Кинетика фотопроводимости при возбуждении высокочастотными импульсами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.315.592

В. А. Горюнов, В. Я. Гришаев, Е. В. Никишин

КИНЕТИКА ФОТОПРОВОДИМОСТИ ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ

Аннотация. Приведены результаты численных исследований кинетики фотопроводимости при возбуждении полупроводника высокочастотными импульсами света произвольной формы. Кинетика фотопроводимости при выполнении условий %.ю>> 1 определяется зависимостью величины темпа генерации

от времени. Она не зависит от времен жизни электронов и дырок. Это позволяет восстановить временную форму высокочастотного импульса света.

Ключевые слова: кинетика фотопроводимости, рекомбинационные центры, времена жизни электронов и дырок, восстановление сигналов.

Abstract. The article introduces the results of numerical investigations of photoconductivity kinetics under the excitation of semiconductor by high-frequency pulses of arbitrary-shaped light. The kinetics of photoconductivity under the conditions Zj ю>> 1 is determined by the dependency of the value of the generate rate on time.

It does not depend on the lifetimes of electrons and holes. It allows to reconstruct the time waveform of high-frequency pulse of light.

Key words: photoconductivity kinetics, recombination centers, lifetimes of electrons and holes, signal reconstruction

Введение

При регистрации высокочастотного оптического сигнала зависимость фототока от времени не повторяет временную зависимость оптического сигнала. Это приводит к неизбежному искажению (потере) информации. Часто требуется привести форму фототока к форме оптического сигнала (восстановления формы фотоэлектрического сигнала).

Зависимость фототока от времени в полупроводниках во многом определяется различными механизмами рекомбинации неравновесных носителей. Это приводит к сложной кинетике фотопроводимости в полупроводниках [1-5]. Какой конкретно механизм рекомбинации вносит более существенный вклад в зависимость фототока от времени, определяется уровнями инжекции неравновесных носителей заряда и степенью легирования полупроводника. Кинетические кривые нарастания и спада фототока при возбуждении полупроводника импульсами света имеют сложный вид. Теоретически процессы спада и нарастания фототока при возбуждении часто описывают экспоненциальными или гиперболическими функциями. Экспоненциальный вид используется при малых световых потоках. В этом случае темпы рекомбинации избыточных носителей заряда (Rn и Rp) задаются введением времен жизни

электронов Zn и дырок zp |Rn =Дп/zn ; Rp =Ap/Zp). Гиперболический закон изменения концентрации избыточных носителей тока справедлив при больших темпах генерации Q, когда преобладает рекомбинация зона-зона.

При этом Rn = Rp ~ anp ~ an . При исследовании кинетики фотопроводимости темп рекомбинации часто моделируется степенной функцией концентра-

ции носителей заряда. Учитывается линейный, квадратичный и кубический член [6, 7]. Целью данной работы является исследование кинетики неравновесных носителей заряда при возбуждении высокочастотными импульсами света произвольной формы.

1. Физическая модель фотопроводимости при высокочастотном возбуждении импульсами света

Полагаем, что осуществляется возбуждение зона-зона. Кинетические уравнения, описывающие изменение концентраций свободных носителей заряда и изменение населенности примесных центров при возбуждении периодическими импульсами света имеют следующий вид:

—^’п- о о о

~^ = §{(0()~ А(рп - п ) - впп(пр - п ) - врр(пр - п ) -

1[N°п] (п(1-П] )-]

(1)

2 2 2

— = £ ((0()- А(рп - п ) - Впп(пр - п ) - Врр(пр - п ) -

-I

]

[Nст р] ( - рц(1 - 1] ) (2)

= °п] (п (1 -1] )-п1]/]■)-°р] ( - П1] (1 -I] )), (3)

здесь g(юt) - темп генерации носителей заряда; пу, р1] - численно равные концентрации электронов и дырок, когда уровень Ферми совпадает с уровнем ловушки; N - концентрация примесных центров ] - типа; о„;, Ор - вероятности захвата электронов и дырок примесными центрами; I - вероятность нахождения на примесном центре электрона; А - коэффициент межзонной рекомбинации; Вп, Вр - коэффициенты Оже-рекомбинации.

Темп генерации представим в виде суммы постоянной и переменной составляющей внешнего возбуждения (нагрузки):

g (Ы) = go + g * (<ш),

g * (ю) = I ек 8ш(кШ + ук) .

к=1

При больших частотах периодического возбуждения представленная выше система дифференциальных уравнений линеализируется, если ввести замену переменных:

п =< п > +Дп , р =< р > +Др , I] =< I] > +ДI] . (4)

В частности, в полупроводнике с глубокими донорными и акцепторными центрами система уравнений для нахождения малых изменений переменных примет следующий вид:

- Дп —

- Др —

g* (ю0 - ыа О па ( Дп(1- < /а >) - (< п > + п1а )Д/а ) -

-м- °п-(Дп (1- < /- >)- (< п > + п1-)Д/-);

<(ш0 -NаОра (Др < (а > +(< р > + ^1а)Д/а ) -

~н- О р- (Др < /- > +(< р > + р1- )Д/- ) ;

- Д/а —

= О

-О

ра

,(Дп (1-</а >)-(<п >+п1а )Д/а ) -(Др < (а > +(< р > + р\а)Д/а ) ;

—-- = Оп-(Дп(1-< /а >)-(<п >+п1-)Д/-)-

-Ор- (■Др < (- > +(< р > + р1- )Д/- ) .

(5)

(6)

(7)

(8)

Полагаем, что получаемая из (1)-(3) система неоднородных линейных дифференциальных уравнений устойчива, т.е. все корни соответствующего характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. Решение в этом случае представляется суммой общего решения однородной системы и частного решения. Для избыточных концентраций электронов и дырок имеем

Дп = I С] • ехр

+ Дпч

Др = I С]0] • ехр

V Т

+ Дрч

(9)

(10)

Константы С] определяются начальными условиями, ц выражаются через параметры примесных центров, средние значения концентраций электронов, дырок и вероятности заполнения глубоких центров электронами. Значения < п >, < р >, < /] > могут быть найдены из системы нелинейных алгебраических уравнений, получаемых из соотношений (1)-(3):

< g(со?1) > -А(< р >< п > -п2) - Вп < п > (< п >< р > -п2) -

- Вр <

р > (< п >< р >-п2) -1[ N °пг (< п >(1-< >)-п1г < !] >)

= 0;

< g (ш? ) > -А(< р >< п > -п2) - Вп < п > (< п >< р > -п2) -

-Вр < р > (< п >< р >-п2) -1[^,- °рг (< р >< >-рЦ (1-< !] >))

]

Оп] (< п > (1 - /] ) - п1 ] < // >) - Ор] ( < р >< (] > -рц (1- < /] >) ) = 0

здесь

1 Т

< g (rot) >= Т j g (“t )dt.

0

Если дана устойчивая линеализированная система с периодическими внешними нагрузками, то частное решение будет суммой синусоидальных решений применительно к каждой синусоидальной нагрузке в отдельности и оно будет единственным установившимся решением:

Дпчаст (rat) = 2 Ank sin(k rot + Pk); (11)

k=1

Дрчаст (rot) = 2 ДРк sin(krot + P1k ) ; (12)

k=1

Д/участ (rot) = 2 fjk sin(krot + P2jk ) . (13)

k=1

При достаточно больших временах внешнего возбуждения (t -Т-1 >>1) для избыточных концентраций электронов и дырок справедливо: Дп ~ Дпчаст , Др ~ Дрчаст . При высоких частотах ( т jro >> 1) внешнего возбуждения изменение концентраций электронов и дырок с течением времени с хорошей точностью может быть представлено в виде

Дп(гоО ~ Др^) ~ 2(kro) 1 ck sin(krot + Фк -y2). (14)

k=1

Из уравнений (4) и (14) получаем зависимости концентраций электронов и дырок от времени:

п =< n(ro) >+ 2 (kro) 1 Ck sin (rot + фк-J2); (15)

k=1

p =< p(ro) > + 2(kro)-1 Ck sin(krot + Фk-y2). (16)

k=1

Отметим, что средние значения концентраций <п> и <р>, а значит, и среднее значение фототока зависят от частоты внешнего воздействия го. Для переменной составляющей плотности тока получаем

j* = е(^п +Цр)Е2(kro)-1 ck sin(krot + Фk-У2). (17)

k=1

Сравнивая g* (rot) и j* , делаем вывод: производная от плотности тока с точностью до постоянной дает переменную составляющую внешнего воз-

буждения. Это позволяет восстановить временную развертку оптического сигнала по зависимости силы тока или электропроводности от времени:

dd~ = c - g* (rot). (18)

dt

2. Полупроводник с глубокими рекомбинационными центрами

При восстановлении формы фотоэлектрического сигнала важно получить максимальный коэффициент амплитудной модуляции электропроводности. Глубина модуляции определяется параметрами полупроводника и параметрами центров захвата и рекомбинации. Проведем математическое моделирование проводимости кристаллического кремния с глубокими акцепторными центрами индия [1] и мелкими ионизированными примесями с целью оптимизации процесса восстановления формы фотоэлектрического сигнала. Рассмотрим неравновесное состояние Si, вызванное высокочастотными импульсами света: g(t) = go при kT < t < kT + т и g = 0 при kT + т < t < (k + 1)T; k = 0, 1, 2,... Система уравнений, описывающая кинетику изменения концентраций свободных носителей заряда, представлена в (5)-(8). Пренебрегая перезарядкой мелких уровней, получаем:

Дп^ = Q exp(k1t) + C2 exp(k2t) + Дп1; (19)

Дп^ = Cj exp(k1t) + C2 exp(k2t) - Дп1; (20)

Дрг = C (Д ^k1)exp(k1t) + C2 (° +bk2 exp(k2t) + Др1; (21)

Др^ = Cl (° bk1)exp(k1t) + C2 (а +bk2)exp(k2t) - Др1, (22)

b b

здесь Дп^, Дп^, Др^, Др^ соответствуют убыванию и возрастанию концентраций электронов и дырок соответственно; k2 и k1 определяют наличие на ре-

лаксационных кривых концентраций электронов и дырок участков «быстрого» и «медленного спада» соответственно [5].

Введены обозначения:

а = Оп [<п >+п1а +Na (1-< fa >) b = Оп (<п >+п1а ^ a1 =Ор (< р >+р^ ),

b1 =°р (< р > + р1а + Nafa ), k1,2 =---( 4^)- + a1b ,

b + bi a + ai

Дп =----------------i-g, Др =------ ---g .

1 2(ab1 - ab) 2(ab1 - a1b)

Постоянные интегрирования находим, используя условия сшивания:

Дпт (0) = Дп^ (т) ; Дрт (0) = Др^ (т) ; Дп^ (т) = Дп^ (0); Дрт (т) = Др^ (0).

Проделав алгебраические преобразования, получаем:

C =-C1 = 2 + k2) - A^b ; с =-С1 = -2 Дп^к + a) -Дп2Ь

1 1 k - k1 )(1 + exp(k1T)) ; 2 2 k - k1 )(1 + exp(k2 т))

При малых периодах внешнего периодического возбуждения (kiT << 1 и k2T << 1) для удвоенной амплитуды колебаний концентраций электронов и дырок получаем простое выражение:

Дп^ (т) - Дп^ (Т) = Др^ (т) - Др^ (Т) = 2g0т^1 - Tj . (23)

Для амплитуды колебаний удельной электропроводности получаем

Да = е(^п + Цр)g0T^ - T j . (24)

Амплитуда колебаний концентраций электронов и дырок при высоких частотах следования импульсов внешнего возбуждения определяется только величиной темпа генерации, периодом следования импульсов света и их скважностью. Она не зависят от параметров полупроводника и параметров акцепторных центров. При возбуждении Дп, Др и До возрастают, при снятии возбуждения убывают по линейному закону, что подтверждает справедливость соотношения (18). На рис. 1 представлены зависимости относительной удельной электропроводности от времени. Кривая 1 соответствует максимальной глубине модуляции. Кривые 2 и 3 совпадают.

t

Рис. 1. Зависимость относительной удельной проводимости от времени при возбуждении импульсами света прямоугольной формы (Ыа = 1017 см-3, g0 = 1020 см-3с-1); кривые 1 - N = 9,852 • 1016 см-3, п0 = 3,56 • 105 см-3;

2 - N = 1017 см-3, п0 = 2,6 • 108см-3; 3 - N = 1017 см-3, п0 = 5,0 • 1011 см-3

Пока концентрация избыточных носителей заряда не превышает значений 101516 см-3 межзонной и Оже-рекомбинацией можно пренебречь [7]. Это позволяет минимизировать средние значения электропроводности. Аналитическое выражение для минимального значения электропроводности <о> имеет вид

<v>=

e • Mn • g0

2vna Na

(

1 + 2.

2Na • pla •Ц/

Л

Mi • g0

2 g0 Mn ^Мp • pla pa (25)

I vla •Na

Выражение (25) справедливо при выполнении условий: <п> >>п1а и <р> << р1а (данные условия выполняются, например, для акцепторных примесей индия). Равновесную концентрацию электронов, при которой достигается минимальное значение электропроводности в кремнии с примесью индия, можно найти, решив трансцендентное уравнение:

П ЛГ ^па ' п0 ^ара ' р1а ЛГ „ /^г\

П ~ — + ^а-----------------------/^>----------т - ^ = 0. (26)

п0 < ~2 '

'(п0 + п1а ) +

а

ра

п

— + Р1а п0

Концентрация мелких ионизированных центров N при заданном уровне темпа генерации и известных концентрациях акцепторных центров может быть найдена из уравнения квазинейтральности при наличии возбуждения. Пренебрегая малыми величинами после преобразований, получим

N

Ыг =----- / а . (27)

1 +

V

Цп ' &0/

2' Ш ' Ра1 'Ц р ' аа

При указанных выше концентрациях примесных центров (Na, Nt) будет максимальный коэффициент амплитудной модуляции электропроводности. Для относительной удельной электропроводимости получаем

8 = Да = Т

а“ах = <а> = Т

Цп ' ё0 ' апа ' Na (28)

2ц р ' а ра ' ра1

Полученные выше соотношения для 81 с глубокими акцепторными центрами справедливы при частотах возбуждающего света более 10 МГц. То есть, используя фоторезистор на основе 81 с примесью 1п по предложенной выше методике (соотношение (18)), можно восстановить форму импульсов света, частота следования которых более 107 Гц. Верхняя частота определяется точность аппаратуры, поскольку увеличение частоты следования импульсов приводит к уменьшению глубины модуляции электропроводности. Относительная удельная электропроводность при частотах от 10 МГц до 1 ГГц составляет величину порядка 6 ~ 0,1 %. Это связано с тем, что постоянные времени Т1= - 1/к и т2= - 1/к2 отличаются на несколько порядков (т! ~10-6 с, т2 ~10-10 с).

Заключение

Таким образом, показано, что при возбуждении полупроводника серией высокочастотных импульсов света произвольной формы механизмы рекомбинации не оказывают влияния на вид зависимости фототока от времени. Кинетика неравновесных носителей заряда определяется временной зависимостью этих импульсов. Средние значения концентраций электронов и дырок зависят от времен жизни тп и тр. При выполнении условий: ютп >> 1 и ютр >> 1, можно определить временную зависимость отдельного оптического сигнала.

Список литературы

1. Милнс, А. Примеси с глубокими уровнями в полупроводниках / А. Милнс. - М. : Мир, 1977. - 568 с.

2. Холоднов, В. Ф. Характер зависимости времен жизни электронов и дырок от концентрации основной рекомбинационной примеси при наличии побочных центров захвата носителей / В. Ф. Холоднов, П. С. Серебряков // Письма в ЖТФ. -1997. - Т. 23 (24). - С. 58-63.

3. Каражанов, С. Ж. Свойства точно компенсированных полупроводников / С. Ж. Каражанов // Физика и техника полупроводников. - 2000. - Т. 34 (8). -С. 909-916.

4. Яшин, А. Н. Применимость упрощенной модели Шокли - Рида - Холла для полупроводников с различными видами дефектов / А. Н. Яшин // Физика и техника полупроводников. - 2005. - Т. 35 (11). - С. 1332-1335.

5. Горюнов, В. А. Об изменении времен жизни носителей заряда при импульсном фотовозбуждении в кремнии с глубокими примесными центрами / В. А. Горюнов, В. Я. Гришаев, Е. В. Никишин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 4. - С. 119-126.

6. Савченко, А. В. Квадратичная рекомбинация в кремнии и ее влияние на объемное время жизни / А. В. Савченко, А. П. Горбань, В. П. Костылев, И. О. Соколовский // Физика и техника полупроводников. - 2007. - Т. 41(3). - С. 290-294.

7. Бородовский, П. А. Аномальная релаксация фотопроводимости в кремнии при высоких уровнях инжекции / П. А. Бородовский, А. Ф. Булдыгин, С. В. Голод // Физика и техника полупроводников. - 2009. - Т. 43(3). - С. 329-331.

Горюнов Владимир Александрович

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра экспериментальной физики, Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (г. Саранск)

E-mail: [email protected]

Гришаев Владимир Яковлевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра экспериментальной физики, Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (г. Саранск)

E-mail: [email protected]

Никишин Евгений Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра экспериментальной физики, Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (г. Саранск)

E-mail: [email protected]

Goryunov Vladimir Alexandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of experimental physics, Mordovia State University named after N. P. Ogaryov (Saransk)

Grishaev Vladimir Yakovlevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of experimental physics, Mordovia State University named after N.P. Ogaryov (Saransk)

Nikishin EvgenyVasilyevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of experimental physics, Mordovia State University named after N. P. Ogaryov (Saransk)

УДК 621.315.592 Горюнов, В. А.

Кинетика фотопроводимости при возбуждении высокочастотными импульсами / В. А. Горюнов, В. Я. Гришаев, Е. В. Никишин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 242-250.