CC BY
58
УДК 621.316.925
Ю.Я. ЛЯМЕЦ, А.В. ШЕВЕЛЕВ, Д.Г. ЕРЕМЕЕВ
КАСКАДНОЕ ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ЭНЕРГООБЪЕКТОВ
Развивается предложенный ранее метод эквивалентирования статических энергообъектов, таких, как линия электропередачи и трансформатор, в случае нарушения условий каскадного соединения. Рассмотрено каскадное эквива-лентирование линии с изолированной нейтралью и трансформаторов, в том числе многообмоточных.
Ключевые слова: каскадное эквивалентирование, многопроводная система, электропередача, трансформатор.
The earlier proposed method of modelling of static power objects such as transmission line and transformer in the case of violation of cascade connection conditions is developed. The cascade modelling is considered of line with insulated neutral and transformers including mull winding ones.
Keywords: cascade modelling, multiwire system, transmission, transformer.
1. Введение
Развиваемый метод основан на представлении энергообъектов в виде многопроводных систем, описываемых матрицами передачи и каскадно соединенных друг с другом. Во множестве случаев условия каскадного соединения нарушаются. Идея метода, решающего задачу устранения таких ограничений в случае обрывов и закороток, приведена в [1]. В данной статье приведен его обобщенный вариант, позволяющий эквивалентировать системы с произвольными ограничениями по входу и выходу, заданными в виде линейных комбинаций электрический или магнитных величин. Важными примерами таких систем являются линия с изолированной нейтралью и трансформатор. Некоторые особенности связаны с эквивалентированием многообмоточных трансформаторов. Применение данного метода позволяет рассчитать как величины установившегося режима, так и компоненты свободного процесса. В последнем случае привлекаются алгоритмы выделения свободных компонентов [2,3].
2. Каскадное эквивалентирование многонроводных систем
Пусть W[2«] = ^UT[«],Il[rt]^j - изображение полного вектора всех токов
и фазных напряжений в произвольном месте «-проводной электропередачи (в дальнейшем полагается, что все величины являются операторными изображениями). Уравнение прямой передачи многопроводной системы (рис. 1, а):
Wj[2«l = AW2[2«].
Во входных [2п] и выходных \\'2[2и] величинах могут присутствовать ограничения, мешающие каскадному соединению данного участка с другими. Такие ограничения в электрической системе возникают, например, при различных металлических КЗ, обрывах проводов, при отсоединении нейтрали ЛЭП от земли, при учете группы соединения обмоток силового трансформатора. Для выявления ограничений служат матрицы переключений К, и К2, применяемые ко входным и выходным величинам и преобразующие описание участка к виду (рис. 1, б) с нулевыми 0[/и] и избыточными Ут6[т] величинами (токами и/или напряжениями)
~^[2 р2\
]
О [т2\
где т + р = п. В случае канонического участка, т.е. при т = т] = т2, эквивалентное описание участка представляется в виде
\у,’[2р] = Ае(1\уг'[2р], Ач =а;,-а;2(а;1)_,а;1, а избыточные величины могут быть найдены по формулам:
V..»,,., [«з = (а'21 - а;2 (а'2)-‘ А', )\уа2р],
V ~ ~(Аз2 ) А31У\2[2р].
В случае т{ * т2 используется нормализация описаний участков, означающая приведение к каноническому виду.
\У,[2/>,] «П2 р2] ^11 А12 А13
V-,6,.И] = К,А112 Уизб,2 [т2 ] = Ац А22 А23
0 [от,] 0[ю2] _А31 А32 А33
\¥,[2п\ -
.и, и
п п
А
м 1 Т
а
™\[2р,]0________А
УизМН,]<рЛ
Г
А'
ТГ
Еі_____________
т1
Рис. 1. Многопроводная система: а - исходное представление; 6-е выявленными ограничениями
3. Эквивалентирование отпайки
Рассмотрим схему (рис. 2, а), содержащую Т-образное соединение трех систем: передающей А5, приемной Аг и отпайки А,. Допустим, что на выходе А, находятся только особые провода, или, другими словами, только нулевые и избыточные величины. Каскадное эквивалентирование в данном
случае осуществляется следующими преобразованиями, где Уа[п\ - вектор выходных избыточных величин
Чп А 1,12
А 1,21 ^,22 0[«]
1„[я]-=¥,ии[л], V,
УоМ = Ас;,1,|[п) = А(ц I),,[/;].
Далее отпайка представляется в виде элемента, образующего каскадное соединение с А, и А, (рис. 2, б), и определяется эквивалентная матрица всей передачи
" 1 О'
^еч ’ ^ед,1
1
а
Рис. 2. Эквивалентирование отпайки
4. Линия электропередачи
4.1. Однородный участок линии
Рассматривается однородный участок линии электропередачи. В общем случае процессы в таком элементе описываются уравнением длинной линии, представленным в матричной операторной форме
Ш(х)
сЬс
= Н\У(х), Н =
О ъь V0 о
(1)
где вектор электрических величин представлен в упорядоченной форме \У(дг) = | ит (дс), 1т(*)^ , а матрица удельных первичных параметров Н содержит операторные сопротивление = Я0 + р1? и проводимость \° =С° + рС° . Решение уравнения (1)
дает для участка длиной /
\У(*) = ехр(-Нх)\У(0) XV, = А\У2 , А = ехр Н/.
(2)
4.2. Особенности эквивалеитирования лэп с изолированной нейтралью
Отсутствие связи с землей по концам участка линии с изолированной нейтралью накладывает ограничение как по входу, так и по выходу, выражаемое в виде /А + /в + /с = 3/0 = 0 . С помощью матриц переключений и матриц перестановок исходное описание линии (2) преобразуется к виду
'V;' ^11 А12 А',,‘
"а = ^21 ^22 а23 ^С2
0 _А31 Ап 4?з. 0
где \У' = [£/ас,£/вс, /а, /в]‘ . Применяя формулы эквивалеитирования канонического участка, получим
'V = ■'о,"'’ • ^еч = АІ1 _ ^12(^32) ^31 •
Избыточные величины иС1 и иС2 могут быть найдены по формулам
^С1 = (А21 ~ (^32 )
иС2--(А32) А„\У2.
5. Трехфазный трансформатор
Относительная сложность эквивалеитирования трансформатора обусловлена большим разнообразием факторов, нарушающих каскадное соединение моделей электрических и магнитных цепей. Сюда входят случаи трехстержневой магнитной системы, схема и группа соединений, разное количество обмоток на входе и выходе. Здесь рассматривается линейная модель трансформатора, использование которой оправдано при расчете коротких замыканий.
А
I
с
I
1,[3]
обм,1
Ф,[3] —------
РДЗ]
м А
я
Ф2[3]
г2|31
12[3]
обм,2
I
В
^ и2[3] с
\!
Рис. 3. Каскадное представление двухобмоточного трансформатора
5.1. Двухобмоточный трансформатор
Представим его модель в виде каскадного соединения блоков первичной обмотки, магнитопровода и вторичной обмотки (рис. 3), представленных своими матрицами прямой передачи
0 рм>\ 1 1 Км 0 14>21
^обм,1 = VI о > с II 0 1 * Аобм,2 (руу2) ’і 0
где 1 - единичная матрица размера 3x3, м», и м»2 - числа первичных и вторичных витков, Ям =КМ0+С^(ЛМА,/?МВ,ЛМС); Ям 0 - матрица размера 3^3, все элементы которой равны 0. При этом эквивалентное описание матрицы прямой передачи силового трансформатора выглядит следующим образом:
\У, = Ат\У2, Ат = Аобм1АмАо6м>2.
5.2. Влияние группы соединений
Различные схемы соединений учитываются с помощью матриц переключений И, применяемых к токам и напряжениям каждой из обмоток. Например, для обмотки со схемой соединения «звезда с нулевым проводом» можно принять И = 1 или Я = Р , где Р - матрица перестановок. В случае соединения в треугольник применение матрицы переключений выявляет ограничение иА+ив+ис =0 и избыточную величину - один из фазных токов обмотки трансформатора, а также представляет токи на выходе (входе) обмотки в виде комбинации фазных токов обмотки трансформатора. Аналогично выглядят преобразования в случае схемы «звезда с изолированной нейтралью», при этом напряжения и токи трансформатора меняются ролями.
5.3. Трехобмоточный трансформатор
Рассмотрим трехобмоточный трансформатор с четырехстержневой магнитной системой, включающей три фазных магнитопровода и один нейтральный. На каждом из фазных стержней магнитной системы располагаются по три соответствующие фазные обмотки. Полагается, что источник питания находится на одной из сторон трансформатора и питает нагрузку остальных обмоток. При этом направления токов принимаются на стороне источника втекающими в обмотку, а на остальных - вытекающими. Модель описывается системой уравнений девятого порядка:
[Ф,[3] = Ф2[3] = Ф3[3] = Ф[3]
IР, [3] = Г2[3] + Г3 [3] + к ИФ[3] •
Преобразования аналогичны тем, что выполнялись при эквивалентиро-вании отпайки (п.З). Один из каналов передачи мощности эквивалентируется уравнением прямой передачи, где учитывается описание соответствующей обмотки:
Р3[3] '
Ф3[3].
*ец,3,11
А«|,3,21 Аеч,3,22
уэ[3]
0[3]
«еЧ,3 - К,
1*3,0] - трехмерный вектор фазных МДС третичной обмотки, Ф3[3] - вектор фазных потоков, У3[3] и 0[3] - векторы избыточных и нулевых величин (токов или напряжений). Последнее выражение трансформируется к виду ^з[3] = И^ зФзЕЗ], Яе<] з = Аеч з пА,^ з 21, а вектор избыточных величин при необходимости может быть найден по одному из выражений
Уз[3] = Л^-3)21Ф3[3] = А„| з ИР3[3].
В дальнейшем можно представить часть схемы, описываемую матрицей Кеч_з совместно с магнитной системой, в виде элемента каскадного соединения, описываемого выражением
1
О 1
Таким образом, описание трехобмоточного трансформатора оказывается сведенным к описанию двухобмоточного с матрицами Ао6|И ,, Ам+3, Аобм 2 и
в результате может быть представлено в следующем виде:
^1 “ Ат^2’ Ат ” Аобм,1 Ам+3 Аобм,2 ■
Необходимо заметить, что в случае большего числа (N >3) обмоток эк-вивалентирование трансформатора включает несколько шагов. Произведя эквивалентирование третьей обмотки указанным выше образом, в дальнейшем необходимо аналогично поступить и с другими дополнительными обмотками. Особенность эквивалентирования последующих обмоток заключается в том, что они приводятся к элементам каскадного соединения с матрицами прямой передачи
У..
>1 ф, Р2
“ Ам+3 .Ф2. > Ам+3 ~
, к = 4, ТУ,
^ *ед,к
О 1
и такой многообмоточный трансформатор с учетом внешних цепей третьей и других дополнительных обмоток будет описываться матрицей
Лг =Лли.1/ЧгЧ'^4 "А\Ллм.2 •
6. Пример
Проблему для каскадного эквивалентирования создают места с особыми проводами [1]. Особым называется провод, нарушающий условия каскадного соединения, т.е. оборванный, накоротко заземленный или соединенный с другим проводом. Для определенности закоротки и обрывы назовем особыми проводами первого рода, а провода, накоротко соединенный друг с другом, -особыми проводами второго рода. Восстановление каскадного соединения
при наличии только проводов первого рода происходит через основную процедуру эквивалентирования [1] и детально показана на рис. 4.
Тупиковая трехфазная линия электропередачи с заземленной нейтралью задана двумя однородными участками линии через матрицы прямой передачи. Если и \У2, - упорядоченные векторы величин на входе и выходе участка многопроводной линии, представленного в виде (2и+ ] )-полюсника, то
^51.=А5,^82,, \Уг1, = Аг, >Уг2„, где индексы 5 и г обозначают передающую и приемную сторону соответственно (рис. 4, б).
В месте неоднородности провод фазы В слева упал на землю, а справа повис в воздухе, в фазе С - наоборот (рис. 4, а). Требуется определить фазные токи в месте наблюдения я. Напряжения в этой точке известны.
На первом этапе матрицы прямой передачи разбиваются на блоки (рис. 4, в), после чего вычисляются эквивалентные матрицы рассматриваемых участков:
*-*е = *г,е = *11 “ *12 *32 *31 >
™51,е = А8,е^82,35^ = \у51 -уе, уе = а,12л0!,у812,
^г1 = *г,е ^г2 •
Таким образом, каскадное соединение восстановлено
—С . *5,е *г,е •
Для данного примера
Ыл = 4-22^12 +Уе(2).
в общем случае для р нормальных проводов
(р + 1:2р) = Де22 А\&,,е(1 :р) + \'(р +1:2р).
Затем вычисляются остальные величины, не вошедшие в \УГ|:
^2=А^е,
—521 = ^в32_ *532 А531 ^52 >
—811 = *в21 + Аз22 V,:. •
В рассматриваемом случае последняя формула дает решение для токов фаз В и С.
Для решения задач с особыми проводами второго рода необходимо предварительно выполнить дополнительную процедуру перехода от фазных величин к их линейным комбинациям (рис. 5, а) в месте неоднородности.
Смена базиса для части проводов требует преобразования соответствующих матриц передачи (рис. 5, б). В данном случае:
где И,, Я2 - матрицы переключений. Здесь матрица переключений - квадратная матрица, состоящая из нулей и единиц и позволяющая узаконить замену фазных электрических величин их линейной комбинацией (рис. 5, г).
ту
и
и~
и,С
и
1.,,
І.1С
а~
и
А- А £1 • А- А. /1 г А» А Л~
А А-
/.* >Л~ Л- А* А» Аї й.і- А.. . А-А А
а -а. і * А- А А.- А Л, Л А кг
х
Шй
їй
и.
и.
и
а.
і..
Щ
и*
ш,,
и~
І4..
и» с
и-
Ап
А,- А*- 6 з- А. А..- А.
А^- А А.- А=- А~ Ая
А>,- Аї- А. А- Аза- Азе-
Аз- Аг Аз- А.- А«- А«-
Аз- А.* Аз- А*- А«- А«■
А.- Аду А.' А» А«-
А„- А. А- Аз* А'* А,-
А*-- А* А» А«- А*
Ав- Аял' А, А*- &ЛГ А оч
А. Азе А»- А* Аяг _І23'
А' А.- А,- А- Ам- А.
А А Аз. А» А» А=
ЙГ2-
О.
Цт
и*
1.
їм-
■' ■
X
и.
и
А^п р ■ лЗ&з
&21 А§^ Аа»з
Аш ^3
х
М 822=0
У,
А А ; А,
А., А А.
А г» і А, А...
X
¥•.'1
X
И,;
X
X
в
Рис. 4. Основная процедура эквивалентирования
А,-
Mask
!'0
N = length (Mask);
Zero = zeros (N);
E = eye (2 * N);
D = diag (Mask); NonZerol = find (Mask) I = NonZerol(1);
C = Zero;
C(:,l) = 1;
S = D * C;
S(l,l) = 0;
R1 = E + [ S Zero
Zero;
-S'];
R2 = E + [- S Zero;
Zero S' ]; в
Рис. 5. Эквивалентирование системы с особыми проводами второго рода
На рис. 5, в показана универсальная процедура получения таких матриц для задач с проводами второго рода. Все функции - стандартные функции системы МаЛаЬ. Для ее работы необходим вектор, единичные элементы которого соответствуют номерам проводов, охваченных междуфазным замыканием. После вычисления матриц А,, А^ можно запускать основную процедуру эквивалентирования, как для задач с проводами первого рода.
Литература
1 .Лямец Ю.Я., Еремеев Д.Г., Нудельман Г.С. Эквивалентирование многопроводных систем при замыканиях и обрывах части проводов // Электричество. 2003. № 11. С. 17-27.
2. Лосев С.Б., Чернин А.Б. Расчет электромагнитных переходных процессов для релейной защиты на линиях большой протяженности. М.: Энергия, 1972.
3. Павлов А.О. Информационные аспекты распознавания коротких замыканий в линиях электропередачи в приложении к задаче дальнего резервирования: Автореф. ... канд. техн. наук. Чебоксары, 2002.
ЛЯМЕЦ ЮРИЙ ЯКОВЛЕВИЧ родился в 1940 г. Окончил Новочеркасский политехнический институт. Доктор технических наук, профессор электроэнергетического факультета Чувашского государственного университета. Заслуженный изобретатель РФ. Автор около 300 научных работ.
ШЕВЕЛЕВ АЛЕКСЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ родился в 1980 г. Окончил Чувашский государственный университет. Инженер ИЦ «Бреслер». Имеет более 10 научных работ в области релейной защиты и автоматики, электроэнергетических систем.
ЕРЕМЕЕВ ДМИТРИЙ ГРИГОРЬЕВИЧ родился в 1977 г. Окончил Чувашский государственный университет. Инженер ИЦ «Бреслер». Имеет 16 научных работ в области релейной защиты и автоматики, электроэнергетических систем.
