Математическое моделирование турбулентного переноса дисперсной фазы в турбулентном потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

УДК 532.5:536.2

О.В. Матвиенко*, В.М. Ушаков**, Е.В. Евтюшкип*

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА ДИСПЕРСНОЙ ФАЗЫ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ

•Томский государственный архитектурно-строительный университет ** Томский государственный педагогический университет

Введение

Для описания свойств многофазных потоков в настоящее время используют два метода, основанных на подходе Лагранжа и Эйлера [1].

В рамках подхода Лагранжа выписываются уравнения движения отдельных частиц в форме второго закона Ньютона, в правых частях которых стоят силы, действующие на частицу в потоке. Несмотря на кажущуюся простоту описания движения частиц в рамках подхода Лагранжа, этот метод обладает по крайней мере двумя существенными недостатками. Первый из них связан с вычислительными трудностями, связанными с необходимостью решать огромное число уравнений движения для совокупности частиц. Так, для описания пространственного движения Династии требуется решить 6Ыуравнений. Проблема становится еще более сложной, если возникает необходимость моделирования движения частиц с учетом их взаимодействия. Вторая проблема связана с трудностью учета стохастического характера движения частиц в потоке с турбулентностью. Используемые в настоящее время подходы, основанные на использовании метода Монте-Карло, требуют проведения целой серии расчетов так, чтобы результат их осреднения имел объективный характер.

Эффекты взаимодействия фаз, стохастический характер движения большой совокупности частиц могут быть учтены в рамках подхода Эйлера, в соответствие с которым мног офазная среда рассматривается как совокупность многоскоростных континуумов (несущей среды и различных фракций частиц). Для каждого из этих континуумов записываются уравнения движения в форме Эйлера, а также уравнения сохранения массы каждого из рассматриваемых континуумов.

В случае частиц с малой инерционностью этот подход может быть заменен моделями, основанными на концепции дрейфа дисперсной фазы относительно несущей фракции [2]. При этом скорость ос-редненного за период турбулентной пульсации движения дисперсной фазы определяется в предположении малости инерционных членов, или динами-

ческого баланса сил, действующих на частицы.

Таким образом, нет необходимости решать полные дифференциальные уравнения движения, а достаточно рассмотреть уравнение динамичсскої о баланса сил.

Физическая постановка

В случае гравитационного оседания частиц уравнение динамического баланса сил может быть представлено следующим образом:

|ссс/;,|уг|уг+(р/,-р)і=о. (і)

В уравнении (1)£ - ускорение свободного падения; с1р - диаметр дисперсной фазы; р, р,, - плотность несущей и дисперсной фаз; V, = V - ур - скорость движения дисперсной фазы относительно несущей; V - абсолютная скорость дисперсной фазы; V - скорость несущей фазы; коэффициент сопротивления Са является функцией относительного числа Рейнольдса

И

где |д - динамическая вязкость.

Определение массовой концентрации частиц осуществляется путем решения уравнения сохранения массы каждой фракции частиц и несущей среды.

Уравнение сохранения массы дисперсной среды имеет вид уравнения неразрывности:

дРрМр +(1;у(р м V ) = 0, (2)

С1

где Мр - массовая концентрация.

Главная отличительная особенность турбулентных течений заключается в том, что все характеристики потока пульсируют случайным образом на фоне своих средних значений. Поэтому для математического исследования турбулентного течения целесообразно его мгновенные характеристики представить как сумму осредпенного и пульсационного движения.

Разделяя мгновенную составляющую скорости и концентрации на осредненную и пульсационпую со-

ставляющие, ур = (ур) + , Мр = (Мр) + М'р и ус-

редняя уравнение (2) по Рейнольдсу [3], получим уравнение турбулентной диффузии частиц:

^Ц^) + сЦр ,(м,)(ур)) =

= -сИу(Р„(л/;)(у;)). (3)

Таким образом, возникает задача определения тур-булентного потока частиц -рр (ч'рМр\ .

Основные предположения

Для определения турбулентного диффузионного потока дисперсной фазы воспользуемся следующими предположениями:

- частицы дисперсной фазы предполагаются сферическими, взаимодействие между час тицами не учитывается;

- период турбулентной пульсации может быть оценен как отношение турбулентной кинетической энергии к к скорости ее диссипации

5/ = к / е; е: (4)

- величина пульсации скорости несущей среды может быть моделирована следующим образом:

V =

V' 0.,А

2

-V

51

<г,

(5)

- в начале пульсации частица движется вместе с основным потоком, так что скорость ее движения относительно потока равна нулю:

< = 0: Ур = у. (6)

В рамках этих предположений уравнение движения одиночной частицы можно представить в следующем виде:

(7)

Для автомодельной (или ньютоновской) области характерно практически неизменное значение коэффициента сопротивления, который полагают равным [4]

С0 = 0.44

Наряду с приведенными выше формулами, описывающими сопротивление в каждой области, известны зависимости, применимые в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Для численного моделирования в настоящей работе использовалась следующая зависимость для коэффициента сопротивления [6]:

С 24 | 3.73 4.83-10

П Ие + ч/Йй; 1 + 3-10 61*е

+ 0.49

Анализ результатов

Рассмотрим сначала турбулентный перенос дисперсной фазы вследствие турбулентных пульсаций, вызывающих движение частиц, описываемое законом сопротивления Стокса:

Г0=3яц^(у-ур). (8)

Интегрирование уравнения движения (7) позволяет оценить изменение массы частиц в элементарном объеме за период пульсации следующим образом:

М'р=-уу-&ай ((МР)), (9)

где ч -фактор, отражающий инерционность частиц:

= 1_2А

У 2а Ь

Г о - - ( г > “

3-схр 1 - ехр ь

-а— </ 43 а 1

_ V р _ _ V У / -

,(Ю)

Зависимость С0 (Ие), как известно, имеет достаточно сложный характер. В области Яе < 1 обтекание происходит в стоксовском режиме и характеризуется зависимостью [4] Сд = 24/Яе.

Когда обтекание сферической частицы характеризуется значениями числа Рейнольдса Ке > 1, следует выделять переходную 1 < Ие < Ю3 и автомодельную области 10' < Яе < 2 • 10\

Для определения сопротивления в переходной области можно использовать формулу Клячко [5]

С0 = 24/Ие + 4/х/Йё.

где а - 18 — 1*е, - безразмерный параметр, обрат-Р, ^.3/2

ный времени релаксации частиц;/, =--------масштаб

р Ты £

турбулентности; Не. --------- -турбулентное число

И

Рейнольдса.

В случае ньютоновского режима обтекания сила сопротивления определяется зависимостью

(11)

Анализ движения частиц в результате действия ньютоновской силы сопротивления позволяет определить инерционность частиц как

(¿А ГО Г <Ог1

-Є- 1п 1 + 2(3 + 2 Р-Г

и; к ^ ,

(12)

4 о

где (3 = ——С,,1 - безразмерный параметр, характе-

Зр„

ризующий путь релаксации.

В переходной области получение аналитического решения невозможно, поэтому для определения фактора инерционности частиц следует воспользоваться численными методами. Необходимо отметить, что при использовании аппроксимаций зависимости С0(Ке), описывающих движение частиц в различных режимах, можно проводить расчеты в широком диапазоне чисел Рейнольдса, а также моделировать смену режима обтекания частицы вследствие ее ускорения или торможения. При этом результаты численного моделирования позволяют получить данные об инерционности частиц в широком диапазоне параметров.

Таким образом, турбулентный диффузионный поток частиц может моделироваться следующим выражением:

-р„ (М'рур) = -рру® Ур)ёгас!(Мр). (13)

С учетом гипотезы Буссинсска [3] последнее выражение в индексном виде может быть представлено как

-р,(а^)=-7-'р

Р/

дЫ, аЫ

+ и.

дх, дх,

!Ю

дх,

(И)

~{м'р У') = -

. а(^) дхI

(15)

ОХ-

дХ;

где й,- коэффициент турбулентной диффузии несущей фазы.

Сравнение (12) с (13) позволяет определить коэффициент турбулентной диффузии дисперсной фазы:

ч».

Р,

(16)

Турбулентный диффузионный поток газовой примеси может быть выражен как

Поскольку коэффициент диффузии Ор1 зависит от поля турбулентности, то он изменяется от точки к точке (в отличие от простейшей гипотезы, использованной в работах [7 - 8]).

Таким образом, уравнение сохранения массы дисперсной среды в случае турбулентного режима течения после осреднения по Рейнольдсу приобретает вид уравнения диффузии и может быть записано в виде

С^^1 + Шу(р,(л//,>(ур)) =

= -<Ну(рд£>,8гас1(М')). О7)

Уравнение (17) описывает конвективный перенос

0,50

0,1 1 10 100 1000 10000 Рис. 1. Фактор инерционности частиц, определенный с использованием формул (10,12): 1-3 - стоксовский режим, 4 - ньютоновский;

1- 11с = 0.1, 2- Ие = 0.5, 3- Ие = 1

1,00

0,75

0,50

0,25

1000

10000

Рис. 2. Фактор инерционности частиц (численный расчет):

1 - <1 /1=10'5, 2 - с1 Л^ЮЛ 3 - <1/1=Ю3. 4 - суШО4,5 - <У1«10\6 - <1/1=1, 7 - <1/1=10

р 1 р 'р 'Р 'р Р Р

частиц осредненным потоком и стохастическое движение частиц вследствие турбулептьгх пульсаций (турбулентную диффузию).

Рассмотрим характеристики турбулентного диффузионного переноса частиц в сдвиговом потоке. Предполагается, что р = 1000 кг/м5, рр =2600 кг/м3, что соотвествует характерстикам воднопссчаной суспензии. Отметим, что знание характеристик движении частиц в подобного рода суспензии позволяет, в частности, существенно оптимизировать процессы сепарации в гидроциклонных устройствах [2].

Анализ формул (10, 12) показывает, что в стоксов-ском режиме коэффициент турбулентной диффузии определяется отношением размера частицы к размеру энергосодержащего вихря , а также интенсивностью пульсаций несущей среды, характеризуемой турбулентным числом Рейнольдса Ке,. В ньютоновском режиме диффузия частиц определяется только их относительными размерами.

Коэффициент турбулентной диффузии частиц для мелких частиц достаточно высок, и частицы переносятся турбулентным потоком так же, как и жидкость (рис. 1). Однако с увеличением размера частиц подвижность частиц резко ослабевает. Таким образом, крупные частицы не могут диффундировать. несмотря на высокий уровень турбулентности.

Как уже отмечалось, аналитическое решение задачи о турбулентной диффузии частиц в переходной области невозможно, поэтому исследование характеристик переноса было выполнено численно с использованием закона сопротивления [6]. Численное моделирование позволило также исследовать переход от одного режима сопротивления к другому. Результаты численных расчетов показывают, что малые турбулентные пульсации приводят в движение лишь мелкие частицы, однако с увеличением Ке, в движение приходят все более крупные частицы (рис. 2).

Подвижность частиц определяйся их размерами. Если размеры частиц превышают размеры энергосодержащих вихрей с1р> Ь, то частицы не переносятся потоком.

Сравнение полученных формул, а также результатов численного моделирования с исследованиями седиментации частиц в жидкости [9] позволяет сделать вывод, что предложенные формулы дают достаточно хорошие результаты в сравнении с экспериментальными данными. Таким образом, предложенный метод достаточно реалистически описывает турбулентный перенос дисперсной примеси в многофазном потоке и может применяться для численного моделирования многофазных потоков.

Работа выполнена при поддержке Минпромнауки РФ (грант Президента РФ № МД-197.2003.08), а также фонда Александра фон Гумбольдта (Германия).

Литература

1. Crowe С. et al. Multiphase Flows with Droplets and Particles. CRC Press., 1998.

2. Дик И.Г. и др. Моделирование гидродинамики и сепарации в гидроциклоне II Теор. основы хим. технол. 2000. Т. 34. № 5.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1974.

4. Островский Г.М. Прикладная механика неоднородных сред. СПб., 2000.

5. Клячко Л.С. Уравнение движения пылевых частиц в пылеприемных устройствах II Отопление и вентиляция. 1934 № 4.

6. Neeße Th., Schubert H., Modellierung und verfahrenstechnische Dimensionierung der turbulenten Querstromklassierung. T. III Chem. Techn. 1975. Bd. 27. № 9.

7. Neeße Th., Schubert H Modellierung und verfahrenstechnische... T. Ill II Chem. Techn. 1976. Bd. 28. № 5.

8 Schubert H., Neesse Th. A hydrocyclone separation model in consideration of the turbulent multi-phase flow II Proc. Int. Conf on Hydrocyclones. Cambridge, 1980.

9. Ungarish M. Hydrodynamics of suspension. Springer-Verlag Berlin, 1993.

УДК 622.691

В.Л. Архипов*, В.Д. Котов**, A.C. Ткаченко*, U.C. Третьяков*, Г.Р. Шрагер***

ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОЧИХ ПРОЦЕССОВ В АВТОМАТЕ АВАРИЙНОГО ПЕРЕКРЫТИЯ ГАЗОПРОВОДОВ

* Томский государственный педагогический университет ** ООО «Томсктрансгаз»

*"* Томский государственный университет

Трубопроводы широко используются при транспортировке газов во многих типах производств - химических, нефтехимических, энергетических и др.

При аварийном вытекании в атмосферу большого объема газа может возникнуть опасность крупномасштабной катастрофы вследствие взрыва газовоздушной смеси. Утечка токсичных газов может привести к отравлению людей в производственных помещениях и на прилегающей территории. Поэтому актуальной является разрабо тка надежных быстродействующих автономных устройств, запирающих трубопровод при его аварийном разрыве, - автоматов закрытия крана (АЗК). Особенно актуальна эта проблема для магистральных газопроводов (МГ).

В настоящее время отечественной промышленностью и рядом зарубежных фирм освоен промышленный выпуск различных конструкций АЗК для МГ [1,

2]. Опыт эксплуатации данных АЗК, в частности входящих в комплектацию шаровых кранов производства Чехии, в подразделениях ООО «Томсктрансгаз», показал их низкую надежность и сложность в обслуживании и эксплуатации для условий Западной Сибири, особенно в зимний период.

В настоящей работе рассмотрена новая конструкция автономного устройства для отключения участков линейной части МГ при их разрыве - АЗК-Т [3-5].

Для конструирования опытного образца АЗК-Т необходимо знать характер изменения давления в га-

зопроводе р(() при возникновении аварийной ситуации (например разрыве газопровода). Рассмотрим модель одномерного нестационарного течения идеального газа в горизонтальной трубе с учетом трения и теплообмена с окружающей средой. 11ри этом исходная система дифференциальных уравнений имеет вид [5]

Ф+£(Н=0.

dt дх

д(ри) д ( 2\ Ум

dt дхк

д/|

*> \

Р| е + —

1 2,

ё.\

2D

Р и~ рм| е + -+—

Р 2

(1)

(2)

где р, Т, и - плотность, температура и скорость газа; Ф-коэффициент сопротивления; О - диаметр газопровода; е-удельная внутренняя энергия; а-коэффициент теплоотдачи; Тп - начальная температу ра газа, равная температуре окружающей среды.

Замыкает систему уравнений (1) - (3) уравнение состояния

р=рЯТ, (4>

где Я - газовая постоянная.

Для решения системы уравнений использовались следующие граничные условия. При*=0 ставится