CC BY
23
НАНОСИСТЕМЫ: ФИЗИКА, ХИМИЯ, МАТЕМАТИКА, 2012, 3 (1), С. 109-116
УДК 535.2, 519.72
КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ В НАНОВРЕМЕННЫХ ИНТЕРВАЛАХ МЕЖДУ ВОЗБУЖДАЮЩИМИ ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ В ОПТИЧЕСКОМ
ЭХО-ПРОЦЕССОРЕ
Рассмотрено кодирование информации в нановременных интервалах между возбуждающими лазерными импульсами в оптическом эхо-процессоре. Введены информационные меры для описания преобразования классической информации в квантовую. При преобразовании классической информации, заложенной в на-новременные интервалы эшелона лазерных импульсов в квантовую, наиболее подходящей мерой является квантовая информационная мера, основанная на алгоритмической теории информации, так как она имеет наибольшую корреляцию с классической информационной мерой. Ключевые слова: фотонное эхо, эхо-процессор.
1. Введение
Исследования по оптической обработке и хранению информации показывают большие перспективы по созданию быстродействующих процессоров, в частности — оптических эхо-процессоров [1], основанных на использовании сигналов фотонного эха. В этом случае информация может быть заложена в амплитудно-временную форму возбуждающих лазерных, в волновые фронты и поляризацию импульсов, в эшелоны импульсов.
Демонстрация частотно-селективной оптической памяти, где запись и обработка данных происходит как в нановременных, так и в частотных интервалах описывается в работе [2]. Эхо-процессор в режиме долгоживущего фотонного эха, в которой сочетаются достоинства одновременной записи динамической интерферограммы с длительным ее хранением был предложен в работе [3]. Конструкция данного процессора дала возможность продемонстрировать в [4] плотность записи и обработки информации порядка нескольких гигабит/см2, используя сжатие и растяжение информационных сигналов путем быстрого изменения их несущей частоты.
С точки зрения теории информации можно представить эхо-процессор как информационный канал с памятью и шумами, на входе и выходе которого информация имеет классический вид, а внутри канала — квантовый. Такой канал обеспечивает передачу и преобразование информации между различными моментами времени и направлениями в пространстве.
Рассмотрим систему (сообщение), описываемую переменными А (классическими или квантовыми) и построим ее классическое и квантовое описание. В классической информационной теории определим Шенноновскую энтропию для А:
Л. А. Нефедьев, А. Р. Сахбиева Казанский федеральный университет, Казань, Россия [email protected] , [email protected]
PACS 42.40.-i, 42.50.-p, 42.50.Ct, 42.50.Gy, 42.79.Hp, 89.70^
где переменная А принимает значение а с вероятностью р(а). Квантовым аналогом является энтропия фон Неймана (ра)'
^п = - Тга [рА ^2 Ра] , (2)
где Тг а означает след по степеням свободы подсистемы А.
В данной работе мы исследуем процессы преобразования классической дискретной информации, заложенную в нановременные интервалы эшелона лазерных импульсов в квантовую.
2. Энтропия фон Неймана при описании систем с когерентной суперпозицией базисных состояний
Найдем выражение для энтропии фон Неймана Jfn = — ТгА [рА ра] для двухуровневой системы, описываемой матрицей плотности
= (Ри РА .
\Р21 Р22)
Для расчета р применим методы вычислений функций от матриц. Энтропия фон Неймана будет описываться следующим выражением:
Jfn = ~ ТгА [рА log2 рА] = .
у (ри — Р22)2 + 4 |р121
А1
1
2Р1
7>р11 ( Р22 ~ ри~ у [р11 ~ р22г + 4 |р12 )
(рп — Р22)2 - Ь 4 |Р1212
(рп — Р22)2 - Ь 4 |Р12|2
1 " ( Р22 - РИ - \/(РИ - Р22)2 + 4 |р!2|2 ) log2
2
1 р22 ^Р22 - ри ~ \](Р11 - Р22)2 + 4 |Р12|2^ log2 Л2
- - I I I 1Г-.Г-. - I 1л л - -А / I 1л л -
2
При отсутствии в системе когерентности из (3) следует
(3)
Ит .]}п(р) = —Р11 Р22. (4)
\Р12 1^0
В целом процесс записи и воспроизведения информации в резонансной среде [7, 8] можно представить в виде рис. 1.
Полученная структура энтропии фон Неймана показывает, что она не может быть хорошей мерой квантовой информации в случае наличия когерентности в системе. Она мало чувствительна к изменению недиагональной части матрицы плотности, в которой заложена информация о квантовых фазах. Подходящей мерой квантовой информации при наличии когерентности в системе может служить К — сложность и приложения алгоритмической теории информации к описанию квантовых информационных процессов [7, 8].
РИС. 1. Преобразование информации в оптическом эхо процессоре. а-с — входящие в квантовую систему классические с — биты, ¡3 - е + /3' - д — информация, хранящаяся в квантовой системе в виде виртуальных и квантовых битов, е — виртуальные квантовые антибиты, возникающие из-за перепутывания состояний квантовой системы с состояниями резервуара, а' - с — воспроизводимая классическая информация
3. Квантовая структурная информация в среде с фазовой памятью
Поскольку носителем структурной информации в резонансной среде являются переходные динамические решетки, описываемые матрицей плотности, то структурная информация оказывается заложенной в амплитудно-фазовой структуре матрицы плотности р. Сопоставим такой матрице взвешенный граф.
В качестве объекта рассмотрим граф С, соответствующий матрице плотности системы элементы которого € V(С), где V — конечное множество, состоящее из N вершин (помеченных), соответствующих диагональным элементам матрицы плотности и д ребер, соответствующих недиагональным элементам. Таким образом V = Г и Q, где Г — множество, содержащее элементы вершин графа, а Ц — множество, содержащее элементы ребер.
Относительной сложностью К объекта С будем считать минимальную длину 1(р) программы р получения из С объекта С0. Определим количество структурной информации в С относительно С0 как
3 = К (С, Со) - к (Со). (5)
Алгоритмический процесс получения из объекта С объекта С0 расчленим на отдельные шаги ограниченной сложности. Каждый шаг состоит в переработке возникшего к этому шагу состояния объекта С к в состояние Ск+ъ
Ок+1 = Ик (Ск) . (6)
Оператор И является набором правил по переработке активной части объекта С. Таким образом
Со = Б (С). (7)
Поскольку потенциальная квантовая информация заложена в когерентной части матрицы плотности, активной частью объекта С будем считать элементы € Q. Оператор И определим как оператор удаления (уничтожения) любыми возможными способами элементов из соответствующей активной части объекта С:
О (Я) = 0. (8)
Выполнение процедуры (8) приводит к ансамблю множеств Q(k'). Так как взвешенному графу С соответствует матрица плотности
N
Р = Е Рг3 Рг3 , (9)
^,3 = 1
где Р^- проективные матрицы (имеют элемент равный 1, а остальные равны нулю), то сумма $ (¿0) величин элементов активной части объекта в начальный момент времени будет:
(го)
V г=3 /
5 (¿о) = аЬ^^ ргз (1о) ). (10)
г=3
Вычисляя соответствующую сумму Б'^) = ^ 5(к\1) в момент времени Ь для ансамбля множеств Q(k\ окончательно получим:
^ЧйЭ- <">
Таким образом, выражение (11) с учетом (10) определяет количество квантовой информации системы в q-битах.
4. Процесс преобразования дискретной классической информации в структурную квантовую информацию
Рассмотрим преобразование классической информации ,1С(А), заложенной в объектный лазерный импульс, при его воздействии на систему двухуровневых атомов в квантовую информацию ^, носителями которой являются суперпозиционные состояния атомов.
Объектный импульс представим как последовательность (эшелон) п прямоугольных лазерных импульсов, разделенных произвольными нановременными интервалами. Обозначим временные интервалы как т^ (^ = 1. ..п). Тогда ец > 0 будет соответствовать наличию импульса, а ец = 0 — временному интервалу. Длительность всего эшелона импульсов будет Ы = тп при условии ^ Т\,Т2, где Т\ и Т2 — времена продольной и поперечной необратимой релаксации рассматриваемой системы.
Для описания процесса преобразования классической информации в квантовую наиболее подходящим определением классической информации может служить дифференциальная информационная энтропия Фурье-спектра эшелона лазерных импульсов, поскольку в резонансной среде носителями информации являются q-биты, распределенные в пределах неоднородно уширенной линии резонансного перехода.
В общем случае напряженность Фурье-компоненты электрического поля эшелона импульсов будет иметь вид:
п У
Е (и') = ^2 ^ У
ч=1 +
е^ I е~гг7тиЧг, (12)
где и' — частоты Фурье-спектра, а момент времени начала действия ^-го импульса определим как
V
= ¿о + ^^ Тк к=1
и будем считать начальный момент времени ¿0 = 0. Тогда из (12) для величины амплитуды Фурье-компоненты электрического поля эшелона импульсов получим:
А (и1) = |Е (и1)| = у]Не (Е (и'))2 + 1т (Е (и'))2, (13)
где и' = 2жи',
Re (Е (и')) = ^^ £v rv sin с (u'rv/22) cos I ш1 I 2 ^^ Tk — rv I /2 1 , (14)
V=1 \ \ k=1 J J
Im (E (ш')) = ^^ £vrv sin с (u'rv/22) sin I ш1 I 2 ^^ Tk — I /2 1 . (15)
v=i V V fc=i J J
Дифференциальную информационную энтропию Фурье-спектра эшелона лазерных импульсов определим как J'c = Jc — JC0, где
оо
Jc = — J р (w)'log2р (ш') dJ, (16)
— о
I-oo (w') duj>' ^
где А0 (ш') определяется из выражения (13) при одинаковых временных интервалах rv, JC0 определяется аналогично (16) при одинаковых амплитудах ev и временных интервалов rv в выражениях (14) и (15) .
Для нахождения величины квантовой информации (алгоритмической или фон Неймана) надо вычислить матрицу плотности резонансной системы после воздействия объектного импульса (эшелона).
Найдем матрицу плотности при взаимодействии атома с отдельной Фурье - компонентой поля эшелона импульсов с последующим усреднением по всем частотам. Напряженность электрического поля Фурье - компоненты поля импульса запишем как
Ё (и/) - /•: (и/) е1{ш-ш')г + Е (и/) е-1{ш-ш')г . (18)
1 2
Уравнение для Фурье-компоненты одночастичной матрицы плотности в этом случае запишем в виде
где
В = Jco — НА + у, JCo = h (Ü — Ü') P22, А =(ш — J) Р22, e±iAt = pn + р22е±г(Ш-<У)4) y = _}_d [E* ^ pu + E ^ p2i] s
B=l 0 -\dE*{u У
( 0 -\dE* (uM \-^dE{uj') Цш'-П'))
d — дипольный момент резонансного перехода, а Р^ — проективные матрицы (имеют элемент равный 1 , а остальные = 0) .
Решение уравнения (19) запишем в виде
р(1) = е-гЛ-1 тр(0)егН-1т. (20)
Окончательный результат для величины квантовой алгоритмической информации будет иметь вид:
РИС. 2. Информационные меры в случае изменения положения среднего импульса в эшелоне объектного импульса. £ = т1/(т1 + т2); в = ж/2 — площадь объектного импульса; п = а ■ И = 5, где а — ширина неоднородно уширенной линии, Ы — длительность эшелона импульсов. V — Зс ,классическая информация; — ,1д, квантовая информация;
• — 3/п—Ее, действительная часть комплексной энтропии фон Неймана; +—¡п—1т, мнимая часть комплексной энтропии фон Неймана
^ = J р (ш') ¿ш J д (п') ^ (ш', п') ¿п', (21)
—те —те
где д (П') — функция распределения по частотам неоднородно уширенной линии резонансного перехода, а ,1д (и', П') определяется выражением (11) . Аналогично для энтропии фон Неймана будем иметь
= J Р (ш') dш' j д (п') (р (ш', п')) сШ', (22)
—те —те
где (р (и', п')) определяется выражением (3). После воздействия на резонансную среду объектного импульса, несущего классическую информацию, она оказывается распределенной между отдельными изохроматами неоднородно уширенной линии, то есть возникает «информационно - фазовая решетка» в пределах неоднородно уширенной линии резонансного перехода. Каждый отдельный q-бит может содержать классическую часть информации (диагональная часть матрицы плотности) и амплитудную квантовую часть информации (недиагональная часть матрицы плотности).
В случае, когда информация заложена в нановременные интервалы между лазерными импульсами, минимальной структурой несущей информацию, является последовательность трех импульсов с неодинаковыми временными интервалами г1 и т2 между ними. Для такой структуры результат преобразования Зс ^ ,1д и Зс ^ представлен на рис. 2 и рис. 3.
На рис. 2 представлены значения информационных мер при изменении положения среднего возбуждающего импульса в эшелоне (объектный импульс состоит из 3-х импульсов). В данном случае наибольший коэффициент корреляции получается между классической и квантовой информацией RJc-J = 0, 92, между классической информацией и энтропией фон Неймана К,]с-,]}п = —0.39, между классической информацией и действительной частью комплексного значения энтропии фон Неймана К,]с-,]}п = —0.41, между классической и мнимой частью комплексного значения энтропии фон Неймана Кзс-
с '/п_1т
0.53.
РИС. 3. Информационные меры в случае изменения положения крайнего импульса в эшелоне объектного импульса. £ = т1/ (т1 + т2); в = ж/2 — площадь объектного импульса; п = а ■ И > 4, где а — ширина неоднородно уширенной линии, Ы — длительность всего эшелона импульсов. V — Зс, классическая информация; — Зд, квантовая информация;
• — 3/п-яе, действительная часть комплексной энтропии фон Неймана; +— 3/п-1т, мнимая часть комплексной энтропии фон Неймана
На рис. 3 представлены значения информационных мер при изменении положения крайнего возбуждающего импульса в эшелоне (объектный импульс состоит из 3-х импульсов). Аналогично, наибольший коэффициент корреляции получается между классической и квантовой информацией RJc-J = 0.74, между классической информацией и энтропией фон Неймана И.;с-.;„ = 0.34, между классической информацией и действительной частью
комплексного значения энтропии фон Неймана RJC-
'c — Jfn_Re
0.35, между классической и
мнимой частью комплексного значения энтропии фон Неймана 1т = 0.34.
Таким образом, наибольшая корреляция наблюдается между классической и квантовой информацией, а с энтропией фон Неймана величина корреляции классической информации значительно меньше. Это показывает, что фон Неймановская энтропия мало пригодна для описания процессов преобразования классической информации в квантовую и более подходящей является мера, основанная на алгоритмической теории информации Зд.
5. Заключение
Наилучшей классической информационной мерой в случае кодирования информации в нановременных интервалах, является дифференциальная информационная энтропия Фурье-спектра эшелона лазерных импульсов. При преобразовании классической информации в квантовую, наиболее подходящей мерой является квантовая информационная мера,
основанная на алгоритмической теории информации так как она имеет наибольшую корреляцию с классической информационной мерой. Кодирование информации в нановремен-ных интервалах между возбуждающими лазерными импульсами приводит к минимальным искажениям информации в отклике резонансной системы.
Литература
[1] Kalachev A. A., Samartsev V.V. Coherent phenomena in optics. — Kazan: Kazan, State University, 2003. — 280 p.
[2] Mitsunaga M., Yano R., Uesugi N. Time and frequency-domain hybrid optical memory: 1,6kbit data storage in Eu3+R:Y2Si05 // Opt. Lett. — 1991. — 16(23). — P. 1890-1892.
[3] Un H., Wang Т., Wilson GA., Mossberg T.W. Experimental demonstration of swept-carrier time-domain optical memory // Opt. Lett. — 1995. — 20. — P. 91-93.
[4] Un H., Wang Т., Mossher T.W. Demonstration of 8-Gbit / in.2 areal storage density based on swept-carrier frequency-selective optical memory // Opt. Lett. — 1995. — 20. — P. 1658-1660.
[5] Schumacher B. Quantum coding // Phys. Rev. A. — 1995. — 51. — P. 2738-2747.
[6] Cerf N. J., Adami C., Phys. Negative Entropy and Information in Quantum Mechanics // Rev. Lett. — 1997. — 79(26).— P. 5194-5197.
[7] Nefed'ev L. A., Rusanova I .A., Information Processes in Optical Echo Holography // Optics and Spectr. — 2001. —90(6).— P. 906-910.
[8] Nefed'ev L. A., Rusanova I .A. Copying Quantum Information in a Three-Level Medium with a Phase Memory // Laser Physics. — 2002. — 12(3). — P. 1-6.
