Краевая задача Римана-Гильберта в классах Харди для обобщенных аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА В КЛАССАХ ХАРДИ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

© 2004 г. С.Б. Климентов

In the paper the Riemann-Gilbert boundary value problem in the Hardy classes for generalized analytical functions is investigated.

В работе исследуется краевая задача Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций во введенных автором аналогах классов Харди [1]. Коэффициент и свободный член краевого условия предполагаются нерегулярными.

1. Введение. Основные определения. Обозначим D = {z : | z |< 1} единичный круг комплексной z -2

плоскости, z = х + iy , i =-1; Г = dD - граница круга D ; D = D иГ ; A(z), B(z)e Ls (d ), s > 2 (используются обозначения книги [2]), - заданные комплексные функции.

Рассмотрим в D каноническую эллиптическую систему в комплексной записи

д zw + A(z )w + B(z )w = 0, (1)

где w = w(z) = u(z)+iv(z) - искомая комплексная

функция, u и v - ее действительная и мнимая части, дz = 1/2(д / дх + id / ду) - производная в смысле Соболева.

Решение w(z) системы (1) называют обобщенной аналитической функцией [2, С. 148].

Определение 1. Следуя [1], будем говорить, что решение системы (1) принадлежит классу Hp (A, B),

p > 0 , если оно для некоторой положительной постоянной Mp (w) < ж удовлетворяет условию

w)= (2n)_1 w(iCT)|P da< Mp(w)

Vp : 0 < p < 1, peia = z e D .

Определение 2. Функцию w(z) e Hp (a, B), p > 1,

будем называть решением краевой задачи Римана -Гильберта для уравнения (1), если ее некасательные

предельные значения на Г w+(t) = w(t) почти всюду

на Г удовлетворяют краевому условию

Re^V ()}= g (), (2)

где X = X/t) - ограниченная, измеримая по Лебегу на Г комплексная функция, g (t) e Lp (г) .

Будем считать, что 0 < kj <| X |< к2 , где k и к2 -некоторые постоянные. Ясно, что в таком предположении без ограничения общности можно считать

| X |= 1, т.е. X = eiff/), где в/t) - действительная измеримая функция.

На в/) наложим следующие дополнительные условия: существует такое конечное покрытие (Bk)

контура Г интервалами, что на каждом из них в(г) < уп , V < 1/ р , V < (р -1)/р . В этих условиях корректно определен индекс краевого условия (2)

к = ind г

ie(t)

[3].

2. Задача Римана - Гильберта при каноническом краевом условии. Рассмотрим краевую задачу (1), (2)

в частном случае Х(г) = гк :

Яе{ г ~кw(t )}= я (г). (3)

Следуя [2, С. 246], краевое условие (3) будем называть каноническим.

Рассмотрим сначала случай к > 0. Следуя [2, С.293], обозначим

Kf |z )=-П и

(

D

f |z) + z2к+1 fZ

л

также имеет место оценка IIl (d), где константа M от f

л л , С=# +п.

£-2 1 -£?

Лемма 1. Обозначим Гг = {г :1 г |= г < 1}. Если

/ 6 Ьд Р ), 1 < Ч < 2, то Рк/ е ЬГ(ГГ ) для

Уг : 0 < г < 1, где у - произвольное число такое, что

1 <у < 4(2 - ч )-1, а

/,,, ................

и г не зависит.

Доказательство фактически содержится в [2, С. 68].

Теорема 1. Если w(z)е Нр (А, В), р > 1,

р > 0,5s/(^ -1), то имеет место соотношение

w(z )+Рк(Ам> + В^ )=ф(г ), (4)

где ф(г)е Нр , и

Яе{t~кw(t)}= Яе{Г кф(г)}, г е Г . (5)

Доказательство. Поскольку А^ + Вw е Ь (р ) при некотором ч :1 < 4 < 2 [1], в силу (1)

д г + Рк(Ам> + В^ )] = 0 (6)

[2, С. 50, 294] и имеет место соотношение (4), где ф(г) - голоморфная в Р функция. Покажем, что ф(г)е Нр.

В силу леммы 1 и w е Нр (А, в) имеем фе Н Ч при некотором ч > 1, ч < р . Таким образом, Ф^) имеет некасательные предельные значения почти всюду на Г : ф(г)е ЬЧ (г) [4, С. 73], а следовательно,

Pк(Aw + В'¥) также имеет некасательные предельные

З

значения почти всюду на Г класса Ьч (г) .

Очевидно, Яе{г~кPк(Aw + В¥)}= 0, г е Г, поэтому функция Ф е Н4 является решением краевой задачи Римана-Гильберта для голоморфных функций: Яе{ г ~кф(г )}= Яе{ г_^(г)}е Ьр (г), откуда имеем Фе Нр.

Теорема 2. Если Ф(г) е Нр, р > 1, р > 0,5у /(у -1),

то соотношением (4) однозначно определяется функция w(z) е Нр (А, В), удовлетворяющая на Г условию

(5). _

Доказательство. Поскольку Фе Ьт(р), Ут :

0 < т < 2р , [1, лемма 5], то уравнение относительно w(z) (4) однозначно разрешимо в классе Ьт (р), 2р > т > 0,5у /(у -1) [2, С. 294]. Покажем, что

И2 )е Нр (4, В).

Из Ф(г) е Нр , (6) и леммы 1 имеем

w(z) е Н4 (А, в) при некотором ч :1 < Ч < р . Соотношение (5) очевидно. Решение w(z) уравнения (1) можно представить в виде w = ФlWo, где Ф1 е Н4,

Wo е Са(р), а = (у - 2)/у [1]. Подставляя это представление в (5), получим, что голоморфная функция Ф1 есть решение краевой задачи Ке{"л1 1^1(г )}=

= Я1(г) , где М(г) = гКЩ (г) е Са (г) , Я1(г) = Яе{ г_КФ(г)|е еЬр(г). Отсюда следует, что Ф1 еНр [3], а

w(z)е Нр(А,В) [1].

Итак, по теоремам 1 и 2 соотношением (4) устанавливается линейное в вещественном смысле взаимнооднозначное соответствие между решениями краевой задачи Римана - Гильберта для обобщенных аналитических функций (1), (3) класса Нр (А, В) и решениями краевой задачи Римана - Гильберта для голоморфных функций класса Н р

Яе{ г ~кФ(г )}= я (г). (7)

Учитывая результаты из [3] по краевой задаче (7), получаем следующее утверждение.

Теорема 3. При к > 0 краевая задача (1), (3) всегда имеет решение класса Нр (А, В), р > 1, р > 0,5у /( -1), линейно содержащее (к +1) произвольных вещественных постоянных.

Перейдем к случаю к< 0 . Рассмотрим краевую задачу, сопряженную однородной (при я = 0) задаче (1), (3) [2, С. 301]:

_ (8)

(9)

д ^w'-Aw'-Bw' = 0, Re{^t'!)w'|t)}= 0 .

к> 0 , дословно повторяя соответствующие рассуждения из [2, С. 298 - 301], получаем следующее утверждение.

Теорема 4. При к < 0 для существования (единственного) решения задачи (1), (3) класса Н р (А, в) необходимо и достаточно выполнение следующих условий на Я (г):

|гкw'у (г)я(г) ёг = 0, у = 1,2,...,-2к -1,

Г

где w^j (г)е Са(р) а = (у-2)/у, - полный набор линейно независимых в вещественном смысле решений однородной сопряженной задачи (8), (9).

При к< 0 и я (г ) = 0 однородная задача (1), (3) имеет только нулевое решение.

3. Случай неканонического краевого условия. Умножим краевое условие (2) на регуляризующий

множитель коэффициента Л.(г) = егв(г) [3]:

Яе|г ^е-1^ ^(г )}е®)я (г).

Здесь /(г) = а(г) + 1ю1(г) = Б (в - ка^г)(г); Б - оператор Шварца. Обозначим е®1 А)я (г) = я *(г К

е1г(г)w(z)= w (г), (10)

Функция w = w (г) удовлетворяет уравнению

дzw + A|z)w + B ^)w = 0.

где

B* |z) = B|z)e_2i Re Yz^ є Ls |D ),

(11)

(12)

и краевому условию

Яе{ г ~кw* (г )}= я * (г), (13)

поскольку е±1г(г) е Нр+£, е> 0, р' = (р -1)/р , [4, С. 196], я * (г) е ЬЧ (г) при некотором ч > 1, а

w* (г) е Н4 (а,В*) при условии, что w(z) е Нр (А,В) .

Для задачи (11), (13) с каноническим краевым условием справедливы теоремы 3 и 4. Пусть

w* (г) е Н4 (а, В*) - решение этой краевой задачи при

к > 0 . Аналогично [2, С. 296] представим w (г) в виде

w* (г ) = Ф* (г ^ (г), (14)

где Ф* (г) голоморфна в Р ,

w

,|z )=expJ п ц

D

f|z) zj%)

Z-z 1 -Zz

d%dn 1 є Ca(p),

s - 2

a=

f |z )=

fA|z)+ B*|z)w* /w*, w*|z)^ 0,

где у - длина дуги на Г , г' (у) = ёг / ёу .

Опираясь на построения, проделанные выше для

\z )= 0.

(15)

Очевидно, w (г) е Н ч (а , В ) тогда и только тогда,

s

0

когда Ф (г) е Н4; также очевидно, что

1т{ (г)}= 0, г еГ.

Подставив (15) в (13), получим, что голоморфная функция Ф* (г) е Н4 есть решение краевой задачи

яе{ г-кФ* (г )}= я * (г К^г )е Ьч (г).

Отсюда [3, (18)]

Ф*(г)= гК\Б(Ч1)+ Я(г)] , (16)

где Б - оператор Шварца, Q(z) = /Д)+ - екг~к)

к=1

- комплексные постоянные, Д) - вещественная постоянная.

17 г г) 17 А г)

Умножим (14) на е , где е - та же голоморфная в Р функция, что и в (10), и обозначим

w(z)= w*(г)е1гА); Ф(г)=Ф*(г)е1гА). (17)

При этом (14) перепишется в виде w(z ) = Ф(г ^ (г ). (18)

Вместе с тем, в представлении для Wo (г), с учетом (12) и (15), будем иметь

А ) [ А (г ) + В(гУ / w, w(z) Ф 0,

1 (г )=[0, w(z )= 0,

откуда получаем, что w(z) в (18) есть решение уравнения (1). Покажем, что w(z)е Нр (А, В) и что w(z)

удовлетворяет краевому условию (2). Для этого достаточно показать, что Ф(г) в (18) принадлежит классу Н р и удовлетворяет краевому условию

Яе{е-вА)Ф(г)}= я(г)wo-1(г), г еГ. (19)

Подставим выражение для Ф (г) из (17) в (16). Отсюда, в силу [3, (18)] получим, что Ф(г)е Нр и

удовлетворяет (19).

В случае к < 0 проделаем ту же замену (10) и так же придем к задаче (11), (13). Условие ее разрешимости:

|гKw'*J (г)я* (г) ёг = 0, у = 1,2,...,- 2к -1, (20)

Г

где w'J■ (г) - полная система линейно независимых в вещественном смысле решений задачи

д zw'* - А(г У'* - В* (г ) W ’* = 0,

Яе{гкг {У* (г )}= 0.

Обратная замена (17) так же приведет к решению

^)е Нр (Д в) задачи (1), (2), только в рассуждениях ссылки на [3, (18)] надо заменить ссылками на [3, (19)]. Условие разрешимости (23) после замены

w' (г)w'(г) е1^) перейдет в условие

I е^^ (г)я(г) ёг = 0, у = 1,2,..., - 2к-1, (24)

Г

где w'у (г) е Са (р), а = (у - 2)/у, - полная система

линейно независимых в вещественном смысле решений задачи, сопряженной однородной задаче (1), (2): д zw'-A(z ^'-ВАг) W' = 0,

Ке{евА))1 (уУ (г)}= 0.

Итак, формулы (10) и (17) устанавливают линейное в вещественном смысле взаимнооднозначное соответствие между решениями класса Нр (А, В) краевой задачи (1), (2) и решениями класса Н4 (а, В*)

краевой задачи с каноническим краевым условием (11), (13). Отсюда и из теорем 3, 4 получаем следующее утверждение.

Теорема 5. При к > 0 однородная краевая задача (1), (2) имеет (2к +1) линейно независимых в вещественном смысле решений класса Нр (А, в) , р > 1, р > 0,5у /(у -1). Неоднородная задача всегда имеет решение класса Н р (А, В).

При к < 0 для существования (единственного) решения краевой задачи (1), (2) класса Нр (А, в) необходимо и достаточно выполнение условий (21). Однородная задача (1), (2) при к< 0 имеет только нулевое решение.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 02-01-00909.

Литература

1. Климентов С.Б. // Изв. вузов, Сев.-Кавк. регион. Ест. науки. 2003. № 3. С. 6 - 10.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1959.

3. Климентов С.Б. // Изв. вузов, Сев.-Кавк. регион. Ест. науки. 2004. № 3. С. 6 - 10.

4. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., 1975

Ростовский государственный университет,

Лаборатория математических исследований ИПМИ ВНЦ РАН и ЮРГУЭС