Кинематическая МГД-модель аккреционных дисков молодых звёзд. Аналитическое решение Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. № 9 (300). Физика. Вып. 16. С. 27-39.

АСТРОФИЗИКА

А. Е. Дудоров, С. А. Хайбрахманов

КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МГД-МОДЕЛЬ АККРЕЦИОННЫХ ДИСКОВ МОЛОДЫХ ЗВЁЗД. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

На основе стандартной модели Шакуры и Сюняева разработана кинематическая модель аккреционных дисков с остаточным крупномасштабным магнитным полем. Магнитное поле определяется с учётом омической и магнитной амбиполярной диффузии. Степень ионизации рассчитывается с учётом ударной и тепловой ионизации, лучистых рекомбинаций и рекомбинаций на пыли. В случае, когда зависимость степени ионизации от плотности имеет вид х <х п С1, получено аналитическое решение уравнений модели. В рамках модели показано, что в области низкой степени ионизации, расположенной на расстояниях от 0,5 до 20 а. е. в аккреционном диске звезды солнечной массы, магнитное поле имеет квазиполоидальную винтовую геометрию. Величина азимутальной компоненты магнитного поля в этой области на 2-4 порядка меньше величины вертикальной компоненты магнитного поля, которая предполагается вмороженной. Показано, что радиальная и азимутальная компоненты магнитного поля в диске связаны следующим образом: Вг / Вф = 2а / 3, где а — турбулентный параметр Шакуры и Сюняева. В аккреционном диске звезды солнечной массы омическая диффузия является доминирующим эффектом в области низкой степени ионизации на расстояниях до 10 а. е., магнитная амбиполярная диффузия — на расстояниях от 10 до 20 а. е. Во внешних областях аккреционных дисков, где степень ионизации поднимается выше 10-12, остаточное магнитное поле приобретает квазирадиальную геометрию. Оценки показывают, что в этих областях магнитное поле может стать динамически сильным.

Ключевые слова: межзвёздная среда: магнитное поле, аккреционные диски.

1. Введение. Наблюдения показывают, что более 70-80 % молодых звёзд типа Т Тельца и Ае/Ве звёзд Хербига имеют аккреционные диски. Массы аккреционных дисков составляют от

0,01 до 0,1 массы Солнца, их размеры — 1001 000 а. е. [1], темп аккреции уменьшается в ходе эволюции звёзд от 10-6 М0 /год до 10-8 М0 / год [2]. Интерес к изучению аккреционных дисков связан с тем, что в последнее время активно открываются и исследуются экстрасолнечные планеты. Предполагается, что планеты образуются в аккреционных дисках молодых звёзд [3].

Эволюция аккреционных дисков определяется в значительной степени эффективностью переноса углового момента. К настоящему времени предложено несколько механизмов переноса углового момента: турбулентность, истечения и магнитное торможение [4; 5]. Численное моделирование коллапса замагниченных ядер молекулярных облаков показывает, что магнитный поток в процессе коллапса протозвёздно-го облака частично сохраняется [6]. Это позволяет сделать вывод о том, что в аккреционных дисках молодых звёзд должно присутствовать остаточное крупномасштабное магнитное поле. Существование крупномасштабного магнитного поля в молодых звёздных объектах подтверж-

дается поляризационными измерениями излучения инфракрасных источников и наблюдениями коллимированных истечений в областях звёздообразования [7]. Изменение остаточного магнитного потока в ходе эволюции аккреционного диска определяется эффективностью диффузионных процессов [8-10]. В качестве основных механизмов ограничения магнитного потока могут выступать омическая диффузия, магнитная амбиполярная диффузия, плавучесть и различного вида неустойчивости.

Исследование динамики аккреционных дисков с магнитным полем осложнено необходимостью учёта МГД-турбулентности, ионизации, диффузии магнитного поля, переноса излучения, поэтому распространение получили одномерные аналитические модели: модель Шакуры и Сюняева [4], модель Солнечной туманности минимальной массы [11], адвективная модель [12]. Эволюция аккреционных дисков молодых звёзд, как правило, исследуется в рамках модели Шакуры и Сюняева или модели Солнечной туманности минимальной массы в основном без учёта магнитного поля. В существующих моделях аккреционных дисков с магнитным полем коэффициент диффузии магнитного поля не рассчитывается в рамках модели, а задаётся

фиксированным [8-10], или же с помощью плазменного параметра фиксируется интенсивность магнитного поля [5]. Величина вертикального магнитного поля в стационарном аккреционном диске определяется в работе [13]. Азимутальной компонентой магнитного поля в этой работе пренебрегается.

Целью нашей работы является построение аналитической модели аккреционного диска с остаточным крупномасштабным магнитным полем. В качестве базовой используется модель Шакуры и Сюняева. В нашей модели дополнительно к системе уравнений базовой модели решаются уравнения ионизации и индукции. Исследование состоит из двух частей. В данной статье формулируются основные уравнения модели и приводится их аналитическое решение. На основе полученного решения исследуются омическая и магнитная амбиполярная диффузия, анализируется геометрия магнитного поля в аккреционных дисках молодых звёзд.

В следующей статье [14] с помощью численных расчётов будут исследованы физические условия в так называемых мёртвых зонах — областях низкой степени ионизации и эффективной диффузии магнитного поля в аккреционных дисках молодых звёзд.

Основные уравнения модели в принятых приближениях выводятся во втором разделе статьи. В третьем разделе приведено аналитическое решение полученных уравнений. В заключении обсуждаются полученные результаты.

2. Модель аккреционного диска.

2.1. Основные уравнения. Для исследования структуры и динамики аккреционных дисков с остаточным крупномасштабным магнитным полем используем систему уравнений магнитной газодинамики [15] с учётом магнитной ам-биполярной диффузии [6]:

f + div (pV ) = 0, dV

p— + (pVV )V =

= -VP - pVФ + — [rot B,B] + diver', 4п

d_

dt

( ( p

8 +----+ Ф

2

V v y

Sn

= -V-F,

dB

— = rot [V + Vad , B] + v m ЛB,

(l)

(2)

(3)

(4)

включающую уравнение непрерывности (1), уравнение движения с учётом гравитационной и электромагнитной сил, а также вязкости (2), уравнение энергии (3) и уравнение индукции (4). В уравнениях (1-4) р, V, Р, в — плотность, скорость, давление и плотность внутренней энергии газа, Ф — гравитационный потенциал, с' — тензор вязких напряжений:

(

dV' + dVk - 2 s dV

\

vdxk

dx'

'k

dx,

+ ZvS'k ^, (5)

i

, С у — коэффициенты динамической вязкости. Вектор плотности потока энергии:

( т^2 Л

F = pV

V2

----+ Ф

2

+

[b. [v. B]

4п

- (V а') + Frad [B,rot B],

4па

(6)

где (Vс') — вектор с компонентами с'к¥к, ^гай вектор плотности потока лучистой энергии,

= 4S0 T1/2x~^2c-1— (7)

4 па

магнитная вязкость; о — проводимость вещества [l6]:

а = 1,5 -1017 xT_1/2 c-l,

(S)

x — степень ионизации, T — температура.

Уравнение индукции (4) записано с учётом омической (ОД) и амбиполярной диффузии. В межзвёздной среде амбиполярная диффузия обусловливается относительным движением заряженной компоненты и нейтрального газа (дрейфом) под действием электромагнитной и гравитационной сил (магнитная амбиполярная диффузия, МАД). В приближении стационарности скорость МАД, [17]:

vad =Vot b. b ] ((Лп ).

(9)

где Пп = т (с^гп / (п (т + тп)) — коэф-

фициент взаимодействия нейтралов средней массы тп = 2,3 тн с ионами средней массы = 30 тн (тн — масса атома водорода), = 2 -10-9 см3/ с — соответствующий коэффициент замедления [18].

2.2. Уравнения стационарной дисковой аккреции. Будем исследовать динамику аккреционного диска в кинематическом приближении, т. е. пренебрежём электромагнитной силой

2

v =

m

в уравнении движения и соответствующими слагаемыми в уравнении энергии. В цилиндрической системе координат (г, ф, г), в приближении аксиальной симметрии (д / Эф = 0) получим из (1)-(4) с учётом (9)

Эр 1 д , ч —+-—уруг —

дґ г дг

дг

(дК Тд¥г ^ дК V,2 Л к —-+У

дґ

дг

г ф

дг г

р

(дУф дУф

ф ^ у____ф + у

дґ

дг

1 _д г дг

{г<ф)

дг

с

г - 0,

дР дФ

дг "р"дТ

УК ^

ф г -

г /

(10)

гф

г

(12)

'дУ2 „ дУг тгдУг Л дР дФ /1оч

Р| дґ + г дг + 2 дг ) = дг Р дг ’ ( )

1_д_ г дг

д_ дґ ( ( грУг

( ( у 2 ЛЛ

8 +------+ Ф

2

V V у/

Л

8 +----+ Ф

2

V V

+ гс' У

1 ' ^ гф ф

/

йг

, (14)

дВ--1 ^ Ук)+®- ГВК) +

дґ г дЛ г ф> дгУ г г!

1 д ( дВг Л Вг д2 Вг +П ——I г-

г дг V дг

(15)

дВф - д-(в У - В У )+—(в у У д-^у г ф^

дґ дг

+П

1 А( г дВЛ

г дгV дг

Вф

д 2 Вф

дВг 1 д ( ч

~ВТ - - 7 77 УВК—+п

г 2 дг

1 д

г дг V дг

дг2

(16) . (17)

В (12) предполагается, что перенос углового момента происходит только в г-направлении, в этом случае доминирующая компонента тензора вязких напряжений

( дУ У Л

ф г ф дг г

(18)

В уравнениях (15)-(17) используется полный коэффициент диффузии магнитного поля

П = vm + ПАВ,

пло -

В2

4пхр п/,

(19)

коэффициент МАД.

Рассмотрим геометрически тонкий, но оптически толстый аккреционный диск в гравитационном поле звезды массы М, расположенной в начале системы координат (рис. 1) и имеющей гравитационный потенциал

Р

Рис. 1. Схематическое представление аккреционного диска с остаточным крупномасштабным магнитным полем

Ф = -

GM

Л

г 2 + z2

(20)

В приближении геометрически тонкого диска выполняются соотношения

д д

z ■« г, — ■« —. дг dz

(21)

Пренебрежём самогравитацией диска, предполагая, что его масса мала по сравнению с массой звезды. В связи с тем, что в геометрически тонком диске г-компонента гравитационной силы доминирует, в аккреционных дисках выполняются следующие неравенства компонент скорости V = { ,Ур, Vz }: V ■« Vr ■« Ур . Описанные приближения позволяют пренебречь малыми инерционными слагаемыми в уравнении движения и в полученной системе линейных уравнений разделить переменные г и 2. Обычно предполагается, что аккреционный диск находится в гидростатическом равновесии по 2-координате. Компоненты скорости в этом случае запишем в виде

V = {Vr (г){ (г,z) = Qr,0},

(22)

где Vr — радиальная скорость (скорость аккреции); Q — угловая скорость.

Из расчётов коллапса замагниченных ядер молекулярных облаков следует, что в процессе коллапса остаточное магнитное поле в системе, состоящей из протозвезды и аккреционного диска, приобретает геометрию типа « песочных» часов [19]. Следовательно, компоненты магнитного поля в аккреционном диске можно записать в следующем виде:

В = \вг (г, z), вф (г z), Bz (г, z)}. (23)

Будем предполагать, что звезда обладает собственным дипольным магнитным полем. Линии магнитного поля показаны на рис. 1 серым цветом (стрелки указывают направление магнитного поля).

В стационарном случае (Э / dt = 0) в принятых приближениях получим из (10-17) следующую систему уравнений:

гУг р = const, (24)

га2 = GM

2

-3/2

1+%

г

V J

(25)

1 д ( т, 2 3 да'

I гУграг -nvf — I = 0, г дг V дг

дР

GM

1_д_ г дг

грУг

(V2

+ф

(26)

(27)

а 2 д

гаг nv------

v дг

Л

д_

&

дст sbT

4 Л

3кр дz

it (KB ) = -п

д 2 B,

дz

_д_

дz

(Bz ) = -п

дz 2

д 2 Вф

дz 2

^гВ7 = const.

(28)

(29)

(30)

(31)

Уравнение (24) выражает сохранение плотности потока массы в диске. Из уравнения центробежного равновесия (25) получим выражение для угловой скорости:

а =

GM

(

2

3/4

(32)

из которого следует, что вещество в геометрически тонком диске движется практически по

кеплеровским орбитам с = 4 ОМ / г3.

Из уравнения гидростатического равновесия (27), используя уравнение состояния Р = рVs (где V., =■№ ц — изотермическая скорость звука; ^ — универсальная газовая постоянная; ц = 2,3 — молекулярный вес газа), получим

( _2 Л

р(гz) = р0 (г)exP

(33)

где р0 — плотность в средней плоскости, 2 = 0, Н = V / О— (34)

шкала высоты аккреционного диска.

Уравнение (26) описывает перенос углового момента (р^г2) вязкими напряжениями, возникающими в дифференциально вращающемся диске (д^ / дг Ф 0). Перенос углового момента в радиальном направлении турбулентными напряжениями приводит к соответствующему перераспределению энергии. Часть гравитационной энергии частиц преобразуется в кинетическую энергию вращения, оставшаяся часть превращается в тепло. Уравнение (28) отражает

3

баланс объёмных скоростей нагрева за счёт вязкого турбулентного трения и охлаждения излучением. Поток излучения записан в диффузионном приближении.

В отсутствие электромагнитной силы перенос углового момента в диске осуществляется посредством вязких напряжений. В рассматриваемых условиях молекулярная вязкость пренебрежимо мала. Шакура и Сюняев [4] предположили, что эффективным источником вязких напряжений в диске может быть турбулентность. Для описания переноса углового момента турбулентными напряжениями в уравнениях (26), (28) коэффициент обычной молекулярной вязкости заменяется на коэффициент турбулентной вязкости [20]: п? = рVtL , где Vt — турбулентная скорость; Ь — характерный турбулентный масштаб. В предположении, что скорость турбулентных пульсаций не может превышать скорость звука V, а размер турбулентных пульсаций не может превышать шкалы высоты аккреционного диска Н, в модели Шакуры и Сюняева коэффициент турбулентной вязкости записывается как

Пґ - аРУД,

(35)

где а - Уґ / Ух < 1 — безразмерный параметр, характеризующий эффективность турбулентности. Источниками турбулентности в аккреционных дисках могут быть различного вида неустойчивости.

Предполагая, что турбулентные напряжения исчезают на внутренней границе диска, из уравнений (24)-(28) с учётом (35) легко можно получить систему уравнений Шакуры и Сюняева для описания структуры стационарного аккреционного диска:

М - -2пгУг Е,

МО/ - 2лаЕУ/

4с^Т - — МО/,

(36)

(37)

(38)

3кЕ 8п

где также использованы уравнения (32) и (34). В общем случае будем использовать выражение для угловой скорости (32), поскольку, согласно (30), эта зависимость определяет величину азимутальной компоненты магнитного поля. Уравнение (36) следует из уравнения непрерывности (24). Здесь М — массовая скорость аккреции (поток массы через боковую поверхность диска; знак минуса в (36) означает, что по-

ток массы направлен к звезде), поверхностная плотность,

Е - |-Н рйг — 2рН .

(39)

где р — средняя плотность в диске (далее для простоты обозначается как р). Уравнение (37) представляет собой уравнение сохранения угло-

1/2

вого момента, где / = 1 - (г0 / г) , г0 — ради-

ус внутренней границы аккреционного диска. Уравнение (38) отражает баланс нагрева за счёт вязкого турбулентного трения и охлаждения излучением. Здесь к — Росселандов средний коэффициент поглощения; о!,ь — постоянная Стефана — Больцмана. В исследуемой области значений плотностей и температур коэффициент поглощения можно записать в виде

к

(р,Т)- юрТ,

(40)

где коэффициенты к0, а, Ь определяют тип основных переходов [21-22].

Спектр выходящего из диска излучения характеризуется эффективной температурой Те, которая вычисляется из равенства плотности потока излучения абсолютного чёрного тела и скорости вязкого нагрева аккреционного диска:

с,Т -^МО, 2/.

8п

(41)

2.2. Магнитное поле. Уравнения (29)-(30) показывают, что при заданном поле скоростей радиальная Вг и азимутальная Вф компоненты магнитного поля определяются из баланса между адвекцией вертикального поля Въ в соответствующих направлениях и диффузией в вертикальном направлении. Уравнение (31) отражает вмороженность вертикальной компоненты магнитного поля В2.

Следуя Шакуре и Сюняеву решения уравнений (29)-(31) получим в виде

в, - КНв_

п

В. - 21Н

В - В„

Уф Н

Вг

п

рехґ

(42)

(43)

(44)

где Вг и Вф представляют собой оценку некоторых средних значений радиальной и азиму-

тальной компонент магнитного поля над экваториальной плоскостью аккреционного диска. Величины Вг и Вф определяются эффективностью диффузии магнитного поля. В качестве меры эффективности диффузии будем использовать магнитное число Рейнольдса:

Кт ='

Уф Н

п

(45)

которое предполагает, что характерная скорость генерации магнитного поля равна кеплеровской скорости, характерный пространственный масштаб диффузии магнитного поля — шкале высоты аккреционного диска. Из (42)—(43) получим

2

(46)

Н

В - а1 7" І КтВг->

(47)

где использовано выражение Vr = а (Н / г) ,

следующее из (34), (36)-(37). При этом оказывается справедливой оценка

Вг 2

—^ - — а. Вф 3

(48)

Зависимость (44) отражает вмороженность вертикальной компоненты магнитного поля В2 в процессе коллапса протозвёздного облака, образования протозвезды и последующей дисковой аккреции. Здесь Вех? и рех? представляют собой начальные значения магнитного поля и плотности, соответствующие протозвёзд-ным облакам. Коэффициент к лежит в диапазоне от 0 до 1 и определяется отклонением геометрии задачи от чисто цилиндрической [23]. Рассматриваемый случай близок к магнитостатическому сжатию, при котором к = 1/2.

2.3. Степень ионизации. Степень ионизации является основным параметром, определяющим эффективность ОД и МАД (см. (46), (47). Рассмотрим простую модель, предложенную Дудоровым и Сазоновым [17]. Степень ударной ионизации определяется из стационарного уравнения Спитцера [18]:

У - X — - агх2п + айх^

(49)

учитывающего ионизацию космическими лучами (со скоростью 4зя), рентгеновскими лучами (2,хк) и радиоактивными элементами (^Е), а также лучистые рекомбинации и рекомбинации на

пыли. Здесь xs = пе / п — степень ударной ионизации; пе — концентрация электронов; п — концентрация газа; £ = + £хк + £КЕ — полная

скорость ионизации; аг — коэффициент лучистых рекомбинаций; а^ — коэффициент рекомбинаций на пыли.

Из (49) следует, что в случае доминирующей роли лучистых рекомбинаций степень ионизации обратно пропорциональна квадратному корню из плотности:

пУ2.

(50)

Если основным источником рекомбинаций являются пылинки, то степень ионизации обратно пропорциональна плотности:

п-'.

а ёп

(51)

Формулы (50) и (51) можно объединить как

(52)

(

п

где х0 и п0 — некоторые характерные значения степени ионизации и концентрации; q = 1/2 в случае лучистых рекомбинаций и q = 1 в случае рекомбинаций на пыли.

В области температур Т > 1 000 К начинается тепловая ионизация металлов с потенциалами ионизации 4-6 эВ, затем водорода и гелия. Степень тепловой ионизации элементау определяется из уравнения Саха:

п + _ g + 2 (2птекТ)

3/2

(

-ехр

кТ

\

- /,,(53)

0

где п} — концентрация нейтральных атомов

сорта у (металлы, водород, гелий); пу+ — концентрация ионов сорта у; g® , g + — соответствующие статистические веса; — потенци-

ал ионизации; те — масса электрона; к — постоянная Больцмана; к — постоянная Планка. Среди металлов с наименьшими потенциалами ионизации наиболее распространены в межзвёздной среде калий, натрий, магний, кальций, алюминий. Для простоты будем рассматривать средний металл, потенциал ионизации ХМ и логарифм распространённости ЬМ которого рассчитаны как среднее весовое от параметров приведённых элементов: хМ = 5,76, ЬМ = 5,97. Вводя относительную степень ионизации у-го

агп

элемента хТ - п+ / (0 + п+ ), получим из (53) систему уравнений для определения степени тепловой ионизации:

х

у

1 - хТ

(54)

где х - х* + Ху,х/ — полная степень иониза-

]

ции, V у -

(п0 + п++)

Ь -12

/ пН - 10 1 — относитель-

ное содержание у-го элемента. Если рассмотреть только тепловую ионизацию калия как металла с наименьшим потенциалом ионизации (4,34 эВ), то из (54) получим следующую оценку для степени тепловой ионизации:

3/4 1/2

хТ -1,8-10-111 1 ' Мк

*к

103 к1 V10-7

ехр (-25 000/ Т)

1013 ст-3

1,15-10

-11

(55)

3. Аналитическое решение. Структура аккреционного диска с крупномасштабным магнитным полем описывается системой уравнений (32), (34), (36)-(44), (49), (54). Параметрами модели являются темп аккреции М, параметр а, физические характеристики звезды: масса, радиус, величина магнитного поля на поверхности. Используем типичные значения, следующие из наблюдений [1; 24-25]:

М = 3-10-8 М0 /год, а = 0,01,

М = (0,5- 2)М0, Л, = 2 Я0, В3 = 2 000 Гс.(56)

Будем считать, что внутренняя граница аккреционного диска совпадает с радиусом магнитосферы звезды, г0 = гт. Оценим гт как расстояние, на котором вязкие напряжения в диске равны напряжениям магнитного поля звезды: рУ^, = В2Вр / (4п). Величину ру. можно оценить из уравнения непрерывности (36): |рV |= М /(4пгН). Учитывая, что вблизи г0 должно выполняться В, — В2 = В* и что магнитное поле звезды является дипольным В* = В, (Я, / г) , получим

Н

—(ом ) 1/2 М-1в2 Я

2/7

(57)

Вводя характерные масштабы согласно (56) и полагая, что Н /г = 0,1, получим

- 2,9

В.

Л4/7 (

1кГс

Я

\12/7

2 Яо

М

-1/7

10 7 Мо / год

(58)

Внешнюю границу диска будем определять как расстояние, на котором температура диска становится равной температуре газа в межзвёздной среде (Тех? = 20 К). В качестве начальных значений плотности и магнитного поля выберем значения, соответствующие протозвёздным облакам: пх = 105 см-3, Вех? = 105 Гс. В зависимости вертикальной компоненты магнитного поля от плотности (44) будем далее полагать к = 1/2.

В простейшем случае, когда зависимость степени ионизации от плотности имеет степенной вид (52), можно получить аналитическое решение системы уравнений (32), (34), (36)-(44) при заданном коэффициенте поглощения (параметрах а, Ь, к0). В общем виде аналитическое решение приводится в приложении. Численное решение полной системы уравнений модели с одновременным учётом ударной и тепловой ионизации ОД и МАД будет приведено в следующей статье [14].

В аспекте механизмов поглощения излучения диск можно разделить на области, где а) доминирует непрозрачность пыли и б) доминирует непрозрачность газа.

Поглощение на пыли (область а) преобладает при температурах ниже 1 500 К [21]. В этом случае используем следующую аппроксимацию коэффициента поглощения: к = 3 • 10-3 Т см2 г-1, т. е. к0 = 3 • 10-3, а = 0, Ь = 1. Кроме того, введём безразмерные переменные:

г М

т = -

о

т -

1 а.е. М,

М

3 -10-8Мо /год’

(59)

а,

0,01

а

0701

- £-17 -

10

17

В дальнейшем для оценок в качестве характерных будем использовать значения параметров: т = 1, т = 1, а001 = 1, В, = 2 кГс, Я, = 2Я,. В этом случае из (58) получим, что внутренний радиус аккреционного диска равен 0,038 а. е., или 4 радиуса звезды. Магнитное поле звезды на этом расстоянии равно 29 Гс.

х

х

X

Для оценки степени ударной ионизации используем параметры: х0 = 2,2 • 10Ч4£_17 при п0 = 1013 см-3, ай = 4,5 • 10-17 см3с-1 [17]. Для сравнения приведём отдельно радиальные профили степени ионизации, полученные с помощью коэффициента рекомбинаций на пыли ^ = 1, хй) и с помощью коэффициента лучистых рекомбинаций

^ = 1/2, хг).

Используя приведённые параметры, из (А0)-(А16) получим решение для области а):

Те = 150 т 1/4т1/4г-е3/71/4 К, (60) Т = 413 а-,04 т1/2 т3/8 г^^е^8 /1/2 К, (61)

V _ ТПП -3/4 - 1/2 1/8 -3/8 Л/2 „ -2 ^-ч

^1/2 = 200 а0,01т т га.е. / г см , (62)

Н = 0,04 а-^т 1/4т-5/16га1е/1^^1/4 а.е., (63) Vr = -50 а0/о1^йтт-Шга-5*/“1/2 см с -1, (64)

о с 1п13 -5/8 -1/14 7/16 -21/16 Л/4 -3

п = 8,5 -10 а0,01 т т г^. / см ,(65)

X = 248 а-,101/И т1/2г-3/2 ^/, (66)

хй = 2,6-10-15 ^^^т“7/16т^г^1Г1/4, (67)

хг = 2 -10-10 ^а^т-178^8, (68)

ВО = 2,4-10-6 ^-17а10^0/16?и3/8 х

хт_27/32 га4е9/32 f-5/8 Гс, (69)

пОД_о а с „,1/1^ -3/8 „

Вр =3,6 -10 Ъ-17а0,01т х

хт-27/32га/4е9./32 f3/8 Гс, (70)

В^Д = 1,8-10-4 ^_17а0,01/т7/8 х

хт_7/32га-е11/32Г1/8 Гс, (71)

В^Д = 0,03 ^17а-1011/16т7/8 х

хт_7/32га-е1.1/32 f 7/8 Гс, (72)

» п ТО „,-5/16™ 1/8 7/32„ -21/32 Л/8Гс

В2 = 0,29 а0,01 т т га.е. .7 lс, (73)

где Е1/2 = рН — поверхностная плотность, соответствующая шкале высоты диска, Н. Радиальная и азимутальная компоненты магнитного поля в (60)-(73) и далее вычислены для случая доминирующих рекомбинаций на пыли ^=1).

Решение (60)-(73) получено в предположении, что доминирующим источником нагрева вещества является вязкое турбулентное трение. Во внешних областях диска основным источни-

ком нагрева вещества может являться излучение звезды [26]. Для получения аналитического решения в этом случае используем простую оценку зависимости температуры от расстояния

[27]:

Тгг = 280 г^2 К, (74)

которая получена в предположении, что светимость звезды равна светимости Солнца. Используя зависимость (74), получим из уравнений (32), (34), (36), (37), (42)-(44), (52) выражения для плотности, шкалы высоты, степени ионизации и компонент магнитного поля в аккреционном диске:

^1/2 = 295 а-^т т1/2г-1 г ом-2, (75)

Н = 0,03 т_1/2 га5е4 а.е., (76)

п = 1,5 -1014 а-^т т г-^4 см-3, (77)

хй = 6,4-10-16 ^-17а0,01т-1т“1га9е4, (78)

хг = 8,8 -10-10 ^а^т-1/2т1/2га.е., (79)

В°Д = 5,4-10-7 ^-17аз;021/т-1/2т-3/2га;2е1/8 Гс, (80) ВфОД = 8 -10-5 ^-17а0/,21/т-1/2т-3/2га2е1/8 Гс, (81) ВгМАД = 3-10-4 ^-17а10/,201/и1/2т-1/2га1.^ Гс, (82) ВфМАД = 0,046 ^-17а-Цт1/2т~тгЦ Гс, (83) В2 = 0,39 а-10/2 т1/2 т1/2 г,-’,9/8 Гс. (84)

_7

При скорости аккреции М > 10 Мо / год и массах звезды больше двух масс Солнца температуры во внутренних областях диска становятся достаточными для ионизации водорода, происходит переход к поглощению за счёт связанно-свободных и свободно-свободных переходов. Подобные условия реализуются в аккреционных дисках массивных звезд типа Ае/Ве Хербига и БИ Ориона. Для сравнения приведём решение, полученное с помощью коэффициента поглощения за счёт связанно-свободных переходов [22]:

к = 1,5-1020 рТ 5/2см2 г-1, т. е. к0 = 1,5 -1020, а = 1,

Ь = -5/2. Из (А0)-(А16) получим «газовое» решение для аккреционного диска массивных звёзд с высокой скоростью аккреции (область б):

Т = 1740 а22«m5,l*r-_5J6f1/3 К, (85) 11/2 = 158 а-7/?т2/3т2/9га-е2/372/3г см-2, (86)

и П ПО/1 ™-1/9™1/6„,,-13/36 13/12 Л/6 „ ^ /0-74

Н - 0,084 а0 01 т1 т га е / а.е., (87)

Т, 7/9 -1/3 -2/9 -1/3/--2/3 -1 /ооч

Уг - -212 а0,01т1 т га.е. М см с , (88)

п - 3,3-1013 а-20/3т1/2т7/12га-;е7М./1/2 см-3, (89) т - 2,3 -104 а-^т^т"9/^-]/3, (90)

хй - 6,8-10-15 ^^т^2т“7/12г1^/~1/2, (91) хг - 4,5 -10-10 £-/l27а070!mГ1/6т-2/9г21]/-116, (92)

В™ -1,6-10-5 £-17а 000?т11/12 х хт-73/72 га49/24/-11/12 Гс,

ВфОД - 0,002 £_17а->09т1/12 х хт-73/72г^24/1/12 Гс,

В, Д - 0,001 £_17а0/,01т3/4 х хт ^Г/ _1/4 Гс, В,АД - 0,15 £_l7ао-2о/l3ml3/4 х

-7/24 -1/8 /-3/4 г„ хт га.е. М Гс,

(93)

(94)

(95)

(96)

В2 = 0,18 а-,10/3т}/4т7/24га^е7./^^/'1/4 Гс, (97)

где т1 = 10-7М0 /год.

Основная часть объёма аккреционного диска при небольших темпах аккреции описывается «пылевым» решением (60)-(73) в случае доминирующего вязкого нагрева и решением (74)-(84) в случае, когда доминирует нагрев звездой. Отметим, что это решение полностью описывает аккреционный диск в случае звёзд с т < 0,2 и т < 10-8. Проанализируем его подробнее.

Сравнение выражений для температуры (61) и (74) показывает, что вязкий нагрев доминирует на расстояниях до ~5 а. е. и аккреционный диск описывается решением (60)-(73). На больших расстояниях доминирует нагрев излучением звезды и аккреционный диск описывается решением (74)-(84). На расстояниях меньше 0,5 а. е. температура поднимается выше

1 000 К и начинается тепловая ионизация металлов. Аналитическое решение в этом случае получить не удаётся.

В области доминирующего вязкого нагрева аккреционный диск характеризуется достаточно пологим наклоном профиля поверхностной плотности (-3/8), в области доминирущего на-

грева звездой наклон становится более крутым (-1). Поверхностная плотность аккреционного диска (62) на расстояниях меньше нескольких астрономических единиц превышает пробег космических лучей, поэтому степень ионизации (67) в случае доминирующих рекомбинаций на пыли достигает низких значений вплоть до х ~ 10-14. Уменьшение плотности с расстоянием приводит к росту степени ионизации, так как космические лучи более эффективно ионизуют вещество диска во внешних менее плотных областях.

Из (74) найдём, что расстояние, на котором температура диска становится равной температуре внешней среды, составляет гоШ = 196 а. е. при принятых характерных параметрах. Масса диска от гт до гоШ составляет 0,06 массы Солнца, что согласуется с наблюдениями [1]. Выражения (63) и (76) апостериори подтверждают предположение о том, что аккреционный диск является геометрически тонким на всём протяжении от внутренней до внешней границы: величина Н/г не превышает 0,1.

Вертикальная компонента магнитного поля В2 вследствие уменьшения плотности монотонно уменьшается с расстоянием. Согласно (73) на расстоянии г = 3 а. е. значение В2 равно 0,29 Гс. Эта величина согласуется со значениями магнитного поля (0,1-1 Гс), которые следуют из измерений остаточной намагниченности метеоритов из пояса астероидов Солнечной системы [28]. Величина В2 на внешней границе аккреционного диска стремится к величине внешнего магнитного поля протозвёздных облаков (10-4-10-5 Гс).

Величина радиальной и азимутальной компонент магнитного поля определяется эффективностью диффузии магнитного поля (см. уравнения (46)-(47)). Из выражения (47) следует, что генерация азимутальной компоненты магнитного поля доминирует над её диффузией, если

-1

Ят

> Ят0 -

. С помощью опреде-

ления (45) получим

ятп - 0,12 £-17а0,01т-1т-1г13/4. (98)

ЯГ - 30 £-17г3/4/1/4. (99)

В (98) использован коэффициент ОД (7), в

(99) — коэффициент МАД (19), в котором при-

2 2

нято, что В - Вг . Графически зависимости (98-99) показаны на рис. 2 (а). Из рисунка видно, что в области низкой степени ионизации

Ят < Ят0, то есть диффузия магнитного поля доминирует над его генерацией, и согласно (46)-(47) (, £ф ) < В2. Область эффективной омической диффузии расположена на расстояниях до 10 а. е., область доминирующей МАД — на расстояниях от 10 до 20 а. е. Увеличение степени ионизации (78) с расстоянием приводит к соответствующему увеличению магнитного числа Рейнольдса. Из (78) получим, что характерное значение степени ионизации вблизи внешней границы области эффективной диффузии магнитного поля составляет ~10-12. На расстояниях г > 20 а. е. преобладает генерация азимутальной компоненты магнитного поля, и величина компоненты Вф может быть сравнима с величиной компоненты В2. Радиальные профили компонент магнитного поля, рассчитанные с учётом нагрева звездой, показаны на рис. 2 (б). На рисунке приведена сумма соответствующих профилей радиальной и азимутальной компонент магнитного поля, рассчитанных с учётом ОД и МАД. Рисунок показывает, что в области, где диффузия магнитного поля доминирует над его генерацией (до 10-20 а. е.), величина Вф на 2-4 порядка меньше В2. Радиальная компонента магнитного поля повторяет профиль азимутальной компоненты, а её величина согласно (48) меньше Вф в 3/(2а) = 150 раз. Следовательно, магнитное поле в области эффективной диффузии имеет квазиполоидальную винтовую геометрию.

На расстояниях более 10-20 а. е. космические лучи обеспечивают степень ионизации, достаточную для восстановления вмороженности радиальной и азимутальной компонент магнитного поля. В этих внешних областях компонента Вг сравнима с компонентой В2, что отражает квазирадиальную геометрию магнитных линий. Согласно рис. 2 (б) величина компоненты Вф может превышать значение компоненты В2 во внешних областях. Для более корректного расчёта азимутальной компоненты магнитного поля в этой области необходимо использовать полный квадрат магнитного поля в коэффициенте МАД (19).

Отметим, что степень ионизации в случае доминирующих лучистых рекомбинаций (см. выражения (68) и (79)) не падает ниже 10-10. Поэтому в отсутствие пыли омическая и амбиполярная диффузии не эффективны. Следовательно, после седиментации пыли и образования планет вмороженность магнитного поля восстанавливается.

Блэндфорд и Пэйн [29] показали, что если в некоторой области диска выполняется условие Вг / В2 > 1/ л/3, то в этой области возможно образование истечений с поверхности аккреционного диска. Из (82), (84) следует, что радиальная компонента магнитного поля становится сравнимой с вертикальной компонентой только вблизи внешней границы аккреционного диска.

г, а. е.

г, а. е.

Рис. 2. Панель (а): радиальный профиль магнитного числа Рейнольдса (серая сплошная линия — расчёт с использованием коэффициента ОД, чёрная сплошная линия — сумма профилей, рассчитанных с использованием коэффициентов ОД и МАД). Панель (б): радиальные профили компонент магнитного поля (разные типы линий). Подписи рядом с кривыми указывают наклоны профилей. Вертикальный серый отрезок отмечает диапазон значений магнитного поля на расстоянии 3 а. е., следующих из измерений остаточной намагниченности метеоритов

Солнечной системы [42]

Это означает, что МАД исключает возможность образования истечений в областях низкой степени ионизации.

Вычислим с помощью (74), (77), (84) плазменный параметр Р2 = 8%р¥2 / В2; (отношение газового давления к магнитному давлению):

Р2 = 980г-е1/2. (100)

Выражение (99) показывает, что плазменный параметр медленно уменьшается с расстоянием. Вблизи г = 1 а. е. характерное значение Р2 = 980. Вблизи внешней границы аккреционного диска величина плазменного параметра составляет несколько десятков. При этом, согласно рис. 2 (б), в этих областях генерируется азимутальная компонента магнитного поля, сравнимая по величине с В2. Можно заключить, что во внешних областях аккреционного диска (г > гтас) магнитное поле может стать динамически сильным (Р ~ 1). То же самое справедливо в отношении области вблизи внутренней границы аккреционного диска, где вследствие высокой степени ионизации генерация магнитного поля доминирует над его диффузией. Именно в этих областях возможна генерация струйных истечений.

4. Обсуждение результатов и заключение. В работе построена кинематическая модель аккреционных дисков молодых звёзд с остаточным крупномасштабным магнитным полем. Магнитное поле определяется с учётом омической и магнитной амбиполярной диффузии. В частном случае степенной зависимости степени ионизации от плотности получено аналитическое решение, описывающее стационарный геометрически тонкий аккреционный диск с крупномасштабным магнитным полем.

В рамках модели определена величина и геометрия остаточного магнитного поля в аккреционных дисках молодых звёзд. Величина вертикальной компоненты магнитного поля, которая считается вмороженной, определяется профилем плотности. Рассчитанная величина вертикальной компоненты магнитного поля в аккреционном диске звезды солнечной массы В2 ~ 0,1 Гс на расстоянии около 3 а. е. согласуется с измерениями остаточной намагниченности метеоритов из пояса астероидов Солнечной системы.

Аналитические оценки показывают, что в области аккреционного диска, где степень ионизации падает ниже 10-12, эффективно развивается диффузия магнитного поля. В аккреционном

диске звезды солнечной массы эта область расположена на расстояниях от 0,5 до 10-20 а. е. Область доминирующей омической диффузии расположена на расстояниях до 10 а. е., область доминирующей магнитной амбиполярной диффузии — на расстояниях от 10 до 20 а. е. В области низкой степени ионизации величина азимутальной компоненты магнитного поля на 2-4 порядка меньше величины вмороженного магнитного поля. Величина радиальной компоненты магнитного поля примерно в а-1 раз меньше величины азимутальной компоненты. Таким образом, остаточное магнитное поле в областях низкой степени ионизации аккреционных дисков молодых звёзд имеет квазиполоидальную винтовую геометрию. Во внешних областях аккреционного диска доминирует генерация азимутальной и радиальной компонент магнитного поля, и магнитное поле приобретает квазиради-альную геометрию и становится динамически сильным. В этих областях аккреционного диска магнитная амбиполярная диффузия существенно ограничивает возможность образования истечений.

Список литературы

1. Williams, J. P. Protoplanetary disks and their evolution / J. P. Williams, L. A. Cieza // Ann. Rev. Astron. Astrophys. 2011. Vol. 49. P. 67-117.

2. Hartmann, L. Accretion and evolution of T Tauri stars / L. Hartmann, N. Calvet, E. Gullbring, P DAlessio // Astrophys. J. 1998. Vol. 495. P 385400.

3. Armitage, P J. Astrophysics of planet formation. N. Y. : Cambridge university press, 2010. 294 p.

4. Shakura, N. I. Black holes in binary systems. Observational appearance / N. I. Shakura, R. A. Su-nyaev // Astron. Astrophys. 1973. Vol. 24. P. 337-355.

5. Konigle, A. Physical Processes in Circumstellar Disks around Young Stars. The effects of large-scale magnetic fields on disk formation and evolution / A. Konigle, R. Salmeron ; ed. by P. J. V. Garcia. Chicago : University of Chicago Press, 2011. P. 283-352.

6. Дудоров, А. Е. Магнитное поле межзвёздных облаков // Итоги науки и техники. Сер. Астрономия. 1990. Т. 39. С. 76-158.

7. Sugitani, K. Near-infrared polarimetry of the Serpens cloud core: magnetic field structure, outflows, and inflows in a cluster forming clump / K. Sugitani [et al.] // Astrophys. J. 2010. Vol. 716. P. 299-314.

8. Agapitou, V. Magnetic field dragging in viscous accretion disks / V. Agapitou, J. C. B. Papaloizou //

Astro. Lett. and Comm. 1996. Vol. 34. P. 363-369.

9. Reyes-Ruiz, M. Axisymmetric two-dimensional computation of magnetic field dragging in accretion disks / M. Reyes-Ruiz, T. F. Stepinski // Astro-phys. J. 1996. Vol. 459. P. 653-665.

10. Lovelace, L. V. E. Advection/diffusion of large-scale B field in accretion disks / L. V. E. Lovelace, D. M. Rothstein, G. S. Bisnovatyi-Kogan // Astrophys. J. 2009. Vol. 701. P. 885-890.

11. Weidenschiling, S. J. Distribution of mass in the planetary system and solar nebula // Astrophys. Space Sci. 1977. Vol. 51. P. 153-158.

12. Narayan, R. Advection-dominated accretion: a self-similar solution / R. Narayan, I. Yi // Astrophys. J. 1994. Vol. 428. P. L13-L16.

13. Shu, F. H. Mean field magnetohydrodynam-ics of accretion disks // Astrophys. J. 2007. Vol. 665. P. 535-553.

14. Дудоров, А. Е. Кинематическая МГД-модель аккреционных дисков молодых звёзд. Численные расчёты / А. Е. Дудоров, С. А. Хайбрахманов // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. № 9 (300). Физика. Вып. 16. С. 40-52.

15. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учеб. пособие. Т. 8. Электродинамика сплошной среды / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц ; отв. ред. Л. П. Русакова. М. : Наука, 1982. 620 с.

16. Пикельнер, С. Б. Основы космической электродинамики. М. : Наука, 1966. 408 с.

17. Дудоров, А. Е. Гидродинамика коллапса межзвёздных облаков. IV. Степень ионизации и амбиполярная диффузия / А. Е. Дудоров, Ю. В. Сазонов // Науч. информ. Астроном. совета АН СССР 1984. С. 68-86.

18. Spitzer, L. Physical processes in the interstellar medium. N. Y. : Wiley, 1978. 318 p.

19. Dudorov, A. E. Self-similar regimes for the collapse of magnetic protostellar clouds / A. E. Du-

dorov, A. G. Zhilkin // A. Rep. 2008. Vol. 52. P. 790805.

20. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учеб. пособие. Т. б. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц ; отв. ред. Л. П. Питаевский. М. : Физматлит, 2003. 73б с.

21. Pollack, J. B. Composition and radiative properties of grains in molecular clouds and accretion disks / J. B. Pollack [et al.] // Astrophys. J. 1994. Vol. 421. P. б15-б39.

22. Bell, K. R. Using FU Orionis outbursts to constrain self-regulated protostellar disk models / K. R. Bell, D. N. C. Lin // Astrophys. J. 1994. Vol. 427. P. 987-1004.

23. Дудоров, А. Е. Свойства иерархии межзвёздных облаков // Астроном. журн. 1991. Т. б8. С. б95-703.

24. Calvet, N. The mass accretion rates of intermediate-mass stars // Astrophys. J. 2004. Vol. 128. P. 1294-1318.

25. Yang, H. Magnetic field measurements of T Tauri stars in the Orion nebular cluster / H. Yang, C. M. Johns-Krull // Astrophys. J. 2011. Vol. 729. P. 83-91.

26. Hartmann, L. The FU Orionis phenomenon / L. Hartmann, S. J. Kenyon // Ann. Rev. Astron. Ast-rophys. 199б. Vol. 34. P. 207-240.

27. Hayashi, C. Structure of the Solar Nebula, Growth and Decay of Magnetic Fields and Effects of Magnetic and Turbulent Viscosities on the Nebula /

C. Hayashi // PThPS. 1981. № 70. P. 35-53.

28. Stacey, F. D. Paleomagnetism of meteorites // Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 197б. Vol. 4. P. 147-157.

29. Blandfrod, R. D. Hydromagnetic flows from accretion disks and the production of radio jets / R. D. Blandfrod, D. G. Payne // Mon. Not. R. Astr. Soc. 1982. Vol. 199. P. 883-903.

Приложение

Аналитическое решение

Решение системы уравнений (32), (34), (36)-(44), (52) в оптически толстых областях диска (оптическая толщина т = кЕ / 2» 1):

Те = СТМ1/4М 1/4г _3/4 /1/4, (А0)

-а-1 а+2 3+2а -9-6а а+2

Т = СТ а 1 М 1 М 21 г 21 / 1 , (А1)

a+1-t t-a-2 t-3-2a 9+6a-3t t-a-2

Е = СЕа M M 2t r 2t f~,

-а-1 а+2 3+2а-21 61-9-6а а+2

Н = Сн а 21 М 21 М 41 г 41 / 21 ,

1-а-1 а+2 3+2а-1 1-9-6а а+2-1

Уг = Су а^М~М 21 г 21 ,

1 С

3а+3-21 21-3а-6 41-6а-9 27+18а-121 21-3а-6

П = -

Е а 21 М 21 М 41 г 41

У

21

цтн 2Сн

д(21-3а-3) д(3а+6-21) д(6а+9-41) д(121-18а-27) д(3а+6-21)

‘ 41 у 21

х = Сха 21 М 21 М 21 г

3а+3-21, 41-6а-9, 21-3а-6, 27+18а-121 21-3а-6,

-к . -----:----к -------;----к -------;-----к -----------к

в.2 = СВ а 21 м 41 м 21

41

У

21

(А3)

(А4)

(А5)

(А6)

(А7)

оД

Вг = СВГ а

(д-к )21 -3а-3)+2(1 -а-1) (д-к )(3а+6-21)+2(а+2) (д-к )(6а+9-41 )+4 а-41+6

21 М 21 М 21

(д-к )(121 -18а-27 )+81 -12а-18 (д - к )(21 -3а-6)-21+2а+4

хг

41

У

41

(А8)

В^ = СВг а

ВОД = 3 а_1В0Д

-^ф 2 г ?

(д+к )(21 -3 а-3)+3а+3 (д+к )(3а+6-21 )+41 -3 а-6 (д+к )(6а+9-41)+41 -6 а-9

21 М 21 М 41

(д+к )(121 -18а —27)—161+18а+27 (д+к )(3а+6-21)+21 -3 а-6

хг

41

У

21

(А9)

(А 10)

В МАД = 3 а- 1В МАД

ВО 0 а Вг ,

(А 11)

ОД ОД

где 1 = 5 - Ь + 3а / 2, Вг и Вф вычислены с использованием коэффициента омической диффузии

МАД МАД

(7), Вг и Вф вычислены с использованием коэффициента магнитной амбиполярной диффузии

(19), в котором принято, что В2 = В>1. Коэффициенты С зависят от физических констант и парамет-

ров к0, а, Ь, д, к:

СТ =

30

2а+3

8па

-, СТ = с1 10 21 (2п) 1

3а+2

-1 (-.„ У ~2Г

.*Ь

V Ц у

, С =

_9________9

32л 2а2

sЬ

(А 12)

Се =

( - ^ 2п

Ц

-1

-

Ц

/'-г1/2/''1-1 I & 1/2/^1/2 5 1/2/^

0 СТ , СН =\ 0 СТ , Су = 0 СТ,

-8

ц

(А 13)

Сх = х0 «0д

1 Се

л-д

цтн 2С

н у

Г' = Вех1

СВ2 = ПГ

рех1

( СЕ ^к

V 2Сн у

Свг = СвСнСуг / Сл, Свг = Св2СнСуг / С 'л,

(А 14) (А15)

С = С С-1с_1с1/2 С =

Сп = 4п Сх СТ , Сп =

С 2

'-Я

1 Се

4пСхПп Vцmн 2Сн

, Сс = 1,5-10

17

(А16)