Классификация комплексов прямых в репере нулевого порядка в пространстве ¯ F2 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.812

КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПЛЕКСОВ ПРЯМЫХ В РЕПЕРЕ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВЕ F32

Г. В. Киотина

Рязанский государственный университет им. С. А. Есенина, кафедра математики и методики преподавания математических дисциплин

E-mail: [email protected]

Методом внешних форм Картана изучаются комплексы прямых в бифлаговом пространстве гиперболического типа, введённом автором. Доказано, что в этом пространстве в окрестности нулевого порядка существует 5 видов неспециальных комплексов. Для каждого из них строится подвижной репер первого порядка.

Ключевые слова: пространство бифлаговое, абсолют, группа, автоморфизмы, дифференцирование внешнее, репер: подвижной, канонический; окрестность, комплекс: специальный, неспециальный.

The Classification of Complexes of Lines in Zeroth Order Frame in F32 Space

G.V. Kiotina

Ryazan State University named for S. A. Yesenin,

Chair of Mathematics and Method of Teaching of Mathematical

Disciplines

E-mail: [email protected]

Complexes of lines in hyperbolic type of biflag space introduced by the author are studied by the method of external Cartan forms. We prove that 5 non-special variants of complexes exist in mentioned space in zero order neighborhood. For every complex a first-order moving flag was drawn.

Key words: space biflag, absolute, group, automorphism, measurement invariant differentiation external, frame: moving, canonical; neighborhood, complex: special, non-special.

Пространством с обобщённой проективной метрикой Кэли - Клейна мы называем проективное п-мерное пространство с абсолютом, с помощью которого в каждом пучке т-плоскостей (за исключением, может быть, некоторого множества этих пучков) определено эллиптическое, гиперболическое, или параболическое измерение углов между т-плоскостями (при т = 0 — расстояний между точками), одного вида при данном т = 0,т— 1, инвариантное относительно группы проективных автоморфизмов абсолюта [1].

В данной работе классифицируются комплексы прямых в окрестности нулевого порядка в бифлаговом пространстве Ё3?, абсолют которого состоит из пары плоскостей Р?1 и Р?, определяющих квадрику к2 ранга 2 индекса 1, пары прямых Р/ = Р2: П Р2> Р? с Р21 и пары точек А = Р>11 Р| Р? и В е А1.

Канонический репер И = {Е^, Е}, г = 0, 3, пространства Ё2 зададим следующим образом: вершины Е2 и Е3 поместим в точки А и В, причём Е3 = А, вершины Е0 и Е1 выберем сопряжёнными относительно квадрики к2, единичную точку возьмём произвольно на прямой Р12.

Группу С проективных автоморфизмов абсолюта будем называть группой движений простран-

(а Ь 0 0 \ Ь а 0 0

ства F2. Группа G изоморфна группе матриц вида

а0 а1 а2 0 \Ъо bi 0 63/

где а2 — Ъ2 = ±1, а0 + а1 + а2 =

= а + Ь.

Отсюда следует, что деривационные формулы и уравнения структуры пространства Ё2 имеют вид

¿Ег = Ш. Е3, <Ц = Л , (1)

где сод = соI = (¿2 = со3 = = = со2 = = 0, со2 + со2 + со^ = = . Ь 3 = 0? 3.

Таким образом, имеем шесть независимых дифференциальных форм инфенитезимального перемещения канонического репера пространства Ё|, т. е. подвижность пространства Ё2 равна 6 и совпадает с подвижностью классических неевклидовых пространств.

Помещая вершины Е0 и Е1 на прямую и комплекса, выделим главные формы шд и ш" (а = 2, 3) перемещения канонического репера, которые обращаются в ноль при неподвижной прямой и.

© Киотина Г. В2011 11

рЩ^Ш^егЬ Изв. Capar, ун-та. Нов. сер. Z011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. Z

Так как многообразие прямых комплекса зависит от трёх параметров, то четыре главные формы в репере нулевого порядка удовлетворяют одному линейному уравнению:

Kaw0a + K¿ < = 0, (2)

где Ka и Ki — функции, зависящие от параметров перемещения прямой u. В зависимости от условий, которым удовлетворяют коэффициенты Ka и K¿, будем иметь различные виды комплексов.

1. НЕСПЕЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ ПРЯМЫХ

Теорема 1. Если в уравнении (2) KaK^ = 0 при в = а, то это уравнение в репере первого порядка можно привести к одному из видов:

= Kw? + w^, = Kw?.

Доказательство. При KaKg = 0 уравнение (2) можно записать в виде

wa = Kw? + Ki w? + K2W a, K = 0. (3)

При a = 2 имеем уравнение

w2 = Kw? + Ki w3 + K2W 2, K = 0. (4)

Для построения репера первого порядка, связанного с прямой u комплекса, рассмотрим нормальную корреляцию, при которой каждой точке M прямой u ставится в соответствие плоскость П, касательная вдоль прямой u к конусу с вершиной в точке M прямых комплекса в проективном пространстве Р3. Известно, что это соответствие является проективным.

Плоскость П пересекает абсолютную прямую Р-/ в точке Mi. Тем самым между точками прямых u и Рд устанавливается проективное инволюционное соответствие, которое, как и в [2], назовём нормальной коллинеацией. В качестве вершины E0 на прямой u выберем (при K2 = const) точку, соответствующую точке E2 в нормальной коллинеации. За точку Eg примем точку, сопряжённую для E0 на прямой u. Касательная плоскость П g вдоль прямой ЕдЕ0 к конусу с вершиной в точке Eg прямых комплекса пересекает прямую Р/ в точке M. Если точка M ф E3, то примем её за точку E2 (0;0;1;1).

Найдём уравнение комплекса (4) в построенном репере первого порядка. Для конуса с вершиной в точке E0 прямых комплекса при неподвижной точке E0 имеем dE0 ф 0 и, следовательно, w0 = 0 при всех г = 0, 3. Так как касательная плоскость П к конусу с вершиной в точке Eq вдоль прямой E0Ед пересекает прямую Р/ в точке E2, т.е. не содержит точку E3, то коэффициент w 3 при E3 в разложении в касательной плоскости П равен нулю. Тогда из уравнения (4) получим K2w 2 = 0, т. е. K2 = 0 (при K2 = const). Далее, рассмотрим два случая.

1. В случае, когда точке Ед в нормальной коллинеации соответствует точка E2, получим (при неподвижной точке Eg) dEg ф 0, w| = 0, dE0 = w/Eg + w2E2 + w2E3, т. е. w? = w2. Из уравнения (4) следует, что Kg = 1. Уравнение (4) примет вид

w2 = Kw 3 + w?. (5)

2. В случае, когда точке Ед в нормальной коллинеации соответствует точка E3, получим, что в разложении dE0 в касательной плоскости П g к конусу с вершиной в точке Ед отсутствует слагаемое с точкой E2, т.е. w2 = 0. Учитывая, что wi =0 при ф 0, из уравнения (4) получим Kg w3 = 0. Отсюда следует, что Kg = 0. Уравнение комплекса (4) в этом случае принимает вид

w2 = Kw 3. (6)

Аналогичный результат получим при a = 3. Теорема доказана. □

Уравнение (5) принимает вид (6) при переходе к новому базису: w2 = w2 — w3, w3 = w2 + w3, w3 = w3, w2 = w2.

В новом базисе абсолютная точка A принимается за точку E2. Некоторые виды комплексов в этом базисе изучены в [3].

По аналогии с комплексами в классических неевклидовых пространствах коэффициент K в уравнениях (6) и (5) назовём кривизной комплекса. При K = const комплексы (6) и (5) обозначим (6') и (5') и назовем их комплексами постоянной кривизны.

Комплексы (5'), (6') являются частными случаями комплекса (5), (6).

Для выяснения характеристического свойства комплекса (6) введём определение.

Определение. Точки прямой u комплекса, соответствующие в нормальной коллинеации точкам E2 и E3 абсолюта назовём абсолютными точками прямой комплекса.

На каждой прямой u комплекса имеются две абсолютные точки. Обозначим их M2 и M3. Для комплекса (6) абсолютные точки M2, M3 являются вершинами E0, E подвижного репера. Так как вершины E0, E подвижного репера сопряжены относительно абсолютной квадрики k2, то имеет место следующая теорема.

Теорема 2. На каждой прямой комплекса (6) имеется пара сопряженных абсолютных точек.

Комплекс (6) назовём абсолютно-сопряженным.

Теорема 3. Репер первого порядка для комплексов (6), (5), (6'), (5') является каноническим. Произвол существования комплексов (5), (6)— одна функция от трёх переменных, и одна функция от двух переменных для комплексов (5'), (6').

Доказательство. Дифференцируя внешним образом уравнение (4), получим следующее квадратичное уравнение:

(dK2 + ((K2)2 — 1)w01) Л w 2 + (dK i + (K + Ki K2H1 + Ki(w2 — w|)) Л w3+

+(dK + K(w2 — w|) + (K2K + Ki)wi) Л w 3 = 0. (7)

Разрешая уравнение (7) по лемме Картана, получим:

dK2 + ((K2 )2 — 1))w° = q i i w2 + qi 2 w^ + qi 3w 3,

dKi + (K + KiK2)w/ + Ki (w2 — w3) = q i 2 w 2 + q22w3 + q23 w 3, (8)

dK + (K2K + Ki )w0 + K (w| — w3)= q i 3 w 2 + q23w^ + q33 w 3.

Обозначая через nj дифференциальные формы wj при неподвижной прямой и учитывая (1), получим 3 уравнения относительно пяти дифференциальных форм , пЦ, dK, dK, dK2, из которых при K2 = const следует простейшее решение:

K2 = п/ = 0, Ki = 1, п| = 0, dK = 0, (9)

а также частное решение при K = const:

K2 = K = 0, п0 = п33 = 0, dK = 0. (9')

Решения (9) и (9') задают соответственно комплексы (5) и (6). Из этих решений следует, что все дифференциальные формы комплексов (5) и (6) становятся главными, и репер первого порядка является каноническим, в том числе и при dK = 0.

Выясним произвол существования этих комплексов. Покажем выполнимость критерия Картана. Из того что имеем одно квадратичное уравнение (7), следует, что Si^ = 1.

Для комплексов (5), (6) q = 3, а учитывая, что Si. > S2 > S3, получим Si. = S2 = S3 = 1 и число Q = Si, + 2S2 + 3S3 = 6. Число N, равное числу независимых коэффициентов qj в уравнениях (8), также равно 6, т.е. N = Q. Критерий Картана выполняется. Так как S3 = 1, то произвол существования комплексов (5), (6) — одна функция от трёх переменных.

Для комплексов (5'), (6') легко показать, что уравнения (8) зависимы, и поэтому q = 2, а Q = Si_ + 2S2 = 3. Число N для этих комплексов также равно трём, так как 6 независимых коэффициентов qj удовлетворяют трём линейным условиям. Критерий Картана выполняется, комплексы (5'), (6') существуют с произволом в одну функцию от двух переменных. Теорема доказана. □

Математика

13

рЩ^Ш^егЬ Изв. Capar, ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 2

При доказательстве теоремы 3 мы исключили случай, когда коэффициент K2 в репере нулевого порядка является постоянным.

При K2 = const уравнение комплекса (4) запишем в виде

wq = qw\ + + q2 Wq. (10)

Уравнение (10) получается из уравнения (3) (при a = 3) перенумерованием индексов 0 и 1, т.е. комплекс (10) получается из комплекса (3) заменой вершин E0 ^ E1 в подвижном репере комплекса. Поэтому аналогично предыдущему уравнение (10) можно привести к одному из видов: w3 = qw0 + w2

3 2

или w3 = qWg.

В том случае, когда в репере нулевого порядка в уравнении комплекса (3) оба коэффициента К и K2 постоянны, т.е. dK1 = dK2 = 0, из уравнений (8) при неподвижной прямой получим (при (Ki )2 = 1):

dK = 0, Ki = 1, = nQ = 0. (11)

Уравнение (3) принимает вид

w2 = Kw Q + KiW 2 + wQ, Ki = const. (12)

Комплекс (12) существует с тем же произволом, что и комплекс (5), и репер первого порядка для него является каноническим.

В нормальной коллинеации, связанной с прямой комплекса (12), вершинам E2, E3 соответствуют абсолютные точки Mi(1; -Ki; 0; 0), Mq(1; K; 0; 0).

Так как K2 = const, то на каждой прямой комплекса (12) имеется инвариантная на всем многообразии прямых комплекса абсолютная точка MQ, а при K = const — две инвариантные абсолютные точки: M2 и MQ.

Комплекс (12) при K = const назовём абсолютно-инвариантным, а при K = const — абсолютно-полуинвариантным.

Учитывая (EoE1M1M2) = -K2/K, получим, что коэффициент K2 характеризует отклонение вершин репера E0, E1 от абсолютных точек.

Число K2/K назовём второй кривизной комплекса (12).

Для абсолютно-инвариантного комплекса обе кривизны постоянны.

При K2 = ±1 комплекс (12) имеет вид

wi = KwQ ± W2 + WQ. (13)

Для комплексов (13) уравнение (7) не зависит от w2, поэтому все три коэффициента в первом уравнении системы (8) равны нулю, т. е. N = 3. Учитывая, что в системе (8) два линейно независимых уравнения, имеем q = 2, а Q = 3.

Комплекс (13) существует с произволом в одну функцию от двух переменных.

Выясним его строение. При K2 = —1 f (E2) = E0(1; 1; 0; 0), т. е. точка E0 является абсолютной точкой. Так как E0 описывает поверхность, являющуюся инвариантной плоскостью P2, то комплекс (13) расслаивается согласно [4, с. 120] в двухпараметрическое множество пучков прямых с центрами в точках плоскости P2 .

При K2 = 1 имеем комплекс того же вида, центры пучков его принадлежат абсолютной плоскости P22. Комплекс (13) является квазиспециальным [4, с. 120].

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 4. Существуют 5 типов комплексов ненулевой кривизны:

1) комплекс общего вида;

2) абсолютно-сопряженный комплекс;

3) квазиспециальный комплекс;

4) абсолютно-полуинвариантный комплекс;

5) абсолютно-инвариантный комплекс.

В каждом из трёх первых типов выделяются комплексы постоянной кривизны.

Е. В. Коробченко. Гомотоптесте группы пространств толерантных петель

2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ВЫРОЖДЕННЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ

Для комплесков, кривизна которых равна нулю для любой прямой, КаК1 = 0 при всех в = а, а = 2, 3. Комплекс (2) в этом случае принимает один из видов:

Ка^ = Kß< ,

к < = к wf,

Kaw0a = к ^ о-

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема 5. Существуют три типа комплексов нулевой кривизны: специальный, тангенциально-вырожденный специальный, вырожденный специальный. Для комплексов первых двух типов существует канонический репер первого порядка. Канонический репер вырожденного специального комплекса не существует.

Специальный комплекс состоит из прямых, касающихся некоторой поверхности V. Если поверхность V является тангенциально-вырожденной, то комплекс мы называем тангенциально-вырожденным специальным. Вырожденный специальный комплекс состоит из однопараметрическо-го множества связок прямых, центры которых описывают некоторую кривую в абсолютной плоскости [5].

Библиографический список

1. Киотина Г. В. Группа движений обобщенно-галилеева пространства // Вестн. Рязан. ГПУ. 2004. С. 117-126.

2. Розенфельд Б. А., Зацепина О. В., Стеганцева П. Г. Гиперкомплексы прямых в евклидовом и неевклидовом пространствах // Изв. вузов. Математика. 1990. № 3. С. 57-66.

3. Киотина Г. В. Комплексы прямых в бифлаговом про-

странстве Р32 // Труды вторых Колмогоровских чтений. Ярославль, 2004. С. 338-344.

4. Кованцов Н.И. Теория комплексов. Киев, 1963. 292 с.

5.Киотина Г. В., Зацепина О. В., Ромакина Л.Н. Специальные комплексы прямых в пространствах , 1Б5, В>з // Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры: тез. докл. международ. конф. Саратов, 2008. С. 85-86.

УДК 513.6

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРОСТРАНСТВ ТОЛЕРАНТНЫХ ПЕТЕЛЬ

Е.В. Коробченко

Саратовский государственный университет, кафедра компьютерной алгебры и теории чисел. E-mail: [email protected]

В статье доказывается теорема об изоморфизме между гомотопическими группами исходного толерантного пространства и гомотопическими группами на единицу меньшей размерности пространства толерантных петель исходного пространства.

Ключевые слова: толерантное пространство, пространство толерантных петель, гомотопические группы толерантного пространства.

Homotopy Groups of Space of Tolerant Loops. E.V. Korobchenko

Saratov State University,

Chair of Computer Algebra and the Theory of Numbers E-mail: [email protected]

In the article is proved the theorem about isomorphism between homotopy groups of initial tolerant space and homotopy groups with descremented by one dimension of space of tolerant loops.

Keywords: tolerant space, space of tolerant loops, homotopy groups of tolerant space.

Толерантное пространство (Т-пространство), по определению Зимана [1], — это пара (X,т), где X — множество, а т с X х X — рефлексивное и симметричное отношение, называемое отношением толерантности. Отображение / : (X, т) ^ (К, 0) Т-пространств называется толерантным (Т-отображением), если из х тх2 следует /(х 1 )0/(х2). К настоящему времени имеется достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория Т-пространств [2].

© Коробченко Е. В., 2011

15