CC BY
17
______________________________________________1Б8Ы 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 16, вып. 1,2011
Гармонический анализ на плоскости Лобачевского-Галилея 1
© Ю. В. Дунин
Построен гармонический анализ на плоскости Лобачевского-Галилея
Ключевые слова: плоскость Лобачевского, дуальные числа, представления групп, сферические функции, формула Планшереля
§ 1. Плоскость Лобачевского-Галилея и ее группа движений
Алгебра А дуальных чисел есть двумерная алгебра над полем К, состоящая из элементов г = х + іу, х, у Є Ж, с соотношением г2 = 0. Она не является полем: чисто мнимые числа іу являются делителями нуля. Числом, сопряженным
дуальному числу г = х + іу, называется число г = х — гу.
Плоскость Лобачевского-Галилея С есть множество на плоскости А, задаваемое неравенством гг < 1. Это - вертикальная полоса, ограниченная прямыми х = — 1 и х = 1.
Группа (7 движений плоскости Лобачевского-Галилея С состоит из дробнолинейных преобразований
аг + Ь - ,т , А /, , ч
2 Н> г • д = ----—, аа — оо — 1, а, о Є Л. (1.1)
Ъг + а
Она сохраняет меру Матрицы
(1-а:2)2
9 = ( 5 Ь- ) , аа-ЬЪ = 1,
соответствующие преобразованиям (1.1), образуют группу 811(1,1; Л). Обозначим а = си + гр, Ь = /З + гд. Условие аа — ЬЬ= 1 равносильно тому, что а2 — /З2 = 1, так что а2 ^ 1, т. е. а ^ 1 или а ^ — 1. Следовательно, группа 8и(1,1; Л) состоит из двух связных кусков. Группа (2 изоморфна связной компоненте единицы группы 811(1,1;Л). Эта компонента состоит из матриц д с условием а ^ 1. Для
1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом
1.5.07.
нее мы сохраним обозначение Параметры а и (3 матрицы д Е (7 можно записать в виде а = cht и (3 = sht, где Ь 6 М. Следовательно, всякую матрицу
д £ £ можно записать в виде
д = р(*) +гс(р,д), (1.2)
где
»<•>=(£ г: )• «>•*>-и 4)-
Стационарной подгруппой точки г = 0 служит подгруппа К, состоящая из диагональных матриц:
‘-('о* Л). М
так что С = (7/К.
Квазирегулярное представление и группы С действует сдвигами: (£/(#)/) (<г) = • д) - в пространстве Ь2(£,(1а) со скалярным произведением
(/>А)в = / 1{гЩг)<кг(г).
§ 2. ^-инварианты
В [1] были описаны две серии представлений группы G. Нам понадобится вторая из них. Представление A,/i £ С, этой серии действует в пространстве Т>(Ж) финитных функций (p(s) на R класса С°° по формуле
ТхМФ) = <p{s + *)eAu+/iV, (2.1)
где д = g(t) + ic(p,q), см. (1.2),
u = р ch(2s + t) — q sh(2s + t), (2.2)
v = — p sh(2s -f t) + q ch(2s + t). (2.3)
Эрмитова форма (скалярное произведение из L2(K, ds))
/оо _____
Ф(s)v(s)ds
-оо
инвариантна относительно пары (Тл|/х,Т_д_д)» т- е-
{ТхМФ> Ч>) = <V>17’-A,-p(s_1)¥’>, (2.4)
так что для чисто мнимых Л, /i представление Т\унитаризуемо.
С помощью (2.4) представление Тл)/Х распространяется на пространство Т>'(Ж) обобщенных функций F на R.
Теорема 2.1 Непулевое пространство инвариантов в относительно К
в представлении Т\)/х существует при условии А = г[1, где — 1 < г < 1; положим тогда г = ^ 2т, т Е К, так что
Это пространство одномерно, базисная функция в есть дельта-функция:
Доказательство. Пусть 0(я) инвариантна относительно К в представлении Та,По (1.3) и (2.1), (2.2), (2.3) это означает:
ер(АсЬ28-^28) = 0до
для всех р Е М. Это условие равносильно условию, которое получается дифференцированием пор в нуле: (Л сЬ 2в — ц эЬ 2я) 9(з) = 0, или (А — ^ 2з) 0(й) = 0.
Множитель перед 0(5) должен обращаться в нуль в некоторой точке в = т. Это дает условие (2.5). □
Представление Т\^ с условием (2.5) эквивалентно представлению, для которого Л = 0. В самом деле, оператор С сдвига на — т, т. е. (Ср) (в) = (р(в + т), сплетает Тд,м с Т0>г/, где и = ц/сЪ. 2г. Поэтому мы с самого начала можем считать, что А = 0. Тогда теорема 2.1 говорит, что представление Т0>м, ц Е С, имеет единственный с точностью до множителя /^-инвариант в(з) = 6(в).
§ 3. Преобразования Пуассона и Фурье, сферические функции
/^-инвариант 9(з) = <5(5) порождает ядро Пуассона
где д - элемент из (2, переводящий точку 0 в точку 2. В качестве такового можно взять элемент
X = і\і2т ■ ц, т Е М.
(2.5)
6(з) = 6(з — т).
Р,(г,з) = {То^д-Щ (з),
Мы получаем
где х = с = Ні в.
Ядро Пуассона порождает два преобразования: Пуассона и Фурье. Преобразование Пуассона : Т>(К) —> С°°(0) действует по формуле:
/оо
Р„(г, в) ф)
■ОО
СІв
1-х
= <Ж) ехр {} ■ (зл)
Оно сплетает представления Т0)_м и С/.
Преобразование Фурье : Т>(П) -> Т>(Ш) действует по формуле:
№і/)М = [ /{г)(1а{г)
-) и
= ]“Г^2 / /(с + гу) ехр |/л--■ | гіу, с = ї;Ь 5.
Оно сплетает представления и и Т0)М.
Преобразования Пуассона и Фурье сопряжены друг другу:
(Р, 9, Л о = <<^> -Ррг/)-
Сферическая функция определяется как образ инварианта в в преобра-
зовании Пуассона:
Из (3.1) следует
Фд(г) = <5(х) е'4'.
4. Разложение квазирегулярного представления
Теорема 4.1 Квазирегулярное представление и группы С сдвигами в пространстве Ь2(С, да) разлагается по представлениям Т0)гР, здесь г - комплексное число: г = \/—1 Е С, р Е К, с кратностью единица следующим образом. Сопоставим функции / Е Т>{И) совокупность ее компонент Фурье р € М. Это соответствие С-эквивариантно. Имеют место формула обращения:
! = к Г р-'" ^7 ^ (4Л)
и формула Планшереля:
(/,л) о = ^ /- Л) «*/»■ (4-2)
Поэтому соответствие / н-> {Т’гр/} распространяется на все пространство Ь2(С, да).
Формулы (4.1), (4.2) получаются из соответствующих формул для классического преобразования Фурье - с помощью замены р = (1 — х2)г].
Эти формулы можно объединить формулой разложения дельта-функции £(2), сосредоточенной в точке 2 = 0, по сферическим функциям:
1. Ю. В. Дунин. Представления группы движений плоскости Лобачевского-Галилея. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2010, том 15, вып.
6, 1708-1712.
Yu. V. Dunin. Harmonic analysis on the Lobachevsky-Galilei plane Harmonic analysis on the Lobachevsky-Galilei plane is constructed
Keywords: canonical representations, boundary representations, Lobachevsky plane, spherical functions, Plancherel formula
УДК 517.98
Факторизация многочленов над двумерными алгебрами 1
Рассматриваются классические задачи для многочленов над алгебрами обобщенных комплексных чисел (двумерными алгебрами над полем вещественных чисел): количество корней, тип корней, разложение на множители
Ключевые слова: ассоциативные алгебры, делители нуля, многочлены над алгебрами
Рассмотрим двумерную ассоциативную алгебру Л над Е, состоящую из элементов (чисел) 2 = х + іу, х, у Є Е, с соотношением г2 = а 4- 2/?г, где а, (3 -некоторые фиксированные числа из Е. Обозначим О = а + (З2. В [1] рассматривалась классическая задача о многочленах Р(г) = апгп + ап_\гп~1 + ... + а0>
Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.
Литература
© Н. А. Малашонок
юз
