Классы Харди обобщенных аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2

КЛАССЫ ХАРДИ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ © 2003 г. С.Б. Климентов

In the paper for generalized analytical functions the clones of Hardy classes for holomorphic functions are entered. Some properties of these classes similar to properties of classic Hardy classes are obtained. Some differences of properties of gated in classes from classic are marked.

1. Введение. Основные определения

Хорошо известна роль классов Харди Нр голоморфных функций при изучении нерегулярных краевых задач для голоморфных функций [1]. В предлагаемой работе рассматривается обобщение пространств Харди на решения канонической эллиптической системы с целью его использования в теории нерегулярных краевых задач для таких систем.

Пусть D = {z:| z |< 1} - единичный круг комплексной г-плоскости, z = x + iy, г-2=-1; Г = ЭD - граница круга D; /?=1>иГ; A(z), B(z)GLs(D), s> 2 - заданные комплексные функции (используются обозначения из [2]).

Рассмотрим в D каноническую эллиптическую систему в комплексной записи

A(z)w+B(z)w = 0, (1)

где w=w(z) = u(z)+iv(z) - искомая комплексная функция, и и v - ее действительная и мнимая части; Эг = l/2(d/dx + id/dy) - производная в смысле Соболева.

Решение w(z) системы (1) называют обобщенной аналитической функцией [2, с. 148].

Определение 1. Будем говорить, что решение системы (1) принадлежит классу Нр(А, В), р> 0, если

оно для некоторой положительной постоянной М (vv) < +°о удовлетворяет условию

= l*\w(peia)\p dc<Mp(w),

2 к

Vp:0< р <1, peia =zeD .

При A = В = 0 имеем классический класс Харди Нр [1, с. 74].

Замечание 1. Для голоморфной функции класса Нр величина Ц (р, vv) не убывает по р [1, с. 77].

Для функций класса Нр(А,В) это свойство не сохраняется.

Пример 1. Положим A(z) = ——■ ,w(z) = ——zr-

1 + zz 1+zz

Имеет место соотношение 3-w+A(z)w = 0, и И(Р>w) убывает при р —»1.

2. Вспомогательные сведения Лемма 1 [2, с. 156, 175-177]. Для обобщенной аналитической функции н’(г), определенной в О, имеет место представление

w

(г) = Ф(г)ехр

(2)

W '

A(z) + B(z) —, если 0,

W

где£ = £ + /?7; g(C) = ■

0, если = 0;

Ф(г) - голоморфная в В функция, однозначно определяемая функцией н’(г).

Если в соотношении (2) задана голоморфная в О функция Ф(г) (произвольной структуры), то по ней однозначно определяется обобщенная аналитическая функция и’(г).

Следуя [2, с. 42,45], обозначим

Tf{z) = --\\^-d^dr], /(г)е Ь„(5), q>l.

Лемма 2 [2, с. 41, 57]. Если и<г) непрерывное в И решение системы (1), то имеет место соотношение

и’(г)+г(Аи'+Вй'Хг) = Ф(г),

2т р t - z

(3)

Очевидно, Ф(г) в (3) - голоморфная в Б функция.

Если Ф(г) - произвольная голоморфная в О функция класса 1)^(0), 5>2, то соотношением (3) однозначно определяется решение н'(г) системы (1) класса £>, Д£>).

Лемма 3 [2, с. 67 - 68]. Обозначим

Гг = {г:| г|= г < 1}. Если /е^(/)), 1<д<2, то

Т/е 1у(ГГ) для \/г:0<г< 1, где у - произвольное

Я

число, такое, что 1 <у<

2-q

а также имеет место

оценка ^Дцгг)йМрЛАфУ где константа МРу от / и г не зависит.

Лемма 4 [2, с. 185]. Если уу(г)е с(р) - решение уравнения (1), то имеет место представление (обобщенная формула Коши)

-П2(г,СМСЖ =

2.ТС1

w(z), zeD, (4)

= • w(z)/2,ze Г,

О, z е D,

где QjCz,С) = (С--гГ1 + о(|С-zГ2/'). (5)

G2(z,0 = o(K-zr2/*) -

обобщенные ядра Коши уравнения (1) [2, с. 179]; Q,(z,f), £22(z,C) eCa,a = s/(s-2) по каждой переменной г, С ПРИ г 5* С •

Замечание 2. При А = 5 = О £21(г,С) = (С_г)-1, £22(г,£) = 0 и формула (4) превращается в формулу Коши для голоморфных функций.

Следующая лемма несколько уточняет соответствующее утверждение из [3, с. 96].

Лемма 5. Если Ф(г)е Нр, р> 0, то

Ф(г)е Lm(D) для V т\0 < т < 2р .

|Ф(г)|<|Ф0(2)|;

Доказательство. Обозначим b{z) функцию Бляшке [1, с. 78-79] функции Ф(г). Тогда Ф(г) = ^(г)Ф0(г), где |Ф(г)|<|Ф0(2)|; Ф0(г)еЯр; Ф0(2)^0.

В силу последнего соотношения функция Ф!(г) = [Ф0(г)?/2 однозначна и для класса Н2. Далее Ф|(z)eL?(D) для Vq:0<q<4 [3, с. 96]. Положив т = pq/2<2p, получаем III Ф(г) Г dxdy<\\I Ф0(г) Г dxdy=J{| Ф] (г) \ч dxdy<<*>.

D D D

Приведем два хорошо известных неравенства:

(a + b)Y <aY+bY, a>0,b>0, 0<у <1; (6)

(a + b)Y <2Y~\aY +bY), a>0,b>0,y>l,

(7)

ций класса Нр [1, с. 67, 73, 83, 85] являются следующие утверждения.

Теорема 2. Функция Нр(А,В), р > О,

для почти всех точек г окружности Г имеет предельные значения по некасательным путям >у+(г) е Ьр(г). Если же Ьд(г), ц> р, то

ки)еНч(А,В).

Теорема 3. Если функция и<г)є Нр(А,В), р > 0, на множестве е с Г положительной меры имеет нулевые некасательные предельные значения, то н'(г) гг 0 .

Теорема 4. Если w(z)є Нр(А,В), р>0, то

и>(г)є Ьтф) для Vт:0<т<2р .

Доказательство. Непосредственно следует из леммы 5 и теоремы 1.

Приведем обобщение представления (3) на классы Нр(А,В).

Теорема 5. Если w(z)є Нр(А,В), р> 1, р > 5/2(5 -1), то имеет место соотношение (3), где Ф(г)е Нр.

Доказательство. По теореме 4 >у(г)е Ьт(Б), Ут:0<т<2р. Покажем, что Ам+ Вуї є ^(О) при некотором q:\<q<2 (достаточно установить это для Аи>).

Используя неравенство Гельдера, будем иметь:

\\\А{гЫ*)\ч <Шу<

о

-ІІ//3

11а

(В)

которые доказываются исследованием на экстремум

функции /(х) = хе [0,1], у >0.

1 + ху

3. Некоторые свойства функций класса

Нр(А,В)

Теорема 1. Для того чтобы обобщенная аналитическая функция уу(г) принадлежала классу

Нр(А,В), р> 0, необходимо и достаточно, чтобы в представлении (2) Фе Н р .

Доказательство. В силу предположения А (г), В(г)е Ь5 (О), интеграл в представлении (2)

— 5 — 2

ДляУи'(г) принадлежит классу Са(В), а =----------

5

[2, с. 54], откуда непосредственно следует утверждение теоремы 1.

Также непосредственным следствием формулы (2) и соответствующих свойств для голоморфных функ-

Я1 л(г) \ча dxdy Я1 I ЛхЛу -II

где 1/а + 1//3 = 1. Подберем «,/?,<? так, чтобы

1 < д < 2 и чтобы правая часть (8) была ограничена.

Положим aq = s, тогда первый сомножитель в правой части (8) конечен. Далее будем иметь

Ф =

а-1 s-q

Очевидно, зафиксировав q доста-

точно близким к единице (q > 1) и т:2р > т >

5-1

будем иметь т > = pq и второй сомножитель в

s-q

(8) при этом будет конечен.

При зафиксированном таким образом q, по лемме 3

Т(А№+В^)е1у{Гг) ' (9)

для \/у.\<у<——, Уг:0<г<1. Зафиксируем у<р.

2-q

Поскольку Ам?+В\$ е Ьд(0), из (1) Эгн>е Ьд(0) и

вследствие этого имеет место равенство [2, с. 50]: н'(г) + г(Аи'+Яй/Хг) = Ф(г), (10)

где Ф(г) - голоморфная в £> функция.

Используя неравенство (7), из (10), (9) и леммы 3 Подставим w+(t) = Ф+(t)w0{t) в (14): будем иметь

JI ф(0 |г dt < Ф+(^о1« = ^Ф+(0 + ^1^Д^С +

Р 2 2т г £ -1

^ г

Л 1 (11) I У(0 г(^о(0-^о(0)ф+(0 ,г

<2r'1 \\\W(t)\V dt+\\T{Aw+Ew){t)\r dt\<cr, 2m I £-t ( )

rr г

' 1 Поскольку Ф+(?) - предельные значения на Г

где константа Cv от г не зависит. „ , ,, ,

' аналитической в D функции класса Ну, у > 1,

Таким образом, Ф(г) в (10) принадлежит классу ^ ^

Ну, следовательно, имеет почти всюду на Г пре- —г-----------dC, = Ф+(0, и соотношение (15) принима-

’ т г Q —t

дельные значения по некасательным путям ст вид.

Ф+(0єІу(г) [1, с. 73] и представима интегралом ф (Г) +

Ко™ И,с. 83]: (16)

ф(г) =—J-^Л. (12) 2т Jr £-t

„ Г .... _ Левая часть в (16) принадлежит классу Z-Лг), а

Положим в равенстве (10) гєГ и применим к рч '

I , интеграл в (16) имеет ядро со слабой особенностью

обеим частям равенства оператор _J—</£, (ПОрядка \^-t\~2ls\ т. е. действует из Ly в ^ , где

f є D . Поскольку w+(z)e Lp(r) (теорема 2), а I/Р = Uy-(s-2)/s (см. например [4, с. 140]), по-

, T(Aw+ Bw)(z)dz этому из (16) получаем Ф+(г)є L (г), а следователь-

| -----= о при £ є D [2, с. 69], получим

Г г - С, но, по теореме В.И. Смирнова [1, с. 83], Ф е Нр, и, по

ф(£)=^р£№ ' (13) теореме 1, W(г) є Нр (А,В) .

2т г z — Q

Из (12) и (13) будем иметь [1, с. 126,139]: Теорема 7. Если »<2)€ Н р(А,В), р >0 ,то

»,(„ = I„,,(„+_Lr25tii)*s,(r). (14) = (17)

2 2тп Г г-і

Таким образом, по теореме В.И. Смирнова [1, с. 83],

limjg \w(reie)-w+(eie)\p d0 = 0, (18)

Ф(г)е Нр . где ы+(е'°) - предельные значения по некасательным

Теорема 6. Уравнение и'(г)+7’(Ли'+Вй))(г)=Ф(г) ^ , , . ,е „ .

г ^ у л' ' ' путям на Г функции (г); г = ге , 0<г<1.

^ ^ Докажем сначала (18). Из представления (2)

венное решение w(z)e Нр(А,В). w(z) = O(z)w0(z), где Ф(г)<= Нр, w0(z)e Ca(D), ис-

при \/Ф(г) 6 Нр, р>1, Р>~—77 имеет единст- Доказательство. Рассмотрим случай р>1.

е V

Доказательство. По лемме 5, Ф е£т(£>), пользуя неравенство (7), получим

Ут:0<т<2р. Существование и единственность ^(ге'0)- и>+(е‘0) |р ^0 <

решения м>еЬтф) следует из рассуждений [2, < г'-^ир | и>0(г) | ^|Ф(пг'в)-Ф+(е'°) I* «/0 +

С. 167-168]. геО (19)

Покажем, что ык)еНр(А,В). То, что ы(г) - +2p~ljl’t\Ф+(ei9)\p\w0(rei9)~wQ(ew)\pdв.

решение уравнения (1), - хорошо известный факт Первое слагаемое в правой части (19) стремится к [2, с. 168 - 169]. Аналогично (11) получим нулю при г—>1 в силу соответствующего свойства

и'(г)е Ну(А,В) для некоторого у > 1. Отсюда, по для голоморфных функций класса Нр [1, с. 80], а

теореме 2, существуют почти всюду на Г предель- второе слагаемое в силу равномерной в Г) непре-

ные значения по некасательным путям н’+(/)е 1у (г) рывности функции и>0 (г). Таким образом, при р> 1

и имеет место соотношение (14). соотношение (18) доказано.

Обратимся теперь к представлению (2) для полу- Далее при р > 1 из неравенства Минковского

ченного решения и^г) = Ф^и^г), имеем

где \м0(г) = е-Т(А+в”/*’Ь) <= са ф), а = {з-2)/2. [[^|и<ге‘0)1р Р <\^t\w{rele)-w+{.elв)\p dв\ Р +

По теореме 1, Ф(г)е Ну И предельные значения \г2л\ , гв.,п ,а\1/Р

+ Уо 1и'+^е •

Ф.(г)е£Лг). ,.оч

+ \ / “уч / откуда в силу (18)

і

ЧІ

4

N

lim/027r| w(reie ) |P dd< /02л| w+ (ei0) |pd9. (20) ПРИ r« 1 • Тогда ПРИ r« 1 пеРвое слагаемое в

правой части (25) стремится к нулю и, кроме того, lira JI w(rnew)|р d6 = JI w+(eie)|р dd.

r«->lE Е

В силу уже доказанного равенства (17) отсюда также получаем

lim JI w(rne‘e) |р dd = Л w+ (е10) |р d6 . г--*1а h

Следовательно, последние два слагаемых в правой

г—И

Вместе с тем из теоремы 2 и леммы Фату [5, с. 133-134]

\Т I(еш )\Pdв<Шn^oЛ\ ™(ге‘в )\РМ- <21>

г-41

Сопоставляя (20) и (21), получим (17) при р > 1. Обратимся теперь к случаю 0 < р < 1. Обозначим Ь(г) функцию Бляшке голоморфной функции Ф(г)

[1, с. 78-79] в представлении (2). Положим далее части (25) можно сделать сколь угодно малыми, уст-

Ф0(г) = Ф(z)/b(z), ВД = Ф0(гК(г) = w(z)/b(z). Здесь [1, с. 79] Ф0(г)*0, г є D; Ф0(г)є Нр\

■ |Ф(г)|<|Ф0(г)|; |Ф(О|=|Ф0(ОІ.СєГ. (22)

В силу (22) имеем соотношения

ремляя (по теореме Егорова) меру множества к к нулю, а гл -к 1. Теорема 7 полностью доказана.

Для вывода обобщенных формул Коши для функций класса Нр(А,В) нам необходимы некоторые

| и'(г)|<| ТУ0(г)|, ге £>; | ^+(01> С е Г. (23) вспомогательные утверждения.

Поскольку Ф0(г)*0 в О , голоморфная функция Лемма 6. Если и/(г)£ Нр(А,В), р> 1 , то имеет

а <• ч Глч / \1р/2 место соотношение (формула Грина)

Фг(г) = 1Фо(^)т однозначна и в силу (22) Ф,(г)е #2. у } у >

1 |> , ч т ((ОМ? , ,

Несложным вычислением проверяется, что

[ж0(г)У,2 = 'М1и) =

- J w(z)dz = jj—dxdy . 2i г D dz

(26)

= Фі(г)ехр

r П°і&п

it о

Доказательство. Рассмотрим последовательность окружностей Г„ = {г:|г| =гп =1—1/и}. Обозначим

■ £>„={г:|г|<1-1/и}. Поскольку 'м&Сафп), а=(.у-2)/.у, , (24) [2, с. 152], имеет место соотношение [2, с. 71]

С = ї+іл,

где Al(z) = pA(z)/2e LS(D);

~ Jw(z)dz = jj—dxdy. 2i г D dz

(27)

2 b{z)

W0(z)

є LS(D)

Далее j \v(z)dz = irn j w(rne‘ )e‘ dO . Отсюда и из Г„ Г

(18)имеем jw(z)dz —»\w{z)dz, п —>.

гг •

Из (24) и теоремы 1 получаем ^(г)е Я2(Л1,51). От- Вместе с тем в силу абсолютной непрерывности

сюда в силу (17), уже доказанного для р> 1, интеграла Лебега Ц^-сЫу, л-><*>.

д, Эг о дг

Переходя к пределу в (27) при и учитывая

два последних соотношения, получим (26).

Рассмотрим наряду с (1) сопряженное уравнение

д-^-А(г)™'-Жф'=0, ' , (28)

Лемма 7. Если н'(г)б Яр(,В), р>1, а

и>’(г)е С {О) - решение уравнения (28), то имеет место соотношение (тождество Грина)

Шп|У/0{ге,ь)\р dд= Иш|^(ге'°)|2 dв =

/•->1 г—>1

= 1оЛ|^о(е'б)1Р , или с учетом (23) получаем (20)

при 0< р< 1. Применяя лемму Фату, получим (17) для \/р> 0.

Перейдем к доказательству (18) при 0 < р <1. Очевидно, достаточно показать, что (18) имеет место для любой последовательности {г„}—> 1-0.

С использованием неравенства (6) для любых измеримых множеств йс[0,2я] и Е = [0,2тт ] \ /г имеем

QЯ\W(rneІв)-W+(eІв)\P dв<

Re

= 0.

(29)

<f\w(rne‘°)-w+(ew)\p dd +

Е

+ /I^(rj6)lP dB + /I и>+ (еів)\P d9.

(25)

\w(,z)w'(z)dz _Г

Доказательство Для произведения \ш’ имеем

= 2Ке{бй'1 н,}= С(г)\т?, где С(г) = ^

аг \т'

при-упу'^о, С(г) = 0 при ту'= 0.

Таким образом, С(г)е Ь5(0), а н'и»'е Нр(-С,0).

В соответствии с теоремой Егорова [5, с. 97] множе- Применяя к формулу (26), будем иметь ство Е выберем так, чтобы последовательность ^w(2)W(<z)dz = 2i\\Щ^dxdy = 4i\\R^w}dxdy, \л>(гпё' )| равномерно по в Є Е сходилась к ы+(е2 )

Г D

откуда получаем (29).

Теорема 8. Если (г)е Нр(А,В), р> 1, то имеет место представление (4), где при £ е Г и’(£) = и>+(£) - предельные значения на Г н-(г) при г —» С, £ Г по некасательным путям.

Доказательство. Рассуждения дословно повторяют соответствующие построения из [2, с. 183-185], только вместо тождества Грина следует использовать (29).

Лемма 8. Пусть ср(т)е Ьр(г), р > 1. Тогда обобщенный интеграл типа Коши

w+(f) = ±ср(/)/2 +

1

1

+-^/зд0ф(С)^-а2('.0ф(0^. (36)

р

откуда с учетом ограниченности сингулярного интеграла в 1-р(г) [1, с. 139] будем иметь уу+(£)е Ьр(Г).

По теореме 2 получаем и>(г)є Нр{А,В).

Теорема 9. Для того чтобы функция и>(г)є Яр (А, В), р > 1, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась обобщенным интегралом Коши 1

w(z) = -4jQ1(z,09(0^ - П2(г.С)Ф(С)<*С (30)

^772 р

принадлежит классу Нр(А,В).

Доказательство. То, что w(z) является в D решением уравнения (1), факт известный [2, с. 187].

В силу (5) можем переписать (30) в виде

w(z) = 0(z) + 'P(z), (31)

где ф(2) = 44z) = jQ.(z,£>(CMC.

2тп р£ £ Г

о,(г,о=о(и-а“2/*)- (32)

Поскольку ф(£)еЬр(Г), в (32) Ф(г)еЯр,[1,с. 136]. В силу (32)имеем

|| Q.(re‘e ,01 dd < —, (33)

Г \re -Q\

где Cj - положительная константа, не зависящая от г и f . Очевидно, интеграл в правой части (33) не зависит от f є Г. Вместе с тем этот интеграл монотонно возрастает по г [1, с. 77] и при г = 1 конечен. Отсюда имеем

J|£2*(re,0),f)|df ^ С2 = const <°° , (34)

г

где константа С2 от г и f не зависит.

Из (34) и (32) получаем

\\'¥(re,e)\de<C2,=Ci{ || ф|[

/ (г) 1= const <0°’

w(z) = ^^Ql(z,Ow(Od;-^l2(z,OHOdZ, (37)

2Ж1 р

где и’(£) = м+ (О - предельные значения по некасательным путям функции н>(г) при г—»£еГ, причем и>(Ое £Р(Г) .

Доказателъство. Необходимость — это теорема 8. Достаточность. Случай р > 1 рассмотрен в лемме 8.

Рассмотрим случай р = 1. Из (37) для Цг) имеем представление (31), где ф(£) = н'+(^’)е ^(Г). Интеграл типа Коши Ф(г) в (31) принадлежит классу Нг при некотором у>0 [1, с. 82], а для Т(г)

справедлива оценка (35). Таким образом, >у(г)е Нг{А,В),у>0. Поскольку м>+(£)е ьДг), из

теоремы 2 имеем м>(г) 6 Н\(А,В).

Непосредственно из (36) и (37) получаем Следствие 1. Для того чтобы функция Ф(С)е1р(г), р>1, была граничным значением

функции н>(г)е Нр(А,В), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

Таким образом, нЧгЭе Н\(А,В). Непосредственно из формул Сохоцкого-Племеля для обычного интеграла типа Коши-Лебега [1, с. 125] получим аналогичные формулы для обобщенного интеграла типа Коши (30):

Ростовский государственный университет

Ф(С) —^7/£2!(^,0ф(0л - ^2(?-0Ф(0л" = 0. 711 р

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 02-01-00909.

Литература

1 .Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., 1975.

2.Векуа КН. Обобщенные аналитические функции. М., 1959.

3. Монахов В Н. Краевые задачи со свободными границами дня эллиптических систем уравнений. Новосибирск, 1977.

4. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., 1973.

5. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., 1974.

13 января 2003 г.

f

'Iі

I

у»