CC BY
50
Л.А.Нефедьев, О.Р.Шмындина
ФАЗОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭХО-ГОЛОГРАФИИ
Исследован процесс преобразования классической информации, заложенной в объектный лазерный импульс, в потенциальную (структурную) квантовую информацию резонансной среды. На примере записи стимулированной эхо голограммы в двухуровневой среде с фазовой памятью показано, что совокупность q-битов обладает способностью запоминать фазовую информацию о взаимном расположении элементов сообщения в объектном лазерном импульсе.
Введение
Световое (фотонное) эхо (ФЭ) [1, 2] формируется в условиях нелинейного и когерентного взаимодействия лазерных импульсов с резонансной средой. К настоящему времени оно стало мощным методом оптической когерентной спектроскопии. Возможности приложений сигналов ФЭ оказались существенно более богатыми, чем у соответствующих радиочастотных аналогов (т.е. сигналов спинового эха). Одна из причин этого состоит в том, что длины волн оптических возбуждающих импульсов на несколько порядков меньше линейных размеров резонансной среды. С этим обстоятельством связано одно из перспективных приложений ФЭ - эхо-голография.
В работах [3-5] было впервые показано, что в условиях когерентного нелинейного взаимодействия объектного (ОИ) и референтного (РИ) лазерных импульсов с резонансной средой они могут быть разнесены друг относительно друга во времени на интервалы, меньшие времен необратимых релаксаций. Таким образом, в процесс записи голограмм, помимо трех пространственных измерений, было внесено еще одно - время, т.е. предсказан новый тип голографии, названный эхо голографией.
Возможность обработки и хранения информации в эхо голограммах может быть использована при создании голографических оптических запоминающих устройств (ОЗУ) и эхо-процессоров. Однако на начальном этапе развития исследований в этой области такая идея не была достаточно привлекательной из-за малого времени оптической фазовой памяти. Ситуация резко изменилась после обнаружения в кристалле ЬаБ3 : Рг3+ сигналов долгоживущего стимулированного фотонного эха (ДСФЭ) [6, 7]. В настоящее время ведутся интенсивные разработки в этом направлении [8, 9].
Отметим также, что предложенный в работе [10, 11] метод запирания ДСФЭ может быть использован для создания ассоциативной эхо голографической памяти, где ассоциативным признаком является неоднородное электрическое поле определенной конфигурации. Из всего сказанного следует, что исследования в области эхо голографии ограничивались изучением реакции резонансной среды при ее когерентном возбуждении различными последовательностями лазерных импульсов. При этом не рассматривался вопрос о хранении и обработке количества информации, записываемой в эхо голограммах.
Методы оптической динамической эхо голографии позволяют запоминать, преобразовывать и обрабатывать информацию, заложенную в объектных лазерных импульсах. При этом информация из объектного импульса (сообщения) преобразуется в структурную (потенциальную) информацию, носителем которой являются переходные динамические решетки населенностей и поляризаций резонансной среды. С точки зрения квантовой теории информации (см. например [12]) такие решетки можно представить как пространственно - частотное распределение q-битов в пределах неоднородно уширенной линии резонансного перехода. Именно этот вид информации может храниться, преобразовываться и обрабатываться в резонансной среде. С точки зрения оптимизации таких процессов представляет значительный интерес исследование преобразований количества информации при ее переходе из одного вида в другой.
Квантовая информационная теория - новая область с потенциальными возможностями для концептуальных основ квантовой механики. Например, квантовая информационная теория может иметь дело с описанием перепутанных квантовых состояний, что приводит к отрицательной условной энтропии, хотя это и запрещено классически. Поэтому можно предположить, что такие квантовые информационные процессы могут быть описаны в соответствии с диаграммами, сильно похожими на диаграммы взаимодействий в физике частиц - включение в рассмотрение частиц, несущих отрицательную (виртуальную) информацию. По аналогии с античастицами можно назвать их анти q-биты. Описание информационных процессов в переходных оптических явлениях приводит к комплексным значениям энтропии фон Неймана
[13]. Продолжая приведенную выше аналогию, можно назвать единицы измерения квантовой информации в этом случае как виртуальные q-биты.
Попытки описывать квантовые информационные процессы вообще, опирались на формулы классической информационной теории, где оперировали с квантовыми вероятностями, а не с амплитудами. Это предполагает, что расширенная информационная теория должна быть определена как теория, явно учитывающая квантовые фазы. Например, теория развитая в [14] описывает квантовые системы, разделенные на много частей, используя только операторы плотности и энтропии фон Неймана. Она включает Шенноновскую теорию как частный случай, но также описывает и квантовую запутанность, устанавливая таким образом соответствие между классической и квантовой информацией.
В целом процесс записи и воспроизведения информации в резонансной среде можно представить в виде диаграммы
Здесь а• с - входящие в квантовую систему классические с-биты, в • е + в • q - информация, хранящаяся в квантовой системе в виде виртуальных и квантовых битов, е - виртуальные квантовые анти биты, возникающие из за перепутывания состояний квантовой системы с состояниями резервуара, а'• с - воспроизводимая классическая информация.
Полученная в [13] структура энтропии фон Неймана при описании информационных процессов в переходных оптических явлениях показывает, что она не может быть хорошей мерой квантовой информации в случае наличия когерентности в системе. Она мало чувствительна к изменению недиагональной части матрицы плотности, в которой заложена информация о квантовых фазах. Более подходящей мерой квантовой информации при наличии когерентности в системе может служить К-сложность [15] и приложения алгоритмической теории информации к описанию квантовых информационных процессов [16, 17]. В данной работе рассматривается процесс преобразования классической информации, заложенной в объектный лазерный импульс, в потенциальную (структурную) квантовую информацию резонансной среды на примере записи стимулированной эхо голограммы в двухуровневой среде с фазовой памятью.
Квантовая структурная информация в среде с фазовой памятью
Поскольку носителем структурной информации в резонансной среде являются переходные динамические решетки, описываемые матрицей плотности, то структурная информация оказывается заложенной в амплитудно -фазовой структуре матрицы плотности р. Сопоставим такой матрице взвешенный граф, тогда мера структурной информации определится мерой неопределенности структуры такого графа.
В качестве объекта рассмотрим граф О, соответствующий матрице плотности системы, элементы которого е У(О), где V - конечное множество, состоящее из N вершин (помеченных), соответствующих диагональным элементам матрицы плотности и q ребер, соответствующих недиагональным элементам. Таким образом, V = Г и Q, где Г - множество, содержащее элементы вершин графа, а Q - множество, содержащее элементы ребер.
Относительной сложностью К объекта О будем считать минимальную длину 1(р) программы р получения из О объекта О0 . Определим количество
структурной информации в О относительно О0 как
I = К(О-Оо). (1)
Алгоритмический процесс получения из объекта О объекта О0 расчленим на отдельные шаги ограниченной сложности. Каждый шаг состоит в переработ-
/— /—1 К /-1 К+1
ке возникшего к этому шагу состояния объекта О в состояние О :
ОК+1 = БК (ОК ). (2)
Оператор Б является набором правил по переработке активной части объекта О. Таким образом
Оо = Б(О). (3)
Поскольку потенциальная квантовая информация заложена в когерентной части матрицы плотности, активной частью объекта О будем считать элементы е Q. Оператор Б определим как оператор удаления (уничтожения) любыми возможными способами элементов из соответствующей активной части объекта О:
= 0. (4)
Будем считать, что объект с элементами, принадлежащими нулевому множеству 0, имеет структурную информацию = 0. Длину 1(р) программы р удобно вычислять в логарифмической шкале как 1о§2 от суммы весовых функций, соответствующих диаграммам О. С учетом временной эволюции, весовую функцию определим как сумму величин элементов активной части
объекта О в момент времени 1;, соответствующую диаграмме ОК, отнесенную к сумме величин элементов активной части объекта О в начальный момент времени 10.
Выполнение процедуры (4) приводит к ансамблю множеств Qк. Так как взвешенному графу О соответствует матрица плотности
N
Р = Ъ Р^Р (5)
1,Н
где Ру - проективные матрицы (имеют элемент у равный 1, а остальные равны нулю), то сумма З(1;0) величин элементов активной части объекта в начальный момент времени будет:
Г \
Б(10) = яЬб
Ър^о )
V J
(6)
Вычисляя соответствующую сумму Б^) = Ъ Бк (1) в момент времени 1
для ансамбля множеств Qк, окончательно получим:
(7)
ДО J
Поскольку € представляет собой эрмитов оператор, то его матричные элементы Ру = р*^. Нетрудно видеть, что сделанный выше выбор оператора Б приводит к З'(1) и 8(1;0), состоящим из сумм матричных элементов Ру + р - . Таким образом З'(1) и З(10) являются действительными величинами. Отметим также, что при наличии только двух квантовых состояний у систе-
К
мы |1 > и < 21, общее состояние есть линейная суперпозиция | р >= а |1 > +в | 2 >, (где а ив - комплексные числа). Соответствующий оператор матрицы плотности
где активной частью являются два последних члена. Действие оператора Б в этом случае приводит к значению = 1. Таким образом, выражение (7) с учетом (6) определяет количество квантовой информации системы в д-битах.
Количество структурной фазовой информации эхо-голограммы
Рассмотрим преобразование количества информации 1с, заложенной в объектный лазерный импульс при его воздействии на систему двухуровневых атомов. Вычисление количества классической информации 1с можно провести на основе Шенноновской теории информации [18].
Объектный импульс представим как последовательность (эшелон) п прямоугольных лазерных импульсов, расположенных на временном интервале N 81(п > N при условии N 81 << Т1,Т2, где Т1 и Т2 - времена продольной и поперечной необратимой релаксации рассматриваемой системы, 81 - длительность элемента сообщения. В этом случае максимальное количество классической информации в объектном импульсе (считаем, что все элементы сообщения разные) 1с = 10§2п!.
Напряженность фурье - компоненты электрического поля объектного импульса в этом случае будет иметь вид:
8к - напряженность электрического поля к-го элемента сообщения, ю ' -частоты фурье - спектра.
Пренебрегая полевым уширением и спектральной диффузией во время действия объектного импульса, найдем матрицу плотности при взаимодейст-
€ =| р >< р |=| а |2|1 >< 1| +1 в |2| 2 >< 21 +ар* |1 >< 2| +а*р |2 >< 11,
ю'81
где
вии атома с отдельной Фурье - компонентой поля импульса с последующим усреднением по всем частотам [8].
Окончательный результат будет иметь вид:
ад ад
^ = | §і (ю' )йю ' | §2 (й X (ю' , ^ 0^' , (9)
—ад —ад
где §1 (ю' ) - функция распределения по частотам Фурье - спектра объектного импульса, нормированная на импульс единичной площади длительности п 81, §2(^') - функция распределения по частотам неоднородно уширенной линии резонансного перехода.
После воздействия на резонансную среду объектного импульса, несущего классическую информацию, эта информация оказывается распределенной между отдельными изохроматами неоднородно уширенной линии, носителями которой является совокупность д-битов. Другими словами - возникает 'информационно - фазовая решетка'' в пределах неоднородно уширенной линии резонансного перехода. Каждый отдельный д-бит может содержать классическую часть информации (диагональная часть матрицы плотности) и амплитудную квантовую часть информации (недиагональная часть матрицы плотности) [19]. Результат преобразования 1с ^ при записи объектного
импульса, состоящего из фиксированного числа элементов сообщения, представлен на Рис.1.
Д___________________/Ъ
10 а 1
а Ь
Рис.1. Количество квантовой информации в зависимости от условий возбуждения системы. а) пунктирная линия означает количество классической информации в эшелоне возбуждающих импульсов по Шеннону, а сплошная - количество квантовой информации, записанной в системе. Ь) показано взаимное расположение возбуждающих под импульсов в эшелоне, а1 - положение элемента сообщения в эшелоне.
Из рисунка следует, что в момент времени 10 =0 после воздействия объектного импульса, количество структурной (потенциальной) квантовой информации 1ч зависит от взаимного расположения элементов сообщения на
временном интервале N 51 при 1с =еои81. Таким образом, совокупность д-
а1 а4 а8
битов обладает способностью запоминать еще и фазовую информацию о взаимном расположении элементов сообщения во времени.
Выводы
1. Количество записываемой в системе квантовой информации зависит от временной структуры объектного лазерного импульса.
2. Совокупность q-битов в пределах неоднородно уширенной линии резонансного перехода способна запоминать как амплитудную, так и фазовую информацию о взаимном расположении во времени элементов сообщения.
Литература
[1] Копвиллем У.Х., Нагибаров В.Р. Световое эхо в парамагнитных кристаллах // ФММ.1963. Т.15, №2, С.313-316.
[2] Kumit N.A., Abella I.D., Hartmann S.R. Photon echoes // Phys.Rev. 1966. V.141, №1, P.391-406.
[3] Штырков Е.И., Самарцев В.В. Резонансная динамическая голография и оптическое сверхизлучение// Электромагнитное сверхизлучение. Казань. 1975. C.398-426.
[4] Штырков Е.И., Самарцев В.В. Отображающие свойства динамических эхо-голограмм в резонансных средах // Опт. и спектр. 1976. Т.40. №2, С.392-393.
[5] Самарцев В.В., Штырков Е.И. Акустооптическое преобразование волновых фронтов в резонансной эхо-голографии // ФТТ. 1976. Т.18, С.3140-3141.
[6] Chen Y.C., Chiang K.P., Hartmann S.R. Photon echo relaxation in LaF3:Pr3+ // Opt. Communs}. 1979. V.29, №2. P.181-185.
[7] Morsink J.B.W., Wiersma D.A. Photon echoes in the 3Po - 3H3 transition in LaF3 :Pr3+ // Chem. Phis. Lett. 1979. V.65, №1. P.105-108.
[8] Нефедьев Л.А., Самарцев В.В. Оптическая эхо-голография // ЖПС. 1992. Т.57, №5-6. С.386-428.
[9] Калачев А.А., Самарцев В.В. //Фотонное эхо и его применение. Казань.
1998.
[10] Калачев А.А., Нефедьев Л.А., Зуйков В.А., Самарцев В.В. "Запирание" долгоживущего фотонного эха в присутствии неоднородного электрического поля // Опт. и спектр. 1998. Т.84, №5. С.811-815.
[11] Nefed'ev L.A., Khakimzyanova G.I. The Correlation of Inhomogeneous Broadening and the Efficiency of Data Locking in Optical Echo Processors // Optics and Spectroscopy. 2005. V.98, №1. P.35-39.
[12] Килин С.Я. Квантовая информация //УФН. 1999. Т.169, №5. С.507-526.
[13] Нефедьев Л.А., Русанова И.А. Описание процесса записи эхо-голограммы в модели информационных энтропий // Когерентная оптика и оптическая слектро-скопия. Казань. 2005. С.149-152.
[14] Cerf N.J., Adami C. Negative Entropy and Information in Quantum Mechanics // Phys. Rev. Lett. 1997. V.79, №26. P.5194-5197.
[15] Колмогоров А.Н. //Теория информации и теория алгоритмов. М. Наука 1987. 324 С.
[16] Nefed'ev L.A., Rusanova I.A. Information Processes in Optical Echo Holography //Optics and Spectr. 2001. V.90, №6. P.1001-1005.
[17] Nefed'ev L.A., Rusanova I.A. Copying Quantum Information in a Three-Level Medium with a Phase Memory //Laser Physics. 2002. V.12, №3. P.1-5.
[18] Shannon C.E., Weaver W. //{\it The Mathematical Theory of Communication, University of Illinois Press. 1949.
[19] Валиев К.А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления //УФН. 2005. Т.175. №1. С.3-39.
