Алгоритмическое моделирование в задаче определения места повреждения в линиях электропередачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.54

Ю.Я. ЛЯМЕЦ, И.С. КЛИМАТОВА

АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТА ПОВРЕЖДЕНИЯ В ЛИНИЯХ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

Решение задачи локации замыкания в линии электропередачи основано на алгоритмическом моделировании наблюдаемого объекта. Модель призвана определить токи и напряжения в месте предполагаемого повреждения по известным электрическим параметрам в месте наблюдения.

Ранее рассматривалось представление алгоритмической модели в виде каскадного соединения многополюсников в базисе «входные - выходные величины» [1, 3-5]. В статье предлагается новый подход - базис «неизвестные -известные переменные», который не делает различий между входными и выходными параметрами, а также между токами и напряжениями.

Рассмотрим некоторые аспекты данного метода. Алгоритмическую модель электропередачи можно представить в виде соединения многополюсников, как минимум, один из них наблюдаем [1, 3-5]. Предметом рассмотрения далее являются пассивные многополюсники, образующие модель чисто аварийного режима.

Линии электропередачи, идущие параллельно в общем коридоре, образуют многопроводную систему, состоящую из участков однородности. Однородность прерывается по многим причинам: ее нарушают ответвления от какой-либо из линий, уход одной из линий из коридора, изменение свойств грунта при замыканиях на землю. Особо следует сказать о влиянии заземлений грозозащитных тросов: встречаются тросы, связанные с землей через разрядники, но в большинстве случаев трос заземляется на каждой опоре. Если заземление исправно, то такой трос однородности не нарушает.

Многопроводная система описывается в базисе обобщенных величин V - напряжений и токов [2, 4-5]; «-проводная система - дифференциальными уравнениями относительно 2«-мерного упорядоченного вектора V*), где х - координата:

й V( х)

йх

= Ж (х),

(1)

' Д( х) ■ Ь( х)

1 1 )х )х 1 1 , и( х) = и 2 (х) , К х) = 12 (х) , Н = 1 1 в 0 о о 1Ы 1 1

_и«(х)_ _1« ( х)_

^ х) =

где Н - квадратная матрица первичных параметров, Ъ и в - (пхп)-мерные симметрические матрицы собственных и взаимных первичных комплексных сопротивлений и, соответственно, емкостных коэффициентов. Заметим, что земля в число п не входит.

Однородное уравнение (1) имеет решение

Vх) = [ехр(-Н(х - х0))^(х0),

где x0 - произвольная координата рассматриваемого участка. Здесь V(x) и V(x0) -векторы входа и выхода однородного участка длиной l (рис. 1).

Как следствие, уравнения прямой и обратной передачи многополюсника принимают вид:

V( x) = AV( Xo), V( Xo) = BV( x), (2) A = exp Hl, B = exp(-Hl).

Дальнейшее построение алгоритмической модели участка «-проводной системы представляет собой процедуру нормализации наблюдаемого многополюсника с использованием базиса фазно-линейных координат. При этом множество электрических величин разделяют на три группы: 1) наблюдаемые,

2) внутренние, которые подлежат исключению из описания структуры,

3) внешние, которые надлежит сохранить, по меньшей мере, до очередного эквивалентирования.

На этапе нормализации наблюдаемый многополюсник рассматривается как автономная структура, моделирующая участок «-проводной сети, вследствие чего числа проводов того или иного типа поначалу неизбежно оказываются в центре внимания, а затем шаг за шагом уступают место числу характерных электрических величин. Наряду с числом « фигурирует число m зажимов с фазными граничными условиями, дающими m устраняемых величин и столько же исключаемых внутренних величин, а также число 2q зажимов, затрагиваемых линейными граничными условиями. Можно было бы пересчитать также провода, наблюдаемые полностью (и ток, и напряжение) или наполовину (одно из двух), но эти числа менее значимы, чем число d наблюдаемых величин W. Причина в том, что некоторые провода с наблюдаемыми напряжениями, возможно, уже вошли в число 2q. Подсчет наблюдаемых напряжений, а не находящихся под их воздействием проводов, не создает риска двойного учета одной и той же информации.

Участок многопроводной сети изначально описывается системой 2« уравнений с 4« граничными величинами (рис. 2).

Процедура нормализации многополюсника строится таким образом, чтобы сокращение числа неизвестных величин шло вдвое быстрее, чем уменьшение числа уравнений, и осуществляется в последовательности, указанной на рис. 2 по направлению сверху вниз. Линии со стрелками отмечают то обстоятельство, что исключение переменных произошло за счет числа уравнений, а не благодаря граничным условиям.

Следующим этапом построения алгоритмической модели электропередачи является эквивалентирование соединения составляющих ее многополюсников, прошедших нормализацию. Эта процедура более простая, чем нормализация каждого из них в отдельности, поскольку большинство разнотипных граничных условий относится к индивидуальным чертам многополюсников и учитывается только на стадии нормализации.

An

n :S £ § eS Й 2 о

О i(2 ^ О 2 §

т

An - m фазные граничные условия

т

An - 2m внутренние величины

Я

An - 2m - q линеиные граничные условия

а

An - 2m - q - d наблюдаемые величины

%

g - d - q - m 2 - n A внутренние величины

к внешние величины

V число величин

2n

2n - m 2n - m - g

число

уравнений

Рис. 2. Иллюстрация процедуры нормализации описания наблюдаемого многополюсника

Граничные условия соединения двух многополюсников можно подразделить всего лишь на две группы: полные, когда зажимы разных многополюсников соединены общим проводом, и неполные, когда общий провод имеет внешнее ответвление. Собственные внешние выводы каждого из двух соединенных многополюсников и их общие ответвления образуют в совокупности внешние выводы эквивалентного многополюсника.

Отметим, что и нормализация, и эквивалентирование выполняются в обобщенном базисе без разграничения токов и напряжений, разрывов и зако-роток, фазных и линейных величин, степени определенности. Результатом преобразований должна стать система из k уравнений, связывающая h искомых величин V и d наблюдаемых величин W (рис. 3):

A(k х h)V(h) = B(k х d) W(d). (3)

m

g

k

Рис. З. Модель электропередачи

Следует обратить внимание на два момента. Во-первых, в этом уравнении величины А и В не являются матрицами прямой и обратной передачи, используемыми при каскадном эквивалентировании и описанными в уравнениях (2). Во-вторых, здесь и далее в скобках указываются размерности матриц.

Таким образом, эквивалентирование смещает акценты исследования в сторону итоговых параметров - порядка матричного уравнения модели к и порядка к вектора внешних величин V.

Математический аспект нормализации и эквиваленитрования многополюсников заключается в понижении значений к и к, причем к уменьшается вдвое быстрее, чем к. Процедуры нормализации и эквивалентирования, по сути дела, сводятся к организации учета разнообразных граничных условий; очередность учета: фазные граничные условия, линейные граничные условия, наблюдаемые величины, схема соединения с другими многополюсниками.

На каждом из перечисленных этапов обособляются и затем исключаются внутренние величины многополюсников. Сохраняются внешние, принадлежащие только эквивалентируемой структуре. В полностью сформированной алгоритмической модели внутренних величин не остается, благодаря чему появляется возможность подразделить зажимы и провода на входные и выходные. Входными будем считать наблюдаемые. Они, в свою очередь, подразделяются на две группы: полностью наблюдаемые (по току и напряжению) и наблюдаемые наполовину (рис. 4). Выходные зажимы - ненаблюдаемые.

Ш(Ф)

!¥#*)

\ К¥2)

Ш/2)

УШк)

■Шк/)

Рис.4. Алгоритмическая модель электропередачи в чисто аварийном режиме а, Ь, с - входные зажимы: а - полностью наблюдаемых проводов,

Ь - наблюдаемых по напряжению, с - наблюдаемых по току;/ х - выходные зажимы:

/ - произвольного места повреждения, х - влияющих проводов

Для алгоритмической модели важно присутствие отмеченных буквой / зажимов с неизвестными величинами У/(к/) места короткого замыкания. В имитационной модели к этим зажимам была бы подключена резистивная модель повреждения. Цель алгоритмической модели иная - оценить вектор УДк/) безотносительно к взаимосвязи между его элементами. Присутствие дополнительных выходных зажимов, помеченных буквой х, не обязательно; они могут понадобиться для учета влияния неповрежденных проводов на поврежденные. Таким образом, в общем случае к = к/ + кх, в частном - к = к/.

Процесс нормализации и эквивалентирования может натолкнуться на особенности в виде интервальных или вовсе неопределенных граничных условий [1, 6-7]. Если, например, нормализуется многополюсник 5, а о соединенном с ним многополюснике г нет никаких сведений (рис. 5, а), то оба вектора иДтг) и Ктг) придется отнести к числу внутренних величин и, следовательно, изыскать возможность исключить их из системы уравнений 5-го многополюсника, понизив ее порядок на 2тг. Плата за неопределенность граничных условий оказывается, как видим, чрезмерно высокой. Более щадящий случай - граничное условие

и г (тг) = ^ (тг х тг )1 г (тг) с интервальной матрицей Ъг. Здесь исключение напряжения иг и тока 1г понизит размерность системы только на тг, но подматрица Ъг попадет при этом в состав матрицы А, сделав уравнение (3) интервальным.

Еще одна особенность связана с несинхронизированными наблюдениями объекта (рис. 5, б). В этом случае линейность уравнения (3) нарушается неизвестным углом 5, входящим в него трансцендентно. Если система (3) переопределена, можно прибегнуть к оригинальному приему сохранения линейности за счет введения избыточной переменной Уь+1 - своеобразного «клапана неадекватности» [3]. Запишем уравнение (3) в виде

Л(к X И)У(И) = в (к X ds) + Вг (к X drШг )У„+1

и построим затем новое уравнение относительно (Л+1)-мерного вектора неизвестных величин

A(k x h) - Br (k x dr )Wr (dr)]_V(h)

L

h+1

= B s (k x ds )W s (ds ).

(4)

Уравнение (4) несет в себе признак адекватности алгоритмической модели реальному объекту: чем ближе оценка модуля У+ к единице, тем точнее модель.

а б

Рис.5. Особые граничные условия а - неопределенный или интервальный r-й многополюсник; б - двухстороннее несинхронизированное наблюдение

Таким образом, разработан метод построения алгоритмической модели линии электропередачи без разграничения входных и выходных параметров, а кроме того, токов и напряжений, с использованием базиса фазных и линейных величин, учетом различных граничных условий, совмещением несинхронизи-рованных данных. Метод предназначен для информационного анализа объекта и позволяет судить об информационном ресурсе локатора замыканий в линии электропередачи.

Литература

1. Еремеев Г.Е. Информационные задачи релейной защиты / Д.Г. Еремеев, С.В. Иванов, Ю.Я. Лямец, А.Н. Подшивалин, А.В. Шевелев // Труды АЭН ЧР. 2003. № 2. С. 79-100.

2. Лямец Ю.Я. Алгоритмические модели электрических систем / Ю.Я. Лямец, Г.С. Ну-дельман, А.О. Павлов // Труды АЭН ЧР. 1999. №1-2. С. 10-21.

3. Лямец Ю. Я. Программный комплекс анализа аварийных процессов и определения места повреждения линии электропередачи / Ю.Я. Лямец, В. А. Ильин, Н. В. Подшивалин // Электричество. 1996. № 12. С. 2-7.

4. Лямец Ю.Я. Эволюция дистанционной релейной защиты / Ю.Я. Лямец, Г.С. Нудельман, А.О. Павлов // Электричество. 1999. №3. С. 8-15.

5. Лямец Ю. Я. Эквивалентирование многопроводных систем при замыканиях и обрывах части проводов / Ю.Я. Лямец, Д.Г. Еремеев, Г.С. Нудельман // Электричество. 2003. № 11. С. 17-27.

6. Liamets Y. Interval transform of information and its application in relay protection / Y. Liamets, A. Podshivaline, S. Ivanov, G. Nudelman // Proc. IEEE Conf. Power Tech., St.Petersburg. 2005. Р. 31.

7. Liamets Y. The phenomena of uncertainly and ambiguity in identification of faults in electrical systems / Y. Liamets, S. Ivanov, G. Nudelman // CIGRE SC B5 Colloquium, Calgary, Canada. 2005. P. 313.

ЛЯМЕЦ ЮРИЙ ЯКОВЛЕВИЧ родился в 1940 г. Окончил Новочеркасский политехнический университет. Доктор технических наук, профессор кафедры теоретических основ электротехники Чувашского государственного университета, заслуженный изобретатель России. Область научных интересов - релейная защита, теоретическая электротехника. Автор более 300 научных работ.

КЛиМаТОВА ИРИНА сЕрГЕЕВНА родилась в 1983 г. Окончила Чувашский государственный университет. Инженер-исследователь ООО «Исследовательский центр “Бреслер”», ассистент кафедры теоретических основ электротехники Чувашского университета. Область научных интересов - релейная защита, теоретическая электротехника. Автор 8 научных работ.