Канонические представления на плоскости Лобачевского–Галилея, индуцированные характерами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

УДК 517.98

Канонические представления на плоскости Лобачевского-Галилея, индуцированные характерами 1

© Ю. В. Дунин

Ключевые слова: дуальные числа, канонические представления, плоскость Лобачевского Для плоскости Лобачевского-Галилея вводятся канонические представления, индуцированные характерами мультипликативной группы алгебры дуальных чисел, они разлагаются на неприводимые

В настоящей работе мы вводим для плоскости Лобачевского-Галилея канонические представления, индуцированные характерами мультипликативной группы алгебры дуальных чисел, мы разлагаем их на неприводимые составляющие, руководствуясь схемой изучения канонических представлений для классической плоскости Лобачевского, см, [5]. Надгруппой служит группа Лагерра ЯЬ(2, Л), см, [4].

Приведем некоторые сведения об алгебре дуальных чисел и плоскости Лобачевского Галилея из [4] и [2].

Алгебра Л дуальных чисел есть двумерная алгебр а над полем М, состоящая из элементов г = х+іу, х, у Є К, с соотношеннем і2 = 0, Числом, сопряженным дуальному числу г = х+іу, называется число г = х — іу. Абсолютная величина |г| числа г есть = |х|. Мультипликативная группа Л* алгебры Л состоит из дуальных чисел г = х + іу, для которых х = 0, Мы будем рассматривать

1Работа поддержана Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011, ФЦП "Научные и научно-

педагогические кадры инновационной России" 14.740.11.0349

следующие характеры (одномерные представления в группу C*) z ^ zM,v, где ^, v Є C, группы Л*:

(заметим, что произвольный характер группы Л* имеет несколько более общий вид; он получается из указанного добавлением множителя ^п х)£, где е = 0,1, однако, в настоящей работе для простоты мы ограничимся характерами (1)),

Плоскость Лобачевского-Галилея £ есть множество па плоскости Л, задаваемое неравенством гг < 1, Это - вертикальная полоса, ограниченная прямыми х =

— 1 и х =1,

Группа С движений плоскости Лобачевекого-Галилея £ состоит из дробнолинейных преобразований

соответствующие преобразованиям (2), образуют группу Яи(1,1;Л). Обозначим а = а + ір, Ь = в+і^. Условие аа — ЬЬ = 1 равносильно тому, что а2 — в2 = 1, так что а2 ^ 1, т. е, а ^ 1 ми а ^ — 1. Следовательно, группа ЯИ(1,1;Л) состоит из двух связных кусков. Группа О изоморфна связной компоненте единицы группы Яи(1,1; Л). Эта компонента состоит из матриц д с условием а ^ 1, Для нее мы сохраним обозначение О. Параметры а и в матрицы д Є О можно записать в виде а = еЬ і и в = бЬ і, где і Є К, Следовательно, всякую матрицу дЄ О

Стационарной подгруппой точки z = 0 служит подгруппа K, состоящая из диагональных матриц:

так что L = G/K,

Напомним [1] некоторые сведения о представлениях группы G, Представление Тст, о £ С, действует в пространетве D(R) финитных функций ^(s) на R класса Cпо формуле

(Ta(g) ф) (s) = p(s + t) ■ exp {о[-р sh(2s + t) + q ch(2s + t)]} ,

(1)

(2)

Она сохраняет меру

Матрицы

(3)

(4)

где ¿, р, ^ - параметры элемента д, см. (3). В частности, для к € К, см. (4), мы имеем

(Та(к) р) (з) = р(з) ■ ехр(—арвЬ28), (5)

Эрмитова форма (скалярное произведение из Ь2{К,йв))

/ГО

■ф(в)р(в) ¿8

'ГО

инвариантна относительно пары (Та ,Т—а), то есть

(Та (g)ф, р)К = (ф Т-а (9-1)р)ж , (6)

так что для чисто мнимых а представление Та унитаризуемо,

С помощью (6) представление Та распространяется на пространетво Р'(К) обобщенных функций ^ на К.

Пусть Л, V € С. Каноническое представление К\,и группы С действует в пространстве Р(£) финитных фун кцнй / (г) на £ класс а Спо формуле

(Ял(д)/ )(*) = /(г ■ д)(Ьг + а)—2Л—4^

ма , \—2Л—4 ( ?х + Ру — Р\

= /(г ■ д)(вх + а) ехР :- .

\ рх + а )

В предыдущей работе [3] мы рассматривали случай V = 0, При Л = —2, V = 0

это представление становится квазирегулярным представлением, см. [2]. Эрмитова форма

(/, Ь)с = у /(г) Мг) ¿х ¿у , г = х + jy, инвариантна относительно пары (ЯЛ,и,Я—л—2—и ):

(Ял,и (g)/, Ь)с = (/, Я—Л—2,—Т7 ^^С.

Это позволяет распространить представление Ял па пространство Т>!(£) обобщенных функций на Л с носителям и в £, в частности, на пространство обобщенных функций, сосредоточенных на вертикальных прямых х = ±1. Получающиеся таким образом граничные представления раскладываются по представлениям еще одной серии представлений группы С, описанной в [1]. Они не участвуют в разложении канонических представлений ЯЛ на Р(£). Причина этого состоит

в том, что для функции р € Р(К) те преобразование Пуассона р) (г) см-

ниже, имеет носитель, лежащий в полосе, более узкой, чем £ (в полосе |х| < 1 — е < 1), поэтому имеет нулевую асимптотику при |х| ^ 1. Поэтому в настоящей статье, как и в [3], мы не будем рассматривать граничные представления.

Найдем обобщенные функции 9 на К собственные для подгруппы К, см,

Та(к) 9 = ехр^р) ■ 9. (7)

Из (5) и (7) мы получаем

[ехр(—арвЬ28) — ехр^р)] ■ 9(з) = 0.

Отсюда следует, что искомая обобщенная функция - это дельта-функция

9а,и (з) = $(8 — 8о),

где

V

вп 2зо =---.

а

Следовательно, отношение v/а должно быть вещественным числом.

Эта обобщенная функция порождает ядро Пуассона - следующим образом. Элемент

д*=тгЫ11)

из С переводит точку 0 в точку г. Ядро Пуассона определяется формулой

р‘;а (г, 8) = (Та(д—1) 9„.„) (8),

оно есть

(г,8) = ф — с— 8о) ех^а 1—х2 (а+Вх) |,

где г = х + jy, х = Ш С и для краткости мы обозначили А = еЬ 2з0, В = вЬ 2з0,

Ядро Пуассона порождает два преобразования - преобразование Пуассона Р(1 : Р(К) ^ Сте(£) и преобразование Фурье : ©(£) ^ ©(К), связанные с

каноническим представлением Ял.„. А именно,

(Рй р) (г) = (1 — х2)—Л—2р(80 + £)ехр|а 1—(А + Вх)| ,

/) (8) = (1 — с2)Л+1 J /(с + *М) ехр{а 1—^2 (А + Вх^ ¿“,

где х = Ш £, С = Ш (8 — 80),

Преобразование Пуассона сплетает Т— а с ЕЛ.„, а преобразование Фурье сплетает Лл Та-

л.* (д) рй = рй Т—а (д),

Л.V (д) = Та (д) ,

д€ С

(р—ц* р, / )с = <р,45 / )«■

Теорема 1 Пусть V и а - чисто мнимые числа: V = гт и а = гр, здесь г = -\/—1

- комплексное число, тир- вещественные числа. Каноническое представление ЛЛ,гт группы С в пространстве ©(£) разлагается по представлениям Т:р с кратностью единица следующим образом,. Сопоставим функции / € ©(£) совокупность ее компонент Фурье ^"р/, Р € К Это соответствие С-эквива-риантно. Имеет место формула обращения:

1 ЛГО __________

/=г; / м ^+(т/р)2 Р:-:Р / ¿р.

Литература

1. Ю, В, Дунин, Представления группы движений плоскости Лобачевского-Галилея, Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2010, том 15, вып. 6, 1708-1712,

2. Ю, В, Дунин, Гармонический анализ на плоскости Лобачевского-Галилея, Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2011, том 16, вып. 1, 99-103.

3. Ю. В. Лунин. Канонические представления на плоскости Лобачевского-Галилея. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2012, том 17, вып. 1, 82-85.

4. В. Ф. Молчанов. Элементарные представления группы Лагерра. Матем. заметки, 1978, том 23, вып. 1, 31-39.

5. V. F. Molchanov, L. I. Grosheva. Canonical and boundary representations on the Lobachevsky plane. Acta Appl. Math., 2002, vol. 73, 59-77.

Поступила в редакцию 16 ноября 2012 года

Yu. V. Dunin. Canonical representations for the Lobachevskv-Galilei plane

For the Lobachevskv-Galilei plane, we introduce canonical representations induced by characters of the multiplicative group of the algebra of dual numbers, and decompose them into irreducible constituents

Keywords: dual numbers, canonical representations, Lobachevsky plane