CC BY
32
УДК 519.2
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 4
Абрам М. Каган
КАК ВАЖНО ЗНАТЬ ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ: ИСТОРИЯ МОЕГО ЗНАКОМСТВА С ЮРИЕМ ВЛАДИМИРОВИЧЕМ ЛИННИКОМ
(к 90-летию со дня рождения Ю.В.Линника)
Понятие достаточности — один из фундаментальных вкладов Рональда Фишера в статистику на заре ее становления как математической дисциплины. Теорию статистических выводов невозможно представить себе без концепции достаточности, равно как и без имени Фишера.
Я хочу рассказать здесь не о месте достаточных статистик в теории и практике статистики, а о той роли, которую они сыграли в моей научной судьбе. Этот короткий рассказ, конечно же, не представляет особого интереса для истории математической статистики, но, надеюсь, добавляет несколько штрихов к портрету Юрия Владимировича как человека и ученого и может быть интересен и тем, кто хорошо его знал.
Итак, на дворе лето 1958 года. Я только что окончил физико-математический факультет Ташкентского государственного университета им. Ленина (теперь это Национальный университет Узбекистана им. Улугбека) по кафедре теории вероятностей и математической статистики. По совету одного из моих преподавателей, Б. В. Левина, знавшего Юрия Владимировича, я решил попытаться поступить в аспирантуру к Лин-нику. Левин дал мне адрес дачи Юрия Владимировича (пос. Комарово, Курортная улица, а вот номер дома я забыл, хотя и бывал там много раз), добавив, что лето он обычно проводит на даче. Телефона у Линника на даче тогда не было, поэтому заранее договориться о встрече с ним я не мог.
Приехав в Ленинград и остановившись у родственников, я в одно прекрасное утро в июле 1958 года появился у калитки дачи Линника. К счастью, он оказался дома, и я без всякого вступления объяснил цель своего визита.
Юрий Владимирович любезно пригласил меня в дом, попросил Людмилу Павловну приготовить чай и начал расспрашивать меня о том, что я знаю. Результат моей дипломной работы, в которой был построен пример, показывающий, что условие Крамера в предельной теореме (в форме Крамера) для больших уклонений не может быть ослаблено, на Юрия Владимировича особого впечатления не произвел (хотя моему научному руководителю С. Х. Сираждинову и рецензенту С. В. Нагаеву результат весьма понравился). Дело в том, что Вольфганг Рихтер, аспирант Линника в те годы, незадолго до этого показал, что условие Крамера попросту необходимо (мои рассуждения фактически тоже доказывали необходимость условия Крамера; я сам по неопытности этого не заметил).
Дальше разговор пошел о моих познаниях в математической статистике. Надо сказать, что в годы моей учебы в Ташкентском университете нам вообще не читали курс математической статистики; в последующие годы это серьезное упущение было исправлено. Я прослушал семестровый курс теории вероятностей (по известному учебнику Б. В. Гнеденко) и спецкурс «Предельные теоремы для однородных цепей Маркова», прочитанный Сираждиновым, которые к статистике прямого отношения не имели. Мне
© Абрам М. Каган, 2005
и сейчас становится стыдно, когда я вспоминаю, с каким статистическим багажом я явился на встречу с Линником.
Помню, он спросил меня, как мне нравится теорема Дармуа — Скитовича. Что же я мог ответить, если услышал о ней тогда впервые? Теперь-то она мне очень нравится. Юрий Владимирович счел нужным рассказать мне (замечу, это при первой встрече с незнакомым ему выпускником провинциального университета), что задача, которую он поставил В. П. Скитовичу, когда тот был его аспирантом, состояла в доказательстве того, что при общих условиях независимость N линейных форм от N независимых случайных величин влечет гауссовость величин (это было бы естественным обобщением теоремы, доказанной ранее независимо М.Кацем и С. Н. Бернштейном для двух форм от двух случайных величин). Поэтому для него было большим сюрпризом, когда Скитович пришел с сообщением, что независимость уже пары линейных форм влечет гауссовость величин, входящих в обе формы (это сейчас все мы понимаем, что независимость пары форм есть условие бесконечномерное и может характеризовать распределение любого числа величин).
Много лет спустя я показал, что имеет смысл рассматривать задачу Линника так, как он ее первоначально ставил, даже в несколько более общей форме. Именно, рассмотреть т линейных форм от N независимых величин; просто в случае т > 2 достаточно требовать существенно меньше, чем совместную независимость т форм для того, чтобы гарантировать гауссовость величин. К сожалению, работа была сделана уже после смерти Юрия Владимировича; хочется думать, что ему было бы приятно увидеть реабилитированной свою постановку задачи. Мораль: работу надо делать во-время.
Но вернемся в июль 1958 года. У меня был единственный козырь, которым я и воспользовался. В 1957 году Т. А. Сарымсаков вел в Ташкентском университете семинар по статистике, и несколько рефератов были посвящены достаточным статистикам. Мне, тогда студенту 4-го курса, поручили сделать реферат статьи Е. Б. Дынкина «Необходимые и достаточные статистики для семейств распределений вероятностей», незадолго до того опубликованной в журнале «Успехи математических наук». Так что мое знакомство со статистикой началось с достаточных статистик. Помню, что потратил около двух недель, разбирая только регулярный случай (а нерегулярный случай, когда плотность обращается в нуль на множестве, зависящем от параметра, я до конца не понимаю и сейчас).
И вот, когда я рассказал Линнику, что я знал о достаточных статистиках и экспонентных семействах, он оживился, задал мне несколько вопросов, на которые я ответил (в молодые годы я все учил на совесть; от математики до иностранных языков и истории КПСС). После этого моя судьба на ближайшие три года была решена: Юрий Владимирович на своем бланке члена-корреспондента АН СССР написал письмо в отдел аспирантуры Ленинградского университета, в котором соглашался быть моим научным руководителем и просил освободить меня от представления реферата (поскольку результат моей дипломной работы был опубликован в совместной с Сираждиновым заметке в Докладах АН Узбекской ССР).
Вся беседа заняла около двух часов. Во время чаепития с бутербродами Юрий Владимирович, по-видимому, уже считая меня своим аспирантом, а что это за аспирант, у которого нет задачи, рассказал мне о следующем своем наблюдении, относящемся к схеме прямых измерений параметра с независимыми одинаково распределенными погрешностями. Очевидно, что выборочное среднее имеет наименьшую дисперсию среди всех линейных несмещенных оценок параметра, каким бы ни было распределение погрешностей (с конечным вторым моментом). Если же погрешности имеют нормаль-
ное распределение, то выборочное среднее имеет наименьшую дисперсию в классе всех несмещенных оценок.
Должны существовать, предположил Линник, возрастающая последовательность классов несмещенных оценок и убывающая последовательность классов распределений погрешностей, обладающие тем свойством, что выборочное среднее имеет наименьшую дисперсию в т-ом классе оценок тогда и только тогда, когда распределение погрешностей принадлежит т-ому классу распределений. Тогда я плохо понял, о чем говорил Юрий Владимирович, но в электричке на обратном пути в Ленинград я почти дословно записал его задачу. Время от времени я, уже чему-то научившийся, размышлял над этой задачей и в 1966 году построил предсказанные Линником классы. Работа, несмотря на ее простоту (а, возможно, именно благодаря этому), очень понравилась Юрию Владимировичу и он представил ее в Доклады АН СССР. Построенные мною оценки являются полиномиальными аналогами классических оценок Питмена; один автор назвал их (если не ошибаюсь, по совету В. А. Статулявичуса) в своей работе оценками Питмена—Линника.
Да, а первую книгу по математической статистике, «Математические методы статистики» Г.Крамера, я прочитал летом того же 1958 года при подготовке к вступительному экзамену в аспирантуру.
Вот так начиналась моя научная деятельность. Я полностью отдаю себе отчет в том, что, помимо владения техникой достаточных статистик, мне помогло и многое другое. Прежде всего, это исключительно доброе отношение Юрия Владимировича к человеку с улицы, выпускнику провинциального университета. Я слышал (не помню уже от кого), что одного из своих будущих очень сильных учеников Линник впервые увидел в троллейбусе (или автобусе), читающим книгу по математике (а не детектив), и помог ему перевестись на математико-механический факультет Ленинградского университета.
Несколькими годами позже Юрий Владимирович вместе с Георгием Ивановичем Петрашенем, директором ЛОМИ в те годы, сделали для меня почти невозможное: добились, после многомесячной осады директора Математического Института, принятия меня на работу в ЛОМИ. Когда Ученый совет Математического института в Москве, выслушав мое пятиминутное выступление, бывшее чистой формальностью, утвердил решение Совета ЛОМИ, и я, таким образом, стал старшим научным сотрудником ЛОМИ, мы с А. Н. Ширяевым пошли отметить это событие в кафетерии. Сидя там, мы постепенно убеждали себя в том, что почти невозможное случилось.
К сожалению, ни Линник, ни Петрашень никогда не рассказывали мне, каких титанических усилий им это стоило. Знаю только, что достаточные статистики никакой роли при этом не играли.
Подозреваю, что российские математики, начавшие свою карьеру в 90-е годы прошлого века и позже (если только они не читали мемуаров С. П. Новикова под общим названием «Математика за кулисами социализма»), не имеют представления о тех трудностях, которые преодолевали директор ЛОМИ и один из выдающихся академиков-математиков. Очень хочется надеяться, что в будущем российским математикам придется преодолевать только математические трудности.
Возможно, подсознательно помня о роли достаточных статистик в нашем знакомстве, Юрий Владимирович и я опубликовали на эту тему совместную работу, а в монографии, написанной нами совместно с С. Р. Рао, имеется небольшая глава о достаточности.
Позволю себе завершить эти короткие заметки воспоминанием о небольшом курье-
зе, случившемся много позже (если не ошибаюсь, в 1967 году). Юрий Владимирович с группой своих учеников (В. В. Петров, я и кто-то еще) приехали в аэропорт Пулково, чтобы встретить Джерси Неймана (который просил называть его на русский манер Юрием Чеславовичем). В аэропорту выяснилось, что Линник спутал номер рейса со временем прилета самолета (то и другое были четырехзначными числами), и мы шутили по этому поводу, что номер рейса является достаточной статистикой, а использование других характеристик только увеличивает возможность ошибки (в полном согласии с теоремой Рао—Блекуэлла).
Много раз в годы, прошедшие после безвременной смерти Юрия Владимировича Линника, я спрашивал себя, что было бы, проживи он еще, скажем, двадцать пять лет (предположение вполне реальное: ведь отец Юрия Владимировича прожил 94 года). Очень жаль, что, как принято считать, история не знает сослагательного наклонения, и я уже никогда не получу ответа на свой вопрос...
Статья поступила в редакцию 24 марта 2005 г.
