CC BY
32
Естественные науки
УДК 514.76
ОТОБРАЖЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ПЛОЩАДОК КАСАТЕЛЬНОГО И НОРМАЛЬНОГО РАССЛОЕНИЙ МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В.К. Барышева, Е.Т. Ивлев
Томский политехнический университет Тел.: (382-2)-56-37-29
Изучаются отображения двумерных площадок слоев касательного и нормального расслоений многомерной поверхности в евклидовом пространстве. Каждое из указанных отображений определяется соответствующими двумя вещественными функциями двух вещественных аргументов. Рассматриваются случаи, когда эти функции являются гармоническими и удовлетворяют условиям Ко-ши-Римана. Все рассмотрения носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются аналитическими.
1. Аналитический аппарат
1.1. Рассматривается «-мерное евклидово пространство Е, отнесе_нное к подвижному ортонормаль-ному реперу Я={А,-;}(у,£,/=1,п) с деривационными формулами и структурными уравнениями
ёЛ = ю1е!, ёек = ю]ке},
Бю1 = юк люк, Бюк =ю1 лю1,.
(1.1)
Здесь 1-формы ю[ удовлетворяют соотношениям
юк + ю\ = 0, (1.2)
которые вытекают из условия ортонормальности репера Я:
(е1, ек ) = 8Ш =
0, I ф к,
1, I = к.
(1.3)
1.2. В пространстве Еп зададим т-мерную поверхность (т-поверхность) 8т и присоединим к ней ортонормальный репер Я так, чтобы точка А была текущей точкой этой т-поверхности, а т-мерная плоскость (т-плоскость)
Ьт = (А, е1,е2, ...,ет) оха = 0, (а = т +1, п) (1.4)
была касательной т-плоскостью к 8т в точке А. Тогда дифференциальные уравнения т-поверхнос-ти 8т^Еп с учетом (1.1) можно записать в виде
(1.3)
а
'=о, а = Ааяа ^ аа = Ааа = -
а
- А%аа - + А%аЧ = Кру®7,
Ав]=о Км=о Аав=- а
(1.5)
Здесь и в дальнейшем --формы юа приняты за базисные, символом Ь=(А,—,—>,...,—) обозначается д-плоскость, проходящая через точку А параллельно линейно независимым векторам хьх2,...,хв а величины X означают в (1.4) локальные координаты точки относительно ортонормального репера Я. Из (1.5) следует, что система величин ^{А^} образует внутренний фундаментальный геометрический объект второго порядка т-поверхности 8т<^Еп в смысле Г.Ф. Лаптева [1].
Из (1.1-1.5) замечаем, что (п-т)-плоскость Р„-т =ёт+1,...,е) ±Ьт ^ха = 0 (1.6)
можно считать оснащающей или нормальной (п-т)-плоскостью в смысле [2] или [3].
Замечание 1.1. Символом Гт=(^т;Хт) обозначается расслоенное в смысле [2] с базой 8т и слоями Ьт, а Д„;П_т=(£т;Рп_т) - нормальное расслоение с базой 8т и слоями Р-т.
Замечание 1.2. В данной статье предполагается, что числа т и п удовлетворяют условиям: т(т + 3)
т + 2 < п <-
(1.7)
(а, р, у= 1, т; а, р,у = т +1, п).
2. Поля двумерных площадок и ¿^cP,,_m на т-поверхности 5таЕп
2.1. Каждой точке А базы 8т в соответствующих слоях расслоений Тщт и Ыщ-т сопоставим двумерные площадки 1\<^1т и Ь12<^Рп-т, проходящие через точку А, которые в терминах ортонормального репера Я зададим так:
¿2 = (А,£1,£2) о х“2 = ха1, ха = 0, ё = ёа + НО2 е ,
7 а а а а2
(а1,Ь1,с1 = 1,2; а2,Ь2,с2 = 3,т);
Р2 = (А,ёт+1,ёт+2) 0 Х“*2 = 42 Ха\
х“ = 0, ё = е, + 8“ёй.
(2.1)
(а1,Ь„С1 = т +1, т + 2; а2,Ь2,с2 = т + 3,п).
Пользуясь условиями инвариантности геометрических образов относительно репера Я в смысле [1], получаем следующие дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины каа\ и
й^ - наа+на+а=н* а
^8% - 8^+8Н+а=8%а-
(2.2)
¿1-2 = (А,ё,---,ёп ) 0 ха = Н1 ха
х&=о, ¿т-2 I ¿2, ё = + Н2 ёл, На =-К2';
Рп-т-2 = (А,ёт+
ха = 0 Р2 I Р1
л гп-т-2 -1- 2 ’
,ёп) о х“1 = Но х“2
(2.4)
ё = е + 8а1 е 8а1 =- 8 а
а а “2 а ’ “2 а '
Из (1.1) и (1.5) с учетом (2.1) следует, что на т-поверхности 8т<^Еп задано распределение
А2,т :Л^ Ь\, (2.5)
интегральные кривые которого в смысле [2], описываемые точкой Ае8т с касательными, принадлежащими Ь\, определяются следующей системой дифференциальных уравнений
а2 = н^а, а=0, (2.6)
которая в общем случае не является вполне интегрируемой.
Замечание 2.1. Символом
х = Й ^а,)х“1 (2.7)
обозначается прямая, которая касается линии, описываемой точкой А вдоль интегральной кривой распределения Д2,т, определяемой дифференциальными уравнениями
к(х)-.а = ха1в, а = наха1в, а = 0, пе=елв1. (2.8)
Прямую (2.7) при этом будем называть направлением х в плоскости Ь\. Символом Ту в дальнейшем будем обозначать касательное линейное подп-
ространство -к однопараметрическому семейству прямых у=(АД^у^сЦ вдоль кривой к(г) или в направлении г.
2.2. Пользуясь соотношениями (1.1), (1.5), (2.1), (2.4) и (2.7) с учетом (2.8), получаем
й (хаё) = СОЬ х“1 хЬд% + (•••). (2.9)
Здесь символом (... ) обозначаются несущественные члены, а величины С^, симметричные по нижним индексам, определяются по формулам
11
1 -^Ь1с! '1Ь2 С1
(2.10)
Из (2.2) замечаем, что каждая из систем величин Н ={Н“ }, G = {8% } (2.3)
образует на т-поверхности 8т поле геометрических объектов в смысле [1].
Из (2.1) следует, что каждой точке Ае8т<^Еп в слоях Цт и Р-т расслоений Ттт и Ыщ-т отвечают следующие линейные подпространства, проходящие через точку А:
Из дифференциальных уравнений (1.5) и (2.4) с учетом (2.10) получаются следующие дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины а-
йс1 - с! а - С1 а+с! а = са
’'Ь.С с СЬ!С1^"С1 1 СЬ1С1^'ГЬ СЬс\&а , (2.11)
где а1,Ь>1,С1=1,2; а2,Ь2,с2=3,т; я1,?>ьс1=т+1,т+2;
а2,'д1,о1=т+3,п. Здесь явный вид величин С^а для нас несущественный.
Из (2.9) с учетом замечания 2.1 получаем, что каждой точке Ае 8т<^Еп отвечает отображение
1:4 ^ р1, (2.12)
которое определяется формулами
у = са^х“ хЬ = / а1( х“1). (2.13)
Геометрически отображение (2.13) характеризуется следующим образом:
у = / (х) = (А, ё) у“1 = Р21 П {х и ¿т и Р-т-2 }, х = (A, ёа1)х“1 с Ь\.
2.3. Таким образом, отображение (2.12) в каждой точке Ае 8т^Еп определяется двумя квадратичными функциями уа1 с двумя неизвестными ха1 с областью определения Х2еХт и областью значений Р1сР„_т.
В соответствии с [4. С. 75-76] функции уа 1=/(ха1) будут удовлетворять условиям Коши-Римана в точке И(х1,х2)еЬ1г, отвечающей точке Ае8т^Еп, тогда и только тогда, когда выполняются соотношения
дут+1 = дут+2 дут+2 = дут+1 дх1 дх2 ’ дх1 дх2 и являются гармоническими, если
д2 у“1 д2 у а
(2.14)
(дх1)2 (дх2)2
- = 0.
(2.15)
Определение 2.1. ОтображениерЦ^-Ц, отвечающее точке Ае8т<^Еп, называется: 1) дифференцируемым в точке М(х1,х2)еЦ2 и обозначается /(М), если функции уа1=/“1(х“1), определяющие это отображение, удовлетворяют условиям Коши-Римана в точке МеЦ2; 2) аналитическим отображением на плоскости Ц2 или отображением /а, если оно дифференцируемо во всех точках МеЬ2, 3) гармоническим на плоскости Ц2 и обозначается /, если функции у а1=/(х“1) являются гармоническими функциями на Ц.
Из (2.13-2.15) в соответствии с определением 2.1 следует, что соответствующее отображение /:Ь\^Р2 определяется соотношениями:
fa »
(cr - cm+v + (er - cm; v=0, (Cm+2 + d+V + (C2+2 + C22+1) x2 = o,
xa2 = h“1 xa' ;
ai ''
Cm+1 /~'m+2 r\ r^m + 1 r~m +
11 '-">1 '-'i ‘-'П
0,
(2.16)
I r~'m+2 . /~im+\ _r\ f~m + 2 . f~m + 1 _r\
lC11 + C21 = 0, C12 + C22 = 0,
fr » C2+1 + СЦ+1 = o, C12+2 + C2m2+2 = o.
Из (2.16) замечаем: 1) любое отображение /:Ц^Ц,, как и следовало ожидать, является отображением / 2) в общем случае, т.е. в случае
Cm+1 - Cm+1 Cm+1 - Cm ^11 v-^')1 ^11
Cm+2 + Cm+1 Cm+2 + Cm+ ^11 T^21 ^12
* 0,
в каждой точке Ае 8т^Еп отображение/:Ц^Р2 дифференцируемо в точке АеЦ.
Для геометрической интерпретации отображений (2.16) проведем такую канонизацию ортонор-мального репера Я в точке Ае 8т^Еп, при которой
на = 0, 8О2 = 0, (2.17)
а = 8“ ~
“1 оа^а''
Поэтому указанная канонизация репера Я в соответствии с [5] существует на любой т-поверхнос-ти 8т^Еп. Из (2.17) и (2.1-2.6) получаем
4 = (А, е1, е2), 12т-2 = (А, ез, ет ),
Р = (Л, ёт+1, ё„+ 2), Р-т-2 = (Л, ё,+ 3, ё ), причем интегральные кривые распределения Д12,т
(2.19)
описываемые точкой А на Sm, определяются дифференциальными уравнениями
а = 0,а = 0. (2.20)
Из (2.10) в силу (2.17) замечаем, что
с^ = АС = А^. (2.21)
Пусть точка ХеР2 с радиус-вектором Х=А+хаё21 описывает вдоль кривых (2.20) линии с касательными, принадлежащими линейному подпространству Рп2т-2иХт-2. Это возможно тогда и только тогда, когда
(йХ, еъ,..., еп) = 0, а3 = ••• = ат = 0, а& = 0. (2.22)
Из
dX = S + xa ei+ •••
где ab^=1,2; a2,b2=3,m; abb1=m+1,m+2; a2,'B2=m+3,n, что с учетом (2.2) приводит к дифференциальным уравнениям
= f, f = g ïf. (2.18)
в силу (2.22) и (2.21) получаем следующие уравнения:
(.8[Ь + х“1 А^ а = 0, а2 = 0,ай = 0.
Эта система имеет нетривиальные решения относительно ю"1 тогда и только тогда, когда ёе^^+хА1!®]^. Поэтому множество всех точек ХеР2 (фокусов в смысле [6]) образует в Р2 конику #2, определяемую уравнениями:
£: а^ь1 Аах“'хЬ'+2А“ах+2=0 ха=0 х“2=0. (2.23)
Из (2.23) с учетом (2.21), соотношений
Аа1 =-А“1 =-А“1
“Ь аЬ Ьа
и (2.16) вытекает справедливость следующих теорем: Теорема 2.1. Отображение /:Ь2^-Р\ в точке Ае8т<^Еп является отображением / в смысле определения 2.1 тогда и только тогда, когда точка А является центром коники д2^Р2.
Теорема 2.2. Отображение /:Ц^Р2 в точке Ае8т<^Еп является отображением /а тогда и только тогда, когда коника #1сР2 является окружностью с центром А и радиуса г={(Ап+1)2+(АГ2+2)Т1/2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М., 1953. -Т. 2. -С. 275-382.
2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР. 1979. - С. 7-246.
3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976. -432 с.
4. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. - Томск: Томский государственный университет, 2002. -510 с.
5. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). -1962. -№ 2. -P. 231-240.
6. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга r// Известия вузов. Сер. Математика. -1957. - № 1. - С. 9—19.
