CC BY
12
УДК 538.324
А. В. Кудряшов, Р. А. Каюмов, И. З. Мухамедова, Ф. Р. Шакирзянов
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О КОНЕЧНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ КРУГОВОЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Ключевые слова: теория упругости, пластичность, оболочки.
В рамках обобщенной гипотезы полной пластичности получено приближенное решение задачи о деформировании начально плоской круговой упругопластической оболочки под действием следящей нагрузки. Установлен диапазон свойств материала, для которого решение поставленной задачи не существует.
Keywords: theory of elasticity, plasticity, shells.
In the framework of the generalized hypothesis offull plasticity, an approximate solution of the initial deformation of a flat circular elastic-plastic shells under a follower load. The range of material properties, for which the solution of the problem does not exist.
1. Постановка задачи
Процесс конечного деформирования тонкой, начально плоской, круговой оболочки, шарнирно закрепленной на границе и деформирующейся под действием следящей нагрузки описывается известной системой дифференциальных и алгебраических уравнений, полученных с использованием гипотезы Кирхгофа -Лява для равномерного распределения напряжений и деформаций по толщине (безмоментная теория). Срединная поверхность оболочки в процессе деформирования показана на рис. 1. Математическая постановка задачи представляет собой замкнутую систему перечисленных уравнений, перечисленных ниже.
Уравнения движения тонкой оболочки, деформирующейся под действием нагрузки р, приложенной к одной из ее лицевых поверхностей:
T — — ~ 2, 1R2 2 1 2
Tj — + T2 — — pX1X 2
(1)
Rj
R,
Здесь 1/Я1 и 1Я2 - главные кривизны срединной поверхности, Х1 и X2 - относительные удлинения срединной поверхности соответственно в меридиональном и окружном направлениях, Т1, Т2 -растягивающие усилия.
Рис. 1 - Кинематика деформирования оболочки
Кинематические соотношения между характеристиками деформированного состояния срединной поверхности связаны соотношениями:
d Р л - л — — Aj cos у а, р — л2r, dr
J_
R
sin у
d у
(2)
р Я1 Ххйг где у(г) - угол поворота материального базиса, р( г) - текущая радиальная координата точки
срединой поверхности.
Определяющие соотношения обратимо деформируемого несжимаемого материала имеют вид:
Ч.к — ао +®Rd, Г • -Е — 0,
(3)
стк = 20Г = 20&'п (ф), 52 = Г • -Г, где стя - девиатор «повернутого» тензора напряжений Коши, Г - левая мера Генки, G -упругий модуль сдвига, п (ф) и ф(г, яо) -
соответственно направляющий тензор девиатора меры Генки и его угол вида. Направляющий тензор п (ф) с учетом гипотезы несжимаемости имеет следующее диадное представление:
КФ) —^|sln [ф+f ] ^V
^lTsln[ф_т)^^ -^sln(ф) Яп
(4)
'3
n •-E — 0, n ••n — 1.
Определяющие соотношения необратимо деформируемого несжимаемого материала:
W
~jr —ст„ +x(xo, s)— а, (si) — W-Wa,
t 1 W--E — 0, s — se + sp — se + J((--W)2dt,
(5)
где т(то,5,) = (ст--ст)2 >то - интенсивность девиатора тензора напряжений, 5 (г) - длина дуги траектории формоизменения в пространстве А.А.
Ильюшина [1] (параметр Одкуиста), -
временеподобный параметр процесса
деформирования - длина дуги траектории деформирования в полюсе оболочки;
~ = _ (V + V V)- тензор деформации скорости.
Компоненты его девиатора, с учетом гипотезы несжимаемости, могут быть представлены в следующем виде:
dso
(6)
где п (ф) - угол вида девиатора тензора
деформации скорости, выражение которого вследствие соосности тензоров в определяющих соотношениях имеет вид (4).
В терминах растягивающих усилий с учетом классической гипотезы тонких оболочек п -стя -п = 0, определяющие соотношения (4) и (5)
примут вид:
T = хко^^ (sin ф + л/Зсоб ф) T2 =xho— (3sin ф-Vscos ф),
2Gs,
х<хо
х = ■
Х(Хо , Xs , Gp , sp ) Х^Хо , Xs = limx
(7)
(8)
Решением системы уравнений (1,_,7 ,8), для условия шарнирного опирания на круговой границе:
Р|,=я = я (9)
являются искомые характеристики напряженно-деформированного состояния в оболочке.
Прямое интегрирование существенно нелинейных дифференциальных уравнений, входящих в постановку, не представляется возможным.
Предлагаемые на сегодняшний день подходы к решению поставленной задачи можно отнести к одной из двух групп. К первой относятся подходы, использующие гипотезы относительно распределения напряжений или деформаций в оболочке (например, предположение о сферичности срединной поверхности), ко второй - конечно-разностные и конечно-элементные подходы. Все применяемые подходы имеют свои недостатки, а следовательно, имеется необходимость в дальнейшем исследовании задачи.
В данной работе для построения приближенного решения предположим, что в каждой точке оболочки угол вида тензора напряжений сохраняет то значение, которое он имел на начальном этапе процесса деформирования. Под начальным этапом понимаем малый поворот касательной к срединной поверхности оболочки:
d Фо
Фо (Г) = limф(Г, ^ ) ,
w 4 ds
= 0.
(10)
Из гипотезы (10) следует, что в каждой точке оболочки реализуемый процесс нагружения является простым, хотя и различным для разных
материальных точек. Очевидно, гипотезу (10) можно считать удовлетворительной на некоторой начальной стадии процесса деформирования. В поддержку принимаемой гипотезы для области конечных деформаций заметим, что угол вида ф(r)
постоянен на границе оболочки в силу условия (9), а также близок к постоянному значению в окрестности полюса в силу осевой симметрии задачи независимо от степени деформации.
2. Модель процесса для конечных деформаций
Так как на начальной стадии процесса деформирования имеют место следующие допущения:
sin у«у«Гог , cos у» 1, (11)
то, преобразуя исходную постановку задачи, определим
/ Ч л л фо(r )*Т-7
(12)
_ 6
Стационарность угла вида напряженного состояния на всем процессе деформирования позволяет записать определяющие соотношения в виде, аналогичном деформационной теории пластичности
ст = х(^)п , (13)
Скалярные свойства материала описываются единой кривой ) как для
обратимой, так и для необратимой стадии процесса деформирования. Примем для определенности зависимость т( 5) в следующем виде:
х =
х<х
-(xs -хо)e Xs-Хо х^хо, xs = limx
(14)
Тождественные преобразования исходной постановки задачи приводят ее к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
(
P (Фо )-
s = s
Ir=0 о
1 dx(s )'
:(s) ds
ds dr
= P2 (Фо ),
(15)
где
2
P (Фо )= -^ЗШ1Фо -
- "jV3 (( - 1)c0s Фо sin (фо
P (r = 0) = 1,
P2 (Фо ) = (( - 1)C0s Фо« "T +
d
dr
ln (3sin фо + л/3 cos фо ).
Решение уравнения (15), показанное на рис. _, описывает распределение параметра 5 (г) вдоль
радиуса оболочки в зависимости от его величины в полюсе:
18
х
о
s = s (, г).
(16)
Рис. 2 - Распределение параметра 5 (г)
Отметим, что при интенсивностью деформаций определяемой условием 1 5г
достижении величины,
P (ф, ) = -
:(s) ds
(17)
нарушаются условия теоремы существования и единственности решения уравнения (15). Так как максимальные деформации достигаются в полюсе оболочки, то условие (18) достаточно рассмотреть для точки г = 0 , тогда:
P -
1 dx
;(s) ds
= 0.
dx(s„)
ds,
= x(s,),
X x — X
G„ , smax = -2-^ ln
2
2G„
2Gp —xs + x, J
Численный анализ показывает, что при достижении деформациями в полюсе оболочки значения ¿о = решение претерпевает скачок, причем интегральным кривым, соответствующим условию
s > X° Xs ln 0 2Gp
(
\
2Gp —Xs +X0
соответствуют комплексные значение давления р и они не рассматриваются, так как не имеют физического смысла. Из полученных результатов следует, что система уравнений (1,_,7 ,8) для определяющих соотношений вида (14) имеет физически возможные решения только на интервале
2G„
ln
V 2Gp —Xs +x0
Для соотношений общего вида (14) максимальная возможная деформация определяется из решения уравнения:
¿4¿О )
ds,
■ = x(s.).
(18)
На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы:
1. Развитие зон необратимого деформирования в оболочке существенно зависит от свойств материала. Для выхода всей оболочки в пластическую область, ее материал должен обладать значительным деформационным упрочнением.
2. Упругопластическая оболочка не может испытывать неограниченные деформации.
3. Для материала Сен-Венана поставленная задача не имеет решения
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 15-08-06018.
Литература
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник для Университетов. -2-е изд., перераб. и дополн. - М.: Изд-во МГУ, 1978. 287 с.
2. Панченко Е.В. Селедкин Е.М. Пневмоформовка листовых заготовок в режиме сверхпластичности. Решение технологических задач: Монография; Тул. гос. ун-т. - Тула, 2004. - 304 с.
3. Христич Д.В., Каюмов Р.А., Мухамедова И.З. Программа экспериментов по определению главных осей анизотропии материала Изв. Казанского государственного архитектурно-строительного университета.- Казань: Изд-во КазГАСУ, 2012. -№3(21). - С.216-224.
4. Аммосова О.А., Каюмов Р.А., Мухамедова И.З. Моделирование теплового процесса при сварке полиэтиленовых труб при естественно низких температурах / Вестник Казанского технологического университета. 2014. -т.17. -№9. - с.71-76.
5. Иванов С.П., Иванов О.Г., Каюмов Р.А., Мухамедова И.З. Напряженно-деформированное состояние физически нелинейных оболочек с заделанными торцами в неподвижные массивы, и взаимодействующие с упругой средой / Вестник Казанского технологического университета. 2014. -т.17. -№10. - с.221-225.
s0 <
© А. В. Кудряшов- к.ф.м.н., доцент, Тульский государственный университет, [email protected], Р. А. Каюмов - д.ф.-м.н., профессор кафедры «Дизайн» КНИТУ, [email protected], И. З. Мухамедова - к.ф.-м.н., доцент. кафедры Механика КГАСУ , [email protected], Ф. Р. Шакирзянов - к.ф.м.н., старший преподаватель кафедры Механика КГАСУ, [email protected].
© A. V. Kudryashov- candidate of physical and mathematical sciences, associate professor Tula State University, [email protected], R. A. Kayumov- doctor of physical and mathematical sciences, professor department of Design of KNRTU, [email protected], I. Z. Muhamedova - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor Kazan State University of Architecture and Enginieering, [email protected], F. R. Shakirzyanov - candidate of physical and mathematical sciences Kazan State University of Architecture and Enginieering, [email protected]
