУ=5

(это условие необходимо, чтобы удовлетворить граничные условия (1.3)—(1.6)), перепишем уравнение (26) в виде

т ( с+10 (кС )3+С+20 (кС )3 - С-10 (кС '3

масса претерпевает гармонические колебания с постоянным смещением 0 и испытывает малые излучения с амплитудой /ш01) (1) . Очевидно, что данные колебания устойчивы. Случай д = 0, при котором собственная частота Е массы равна частоте изменения жесткости основания в точке контакта /У, должен быть рассмотрен отдельно, поскольку вышеописанная процедура не может быть использована, т.к. амплитуды А0 и В0 становятся бесконечно

большими. Чтобы избавиться от этого, необходимо слегка модифицировать форму решения д3ля резонансного случая. По отношению к решению (8), модификация состоит в рассмотрении отклика системы на постоянную силу Р = mg как независящего от времени

и0 (1) = А (и 1 )еш + В (и 1) е “п +

+ С + ии01) (1),

'е,пСА1(мх, ц1)е*к (У-х) +

+ СА2(цх, ц/)е1к2 (У-х) )

(V-х)

(31)

(27)

Это уравнение справедливо тогда и только тогда, когда 5 = 0 . С учетом выражений для С±0, j = 1,2, которые могут быть получены

путем подстановки (24) в уравнения (1.3)—(1.6) (см. приложение 3) выражение (27) примет вид

С, = mgQ, (28)

с константой & представленной в приложении 3. Решая одновременно (25) и (28), получим

А = ^ В0 = - ^^С1, С0 = mgQ5. (29)

дQ1

Таким образом поскольку 5 = 0 , имеют место следующие равенства А (/ ) = ^ В (/ ) = ^ С( и 1) = С0, которые после подстановки в вы-

и( X, Ґ) = ЦИ (1)( X, Ґ) +

+ е^СБДЦХ, ^)еік

+ СБ2(ЦХ, цґ)еік (п — х) )

+ С+ Єік (VҐ- X) +С+ Єік2 (VҐ- X)

х > V/ ;

е"°Сл(цх, Цґ)еік3 (и-х) +

+ С—2(цх, Цґ)еік4(п-х) )

+

е~'а(В1(ух, цҐ)еікБ

(V/ — х)

Ік4 (V/ — х)

>

+ С_д2(ЦХ, Ц1)в

+ С - е'к3 (V-х) + С - е'к'СС (V-х) х < У.

Как и в предыдущем случае, подставляя (31) в систему уравнений (1), мы делаем следующие шаги:

1. Приравниваем члены порядка ц0. Полученная система уравнений удовлетворяется авто м1ат=иСче0ски.

2. Приравниваем члены порядка ц1.

и

3. Рассматривая уравнения движения для балки, полагаем равными нулю все резонансные члены в правой части. Это приводит к системе уравнений, аналогичной системе (16)

вс+

ЯС з ЯС+

2рЕ (УкА + П + 4/ЕІ (кА ) —^ = о,

41 7 Я(ці) У 14 Я(цх)

Я(

ЯС+ Я( ці) ЯС + Я(

ЯС+

Я з ЯС+

2рЕ (УкА + п) + 4ЕІ (кА ) —^ = 0.

42 7 Я(ці) 4 г) Я(ц

Я(ц х )

)3 ЯСв1 =0 1 ' Я(цх) ’

43=о,

Я(ц х )

>3 ЯС-

А\ = о, х)

3В ) = о,

-АтШ-^- + 3ЕІ

Я( Ці)

-(к3А )2 ЯС-41

к )2 ЯСа2

Я(цх) ^ 4 ^ Я(ц х)

+іЕІ((к\ + х, ССп + (кС +Х^ С+21 -(кзС + х

С >3

+ х) X

'СС11 -(к4 + X СС

/■

2тП

ЯВ Я( ці)

/■

+ 3ЕІ

(кВ )2 ЯСв1

= 0 ,

(кв )2 ЯСВа

(кв )2 ЯСш

(к4В )2 ЯСв2

Я(цх) ^ 4 Я(цх) + ІШ ((к1С - х ) СС+12 + () - х )

-х) СС22 -

- (к3С - Х) СС12 - (к4С - Х ) СС22 )) = 0 (33)

'/х=Уі

с константами са], (, j = 1,2, определенными в

приложении 3.

Теперь необходимо найти решение уравнений (32) и (33). Это решение отличается от выражения (24), которое было использовано в случае 5 Ф 0 линейной зависимостью от времени

** К+«> ™

2^ (гаА+п > 1САо+ 4‘Е!(кА)М

2рр(гаВ -п>всо+4(81 (кВ ^> -

^ (№<в _п> «е^^ вВС2)=0 (32)

4. Ищем решение уравнения движения балки в виде (19), для которого вынужденный член может быть легко получен.

5. Подставляем это решение в уравнение баланса вертикальных сил в точке контакта.

6. В полученном уравнении приравниваем к нулю все члены, стоящие в правой части. Это дает

( ^ \кА )^С\+(кА >^СА\-

^ 4 В(ех) ^ ’ В(ех)

СА2 ( Цх Ц) = СА20 • Ц • ЄХР ( Ц (?4 СВ1 (nx, ЦЯ)= С+10 • ці • ЄХР (/Я С СВ2 (/х Ц) = СВ20 • / • ЄХР (/ (

(?1А А - Р1х)),

(<+А А - /^2х )),

(?1В - РВвх )),

(?2В - РВвх )),

цх А ''О - Ръх )),

•кл А ^ - Р4х ..,

(?3В -р3 х )),

цх - РВх )),

А (е ) = А0 • е!, В (е!)= В0 • е!. (34)

Подставляя выражения (34) в (32) и (33) и разрешая полученную систему, имеем:

рА,В = ^ = 0, ] = 1,4,

А =—, В0 =-

2тП 2тП

(35)

с константами О 7, опре+еленными в приложении 3.

Таким образом, если Ух = П, то колебания массы определяются выражением

и0 (і) = А0цієип + В0ціє~‘,п + С0 + ци01) (і), (36)

описывающим линейный резонанс.

Таким образом, учет силы тяжести не влияет на устойчивость колебаний, однако приводит к резонансу. Это имеет место не только для случая массы, по и для лю бого движущегося объекта в линейной постановке задачи. Внешняя сила, такая как сила тяжести, ветер и т.п. , не влияет на собственные частоты колебаний объекта и поэтому не влияет на его устойчивость.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант№ 08-08-97057-р_поволжье_а).

+

х

х

+

х

+

х

+

Приложение 1

при х > Уі:

е""'' }Е СА. (мx, ціУк] х (-РАС, х

зіі(п+ц))\ ' Ґ1 +

І=1

(ч2 ^ ч4 ^

П + кАУ ) + ЕІ (кА ) + ку +

+е

"ЕСВ/( ц ‘ С’Р і )е‘кк^!~*х Д-рА„ х

І=1

(П+кАу) + ЕІ (кА) +к

+ кг +

+Е Сс+і (цх, ці)е

І=1

при х < Уі:

Е с.-і (ц х е )е'кА+2 (УУ-х) (-рК

І=1

, ч2 ✓ ч4 ^

X (П + кА+ 2У ) + ЕІ (кА+ 2) + к/ +

+е

Е С-і (ц x, ц і )е*Вд2 (Уі - х} (-р4

І=1

>Х (-П + кІ+ 2У ) + ЕІ (к(+ 2 ) + к/ ) +

+Е СЕ(цх, Иі)є“+С

І=1

при х = Уі:

^+Е (Ві О* уі, ці):

Е с:+і (цУі, ці К(пдц )}

І=1 к=1

X е-<п+цй) + ^ССі (цУі, ці) =

І=1

= Е (І (цУі, ці )е + Е СІ (цУі, ці)

І=1

І=1

х е-іі(п+ц)) +

ЕкАСА (цУі, ці)е'і(п+ц)) + ЕкВСВі (цУі, ці) х

І =1 І =1

х е-Ч^ + Е к(СД (цУі, ці) =

І=1

= Е І2(АІ (цУі, ц)е'і(П+ц3) + Е .2 х

І=1 І=1

хСві (цУі,ціУ<а+цв) + Ек(С+ т(Сі (цУі,ці); (1.4)

І=1

Е(кА) САі (цУі, ці >іі(пд)+Ек) Сі (цУі, ці):

І=1 І=1

х;е-'ї(п+^ }+Е (к( )(. (цУі, ці )=

І=1

Л°(Уі-х)(- рАсх (+(у ) +

+ ЕІ (к. )4 + к/ ) 0; (1.1)

=Е(+Ад2 ) С-- (ця ці У^+ЕІ) (

І=1 І=1

х (--(+цУі,ці)іе_'і(сд)))+^(+(С22(ууі->и*), (1.5)

І=1

Е САі (цУі, ці)е"(п+ц)) + Е СВі (цУі, ці) х

І=1 І=1

х е-и{п+цД + Е С) (цУі, ці)=

І=1

= А(ці)еіі(п+ц)) + В (ці)е-і(п+ц)) + С(ці), (1.6)

( 2

ЕІ

.(Уі-х)(-цАс* (к(д2У) +

+ ЕІ (кС+ 2 )4 + кї ) 0; (1.2(

Еі (+а ) С-+і (цуі,ц У (п+ц))+Еі (кВ ) (

І=1 І=1

х СВі (цУі, ці)е-і(п+ц)) + Еі (к( )3 ССі (ц^ ц)-

І=1

-Е і (+а+2 )3 Са. (цУі, ці)еіі(п+ц)) -

І=1

-Еі (+І+2 )3 Сві (цyі, ц Кіі(п+ц)) -

І=1

- Еі (кУ+2 )3 ССі (цyі, ц)= тП2 (А (ці)

І=1

х е

іі(П+ц))

-іі(П+ ц))

Е ((. (цУі, ці) • (13)

І=1

- mg . (1.7)

Очев идно, что уравнения (1.1) и (1.2) выполняются автом атически, поскольку волновые числа

кіхзА (и к(234) есть корни дисперсионного

уравнения. Уравнения (1.3)—(1.7) могут быть подразделены на три системы уравнений, одна из которых содержит члены пропорциональные еіі(п+ц)), другая - члены пропорциональные

е іі(п^ ц)) и последняя — члены пропорциональные е0. Каждая из трех систем удовлетворяется автоматически.

е

Приложение 2

СС+11 (е х е! )=

■ Сс+21 (е^ е!) =

СС12 (е х е )=

СС22 (еХ, е ) =

~к/С+с1 ( е х, е >

-рЕ (к)2 + Е! (кС + ;> + ^ В)’

~к/СС2 ( еХ, Ц!]

-р¥ (кС¥)2 + Е! (к? —;) + ^ ) —куС+1 ( е х, кС) -рЕ(к2°Г)2 + Е! +к2С + ;) +^С ) —к/С+С2 ( е х, е)

ССп (еx, е! > = <СС21 (еx, е! )=

СС12 (еХ, е) = " СС22 (еХ, е ) = "

—рЕ ^У)2 + Е! (кС — ;) + ^ )

—к/ СС1 (е0 х, С!)

—рЕ ^У)2 +Е!((к3С+; )4 + к/ )

—к/ СС2 (е х, е )

—рЕ (к) )2 + Е! Ц — ;) + к/ )

—к/СС1 (е х, е!)

рЕ ^У )2 + Е! ((кС + ;) + к/ )

к/СС2 (е,х, ^)

рЕ ^У )2 + Е! (к— ;)4+ к7)

— /

Приложение 3

• Соотношения, полученные подстановкой (24) в выражения (1.3)—(1.6):

чД — рАу=чД — рАу=«В — рВу=чВ — Р2Ву=

=чА — р3Ау=«А — рАу=ЧВ — рВу=ЧВ — р4У=*,

С+ = —

А10

С~ =

А10

А) (кД — кД>(кД — к (к1А + кА — к3 — <д )(к1А —<д ) А (кА— кА)(к4А- кА)

(кА + кА — к3 —к4) (к3А — к4А)

С+ =

А 20

С" =

20

С + =

^В10

С =

^В10

д (к3А — кА) (кА— к1)

(к1А + к2А— к3 — к4А )(к1А — к2А)

Д (кД — к1А ) (к3А — кД )

(к1А + к2А— к3 — кА )(к3А — кД )

В0 (к3В — к2В)(кВ— К)

(к1В + к2— к3В — к4 )(кк— к2) Вр (к4В — кВ )(к4В—к2В)

(к1В + к2 — к3В — — )(к3В ^к4В))

(3.1)

С+

В20

В0 (к3В — к1 ,(кВ — к1

'.В )

(кВ +—в —кВ — кВ )(кВ — кВ>

В

с - =—

'—-с он

С+

^С10

В (*В —кВК -к:

(<в + к2— кВ— кВ )(к3В — к4В)

С0 (к3С — кС ) (к4С — ^ ^

С - =

'—-т п

С+

С 20

с— = —

(к1С + кС — к3 — к4С )(к1С — кС )

С0(к4С-к1С )(к4С— к2С ) (klC-Вk2C^kзC— к4С к4С>

С0 (к3С — кС )(к4С — кС )

(к1С+к2 — к<С — к<С >(klC — к2С) С0(к3С— к1С)(к3С — к2С )

(ккукС—кС —ССХкС—Е ).

• Константы из уравнения (25):

01 = —2птО.+

3(Е!рЕ

(кА— I'<2 ')к1 +К — к — к4А (к1Ау+^ХА) (<А —<а Хк41 — к2А)+

(?ЕУ (кА У+Е)+ 2Е! (кА ))

(кА у+еХ<А ]2(<а — кА ХК — к4)

(рЕУ (кА У+е)- 2Е! (кА )) 3(Е!рЕ

----------------------X

(кА—кА >(а + чВ — кА— кА > (ААУк^ХкА >2 (кА — <а Хс — <а >

рЕУ(кАУ+П>±2Е1 (кА >>

(<Ау+^ХкА ХкА — кД ХкА — к2А > (?ЕУ (кДУв е)в 2Е! (кА >>

02 = 2тЕ+

3(Е!рЕ

(кВ — к >(кВ вкВ — к — кВ > (<ву—ех >(<в—<в х<в — <в > .

(Л1У—CB>-2E/ (к!1 >>

(<Ву—е>(<2; >2 (кВ — кВ ХкВ — кВ)

(рЕУ (кВУ—0)+ 2Е! (кВ > )

+

X

+

ЗіЕІрГ

+ - кВ )++в + к2В - +<3 - кВ ) (+Ву-П)(+А ) (кВ - кВ )к - кВ )

(рУ (+Ву-п)д 2ЕІ к )3)

(+Ву-П)(+В )2 (кВ - кВ )к - кВ )

(рУ (кВУ-п)д 2ЕІ к ]1).

ік.

х

(+С -кС )(+С + кС -кзС -к( )

(+С-х) (+с -+сУ+( -++с ) д 2х(Х-2+(')((+С' ) д(+('-х)) (кС-х)3 (С - +С )(+С - кС) '

2х(х-^У+О д(+с'-хУ)

ікг

д------------^---------'

(+С - к4 У+С + кС - къ - +4 )

(+с -х) (+с -рук у)

2х (х-2кз )((+С) д (+С -х) ) (к( -х) (+С -+С)(+( -+С) ' 2х(х-2к()((+С) д(+С -х))

О =-

(+1 -к2 )+С +к2 -к3 -к()

(+С дх)3 + - +С у+СС - +() _ 2х(хд ^ )+ )д(+( дх)) (+=дх)3 (кС-+.С)(+(-+.С) ' 2х(хд 2к( Х(++-') д+ дх)^^

ікг

д—г-------г-т--------------г х

(+зС -к( у+С++( +3 -к()

к дх)1 (к( -+С)(+( -+С) _ 2х(хд 2+( )((+зС )2 д (+Сд-х)2)

(+с дх)1 (+с -+су+с-к()

2х(х+2+( )((+С )2 д(к( +х)2 )

Константа из уравнения (28):

О =

ЕІ

д-

ЕІ

ЕІ

ЕІ

(к( д к2С - к3С - к()

(+3С - +2 )(к4 - к2 )(к( )3 (+( - +2С)

(к( д к2С - к3С - к4С)

(к( - к1С )(к( - +11 )(к( )3 (к( - +2С)

(к( д к2С - к3С - к4С)

(к(- +()(+(- +2С )(кзС )3

(+зС - к( )

(к( д к2С - к3С - к4С)

(к3С - к( )(к( - +2 )(+4 )3 (+3С - к()

- +

Константы из уравнения (35):

Єб =-іЕІкг

(+( д х)3 ОС

р (к(У) д ЕІ (к( д х)4 д к,) (+2С + х)3 62С

р.Г (+2СУ )2 + ЕІ (к( + х) + к7 )

— /

(+зС+х)3 О

рГ (+зСУ )2 + ЕІ (к( + х) + )

— /

(+С + х)3 6

Q7 = -іЕІк

р, (+(У )2 + ЕІ ((+( + х)4 + ^ )

(+( - х)3 6С

~р, (+СУ) Д ЕІ ((к( - х) Д к

(+2С - х)3 62С

рГ (+2СУ)2 + ЕІ ((+2С + х)4 + к7 )

— /

(кзС -х)3 6зС

-рГ(к(У)2 + ЕІ ((+зС -х) + ^ )

(+С - х)3 ОС

-рГ(ку2 + ЕІ(+( -х)4 + кҐ)

=-

(+зС - к( ,(к( - +

с>

(+1С + +2 - +3 - +4 у+1С - +( )

х

х

Д

+

+

+

0С (кС — кС )(к4С — к2С )

(к1С+к2 — к<С — к4С )(к3С — к<С )

0С (к3С — кС )(к4С — кС )

(к1С + к2 — к<С — к<С )(к1С — <с )

0С (к3С — кС )(к3С — к2С )

(к1С + к2 — к<С — к<С )(к3С — <с )

Список литературы

1. Весницкий А.И., Метрикин А.В. Параметрическая неустойчивость колебаний тела, движущегося по периодически-неоднородной упругой системе // Прикладная механика и техническая физика. 1993. № 2. С. 127-134.

2. Metrikine A.V., Dieterman H.A. Instability of vibrations of a mass moving uniformly along an axially compressed beam on a viscoelastic foundation // Journal of Sound and Vibration. 1997. V. 201. Р. 567-576.

3. Veritchev S.N. Instability of a vehicle moving on an elastic structure // Delft University press. 2002. Р. 192.

4. Verichev S.N., Metrikine A.V. Instability of vibrations of a mass that moves uniformly along a beam on a periodically inhomogeneous foundation // Journal of Sound and Vibration. 2003. V. 260. P. 901-925.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Механика. М.: Наука, 1988.

6. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1987.

7. Lamb H. On the Propagation of Tremors Over the Surface of an Elastic Solid // Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A. 1904. V. 203. No. 1. Р. 1-42.

ON STABILITY OF AN OBJECT MOVING ALONG A PERIODICALLY INHOMOGENEOUS ELASTIC GUIDE

S.N. Verichev

The effect of the dead weight on stability of a vehicle moving along a periodically inhomogeneous elastic guide has been studied. The account of the dead weight has been shown not to affect the system stability but to lead to a linear resonance.