Кластеризация частиц в случайном поле скорости жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.529

И. В. Деревич, Т. А. Фролова

КЛАСТЕРИЗАЦИЯ ЧАСТИЦ В СЛУЧАЙНОМ ПОЛЕ СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ

На основе функционального подхода иллюстрируется явление образования областей повышенной концентрации частиц в случайном поле скорости сплошной среды. Получены замкнутые уравнения для функции плотности вероятности концентрации частиц в приближении Эйлера и Лагранжа. Показана динамика формирования кластеров частиц примеси. Выявлена конкурирующая роль энергоемких (крупномасштабных) и мелкомасштабных флуктуаций скорости несущей среды в процессе формирования областей с повышенной локальной концентрацией частиц.

E-mail: [email protected], [email protected]

Ключевые слова: функция плотности распределения вероятности, функциональная производная, кластеры частиц, описание Эйлера и Лагранжа, флуктуации скорости, спектр флуктуаций скорости

Введение. Постановка задачи. Образование локальных областей с повышенной концентрацией частиц широко распространено в природе. Яркими примерами являются облака в атмосфере и локализация плавучих примесей на поверхности океана. Законченной теории явления локализации (кластеризации) дисперсных примесей в турбулентных потоках в настоящее время нет. Распространенный метод исследования образования областей с повышенной концентрацией частиц — прямое численное моделирование турбулентных потоков с дисперсной примесью инерционных частиц ([1-3]). Методы прямого численного моделирования предъявляют повышенные требования к быстродействию компьютеров и объему сохраняемой информации. Последующее осреднение результатов стохастического моделирования позволяет получать информацию, имеющую практический интерес.

В теоретических исследованиях явления кластеризации в настоящее время можно выделить два подхода.

Первый подход основан на свойствах инерции частиц и локальной неоднородности распределения энергии хаотического движения частиц в зависимости от относительной координаты [4, 5]. В инерционной модели случайное сближение частиц вследствие их инерции может приводить к образованию кластерной структуры. Однако в рамках этой модели невозможно объяснить целый ряд явлений. Например, локализацию плавучей примеси на поверхности случайных волн в океане. Образование кластерных структур в атмосфере, когда инерцией мелких капель можно пренебречь.

Второй подход использует свойства локальной случайной дивергенции поля скорости несущей среды [6]. При осреднении поле ско-

рости несущей среды является несжимаемым, бездивергентным. Однако флуктуации дивергенции локальной скорости отличны от нуля. На поверхности океана это можно трактовать как проявление случайных складок (микроволн). В этой модели явление кластеризации может трактоваться как эффект стохастического притяжения частиц в случайном поле скорости несущей фазы.

Данная работа сделана в рамках второго подхода. Идея второго подхода принадлежит В.И. Кляцкину [6, 7]. В работе проведен детальный анализ модели со случайной дивергенцией поля скорости несущей фазы. Получен ряд новых результатов, в частности, выявлена конкурирующая роль энергоемких (крупномасштабных) и мелкомасштабных флуктуаций скорости несущей среды.

Уравнения баланса концентрации частиц. Описание Лагран-жа и Эйлера. Исследуется движение частиц в случайном статистически стационарном и статистически однородном поле скорости сплошной среды. Флуктуации скорости несущей фазы и(х, ¿) моделируются случайным процессом Гаусса. Осредненного потока нет, среднее от флуктуаций скорости среды (и(х, £)) = 0. Здесь угловыми скобками обозначено осреднение по ансамблю реализаций случайного поля. Рассматриваем точечные безынерционные частицы без учета силы тяжести. Уравнение для координаты частицы а имеет вид

Используя дельта-функцию Дирака, записываем выражение для числовой концентрации частиц р (х, ¿)

N

где X(a)(t) — радиус-вектор частицы а, V(a)(t) — скорость частицы а.

а= 1

где N — суммарное число частиц в объеме течения. Производная по времени от (2) равна

= - дхЕ* (* - X(a)(t)) u (X(a)(t),t) =

д

дхг

д N

= ^ Е * (х - X(a)(t)) u (x,t). (3)

дХг

Используя в (3) выражение (2), получаем уравнение баланса концентрации частиц в описании Эйлера

+ дХ {Р^игЫ)} = 0. (4)

Уравнение (4) переписываем в виде

= -КМ)^ (5)

Из уравнения (4) видно, что изменение концентрации связано с локальной случайной дивергенцией скорости несущей фазы. В переменных Лагранжа подставим в (5) вместо координаты Эйлера х случайную координату частицы Х(а) (Ь)

dp (X(o)(t),t)

dt

u,(x,t)

dt dxi

= - p(x,t)

X=X(a)(t)

dui(x, t)

xi

. (6)

l=X(a)(t)

Из уравнения в переменных Лагранжа (6) следует, что изменение концентрации дисперсной примеси вдоль траектории выделенной частицы обусловлено дивергенцией флуктуаций скорости несущей среды.

Индикаторные функции в переменных Эйлера и Лагранжа. В соответствии с двумя подходами Эйлера и Лагранжа мы определим две индикаторные функции, которые выделяют случайные траектории в фазовом пространстве концентраций.

В описании Эйлера вводим индикаторную функцию, описывающую случайную концентрацию частиц в фазовом пространстве [6]

Ыр, х,Ь) = я (р - р(х,Ь)), (7)

где р — координата в фазовом пространстве концентраций.

Уравнение для индикаторной функции (7) получается в результате дифференцирования рЕ(р, х, Ь) по времени

^ М) = (р - Р(М)) 1. (8)

дЬ др \ дЬ

С учетом уравнения (5) уравнение для индикаторной функции (8) принимает вид

дрв(р, х,Ь) = дЬ =

дщ (х,Ь) д . . . . д Г ,др(х,Ь)]

= -¿г Трр^ртЛ^,ахт\- (9)

Уравнение незамкнуто относительно функции (р, х, £). Однако можно заметить, что последнее слагаемое в (9) преобразуется к виду

(р,м)= -(^ (р,х,г) }. (10)

дхг др { дхг

С учетом (10) и (9) получаем замкнутое уравнение для индикаторной функции в переменных Эйлера

д^Е(р, хЛ) , ,д^Е(р, хЛ) диАхЛ) д г , ^^

+ и,(х,() = дГр ^ ^ • (11)

Начальное значение индикаторной функции в переменных Эйлера имеет вид

^Е(р, х) = VE(P, х 0) = 8 (р - р°(х)). (12)

Здесь р°(х) — начальное распределение концентрации частиц.

В переменных Лагранжа вводим индикаторную функцию, описывающую изменение концентрации дисперсной примеси вдоль выделенной случайной траектории частицы а

^(р, х,1) = 8 (р - р (Х(а)(1),г)) 8 (х - Х(а)(I)). (13)

В результате дифференцирования <рь(р, х, ^ (13) по времени, записываем

д^ь(р, х,г) =

т =

== -^ хл) щш - р ^ ^. (14)

Используя в (14) уравнение (6) для изменения концентрации частиц вдоль траектории частицы а, получаем замкнутое уравнение для индикаторной функции в переменных Лагранжа [6]

(р, хЛ) д , . . . ... (P, , ) + ^ {и (х,Ь) ^ (р, х,г)} =

д f дщЫЛ) , .1

р-г^Мр, x,;) . (15)

dt дхг

др \ дХг

Начальное значение индикаторной функции в переменных Лагран-жа задает начальную координату выделенной частицы и начальное значение плотности на ее траектории р°(х)

<р1(р, х) = <к(р, х, 0) = 8 (р - р°(х)) 8 (х - Х(а)(0)) .

Из уравнений (11) и (15) видна существенная разница в индикаторных функциях в переменных Эйлера и Лагранжа.

Уравнения для функций плотности вероятности Эйлера и Лаг-ранжа. Осреднение индикаторных функций по ансамблю реализаций

флуктуаций скорости несущей фазы приводит к функциям плотности вероятности (ФПВ) распределения случайных концентраций частиц. В переменных Эйлера ФПВ имеет вид

Фе(р, x, t) = {(рЕ(р, x, t)) = (6 (р - p(x, t))).

Осреднение уравнения для индикаторной функции (11) приводит к незамкнутому уравнению для ФПВ в переменных Эйлера [6]

д фE(p, x,t) / ^ (x t) д(fE(p, x,t)

dt \ dx,

IK^-ip, ,*)>} • (16)

др

ФПВ определена в диапазоне 0 < p < ж и удовлетворяет следующим ограничениям

^(p^Uo =

сю

дn Фе(р, t)

= 0, ФеМ^ ^ 0,

дрг

^ 0, / ФE(p,t)dp = 1.

o

Корреляции между индикаторной функцией и случайной скоростью среды и ее производными нуждаются в раскрытии. Это будет сделано в дальнейшем в приближении дельта-коррелированных во времени флуктуаций скорости несущей среды.

ФПВ распределения концентрации в описании Эйлера позволяет

сю

вычислить моменты плотности частиц (ре(х,г)) = ^ рпФЕ(р, х,г)йр .

0

В переменных Лагранжа функция плотности вероятности получается в результате осреднения по ансамблю случайных реализаций поля скорости жидкой фазы

Фь(р,X,г) = (Мр,х,г)) = (8 (р - р (х(а)(г),г)) 8 (х - х(а)(г))>.

Незамкнутое уравнение для функции плотности вероятности в переменных Лагранжа [6] следует из (15)

^ +1 (и^Ы, х,)) =

= . (17)

Моменты случайной концентрации в переменных Лагранжа нахо-

сю

дятся по формуле (рЬ(х, г)) = рпФь(р, х,Ь)йр.

Замыкание уравнений для функции плотности вероятности.

Для получения замкнутого уравнения для функции плотности вероятности в переменных Эйлера (16) необходимо вычислить корреляции {иг(х,Ь)дрЕ(р, х,Ь)/дхг) и {рЕ(р, х,Ь)диг (х,Ь)/дхг). Для дельта-коррелированного во времени случайного процесса Гаусса и(х,1) расщепление корреляций осуществляем с использованием формулы Фурутсу-Новикова [6, 7]. Методика работы с функциональными производными описана ниже в разделе 6.

Выражение для функциональной производной от индикаторной функции в описании Эйлера (7) следует из уравнения (11)

8^е(Р, х,г)

SUj (y,t - 0)

= -S(x - + Щ-Ад {рмр, x,t)}. (18)

дх.

дхз др

Используя выражение (18) и формулу Фурутсу-Новикова, получаем замкнутое представление для корреляций в уравнении в переменных Эйлера (16)

дрЕ (р, х,г)\

U(x,t)-

дХг

-TE (u2

д2ФЕ(р, x,t) дх гдх г

-Te

/ д \ 2 \ д

й) /Тр {Рфе(Р, м»

^^x,t))= tJ(£) -§-р ШxM.

(19)

(20)

Подставив формулы (19) и (20) в уравнение (16), получаем замкнутое уравнение для ФПВ распределения концентрации частиц в переменных Эйлера

дФе(р, х,Ь) т д2Фе(р, х,Ь) = Е ^ ''' дхгдхг

дt

= 'i) 1 $x,». (21)

Уравнение (21) описывает два физических процесса. Во-первых, диффузию частиц в физическом пространстве с коэффициентом диффузии, обусловленным энергоемкими флуктуациями несущей среды Бе = ТЕ {и2). Во-вторых, изменение структуры распределения концентрации частиц. Этот эффект связан с микромасштабными случайными движениями жидкой фазы и его интенсивность пропорциональна осредненному квадрату дивергенции флуктуаций скорости несущей среды ((дщ/дхг)2

Уравнение для расчета средней концентрации частиц в физиче-

сю

ском пространстве (р(х, £)) = J рФЕ(р, х,{)д,р следует из (21) при

0

интегрировании по всему пространству концентраций. Учитывается, что ФПВ обращается в нуль при нулевом и бесконечном значениях концентрации частиц

д (р(хЛ)) . . .

(Р{т )) = ^вА (р(х,г)).

Начальное распределение концентрации следует из начального условия (12) (р(х, 0)) = р°(х) .

ФПВ распределения случайной концентрации частиц в произвольной точке пространства ФЕ(р, ¿) равна ФЕ(р, ¿) = J Фе(р, х,1)(Лх.

Уравнение для расчета ФЕ(р, ¿) вытекает из (21) при интегрировании по всему физическому пространству

ЧШ) £ (Р^Ь (22)

Начальное условие для уравнения (22) ФЕ(р) = ФЕ(р, 0) = 8(р-р°). Для вывода замкнутого уравнения для ФПВ в переменных Ла-гранжа (17) необходимо вычислить корреляции флуктуаций скорости и ее производных с индикаторной функцией (щ(х, Ь)^ь(р, х, ¿)) и (^ь(р,х,Ь)дщ(х,Ь)/дхг).

Выражение для функциональной производной от индикаторной функции следует из уравнения (15)

Suj (y, t - 0)

d {S(x - y)^L(p, x,t)} + dS(X y) д {pMp, x,t)} . (23)

дх^ дх2 др

На основе выражения (23) и формулы Фурутсу-Новикова получаем замкнутое представление для корреляций индикаторной функции в переменных Лагранжа (17)

д

(иг(х,1)^ь(р, х,г)) = -Те (и*) — Фь (р, х,г), (24)

Чхг- ^ = ^(р^)- (25)

Подставив формулы (24) и (25) в уравнение (17), находим замкнутое уравнение для ФПВ распределения концентрации частиц вдоль

траектории выделенной частицы

д Фь(р, х,Ь) ,2\ д фь (р, х,Ь) =

дЬ ^ г' дх^дх^

= Те ( (£-)} й {р2др^р,Ц . (26)

Начальное условие для уравнения (20) ФЬ(р, х) = Фь(р, х, 0) = = 8(р — р°(х))8(х — Х(а)(0)) .

Уравнение (26) представляет два процесса массопереноса. Во-первых, диффузию распределения частицы а в физическом пространстве. Средняя концентрация вдоль траектории частицы {рь(х,Ь)) =

сю

= J рФь(р, х,Ь)йр .

0

Уравнение для средней концентрации {рь(х,Ь)) следует из уравнения (26) в результате интегрирования по пространству концентраций

д {р ь(х,Ь)) =

дЬ дхгдхг

Начальное значение средней концентрации следует из (12) и равно {р ь(х,Ь)) = р °(х).

ФПВ распределения концентрации вдоль траектории частицы Фь(р,Ь) = J Фь(р, х,Ь)д,х получается в результате интегрирования (26) по всему физическому пространству

дФъ(р,') //ди-\Л д { 2 д _ }

=Те\(.дх-; /др\рдрфL(р,ь)) • (27)

Начальное условие для уравнения (27) — значение концентрации на траектории Фь(р) = ФЬ (р, 0) = 8 (р — р°) .

Вычисление функциональных производных. В этом разделе представлены основные методы функционального дифференцирования, использующиеся при раскрытии корреляций в незамкнутых уравнениях для индикаторных функций в представлении Эйлера и Лагранжа.

При раскрытии корреляции функционала Ф [и(х, Ь)] со случайным полем Гаусса и(х,Ь) привлекаем формулу Фурутсу-Новикова [7]

(щ (x,t)<^[u(x,t)]) =

t

= dy dC (щ(x, t)uj(y, 0)( s^uUx^) . (28)

S<^ [u(x, t)]

Suj (y,C)

При вычислении функциональной производной (8Ф[и(х, г)]/ 8П](у,£)) в (28) используются два правила. Основное правило функционального дифференцирования (8и,(х,г)/8и,(у, £)) = 8,38(х — у) х х8(г — £) и условие физической причинности [7]

'8Ф [и(х,г)]\ Г 0 при £>г

8щ (у,£) / \=0 при £ < г •

Для дельта-коррелированного во времени случайного поля и(х, г)

(и, (х', г') щ (х'', г'')) = 8,з2Те (и?) 8 (г' — г") Фс (х' — х'') формула Фу-рутсу-Новикова упрощается и принимает вид

(щ(х, ¿)Ф [u(x, t)]) =

8Ф [u(x,t)]

= 8j <щ2> TEJ ^уФс(х - y)^

8щ (у, t - 0)

(29)

Функциональная производная от функционала Ф [и(х, г)] в (29) может быть рассчитана исходя из уравнения для индикаторной функции. Записываем в общем виде уравнение для индикаторной функции

ду(рд;х,г)=п[и(х,^(р, х,г)]. (30)

Правая часть (30) является функционалом от случайного поля и(х, г). Уравнение (30) переписываем в интегральном виде

г

ф(р, х,г) = фо(р, х) + £ П [и(х, в), у(р, х, 8)] д,в. (31)

0

Здесь ро(р, х) — начальное значение индикаторной функции независящее от случайных флуктуаций скорости несущей среды.

Применяя операцию функционального дифференцирования (8/8и] (у,£)) к уравнению (31), получаем

г

8<р(р, х,г) Г д П [и(х, в), ^(р, х, в)] 8ик (х,в)^

8Щ (у,£) У дик 8щ (у,£)

0

г

+ Г дП [u(x, ^^^ хв)] ^^ х,в)(32)

У д¥ 8щ (у,£) .

«

При записи (32) учтено условие физической причинности. Для дельта-коррелированного во времени случайного процесса в (32) остается только первый интеграл, который приводит к выражению для

функциональной производной

8^(р, x,t) dQ[u(x,t),^(p, x, t)]

Skj£(x - y).

8щ (у,Ь — 0) дик

Статистические свойства случайного поля скорости среды.

В этом разделе иллюстрируется связь между формой автокорреляционной функцией флуктуаций скорости среды и мелкомасштабной структурой. Рассматривается статистически однородное статистически стационарное поле флуктуаций скорости несущей среды. Двухточечная двухвременная корреляция флуктуаций скорости среды имеет вид [8]

{и- (х', Ь') и (х", Ь'')) = 813 <и2> Ф (х — х", Ь' — Ь"),

где {и2) — осредненный квадрат флуктуаций скорости несущей фазы, Ф(х,Ь) — автокорреляционная функция.

Временной интегральный масштаб для автокорреляционной функ-

сю

ции Ф(х,Ь) равен ТЕ = ^ Ф(0,в)(8. Флуктуации скорости жидкости

0

моделируются дельта-коррелированный во времени случайным процессом

Ф(х, Ь) = 2Те8(Ь)Ф° (х), Ф°(0) = 1,

где 8 (Ь) — дельта-функция Дирака.

Спектральное разложение поля флуктуаций скорости имеет вид [8]

и-(х,Ь) = ! е-кх(аг(к,Ь), (33)

где г — мнимая единица, к — волновой вектор, (аг (к,Ь) — элемент случайной меры в пространстве волновых чисел.

Используя (33), записываем выражение для двухточечной корреляции флуктуаций скорости среды

{и-(х', Ь)и, (х!', Ь)) = ! I егк,-,+гк"-" {¿а-(к', Ь)(а3 (к'', Ь)). (34)

Из условия статистической однородности и стационарности (33) получаем функциональный вид корреляции в (34)

{(а- (к', Ь)йа, (к'', Ь)) = 8ц <и2г> В (к', Ь)8(к' + к'')(к'(к''. (35)

Здесь 8(к) — трехмерная функция Дирака, В (к,Ь) — спектральная плотность.

Подставив (35) в выражение (34), получаем спектральное разложение автокорреляционной функции флуктуаций скорости сплошной среды

Ф(х,Ь) = ( ( ке-к хВ(к,Ь). (36)

Спектральная функция в физическом пространстве определяется по автокорреляции Ф(х, *) следующим образом

В (к,*) = (¿53/ 4 хв-ймсФ(х,*). (37)

Процесс кластеризации примеси зависит от микромасштаба, который характеризует поведение автокорреляционной функции Ф(х, *) вблизи нуля. Микромасштаб определяется вторыми производными от автокорреляционной функции ((дщ(х,Ь)/дхг)2). Осредненный квадрат производной вычисляем, используя спектральное представление (33)

дщ(х,*Л ) = - [ [ к[^'•М"^ {4аг(к',г)4аг(к",г)).

дх

Здесь по дважды повторяющемуся индексу производится суммирование.

С учетом (.. ) записываем осредненный квадрат производной от флуктуаций скорости жидкости

^ = (И2>| 4 кк2В (к).

Из последнего выражения и (37) вытекает связь между осреднен-ным квадратом производной от флуктуации скорости среды и автокорреляционной функцией

'дщ(х,*) \ Л = _ /щ2> д2Ф(х,*) дхг ) ^ г' дхгдхг х=0

Из последнего выражения и уравнений (21) и (26) следует, что процесс кластеризации является результатом двух конкурирующих тенденций: турбулентной диффузии, приводящей к однородному распределению частиц, и макромасштабного коррелированного движения, имеющего дивергентный характер.

Решение уравнений для ФПВ. В этом разделе представлены решения уравнений для ФПВ распределения концентрации частиц в переменных Эйлера (22) и Лагранжа (27). Эти уравнения диффузии с переменным коэффициентом диффузии в пространстве концентраций. Их решения отражают различную физику формирования областей с повышенной концентраций частиц в переменных Эйлера и Лагранжа.

Распределение кластеров частиц в переменных Эйлера. В этом разделе представлен анализ решений уравнений для ФПВ в представлении Эйлера. Решение замкнутого уравнения для ФПВ распределения концентрации частиц в произвольной точке пространства следует из уравнения (22)

Фе (p,t) =

pV 4пЛе t

exp

ln2 (eÄEtp/p0) 4Ле t

Рис. 1 показывает изменение ФПВ относительной концентрации р* = р/р0 частиц в зависимости от безразмерного времени £* = ЛЕ Видно, что с течением времени наиболее вероятное значение концентрации в пространстве стремится к нулю. Это свидетельствует об образовании "жгутов" частиц с большой локальной концентрацией. Следует отметить, что средняя концентрация частиц при этом неизменна. Это видно из системы уравнений для моментов, которая вытекает из уравнения (22)

d <pE(t)> dt

= Леn (n - 1) <pE(t)>.

Видно, что средняя концентрация (п = 1) постоянна, однако второй момент случайной концентрации частиц (п =1) растет со временем. Это можно трактовать как рост фрактальных структур в пространстве.

Распределение кластеров частиц в переменных Лагранжа. Решение уравнения для ФПВ распределения концентрации частиц в представлении Лагранжа (27) имеет вид [9, 10]

Фь (p,t) =

1

pv/4nAEt

exp

ln2 (e-ÄEtp/po) 4ЛEt

<MpV)

3

Рис. 1. Функция плотности вероятности распределения безразмерной концентрации частиц р* в представлении Эйлера для различных значений безразмерного времени £*

Рис. 2. Функция плотности распределения безразмерной концентрации частиц р* в представлении Лагранжа для различных значений безразмерного времени г*

Для безразмерной концентрации частиц р* и различных моментов времени V* решение уравнения для ФПВ Лагранжа иллюстрируется на рис. 2. Видно, что с ростом времени в распределении появляются "тяжелые хвосты", соответствующие большим случайным концентрациям примеси вдоль траектории частицы.

Уравнение для моментов в представлении Лагранжа следует из (27) и имеет вид

* (рЕ (*)>

dt

= Леn (n + 1) <p£(t)).

Видно, что средняя концентрация примеси (п = 1) экспоненциально увеличивается вдоль траектории произвольно выбранной частицы. Экспоненциально растут также моменты концентрации, что свидетельствует об образовании локальных, перемещающихся в пространстве областей с повышенной концентрацией частиц.

Заключение. Работа иллюстрирует эффективность элементов современного функционального анализа при изучении процессов переноса в случайных гидродинамических полях. Привлечение функциональных подходов существенно расширяет возможности традиционных методов исследования процессов массопереноса.

1. Разработана методика детального описания процесса кластеризации пассивной примеси в статистически однородных и статистически стационарных случайных полях. Получены замкнутые уравнения для распределения примеси частиц в полях со случайной дивергенцией в переменных Лагранжа и Эйлера.

2. Установлено, что явление кластеризации примеси частиц является результатом конкуренции двух процессов. Относительная диф-

фузия частиц способствует реализации однородного профиля частиц. Интенсивность процесса относительной диффузии связана с энергоемкой частью спектра флуктуаций скорости несущей среды. Процесс кластеризации связан с микромасштабной частью спектра.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.ChenL., Goto S., Vassilicos J.C. Turbulent clustering of stagnation points and inertial particles // J. Fluid Mech. - 2006. - Vol. 553. - P. 143-154.

2. Falkovich G., P u m i r A. Intermittent distribution of heavy particles in a turbulent flow // Phys. Fluids. - 2004. - Vol. 16. - P. L47-L50.

3. FesslerJ. R., Kulick J. Preferential concentration of heavy particles in a turbulent channel flow // Phys. Fluids. - 1994. - Vol. 6. - P. 3742-3749.

4. Z a i c h i k L. I., Alipchenkov V. M. Pair dispersion and preferential concentration of particles in isotropic turbulence // Phys. Fluids. - 2003. - Vol. 15. -P. 1776-1787.

5. Derevich I. V. Statistical modeling of particles relative motion in a turbulent gas flow // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2006. - Vol. 49. - P. 4290-4304.

6. Кляцкин В. И. Кластеризация и диффузия частиц и плотности пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках // УФН. - 2003. - Т. 173. -№ 7. - С. 689-710.

7. Кляцкин В. И. Динамика стохастических систем. - М.: Физматлит, 2003. -240 c.

8. М о н и н А. С., Я гл о м A. M. Статистическая гидромеханика. Часть 2. - М.: Наука, 1967. - 720 c.

9. S a i c h e v A. I., Woyczynski W. A. Distributions in the Physical and Engineering Sciences. Vol. 1. Boston: Birkhauser, 1997. - 331 p.

10. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Пер. с анг. АбрамовицМ., СтиганИ. 1979. - 832 с.

Статья поступила в редакцию 05.09.2012