CC BY
30
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 102-110
Механика
УДК 539.324
Кинематические гипотезы в моделях процессов конечного деформирования идеально-пластических оболочек *
А. В. Кудряшов
Аннотация. Моделирование процесса конечного деформирования идеально-пластической оболочки связано с исследованием системы нелинейных уравнений в частных производных, получить точное решение которой не представляется возможным. Построение адекватных моделей этого процесса невозможно без введения гипотез относительно распределения характеристик напряженного или деформированного состояний. В ряде работ установлено, что распределение угла вида напряженного состояния вдоль радиуса оболочки меняется несущественно, кроме того, значительная часть оболочки в области ее полюса находится в состоянии, близком к состоянию полной пластичности. Полученные результаты позволяют непосредственно и с некоторыми обобщениями применить гипотезу полной пластичности для моделирования процесса и перейти от решения системы уравнений в частных производных к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений более простого вида. Проведены сравнение и анализ полученных решений, а также указаны границы их применимости.
Ключевые слова: пластичность, оболочка, конечные деформации.
Постановка задачи
Система уравнений равновесия оболочки вращения может быть записана в виде [2, 4]:
рдТР3 + 2г (а2 - 2ст1) 7)2 = 0
П0 дт
Р 2дР • 2
— р — = 01 т 81п27.
П0 дт
(1)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-97500-р_центр_а).
Здесь р (і) — величина приложенного давления, Но — начальная толщина оболочки, 7 (г, і) — угол поворота нормали к срединной поверхности оболочки, г, р (г, і) — начальная и текущая радиальная координата точки срединной поверхности, о і (г, і), о 2 (г, і) — соответственно радиальная и окружная компоненты тензора напряжений, функции Л і (г, і) и Л2 (г, і) характеризуют относительное удлинение срединной поверхности оболочки в радиальном и окружном направлениях:
Лi (r,t) =
dR
dr
Л2 (r, t) =
p(r)
Оболочка деформируется необратимо без деформационного и скоростного упрочнения. Пренебрегая упругими деформациями, запишем определяющие соотношения для идеально-пластического материала в форме, рассмотренной в [3]:
i
а = ToW s
Материал оболочки полагаем несжимаемым:
(2)
W --Е = 0.
Здесь ЛУ — девиатор тензора деформации скорости, т0 = Vо • •о — второй инвариант девиатора тензора напряжений, предел текучести материала,
в = VЛУ • ЛУ — второй инвариант девиатора тензора деформации скорости, который связан со скоростью деформирования срединной поверхности следующим уравнением:
дs
дSo
д ln Л
дsn
+
д ln Л2\2 д ln Л-\_ д ln Л2
дSo ) + дSo дSo
(З)
В качестве «времени» в выражении (3) использована величина деформаций в полюсе оболочки в0 =
W • W dt
to
являющаяся
r=o
параметром, монотонно возрастающим в процессе деформирования.
Уравнение (3) обращается в тождество в результате следующего преобразования:
r
2
2
д ln Л-\_ Ґ2 дs ( п \ д ln Л2 /2 c)s ( п\ ,л.
= Vo sin ^ + о , = у, sin ^ — о Ь (4)
dso V 3 dso V 3 / dso V 3 dso V 3
а определяющие соотношения после преобразования (4) принимают вид:
(Г\ = To ^3 sin ф + ^3 cos ф j , о2 = To ^3 sin ф — V3cos ф^ . (5)
Таким образом, компоненты девиатора тензора напряжений для модели материала в виде (2) определяются единственной функцией ф (г, в0) — углом вида напряженного состояния [1].
Численный и приближенный аналитический анализ задачи показывает, что распределение угла вида напряженного состояния по радиусу оболочки в процессе деформирования оказывается в значительной степени стационарным. На рис. 1 показано изменение угла вида напряженного состояния в процессе деформирования в диапазоне относительного удлинения оболочки в полюсе Ао = 1..1, 2. Отметим, что выбранный диапазон деформаций охватывает всю устойчивую стадию процесса.
ф(г)
О 02 0А С.6 0.6 1
Рис. 1. Изменение угла вида напряженного состояния в процессе
деформирования
Существенно, что область оболочки г < 0.6Я в течение всего процесса деформирования находится в состоянии, близком к состоянию полной пластичности.
Построение решения в рамках предположения о постоянстве угла вида напряженного состояния
Предположим, что угол вида напряженного состояния ф (в0, г) не зависит от времени и имеет вид:
* / Ч П 1 ( г \4 1 ( г \5 1 ( г \ 6 П ( г \8
фСо,г) = ф(г) = 2 + 6 (д) - 3 (д) +6 (і) - 6 (я) ■ (6)
В этом случае напряженное состояние в оболочке становится известным:
\/б \/б
7а\ (r) = To —^т (3 sin Ф + л/3 cos Ф j , а2 (r) = To — (з sin Ф — л/3 cos Ф j ,
(7)
и задача определения деформированного состояния сводится к решению нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) относительно функций Y (so, r), р (so, r).
Будем искать приближенное решение системы в виде степенных рядов по радиальной координате методом неопределенных коэффициентов. Представляем искомые функции в виде:
^ те
7 (г) = ^2 ГУ, Р (г) = ^ Л;г\ (8)
г=1 г=1
Подставляя разложения (8) в систему (1), приравнивая к нулю выражения при различных степенях г и решая полученную линейную систему уравнений относительно искомых коэффициентов, получаем
искомые характеристики деформированного состояния в виде рядов по
радиальной координате:
^<г) = |А3тРог +8§ (^Гг3+
+4б01оА0тк (^х° (тк) - 960)г5+з§4А3 Ткг6+
+----—----А3—^ (139^3 (А3—^^ - 40320 А3—^^ - 1935360^ г7+
139345920 0 ГоНо\ \0 ъК) V 0 ъК) )
+!7§ (А3 тк, )3 г8- (9)
Р(г) = А3г + | (тк)2г3 - й (^ (кк)4 - И г5 + I^
+ 209018880 (322560 (А3Тк)2 -88КА3Тк,)6 - Ш5360^) г7-
107У5а7 (_р_)2г8.
45360 0 V тк
В решении (9) развитие процесса во времени определяется изменением монотонно возрастающего параметра Ао — относительного удлинения оболочки в полюсе.
Удовлетворяя граничному условию шарнирного опирания оболочки
р (А0, Е,р) = Е,
получим неявную зависимость прикладываемого давления от величины деформации в полюсе.
Величина меридионального удлинения срединной поверхности оболочки Ai (r, \o) определяется на основании решения (9) из кинематического соотношения
A 1 dp
1 cosy dr
Построение решения с использованием гипотезы полной пластичности
Пренебрежем изменением угла вида напряженного состояния около границы оболочки и положим, что он постоянен и в любой точке оболочки равен П. Таким образом, оболочка находится в состоянии полной пластичности и главные напряжения равны
V6
01 = °2 = To~2~ ■
Уравнения равновесия примут вид
Р dYp3 — r^6(sin Y)2 = 0, -j-^p2 dP — — r sin 2y = 0. (10)
hoTo dr ’ hoTo dr 2 ' v 7
Из системы (10) следует зависимость между искомыми функциями Y (r) и р (r):
sin y = С р■ (11)
Исследуя асимптотическое поведение решения (11) в окрестности начала координат, определим константу С:
sin y ,. sin y Y V6 \‘2>р
С = ----------- = lim------------- = Нш — =-----------------
р т^о р т^о р 6 ко То
Таким образом,
• ^6 А°°р
8101 = -6- кото р (12)
Результат (12) позволяет проинтегрировать первое уравнение системы (10) и определить зависимость текущей радиальной координаты от величины деформации в полюсе:
Р0 = г0А0 г4 ( Р )4 А8
р =гА0 - 24 А° ■
Удовлетворяя граничному условию р\т=х = Е, установим зависимость
прикладываемого давления от относительного удлинения срединной
поверхности оболочки в полюсе:
P = 4124 (Л2 - 1) (і3)
hoTo у AS0K2
Из выражения (13) определим максимум прикладываемого давления:
Р ^ = 321.2613
.hoTo J max 4
и момент его достижения:
Ao = -^З3 ~ 1.1547.
3
Выражение (13) содержит отличительную особенность этого решения: воздействие сколь угодно малого давления вызывает деформации оболочки.
Инженерная модель процесса деформирования идеально-пластической оболочки
Для оценки точности инженерной модели и сравнения ее с полученными выше решениями приведем здесь кратко ее основные гипотезы и получаемые на ее основании результаты. Полагается, что оболочка в каждый момент процесса деформирования имеет форму сферы. Обозначая текущий радиус кривизны оболочки через О, будем иметь:
1 = ^ ^ ^ = ^О=0 (14)
О А1 с!г’ г!г (1р ~ ■ ()
Для сферы радиуса О в силу теоремы Менье имеем:
О 8Ш 7 = р. (15)
С учетом введенной гипотезы (14) и равенства (15) уравнения равновесия примут вид
а1О = 2коА1Ао- О(а1+ао) = коА1Ао
Из них следует, что главные напряжения равны между собой и постоянны для любой точки поверхности:
/6
01 = ао = а = То ~2~ ■
Зависимость текущего радиуса оболочки от величины давления и достигнутой в полюсе деформации имеет вид
2 2 \ 2 Р = Г Ло
<1 - роЛо
Р
6 \Toho
г0 Л6 + '______
4 24 \Toho
Р
(16)
Удовлетворяя условию шарнирного опирания оболочки на границе, определим явную зависимость давления от величины деформации в полюсе оболочки:
Р
'96 (-7+ д/48 + ЛО) ТоЬ>~Ч Л^Е 0 •
Из (17) найдем достигаемый максимум давления:
р \ 1.306
(17)
^То
МАХ
Е
и предельную величину деформаций в полюсе, достигнутую на устойчивой стадии: Ха 1.1877.
2
2
Результаты расчетов и выводы
Ниже представлены результаты расчетов, выполненных на основании описанных моделей процесса деформирования идеально-пластической оболочки. На графиках обозначены: №1 — модель, не использующая гипотез о распределении угла вида напряженного состояния; №2 — модель, предполагающая стационарность угла вида напряженного состояния; №3 — модель, основанная на гипотезе полной пластичности; №4 — инженерная модель.
На рис. 2 представлены кривые давления, построенные по результатам расчетов.
1 2
I - р ТЇЇ (
у у'
/
/
< іС у
у л \ 1 \ и
/V
} / і
1.02 1.1 110
Рис. 2. Изменение давления в процессе деформирования
Следует отметить, что модель №3 достаточно точно предсказывает момент потери устойчивости, хотя и дает заниженную максимальную величину прикладываемого давления. Инженерная модель процесса не только занижает максимальное давление, но и заметно увеличивает продолжительность устойчивой стадии процесса деформирования.
На рис. 3 показано отношение начальной и текущей толщин оболочки в момент Ха = 1.179.
□.05 0.8 0.75
Г1
и N
0 2 0 и 0 6 о .8
Рис. 3. Утонение оболочки
Важно отметить, что модели №1 и №2 фиксируют наблюдаемое в экспериментах утонение оболочки в полюсе, модели №3 и №4 «не замечают» достигаемую в процессе деформирования разнотолщинность.
Выводы
В процессе конечного деформирования значительная часть оболочки вокруг ее полюса находится в состоянии полной пластичности или близком к нему. Вследствие этого купол оболочки приобретает форму, близкую к сферической.
Пренебрежение нелинейностью распределения угла вида напряженного состояния в области границы оболочки в моделях №3 и №4 не позволяет отразить разнотолщинность, возникающую в процессе деформирования оболочки, откуда следует, что неравномерность утонения оболочки является полностью «краевым эффектом».
Гипотеза о стационарности угла вида напряженного состояния позволяет достаточно точно моделировать изучаемый процесс. Однако следует отметить, что решения зависят от вида гипотезы, а использованная гипотеза в виде (6) не является единственно возможной. Очевидно, что приближение к гипотезе полной пластичности устремляет решение к решениям (11)—(17), а потому этот вопрос требует дальнейшего исследования.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность: Основы общей математической теории. М.:
Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
2. Кудряшов А.В. Деформирование линейно упрочняющейся оболочки при
условии обобщенной полной пластичности // Изв. ТулГУ. Естественные науки.
2010. Вып. 1. С. 93-99.
3. Маркин А.А. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластического деформирования металлов // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 5. С. 1640-172.
4. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловкий Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.
Кудряшов Александр Вячеславович ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Kinematic hypotheses in models of ideal-plastic shells finite
deformation processes
A. V. Kudryashov
Abstract. Modeling of process of finite deformation of an is ideal-plastic shells leads to research of system of the nonlinear equations in private derivatives, to receive which exact decision it is not obviously possible. Construction of adequate models of this process is impossible without introduction of hypotheses concerning distribution of characteristics of the intense or deformed conditions. In other works it is established that distribution of a corner of a kind of a tension along shell radius changes insignificantly, besides, the considerable part of a cover in the field of its pole is in a condition close to a condition of full plasticity. The received results allow directly and with some generalizations to apply a hypothesis of full plasticity to modeling of process and to pass from the decision of system of the equations in private derivatives to the decision of system of the ordinary differential equations of more simple kind. Comparison and the analysis of the received decisions are spent, and also borders of their applicability are specified.
Keywords: plasticity, shell, finite deformations.
Kudryashov Alexandr ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 12.06.2011
