CC BY
26
Естественные науки
УДК 514.76
КЛАССИФИКАЦИЯ КОШИ-РИМАНА ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ ПРЯМЫХ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Д. Глазырина
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
В четырехмерном евклидовом пространстве рассматривается двумерное многообразие U12 прямых 14. С этим многообразием инвариантным образом ассоциируются двумерные многообразия V{2 и V22 плоскостей L2 и L2. Поэтому на многообразии возникают отображения между соответствующими плоскостями L2 и L2±L2 (в каждом элементе 14е Uv). Каждое из этих отображений определяется системой двух неоднородных квадратичных функций с двумя неизвестными или соответствующей комплексной функцией. Рассматриваются случаи, когда указанные функции являются дифференцируемыми в смысле Коши-Римана или гармоническими в некоторых или во всех точках соответствующих плоскостей L2 или L2. Доказывается существование указанных случаев.
Обозначения и терминология в данной статье соответствуют принятым в [1].
Рассматривается четырехмерное евклидово пространство Е4, отнесенное к подвижному ортонор-мальному реперу Я={А—} (/Д/=1,2,3,4) с деривационными формулами и структурными уравнениями:
dA = fe., de. = ake.,
j j j k>
Df = ak , Da, = ak Afj .
(1)
{ek, ej} =$kj =
f Af a _____. 4 л4 a
f4 = A4aa ^ f f ~~Afaa
3 лЪ a
f = A„f
a 4 4a j ja
(dA3p - A3&Y + f3 + (A3A4e - A^ )f4) a f = 0,
( dAfa- Af f + Af +Л
y+ A4P Aa f + AjP A4a f f
Afa = 0,
(4)
Здесь 1-формы ю[ удовлетворяют соотношениям а(+ак = 0, (2)
которые с учетом (1) вытекают из условия ортонормальности репера Я:
[1, к = 3,
[0, к ф 3,
где символом {-¿-обозначается скалярное произведение векторов а и Ь пространства Е4.
В пространстве Е4 рассматривается многообразие и12 - двумерное многообразие прямых /14. К этому многообразию V1,2 присоединим ортонормаль-ный репер Я так, чтобы
А4 = (А, ё). (3)
В данной статье будет показана возможность применения результатов статьи [1] к многообразию и12 в четырехмерном евклидовом пространстве Е4.
Из (3) с учетом (1, 2) следует, что на многообразии и12 выполняются дифференциальные уравнения:
(а,р,у = 1,2; /,к = 1,2,3).
Из (1) с учетом (3) замечаем, что с каждым элементом /14 многообразия и12 ассоциируется 3-вектор
К eз], (5)
ортогональный вектору — - направляющему вектору прямой /14.
Из = ю{ё/ = А{аюа¥г получаем, что бивектор
[Аё; Ак^] (6)
параллелен касательной плоскости к сферическому изображению вектора —.
Проведем такую канонизацию ортонормально-го репера Я, при которой
A43e = 0 ^ f 43 = 0, B =
A a;2
A22
* 0,
(7)
что с учетом (4) и (1) приводит к следующим дифференциальным уравнениям:
®a = A^pop, a Afj3+a^ Af23=0,
(dAap- A3fa - AIX+ AX AX) = 0.
Из (8) замечаем, что канонизация ортонормаль-ного репера R, осуществленная по формулам (7), существует в соответствии с [2]. Геометрически эта канонизация характеризуется тем, что вектор
[ë, eJ (9)
параллелен бивектору (6). При этом из рассмотрения исключается случай B=0, когда бивектор (6) является неопределенным.
Из (5) и (9) следует, что 3-вектор —] параллелен бивектору —], а вектор -3 ортогонален бивектору [—]. Поэтому плоскость
4 = (A, щ, ёл) (10)
проходит через прямую ¡4=(A ,-4) параллельно вектору -3.
Проведем дальнейшую канонизацию ортонор-мального репера R, при которой с учетом [1], (1.6), а также (7) и (8) имеем
A4j + A422 = 0, B * 0, (11)
что приводит с учетом (1) к соотношениям:
f = A>a,(dAa4 - AX) Afa= 0.
Из (10) и (11) в соответствии с [2] замечаем, что указанная канонизация ортонормального репера R существует.
Как и в [1], см. [1] (5.2), находим уравнение фокусной коники Ц* плоскости Z22=(A,-3,-4):
K234 с L2 : (Al Ав - Al Al ) x“ xe +
2 2 v al /53 a 2 01'
+A xa +1 = 0, xa = 0.
aa
Отсюда получаем, что прямая 14 пересекает коник- Ц24 в двух точках Xa с радиус-векторами Xa=A+t-°4, где ta - корни квадратного уравнения:
(A41 a42 - a42a44) t2 + (A4\ + a422 ) t +1 = 0.
Отсюда следует, что при фиксации (11) точка A является серединой отрезка X1X2 (центром луча l14). При этом из рассмотрения исключается случай B=-(A141A141+A142A241)=0, когда точки Xa являются, в соответствии с (7) и (11), бесконечно удаленными на прямой l14.
Замечание 1. Так как точка A - центр луча /Д то каждое линейное подпространство
L2 = (A, el, e2) , L3 = (A, el, e2, e3) ^ L2 С L3 (12)
геометрически характеризуется тем, что оно проходит через точку A параллельно бивектору (9), 3-вектору (5), соответственно.
Из (10) и (12) следует, что с многоо-р-эием Ul2 -двумерным многообразием прямых /14=(A,^4) в Е4 инвариантным образом ассоциируются многообразия V? ,2 и V2,2, о которых идет речь в [1]. Поэтому к многообразию U12 можно применить классификацию Коши-Ри-мана многообразий V22, о которой шла речь в [1].
Определение. Многообразием V5, V5, V?f, Vf2 следует называть многообразие U12, у которого многообразия V22 являются многообразиями V22,
VVif, V“ , соответственно, в смысле определения (4.4) из [1]. Многообразие V\2, у которого в каждом элементе точка F1 а (см. [1], (4.1)) совпадает с точкой A, называется многообразием Ц^.
Теорема. Многообразие Ц2 существует и определяется с произволом одной функции двух аргументов.
Доказательство. Проведем канонизацию орто-нормального репера R типа ([1], (6.3)), что в силу (7) и (1) приведет к соотношению
2 л2 а ®1 = А1 а ® •
Из ([1], (4.1, 2.6, 3.1 —3.3, 4.2)) и (8) с учетом определения (4.4) из [1] и определения (1) получаем, что многообразие Цд’ определяется конечными соотношениями:
A3 = 4 = о, A3 = A24 * о, в3 = в = о, Л3 = -A333 = - A4 = A343 = С * о, С3 + A13 A34 * 0, Aj43 + A34j + Aj33 + A33J = 0,
(13)
в силу которых с учетом соотношения ю*=А*аюа на многообразии Щг выполняются дифференциальные уравнения:
ю3 = А^ю , ю = Л>2, ю43 = 0, ю>1 = Сю + А13Ю , Ю3 = A^fö — Сю ,
(14)
4 1 л 4 2 4 л 4 1 2
^1 = —Сю + А^ю , ©2 = А21^ + Сю ,
ю2 = АЦ + А122ю2.
Внешнее дифференцирование системы (13) и использование (1) приводит к дифференциальному уравнению
сА3 = А1а юа (15)
и к квадратичным уравнениям:
dA31 лю1 -йС лю2 = АЗю1 лю2, йС лю1 + йА32 лю2 = АЗю1 лю2,
—йС л ю1 + йА,4., л ю2 = АДю1 л ю2,
¿13 / мл/ ^43^
dA\x лю1 + dC лю2 = А^ю1 лю2, dA131 лю1 + d4133 лю2 = АУ лю2, где Д32 = (АЗ — А1З,) + Л3Л] — (A3)3 А — (A3)3
A3 = (А4 — А4) — A3ЛЗ + (A3)3С + (A3)3 A4, А31 =— ЛЗ1 (А2 — А3 A3 + Л13С) +
+С (А2 + Л3С + А13 A4) — A133 + СА2,
А13 = С (—3А2 — A3 А133 + А3С) —
—A3, (A3 + А3С + A3 Л41) + A3 А1,
A4 = С (3 А2 — А,3 A3 + А3С) —
—A4 (A3 + л3с+A3 A4)+A3 A4,
A4 = — Ал Ап — A3 A3 + Ас )—
—с (3 A3+л3с+A3 A4)+a2 a14!,
.43 = — А2( л2 — A3 A4 + АЗС)—
—A3 ( л12! + л3с+A3 4,4)—(3С2+А33 A4 + A3 Л41).
(16)
(17)
Внешнее дифференцирование ур. (15) с учетом (1) и (14) приводит к квадратичному уравнению
йА131 лю1 + йА132 лю2 = АЗю1 лю2, (18)
где А3 = —НА —А3 АЗ2 +А3С) —
—А3( А2 + АЗ1С + А3 А4).
Анализ квадратичных уравнений (16) с учетом (17) и (13) приводит к дифференциальному уравнению:
йН = Н 1ю1 + Н2ю2, (20)
где Н = А132 + А142 = — А31 — А41,
Н1 = Аа32+А = А3(С+а^1 ),
Н2 = А121( А2 + 2 А142) + (21)
+А3( АЗ + А14)(С — А^) — А^.
Внешнее дифференцирование ур. (20) с учетом (1) приводит к квадратичному уравнению
йН1 лю1 + йН2 лю2 = Н12ю1 лю2, (22)
где Н12 = ~Н1 (А121 — А13 А132 + А13С) + (23)
+Н2(А122 + А13С + А13 А241). ( )
Таким образом, функции А3, С, Ахъ А21, А}2, А21, А3;, А?2, среди которых в силу (13, 15, 17, 20 и 21) будет пять независимых, удовлетворяют пяти независимым квадратичным уравнениям — трем независимым в (16) и двум (18) и (22) с учетом (19) и (23). Поэтому в силу леммы С.В. Бахвалова [3] заключаем, что многообразие Щг существует и определяется с произволом пяти функций одного аргумента.
Теорема доказана. .
Замечание 2. Поскольку многообразие является частным случаем многообразий Ца2 и Ц}^, то эти многообразия существуют. Вопрос о существовании многообразия будет предметом особого рассмотрения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Глазырина Е.Д. Классификация Коши-Римана двумерных многообразий центрированных плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. —2004. — Т. 307. — № 4. — С. 10-14.
2. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). —1962. — № 2. —P. 231-240.
3. Бахвалов С.В. Замечания к методу подвижного трехгранника // Математический сборник. —1940. —7(49). —№ 2. —С. 321-326.
УДК 530.12:531.51
СМЕЩЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОСМОЛОГИЧЕСКОГО СВЕЧЕНИЯ
В.В. Ласуков
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
На основе исследования уравнения геодезических линий в однородной и изотропной Вселенной с метрикой Логунова рассмотрен эффект красного смещения фотонов. Показано, что интерпретация Логунова красного смещения имеет место и в случае вакуумоподобной космологической среды.
Введение
Обычно считается, что для любой нестатической космологической модели собственное расстояние между пробными частицами, измеряемое с помощью приложенной к ним "жесткой линейки", меняется со временем ввиду зависимости g|lV от ¡. Поэтому считается, что свет, излучаемый частицами (туманностями), испытывает красное смещение из-за Доплер-эффекта, связанного с общим расширением Вселенной, хотя реальность жесткости линейки космологического масштаба сомнительна [1-6].
Принципиально иная интерпретация красного смещения для обычной среды возникает в теории Логунова. Дело в том, что для метрики Логунова [7] смешенные компоненты тензора Риччи равны нулю, так что из уравнений Гильберта-Эйнштейна-Логунова следует, что соответствующие компонен-
ты тензора энергии-импульса космологической жидкости также равны нулю. Отсюда делается вывод [8], что пространственные компоненты скорости равны нулю. Последнее означает, что реально красное смещение связано не с движением галактик, а согласно принципу геометризации Логунова gF=~,+ФJllV, с изменением гравитационного поля со временем, которому, по-видимому, подвержены лишь гравитационные поля скоплений галактик, т.к. только при таком масштабе имеет смысл понятие однородности космологической среды. Изменение же гравитационного поля может быть обусловлено постоянной составляющей скалярного потенциала [9], имитирующей космологическую постоянную.
Так как для вакуумоподобной среды е+^=0, то из равенства
